Pragnę wyrazić serdezne podziękowania Panu Profesorowi Adamowi Stolarskiemu za opiekę naukową, enne uwagi i żarliwe dyskusje, które przyzyniły się do powstania niniejszej pray. Chę wyrazić swoją wdzięzność i podziękowanie dla opiniodawów książki Pana Profesora Grzegorza Bąka oraz Ś.P. Pana Profesora Miezysława Króla za ih enne wskazówki i sugestie, które przyzyniły się do podniesienia jej wartośi
Monografie Politehnika Lubelska Politehnika Lubelska Wydział Budownitwa i Arhitektury ul. Nadbystrzyka 40 20-618 Lublin
Piotr Smarzewski Modelowanie statyznego zahowania niesprężystyh belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi Politehnika Lubelska Lublin 2011
Reenzeni: prof. dr hab. inż. Grzegorz Bąk prof. dr hab. Miezysław Król Publikaja wydana za zgodą Rektora Politehniki Lubelskiej Copyright by Politehnika Lubelska 2011 ISBN: 978-83-62596-48-5 Wydawa: Politehnika Lubelska ul. Nadbystrzyka 38D, 20-618 Lublin Realizaja: Biblioteka Politehniki Lubelskiej Ośrodek ds. Wydawnitw i Biblioteki Cyfrowej ul. Nadbystrzyka 36A, 20-618 Lublin tel. (81) 538-46-59, email: wydawa@pollub.pl www.biblioteka.pollub.pl Druk: ESUS Agenja Reklamowo-Wydawniza Tomasz Przybylak www.esus.pl Elektronizna wersja książki dostępna w Bibliotee Cyfrowej PL www.b.pollub.pl Nakład: 100 egz.
SPIS TREŚCI PODSTAWOWE SYMBOLE I OZNACZENIA 8 1. WSTĘP 13 1.1. Problematyka analizy wytężenia belek żelbetowyh... 13 1.2. Cel, przedmiot i zakres pray... 16 2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH 20 2.1. Przedmiot modelowania konstytutywnego... 20 2.2. Modelowanie właśiwośi betonu... 21 2.2.1. Trójosiowa powierzhnia granizna betonu... 21 2.2.2. Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu... 23 2.2.3. Prawo ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń... 31 2.2.4. Charakterystyka elementów skońzonyh materiału matryy betonowej... 39 2.2.5. Związki konstytutywne betonu... 41 2.3. Modelowanie właśiwośi stali zbrojeniowej... 45 2.3.1. Model statyznego zahowania stali zbrojeniowej... 45 2.3.2. Charakterystyka elementów skońzonyh stali zbrojeniowej... 46 2.3.3. Związki konstytutywne stali zbrojeniowej... 47 3. METODA ANALIZY 49 3.1. Przedmiot modelowania konstrukyjnego... 49 3.2. Modele elementu żelbetowego... 49 3.3. Współpraa betonu ze stalą zbrojeniową... 51 3.4. Warunki brzegowe i obiążenie zastępze... 52 3.5. Metody numeryzne rozwiązania układu równań równowagi... 53 3.5.1. Przyzyny wykorzystania różnyh metod numeryznyh... 53 3.5.2. Metoda Newtona-Raphsona... 54 3.5.3. Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym... 56 3.5.4. Metoda Crisfielda... 57 3.6. Przyrost obiążenia i interpretaja zniszzenia... 59 4. DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE BELEK ŻELBETOWYCH 61 4.1. Cel i zakres doświadzeń numeryznyh... 61 4.2. Przedmiot doświadzeń numeryznyh... 61 4.3. Wyniki doświadzeń numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi... 67 4.3.1. Cel doświadzeń numeryznyh... 67 5
4.3.2. Rozwiązanie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym... 68 4.3.2.1. Analiza stanu zarysowania... 68 4.3.2.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 70 4.3.2.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 77 4.3.3. Rozwiązanie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda... 77 4.3.3.1. Analiza stanu zarysowania... 77 4.3.3.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 80 4.3.3.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 83 4.3.4. Rozwiązanie belki o niskim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym... 84 4.3.4.1. Analiza stanu zarysowania... 84 4.3.4.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 86 4.3.4.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 88 4.3.5. Rozwiązanie belki o niskim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda... 88 4.3.5.1. Analiza stanu zarysowania... 88 4.3.5.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 89 4.3.5.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 91 4.3.6. Rozwiązanie belki wzmonionej o wysokim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym... 92 4.3.6.1. Analiza stanu zarysowania... 92 4.3.6.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 94 4.3.6.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 96 4.3.7. Rozwiązanie belki wzmonionej o wysokim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda... 97 4.3.7.1. Analiza stanu zarysowania... 97 4.3.7.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 98 4.3.7.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 99 4.3.8. Rozwiązanie belki o wysokim stopniu zbrojenia metodą Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym... 100 4.3.8.1. Analiza stanu zarysowania... 100 4.3.8.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 102 4.3.8.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 104 4.3.9. Rozwiązanie belki o wysokim stopniu zbrojenia metodą długośi łuku Crisfielda... 105 4.3.9.1. Analiza stanu zarysowania... 105 4.3.9.2. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 106 4.3.9.3. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 107 6
5. DYSKUSJA PROBLEMÓW NUMERYCZNEGO MODELOWANIA ZACHOWANIA BELEK ŻELBETOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM OSŁABIENIA MATERIAŁOWEGO 109 5.1. Analiza efektywnośi zastosowanyh metod rozwiązania problemu... 109 5.2. Wpływ modułu sprężystośi betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia... 110 5.3. Wpływ modeli materiałowyh na zależność siła-przemieszzenie belek o niskim stopniu zbrojenia... 113 5.4. Wpływ sztywnośi resztkowej zarysowanyh i zmiażdżonyh skońzonyh elementów materiału matryy betonowej na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia... 118 5.5. Wpływ wytrzymałośi resztkowej przy śiskaniu betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia... 120 5.6. Wpływ zmiażdżenia betonu na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia... 121 5.7. Wpływ parametru śinania przy roziąganiu t na zależność siła-przemieszzenie belki wzmonionej o niskim stopniu zbrojenia... 123 6. ROZWIĄZANIE BELKI WZMOCNIONEJ O NISKIM STOPNIU ZBROJENIA WEDŁUG PROPONOWANEJ METODYKI USTALANIA PARAMETRÓW MODELU KONSTYTUTYWNEGO BETONU 125 6.1. Metodyka doboru parametrów modelu betonu... 125 6.2. Analiza stanu zarysowania... 127 6.3. Analiza stanu odkształenia i naprężenia... 132 6.4. Analiza nośnośi i stanu przemieszzenia... 145 7. WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH 148 7.1. Wnioski dotyząe analizy zahowania belek żelbetowyh... 148 7.2. Wnioski dotyząe modelowania belek żelbetowyh... 149 8. ZAKOŃCZENIE 152 BIBLIOGRAFIA 154 SUMMARY 163 7
Duże litery łaińskie PODSTAWOWE SYMBOLE I OZNACZENIA [ D ] maierz sprężystośi dla materiału izotropowego é k D ù êë úû maierz sztywnośi w układzie współrzędnyh zgodnym z kierunkiem naprężeń głównyh, z osią k x leżąą w linii prostopadłej do płaszzyzny rysy ékù êë úû maierz współzynników układu é T K ù êë úû maierz sztywnośi styznej é S K ù êë úû maierz sztywnośi sieznej ék ù êë l úû maierz sztywnośi elementu prętowego é ù maierz sztywnośi naprężeń w elemenie prętowym êë S l úû { F a } wektor uogólnionego obiążenia nr { i } F wektor wewnętrznyh sił węzłowyh w stanie naprężeń panująym w dyskretyzowanym układzie { F l } niezrównoważony wektor obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego { F a l } uogólniony wektor obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego nr F wektor przyrostu obiążenia zewnętrznego dla elementu prętowego { l } A s E pole przekroju zbrojenia styzny moduł sprężystośi betonu przy śiskaniu E siezny moduł sprężystośi betonu przy śiskaniu m E s E t E T F r F i wartość oblizeniowa modułu sprężystośi stali zbrojeniowej styzny moduł sprężystośi betonu przy roziąganiu moduł odkształenia plastyznego stali zbrojeniowej siła rysująa funkja stanu naprężeń w prostokątnym układzie współrzędnyh 8
F s F u L s t R S i T siła podłużna w elemenie prętowym siła niszząa długość elementu prętowego moduł osłabienia betonu po zarysowaniu powierzhnia granizna betonu mnożnik sztywnośi betonu w strefie roziąganej w fazie zarysowania Małe litery łaińskie { u } wektor uogólnionego przemieszzenia { D u i } wektor przyrostu przemieszzenia { D u I i } wektor przyrostu przemieszzenia wywołany jednostkowym { u II } i { u n } parametrem obiążenia D wektor przyrostu przemieszzenia w metodzie Newtona-Raphsona D suma wektorów przyrostów przemieszzenia D u w bieżąym i kroku iterayjnym a, a, a 0 1 2 parametry określająe promień przekroju dewiatorowego r powierzhni graniznej betonu t b szerokość przekroju belki b, b, b 0 1 2 parametry określająe promień przekroju dewiatorowego r powierzhni graniznej betonu stif parametr sztywnośi betonu w stanie zarysowania lub zmiażdżenia d wysokość użytezna przekroju i, n numer kroku przyrostowego f 1 f 2 f wytrzymałość w stanie dwuosiowego śiskania nałożona w stanie a naprężenia hydrostatyznego s h wytrzymałość w stanie jednoosiowego śiskania nałożona w stanie a naprężenia hydrostatyznego s h wytrzymałość betonu na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia 9
f b wytrzymałość betonu w stanie dwuosiowego śiskania f wytrzymałość gwarantowana betonu ube, f k harakterystyzna wytrzymałość betonu na śiskanie f m średnia wartość wytrzymałośi betonu na śiskanie f wytrzymałość betonu na roziąganie przy rozłupywaniu t, sp f st f t f y wytrzymałość stali na roziąganie i śiskanie wytrzymałość betonu na roziąganie w jednoosiowym stanie naprężenia grania plastyznośi stali p, t parametry definiująe powierzhnię granizną betonu r wektor promień lokalizująy położenie powierzhni graniznej r promień południka śiskania przekroju dewiatorowego powierzhni graniznej betonu r i niezrównoważony parametr otrzymywany w wyniku skalarnego mnożenia wektora normalnego i styznego r t promień południka roziągania przekroju dewiatorowego powierzhni graniznej betonu t parametr harakteryzująy beton wysokiej wytrzymałośi, zależny od f k u różnia między przemieszzeniami w węźle przemieszzenie pionowe na dolnej krawędzi elementu u d u g przemieszzenie pionowe na górnej krawędzi elementu D u różnia między przyrostami przemieszzenia w węźle D u n suma przyrostów przemieszzenia D u w bieżąym kroku i iterayjnym z wierzhołek powierzhni graniznej betonu Małe litery grekie { e ' } wektor zmodyfikowanego odkształenia ałkowitego betonu k { e } wektor odkształenia betonu przy zarysowaniu el { n 1 } e - wektor odkształenia sprężystego betonu w kroku poprzednim 10
{ D e n } ałkowity przyrost wektora odkształenia betonu w danym kroku pl { D e } przyrost wektora odkształenia plastyznego betonu b b b t in e parametr skalowania parametr nośnośi na śinanie przy zamykaniu rysy parametr nośnośi na śinanie przy otwieraniu rysy odkształenie w elemenie prętowym w pierwszym kroku obiążenia e odkształenie betonu e 1 granizne odkształenie betonu w fazie wzmonienia sprężystoplastyznego k e k odkształenie betonu w hwili powstania rysy e u granizne odkształenie betonu przy śiskaniu w fazie osłabienia e n odkształenie ałkowite elementu prętowego el e n odkształenie sprężyste pręta stalowego th e n odkształenie termizne elementu prętowego T e n odkształenie w elemenie prętowym w analizie liniowo-sprężystej lub w pierwszej iteraji analizy nieliniowej e granizne odkształenie stali w zakresie plastyznośi su e k, e k, e k składowe odkształenia normalnego w rysie x y z D e przyrost odkształenia elementu prętowego pl D e przyrost odkształenia plastyznego f średnia pręta zbrojenia f, f 1 2 kąty nahylenia prostyh tworząyh stożek hydrostatyzny l zmienny parametr obiążenia D l parametr przyrostu obiążenia n, n współzynnik Poissona dla betonu n s q rr, s r współzynnik Poissona dla stali kąt Lodego odpowiadająy trzeiemu niezmiennikowi dewiatora gęstość zbrojenia gęstość betonu s, s, s naprężenia główne 1 2 3 11
s naprężenie śiskająe w betonie s naprężenie śiskająe w betonie odpowiadająe graniznemu u odkształeniu przy śiskaniu e u s h s s stan naprężenia hydrostatyznego opisująy średnie naprężenia normalne odpowiadająe pierwszemu niezmiennikowi dewiatora naprężenia naprężenie w stali s, s, s naprężenia normalne x y z s, s, s naprężenia normalne w prostokątnym układzie współrzędnyh xp yp zp xyz,, s, s, s naprężenia styzne xy yz xz t a x średnia wartość naprężenia styznego parametr spadku adaptayjnego x, x, x 0 1 2 parametry wytrzymałośiowe powierzhni graniznej betonu x, x, x t b parametry wytrzymałośiowe powierzhni graniznej betonu 12
1. WSTĘP 1.1. Problematyka analizy wytężenia belek żelbetowyh W ostatnih latah wraz z większą wydajnośią systemów oblizeniowyh oraz możliwośią ih zastosowania w proesie analizy i projektowania konstrukji inżynierskih nastąpił intensywny rozwój metod numeryznyh używanyh w zakresie oblizeń statyznyh, wymiarowania i analizy zahowania konstrukji aż do osiągnięia przez nią stanów graniznyh. Metody numeryzne są jedyną drogą do uzyskania praktyznie przydatnyh rozwiązań w analizie złożonyh ustrojów przestrzennyh wykonanyh z materiałów nie podlegająyh prawom liniowej sprężystośi. Metody numeryzne prowadzą zawsze do rozwiązań przybliżonyh, gdyż układ równań różnizkowyh jest zastąpiony układem równań algebraiznyh, a dokładne rozwiązanie w postai zamkniętego wzoru analityznego jest zastępowane zbiorem lizb opisująym rozpatrywane zjawisko. Symulaje komputerowe stworzyły możliwość analizowania zagadnień trudnyh i złożonyh, o w znaznym stopniu przyzynia się do redukji kosztów związanyh z przeprowadzeniem badań doświadzalnyh. Ze wszystkih metod numeryznyh najzęśiej stosowana jest Metoda Elementów Skońzonyh, która stała się podstawowym narzędziem analizy w bardzo wielu dziedzinah naukowyh i praktye inżynierskiej. Polega ona na podziale kontinuum o nieskońzonej lizbie punktów na skońzoną lizbę elementów połązonyh ze sobą w węzłah. Wszystkie zmienne w równaniu zagadnienia wyraża się przez przemieszzenia punktów węzłowyh wyznazane z układu równań algebraiznyh. Wymaga to sformułowania zależnośi geometryznyh oraz przyjęia związków konstytutywnyh uzależniająyh składowe stanu naprężenia i odkształenia. We współzesnym piśmiennitwie jest wiele monografii i artykułów poświęonyh tej metodzie. Do podstawowyh pra w tym zakresie należą monografie Zienkiewiza [119], Zienkiewiza i Taylora [120], Crisfielda [30], Bathe [12], Kleibera [58], Borkowskiego i in. [17], Cooka [27], Boneta i Wooda [16], Moaveni [76]. Analiza wytężenia elementów konstrukyjnyh jest ważnym zagadnieniem mehaniki konstrukji, szzególnie w odniesieniu do materiałów kruhyh, gdyż umożliwia oenę jej bezpiezeństwa i optymalne projektowanie. Zwiększenie nośnośi elementów konstrukyjnyh wykonanyh z materiałów kruhyh uzyskuje się przez zastosowanie zbrojenia w postai wiotkih prętów stalowyh rozłożonyh w materiale matryy elementu w tyh strefah, w któryh występują naprężenia roziągająe wywołująe zarysowanie materiału. Zasady takiego sposobu wzmaniania konstrukji whodzą w zakres metod wymiarowania żelbetowyh elementów konstrukyjnyh. W odniesieniu do konstrukji 13
żelbetowyh, które są kompozyją materiałową złożoną z dwóh materiałów: betonu i stali zbrojeniowej, teoretyzne zasady wymiarowania są przedstawione w praah Suwalskiego [104], Kuzyńskiego [61], Kobiaka i Stahurskiego [60], Raya [89], Spiegela i Limbrunnera [98], Łapko [68], Starosolskiego [99]. Równie istotnym zagadnieniem jest sposób rozmieszzenia zbrojenia w objętośi elementu, gdyż deyduje on o rzezywistym wytężeniu i nośnośi konstrukji. Teoretyzne i doświadzalne problemy analizy wytężenia elementów żelbetowyh są przedmiotem rozważań zawartyh w monografii Godykiego-Ćwirko [46]. Dynamizny rozwój tehniki komputerowej stworzył również możliwośi wykonania analiz nieliniowyh dotyząyh żelbetowyh układów konstrukyjnyh ze szzególnym uwzględnieniem zróżniowanyh sprężysto-plastyznyh harakterystyk materiałowyh: betonu i stali, rzezywistego układu zbrojenia, wzajemnej współpray obu materiałów oraz symulaji mehanizmu zniszzenia elementów konstrukyjnyh. Oprogramowanie systemowe zastosowane do modelowania zahowania konstrukji szzególnie w zakresie niesprężystym jest bardzo efektywne zwłaszza w odniesieniu do tak zwanyh otwartyh systemów, w któryh można zastosować własne modele konstytutywne. Jak dowiodła praktyka inżynierska, zrealizowane dotyhzas konstrukje z betonu, zaprojektowane bez wspomagania komputerowego, spełniają najzęśiej swoje zadania, niemniej jednak różne wpływy fizyzne, takie jak skurz, oddziaływania termizne, naprężenia przyzepnośi i pełzanie lub geometryzne, takie jak złożony układ konstrukyjny były oeniane w dużym stopniu jedynie na podstawie intuiji inżynierskiej. Prowadziło to zęsto do znaznego przewymiarowania konstrukji, w elu zapewnienia im wymaganego bezpiezeństwa oraz odpowiednih walorów użytkowyh. Analiza pray elementów żelbetowyh była przedmiotem rozważań wielu publikaji. W literaturze można spotkać wiele opraowań dotyząyh analizy statyznej. Przykłady zastosowania metody elementów skońzonyh w analizie niesprężystyh elementów żelbetowyh prezentowane są w praah m.in. MNeie [73], Faherty [37], Lina i Sordelisa [66], Suidana i Shnobriha [103], Argyrisa i in. [5], Buyukozturka [19], Waszzyszyna i in. [111, 112], Hemmaty i in. [48, 49], Barzegara i Maddipudi [10], Barbosa i Ribeiro [9], Fostera [40], Cihorskiego [24], Pamina i Winnikiego [82, 83], Fanninga [38], Tavareza [108], Kahlakeva [54], Wolanskiego [118], Smarzewskiego i Stolarskiego [96, 97] oraz monografiah Hofstettera i Manga [50], Wojewódzkiego i in. [117], Stolarskiego i Cihorskiego [100], Willama i Tanabe [115], Szarlińskiego i in. [105], Majewskiego [69]. Do znanyh rozwiązań numeryznyh statyki belek żelbetowyh z betonu zwykłego należy zalizyć rozwiązania Ngo i Sordelisa [78], Nilsona [79], Isenberga [52], Barzegara, Maddipudi i Srinivasa [11], Gomesa i Awruha [47]. 14
Z kolei analiza zahowania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi była przedmiotem kilkunastu pra doświadzalnyh m.in. Tognona i in. [108], Uzumeri i Basseta [110], Olsena i in [80], Lambotte i Taerwe [63], Taerwe [107], Larrarda i in. [64], Lina i in. [65], Pendyala i in. [85], Mansura i in. [71], Sarkera i in. [91], Pee i Fabbroino [36, 84], Weissa i in. [113], Rashida i Mansura [88]. W kraju podstawową praą w tym zakresie jest praa Kamińskiej [55], będąa źródłem wzorowyh wyników, do któryh odnoszone są własne rozwiązania teoretyzne. Beton wysokowartośiowy, zyli beton o wysokiej wytrzymałośi i jednoześnie wysokiej szzelnośi nie jest bynajmniej materiałem nieznanym. Zawiera on wszystkie składniki już wześniej stosowane do betonów, lez dozowane w innyh proporjah. Szzegółowe informaje dotyząe klasyfikaji i właśiwośi tyh kompozytów materiałowyh na bazie ementów zostały przedstawione w praah Aïtina [2, 3], Ajdukiewiza [4] i Kaszyńskiej [57]. Niewątpliwie zastosowanie betonów wysokowartośiowyh w budownitwie będzie stale wzrastało zarówno ze względu na jego wysoką wytrzymałość, jak i na wysoki moduł sprężystośi. Ponadto w bardzo wielu praktyznyh zastosowaniah olbrzymie znazenie ma wysoka odporność betonu wysokowartośiowego na wpływy klimatyzne i oddziaływanie agresywnego środowiska związana z jego bardzo wysoką szzelnośią. Ozywiśie najstarsze zastosowania betonu wysokowartośiowego datują się na późne lata osiemdziesiąte, a to oznaza, że zas eksploataji tyh konstrukji jest jeszze zbyt krótki, aby właśiwie oenić rzezywistą trwałość użytkową budowli wykonanyh z tego materiału. Speyfizne ehy betonów wysokowartośiowyh skłaniają ku konieznośi podjęia nie tylko badań doświadzalnyh, ale również rozważań teoretyznyh z zakresu konstytutywnego modelowania właśiwośi materiałowyh, a w szzególnośi modelowania zahowania zbrojonyh elementów konstrukyjnyh oraz analizy mehanizmów wytężenia i zniszzenia konstrukji wykonanyh z takiego materiału. Przykładowa praa z tego obszaru badawzego autorstwa Majoramy i in. [70] dotyzy modelowania konstytutywnego betonu wysokiej wytrzymałośi. W ostatnih ztereh dekadah w analizah numeryznyh stosowano różne modele betonu i stali zbrojeniowej. W elu dokładniejszego opisu pokrytyznego zahowania elementów żelbetowyh nadal doskonalone są konstytutywne modele materiałowe oraz wykorzystywane oraz bardziej efektywne algorytmy numeryznego rozwiązywania nieliniowyh równań równowagi. 15
1.2. Cel, przedmiot i zakres pray Przedmiotem pray są belki żelbetowe z betonu wysokiej wytrzymałośi traktowane jako kompozyja materiałowa składająa się z matryy betonowej wzmonionej wiotkimi prętami stalowymi rozłożonymi dyskretnie w materiale matryy. Głównym elem pray jest modelowanie mehanizmów zniszzenia belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, proesów statyznego odkształania belek żelbetowyh wykonanyh z betonu wysokiej wytrzymałośi z uwzględnieniem nieliniowośi fizyznyh materiałów konstrukyjnyh betonu i stali zbrojeniowej. Osiągnięie tego elu wymaga zrealizowania elów szzegółowyh, do któryh należą: opraowanie własnego modelu teoretyznego betonu dla materiału sprężysto-plastyznego z uwzględnieniem osłabienia materiałowego przy śiskaniu i roziąganiu, opraowanie oryginalnyh analiz zahowania przestrzennyh belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi pod obiążeniem statyznym, opraowanie efektywnej metody oblizeniowej długośi łuku Crisfielda w analizah niezwykle gwałtowanyh proesów zniszzenia: zarysowania i miażdżenia w elu dokładniejszego oszaowania pokrytyznego zahowania elementów konstrukyjnyh. Zakres pray obejmuje rozważania dotyząe modelowania niesprężystyh właśiwośi materiałów, modelowania proesów odkształania przestrzennyh ustrojów konstrukyjnyh oraz opraowanie rozwiązań numeryznyh. Podstawowe założenia przyjęte w pray dotyzą: rozważań w zakresie dużyh odkształeń, gdyż zgodnie z postanowieniami Euroode 2 [35] i PN-B-03264 [86] metody analizy nieliniowej związane z nieliniowośią w sensie fizyznym powinny być stosowane w połązeniu w ramah teorii II rzędu z nieliniowośią w sensie geometryznym, idealnego współdziałania prętów zbrojeniowyh i betonu w węzłah wspólnyh oblizeniowego modelu konstrukji, zyli zgodnośi deformaji pomiędzy wszystkimi elementami konstrukji. Praa składa się ze wstępu, pięiu rozdziałów wypełniająyh zakres pray, zakońzenia zawierająego wnioski i zestawienia bibliografiznego. W rozdziale drugim przedstawiono opis modeli materiałowyh wykorzystywanyh w analizah numeryznyh. W analizie wytężenia konstrukji żelbetowyh modelowanie właśiwośi betonu jest odniesione do poziomu makroskopowego. Beton jest traktowany w pozątkowej fazie odkształenia jako materiał jednorodny i izotropowy. Przyjęie powyższego 16
założenia umożliwia zastosowanie fenomenologiznego opisu zahowania betonu jako ośrodka iągłego. Model betonu opisuje trójparametrowa lub pięioparametrowa powierzhnia granizna przy śiskaniu i roziąganiu zgodna z teorią Willama-Warnke [116] oraz własna propozyja prawa ewoluji tej powierzhni w funkji odkształenia. Opraowano własną propozyję modelu sprężysto-plastyznego z osłabieniem w odniesieniu do betonu śiskanego. Z kolei dla betonu roziąganego założono sprężysto-kruhy model z osłabieniem uwzględniająym efekty zesztywnienia konstrukji żelbetowej. Model betonu opisuje efekty zarysowania i miażdżenia. Założono model rysy rozmytej. Powstanie zarysowania w punkie numeryznego ałkowania modelu oblizeniowego jest uwzględnione w zależnośi naprężenie-odkształenie poprzez wprowadzenie płaszzyzny osłabienia zlokalizowanej w kierunku prostopadłym do powierzhni rysy. Przyjęty parametr śinania przy rozwariu rysy b redukuje nośność na śinanie w hwili powstania poślizgu t w płaszzyźnie prostopadłej do powierzhni zarysowanej. Miażdżenie betonu jest opisane zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako wyraźne pogorszenie strukturalnej niepodzielnośi w wyniku zniszzenia materiału przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Kolejny poziom modyfikaji modelu zaproponowany w tym rozdziale dotyzy modelowania zahowania betonów o wysokiej wytrzymałośi. Istotą tej propozyji jest modyfikaja modelu Desayi-Krishnana [32] i uproszzonego modelu Stolarskiego [100] poprzez łązne uwzględnienie fazy sprężystoplastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego oraz wprowadzenie znaznie większyh wartośi graniznyh odkształeń przy śiskaniu w belkah żelbetowyh związanyh ze zbrojeniem i efektem skali belek potwierdzonyh doświadzalnie w praah Pee i Fabbroino [36, 84], Kamińskiej [55, 56], Larrarda i in. [64], Mansura i in. [71], Olsena i in. [80], Pendyala i in. [85], Weissa i in. [113]. W odniesieniu do stali zbrojeniowej założono model materiałowy sprężysto-idealnie plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu lub model materiałowy z uwzględnieniem wzmonienia po uplastyznieniu. W rozdziale trzeim przedstawiono opis analiz wytężenia układu konstrukyjnego przeprowadzonyh w niniejszej pray. Zaprezentowano podstawowe sposoby modelowania zbrojenia oraz zaproponowano hipotezę współpray prętów zbrojenia i materiału matryy wyrażająą w jawny sposób zasadę równoważnośi przemieszzeń w węzłah wspólnyh elementów skońzonyh modelu oblizeniowego. Opisano również sposób modelowania warunków brzegowyh w płaszzyznah symetrii elementu i na podporah oraz przedstawiono sposób modelowania rozkładu sił w strefie przyłożenia obiążenia. Przedstawiono ponadto opis algorytmów rozwiązania układów przyrostowyh równań statyznej równowagi metody elementów skońzonyh: Newtona-Raphsona, Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptayjnym i długośi 17
łuku Crisfielda umożliwiająe określenie stanów zarysowania, przemieszzenia, odkształenia i naprężenia z uwzględnieniem efektów nieliniowośi fizyznej materiałów i geometryznej elementów konstrukyjnyh w zagadnieniah statyznyh w zakresie wymaganym do osiągnięia elu niniejszej pray. W analizah przestrzegane są zasady wynikająe z kompromisu pomiędzy dążeniem do maksymalnej dokładnośi oblizeń poprzez wprowadzenie gęstego podziału i dużej lizby węzłów, a minimalizają zasu oblizeń poprzez odpowiedni dobór wielkośi kroku obiążenia i zastosowanie szybko-zbieżnej metody oblizeniowej. W rozdziale zwartym, na przykładah belek żelbetowyh obiążonyh statyznie, przedstawiono porównania własnyh wyników doświadzeń numeryznyh otrzymanyh dla różnyh modeli betonu i stali zbrojeniowej z wynikami badań doświadzalnyh Kamińskiej [55] dotyząymi zahowania belek żelbetowyh z betonu wysokiej wytrzymałośi. Porównania otrzymanyh wyników na poziomie zależnośi obiążenie-przemieszzenie, obiążenieodkształenie skrajnyh włókien śiskanego betonu oraz obiążenieodkształenie prętów roziąganyh stanowią podstawę do weryfikaji przyjętyh założeń i modeli konstytutywnyh betonu i stali. Podstawową zęśią pray są analizy stanu zarysowania, naprężenia oraz odkształenia belek żelbetowyh ze zwykłego betonu konstrukyjnego i z betonu wysokiej wytrzymałośi o różnym stopniu zbrojenia podłużnego i poprzeznego przy wykorzystaniu systemu programów metody elementów skońzonyh z implementają własnego modelu betonu wysokiej wytrzymałośi i odpowiedni dobór parametrów metody długośi łuku Crisfielda w elu otrzymania efektywnego rozwiązania w zakresie lokalnego i globalnego osłabienia konstrukji. Dopełnieniem rezultatów jest analiza nośnośi i stanu przemieszzenia belek żelbetowyh. Stan naprężenia zilustrowano w postai rozkładów naprężeń normalnyh i styznyh w obszarze konstrukji. Porównanie uzyskanyh wyników numeryznyh z wynikami badań doświadzalnyh wykazuje dobrą zgodność rozwiązań oraz poprawność przyjętyh założeń i modeli konstytutywnyh betonu i stali. W rozdziale piątym przedstawiono rozważania na temat wybranyh problemów numeryznego modelowania zahowania belek żelbetowyh z uwzględnieniem osłabienia betonu przy śiskaniu i roziąganiu. Dokonano porównania uzyskanyh wyników pod kątem ustalenia efektywnośi zastosowanyh proedur oblizeniowyh. Przeprowadzono analizy wpływu zmiennośi: modułu sprężystośi betonu, modeli materiałowyh, parametru resztkowej sztywnośi elementów skońzonyh materiału matryy betonowej w proesie zarysowania i zmiażdżenia, efektów zmiażdżenia betonu oraz parametru śinania przy roziąganiu wzmaniająego beton po zarysowaniu na zahowanie modelowej belki żelbetowej z betonu wysokiej wytrzymałośi w proesie statyznego odkształenia. Uzyskane wyniki numeryzne są 18
zestawione z wynikami doświadzalnymi Kamińskiej [55] w postai krzywyh obiążenie-przemieszzenie pionowe w środku belki. W rozdziale szóstym przedstawiono metodę rozwiązania numeryznego belki żelbetowej polegająą na doborze parametrów modelu betonu wysokiej wytrzymałośi na podstawie tylko jednej wielkośi fizyznej tj. określonej doświadzalnie wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia. Wszystkie parametry modelu stali zbrojeniowej przyjęto na podstawie wartośi normowyh dostosowanyh do wymogów bezpiezeństwa konstrukji. W zakońzeniu przedstawiono podsumowanie rezultatów pray i wnioski wynikająe z przeprowadzonyh doświadzeń numeryznyh. Otrzymane rozwiązania stanowią podstawę do dalszego rozwijania metody numeryznej symulaji zahowania żelbetowyh elementów konstrukyjnyh, przede wszystkim w zakresie opisu mehanizmów zniszzenia betonu. 19
2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW KONSTRUKCYJNYCH 2.1. Przedmiot modelowania konstytutywnego Modelowanie statyznyh właśiwośi materiałów konstrukyjnyh przeprowadzono z wykorzystaniem założeń teorii plastyznego płynięia. Opis stanu graniznego betonu obiążonego statyznie jest przedmiotem wielu pra. Równania powierzhni graniznyh betonu zawierają m.in. prae Ottosena [81], Klisińskiego [59], Willama i Warnke [116], Stolarskiego [100, 101]. Zaproponowane w tyh praah równania powierzhni graniznyh są zależne od pierwszego niezmiennika tensora naprężenia oraz drugiego i trzeiego niezmiennika dewiatora naprężenia. Taki opis umożliwia najwierniejszą aproksymaję wyników doświadzalnyh betonu w złożonyh stanah naprężenia. W niniejszej pray zastosowano trójparametrową oraz pięioparametrową powierzhnię granizną betonu przy śiskaniu i roziąganiu zgodną z teorią Willama-Warnke [116] oraz własną propozyję prawa ewoluji tej powierzhni w funkji odkształenia. W odniesieniu do betonu przy śiskaniu przyjęto własną propozyję modelu sprężysto-plastyznego z wytrzymałośią resztkową równą 80 % wytrzymałośi betonu, natomiast dla betonu przy roziąganiu założono sprężysto-kruhy model z osłabieniem uwzględniająym efekty zesztywnienia konstrukji żelbetowej. Model powyższy opisuje proesy zarysowania i miażdżenia. Powstanie rysy rozmytej w punkie numeryznego ałkowania opisuje zmodyfikowana relaja między naprężeniem a odkształeniem z wprowadzoną płaszzyzną osłabienia usytuowaną w kierunku prostopadłym do jej powierzhni. Założony parametr śinania b jest mnożnikiem redukująym nośność na śinanie w tyh proesah t odkształenia, w któryh powstaje poślizg w płaszzyźnie prostopadłej do zarysowanej powierzhni. Miażdżenie betonu w punkie numeryznego ałkowania jest uwzględnione jako proes zniszzenia przy jednoosiowym, dwuosiowym lub trójosiowym śiskaniu. Taki proes zniszzenia jest opisany zgodnie z założeniami teorii plastyznego płynięia jako wynik osłabienia materiałowego w strefah śiskanyh. W obszarze zmiażdżonym przyrost obiążenia wywołuje przyrost odkształeń przy stałyh naprężeniah. Kolejny poziom modyfikaji modelu betonu proponowany w niniejszej zęśi pray dotyzy modelowania zahowania betonu o wysokiej wytrzymałośi. Istotą tej propozyji jest modyfikaja modelu Desayi- Krishnana [32] i uproszzonego modelu Stolarskiego [101, 102] polegająa na: łąznym uwzględnieniu fazy sprężysto-plastyznego wzmonienia i fazy osłabienia materiałowego, 20
przyjęiu potwierdzonego doświadzalnie założenia o znaznie większyh wartośiah graniznyh odkształeń uzyskanyh w konstrukjah zbrojonyh w porównaniu do odkształeń uzyskanyh na próbkah, związanyh ze zbrojeniem i efektem skali. W odniesieniu do stali zbrojeniowej założono model materiałowy sprężysto-idealnie plastyzny o identyznyh harakterystykah przy roziąganiu i śiskaniu. Jedynie w analizah numeryznyh belek żelbetowyh z betonu o wysokiej wytrzymałośi bez zbrojenia strefy śiskanej na odinku zystego zginania przy wykorzystaniu oblizeniowej metody Newtona- Raphsona ze spadkiem adaptayjnym zastosowany jest model materiałowy stali z uwzględnieniem wzmonienia prętów zbrojeniowyh. Taki model lepiej opisuje zahowanie ustrojów żelbetowyh, w któryh na odinku zystego zginania nie występuje zbrojenie strefy śiskanej przekroju szzególnie w obszarze naprężeń niesprężystyh po uplastyznieniu stali zbrojeniowej. 2.2. Modelowanie właśiwośi betonu 2.2.1. Trójosiowa powierzhnia granizna betonu W pray Argyrisa, Fausta, Szimmata, Warnkego i Willama [5] rozwinięto opis powierzhni graniznej betonu w postai trójsymetryznego stożka przedstawiony przez Genijewa i Kissiuka w pray [44] i zaproponowano podobny model trójparametrowej powierzhni graniznej betonu. Zniszzenie pozątkowe według propozyji [5] opisane jest przez skalarną funkję naprężeń: f ( s ) = 0. (2.1) Geometryzną interpretają tego warunku jest powierzhnia granizna w przestrzeni naprężeń, oddzielająa liniowo-sprężyste zahowanie się materiału od nieliniowo-niesprężystego. Przy założeniu izotropii materiału opis powierzhni graniznej betonu może być sprowadzony do sformułowania równania w przestrzeni naprężeń głównyh: f ( s) = f ( s, s, s ) = 0. (2.2) 1 2 3 Na Rys. 2.1 przedstawiono pozątkową powierzhnię granizną betonu jako nieobrotowego stożka z krzywoliniowymi tworząymi. Jeżeli składowe naprężeń głównyh uszeregowane są w kolejnośi s ³ s ³ s, to wystarzy 1 2 3 rozpatrzyć 1/6 przestrzeni naprężeń głównyh, ponieważ względem osi naprężeń głównyh występuje potrójna symetria powierzhni graniznej. 21
3 f( )=0 Rys. 2.1. Pozątkowa powierzhnia granizna dla betonu w trójosiowej przestrzeni naprężeń. Na Rys. 2.2 zilustrowano powierzhnię granizną rozłożoną na zęść hydrostatyzną (opis zmiany objętośi) i zęść dewiatorową (opis zmiany kształtu). Przekrój hydrostatyzny tworzy powierzhnia południkowa, która zawiera oś obrotu s 1 = s 2 = s 3 (Rys. 2.1). Przekrój dewiatorowy leży na powierzhni normalnej do osi obrotu. a /f - /f h = - 0,5f f b o Przekrój hydrostatyzny ( = 0 ) f r r h /f f t t z - /f r f f t f b - /f Przekrój dewiatorowy ( = - 0,5f ) h Rys. 2.2. Model trójosiowej powierzhni betonu. Dewiator naprężenia jest opisany przez współrzędne biegunowe r i q, gdzie r jest wektorem promieniem lokalizująym położenie powierzhni graniznej dla dowolnego kąta q z przedziału 0 q 60. Kąt q, zwany kątem Lodego, jest kątem pomiędzy rzutem osi naprężenia głównego s na płaszzyznę 1 dewiatorową i kierunkiem fikyjnego wektora naprężenia dewiatorowego s leżąego w tej płaszzyźnie. Powierzhnia granizna jest definiowana w postai równania (2.3). 1 sh 1 ta + = 1, (2.3) z f r q f ( ) 22
gdzie: s, t - średnie wartośi naprężeń normalnyh i styznyh, h a z - wierzhołek powierzhni graniznej, f - wytrzymałość na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia. Kąty nahylenia prostoliniowyh tworząyh stożka hydrostatyznego opisano przez f i f 1 2. Parametry powierzhni zniszzenia z i r uzależniono od wytrzymałośi na śiskanie f i roziąganie f w jednoosiowym stanie t naprężenia i wytrzymałośi w stanie dwuosiowego śiskania f. Matematyzny b model graniznej powierzhni betonu harakteryzuje proste wyznazenie wartośi parametrów modelu na podstawie standardowej próby wytrzymałośiowej oraz wypukłość (brak punktów przegięia) i iągłość powierzhni graniznej betonu. W pobliżu południka śiskania trójparametrowe kryterium wykazuje odstępstwa od wyników badań wytrzymałośiowyh betonu w trójosiowym stanie naprężenia w obszarze dużyh iśnień hydrostatyznyh dla s <- 4 f, także w strefie roziągania dla s > f /3. Przyzyną tyh h h t odstępstw jest założenie prostoliniowego przebiegu południków powierzhni graniznej. 2.2.2. Pięioparametrowa powierzhnia granizna betonu Willam i Warnke w pray [116] przedstawili dokładniejszą aproksymaję powierzhni graniznej betonu za pomoą modelu pięioparametrowego. W elu opisania paraboliznego kształtu południków powierzhni graniznej model trójparametrowy uzupełniono o dodatkowe dwa parametry. Kryterium zniszzenia betonu w złożonym stanie naprężenia opisano wyrażeniem: F - S ³ 0, f (2.4) w którym: F - funkja stanu naprężeń s, s, s xp yp zp działająyh w kierunkah prostokątnego układu współrzędnyh xyz,,, S - powierzhnia granizna zależna od naprężeń głównyh s, s, s, gdzie: 1 2 3 = ( ), s ( s s s ) s max s, s, s 1 xp yp zp = min,, i s ³ s ³ s oraz pięiu 3 xp yp zp 1 2 3 parametrów: f - wytrzymałośi na śiskanie w jednoosiowym stanie naprężenia (wywołująej miażdżenie), f - wytrzymałośi na roziąganie w jednoosiowym t stanie naprężenia (wywołująej zarysowanie), f b - wytrzymałośi w stanie 23
dwuosiowego śiskania (wywołująej miażdżenie), f - wytrzymałośi w stanie 1 dwuosiowego śiskania nałożonej w stanie naprężenia hydrostatyznego a s oraz f h 2 - wytrzymałośi w stanie jednoosiowego śiskania nałożonej a w stanie naprężenia hydrostatyznego s. h Powierzhnia granizna betonu jest wykorzystywana jako kryterium zniszzenia zgodnie z następująą interpretają. Materiał znajduje się w stanie zniszzenia, gdy nierówność (2.4) jest spełniona. Jako stany zniszzenia rozróżnia się stan zarysowania, jeżeli dowolne naprężenie główne jest roziągająe, oraz stan zmiażdżenia, gdy wszystkie naprężenia główne są śiskająe. Powierzhnia granizna jest definiowana przez pięć parametrów wytrzymałośiowyh f, f, f, f, f i stan hydrostatyznego naprężenia 1 2 t b Wytrzymałośi na śiskanie f i na roziąganie f w jednoosiowym stanie t naprężenia są koniezne do definiowania powierzhni graniznej betonu, natomiast pozostałe trzy parametry można wyznazyć na podstawie równań opisanyh w pray [115] zależnyh od f : f b = 1, 2f, Powyższe zależnośi są prawdziwe pod warunkiem, że: s. f = 1, 45f 1, (2.5) f = 1, 725f 2. s 3 f, (2.6) h 1 s = h ( s + s + s xp yp zp), (2.6a) 3 gdzie: s - stan naprężenia hydrostatyznego opisująy średnie naprężenia normalne h odpowiadająe pierwszemu niezmiennikowi dewiatora naprężenia. Warunek (2.6) ma zastosowanie, gdy rozważamy stan naprężeń dla niskih wartośi naprężenia hydrostatyznego. W przypadkah, w któryh nie uwzględniano stanu miażdżenia betonu (wówzas jako parametr modelu przyjmuje się fikyjną wartość f =- 1 ), rysa powstanie wtedy, gdy dowolna składowa naprężenia głównego jest większa od f t. Opis zniszzenia betonu określa się w ztereh zakresah stanu naprężenia: 0 ³ s ³ s ³ s (śiskanie - śiskanie - śiskanie), 1 2 3 s 0 s s 1 2 3 ³ ³ ³ (roziąganie - śiskanie - śiskanie), a h 24
s s 0 s 1 2 3 ³ ³ ³ (roziąganie - roziąganie - śiskanie), s ³ s ³ s ³ 0 (roziąganie - roziąganie - roziąganie). 1 2 3 W każdym zakresie stanu naprężenia, niezależne funkje F, F, F, F 1 2 3 4 i S, S, S, S opisują odpowiednio funkję stanu naprężeń F i powierzhnię 1 2 3 4 granizną S. Funkje te szzegółowo opisano w każdym zakresie stanu naprężenia. Złożony stan naprężenia śiskanie - śiskanie - śiskanie, 0 ³ s ³ s ³ s 1 2 3 W stanie śiskanie - śiskanie - śiskanie funkja F odpowiadająa średnim naprężeniom styznym, która jest wprost proporjonalna do drugiego niezmiennika dewiatora ma postać: 1 1 é 2 2 2ù2 1 ê( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) ú F = F = s - s + s - s + s -s, (2.7) 15 êë úû a eliptyzną powierzhnię zniszzenia S opisano na podstawie rozważań geometryznyh we współrzędnyh biegunowyh r, q wyrażeniem: 1 2 2 2 2 2 2 2 - + - - q + - ù t t t t t ( ) q é ( ) êë ( ) 2 2 2 4( r - r ) os q + ( r -2r t t) 2r r r os r 2r r 4 r r os 5r 4rr ú S = S = û 1 2, (2.8) przy zym wartość kąta Lodego q odpowiada trzeiemu niezmiennikowi dewiatora i zależy od względnyh wartośi naprężeń głównyh: 2s -s -s 1 2 3 os q =. (2.9) 1 é 2 2 2ù2 2 ( s - s 1 2) + ( s - s 2 3) + ( s -s 3 1) êë úû r s q na dwie parabole drugiego stopnia, wzdłuż Rozkładają funkję ( ) h, południka roziągania dla q = 0 i śiskania dla q = 60 otrzymujemy: 2 r = a + a x + a x, t 0 1 2 2 r = b + b x + b x, (2.10) 0 1 2 s x =, gdzie: s - oblizono na podstawie równania (2.6a), a nieznane wartośi parametrów h a, a, a, b, b, b określono rozwiązują liniowe układy równań. 0 1 2 0 1 2 h f 25
Złożony stan jednoosiowego śiskania z dwuosiowym roziąganiem, w którym s = s > s, jest opisany równaniem (2.9), gdy wartość kąta 3 2 1 Lodego q = 0. Złożony stan jednoosiowego roziągania z dwuosiowym śiskaniem, w którym s > s = s, jest opisany równaniem (2.9), gdy wartość 3 2 1 kąta Lodego q = 60. Wszystkie inne złożone stany naprężenia powstają dla wartośi kątów z przedziału 0 q 60. Powierzhnia granizna S oblizona z równania (2.8) odpowiada promieniowi r 1 t i przebiega wzdłuż południka roziągania r dla kąta Lodego q = 0, natomiast dla kąta Lodego t q = 60, S odpowiada r 1 i przebiega wzdłuż południka śiskania r. Powierzhnię granizną i interpretaję grafizną promieni przekroju dewiatorowego r, r w zależnośi od parametrów wytrzymałośiowyh x i kąta t Lodego q przedstawiono na Rys. 2.3. zp /f (a) (b) a f 2 xp yp zp r f r t r r t r r r t yp /f f 1 r t b f b t f t 0 xp /f Rys. 2.3. Konstrukja pięioparametrowej powierzhni graniznej: (a) w obszarze naprężeń głównyh i (b) w przekroju hydrostatyznym. Promień przekroju dewiatorowego r t jest określony przez parametry a 0, a 1, a 2 dobrane w taki sposób, aby f, f, f leżały na powierzhni graniznej. t b 1 Parametry znajdujemy na podstawie związków obowiązująyh wzdłuż południka roziągania dla q = 0 : ì F ü 1 ( s f, s s 0 1 2 3 ) = = = t f 2 é1 x x ùì t t a ü 0 F ú ï 1 2 ( s 0, s s f 1 2 3 ) 1 x x úï ï a ï í = = =- ï b ý= b b í 1ý, (2.11) f 2 1 x x a ê 1 1 ú 2 F 1 a a ë ûïî ïþ ( s s, s s s f =- = =- - 1 h 2 3 h 1) f ïî ïþ 26
2 3 a =-x a -x a - x, 0 b 1 b 2 b 10 a a ( x x ) =- + a + 1 t b 2 2 = 3 10 1 3 10 2x x t t + x - x ( + 2 )- ( - ) + 3 ( x - x )( x + x )( x + x ) x x x x x x xx t b t b t b b b t b t 1 b 1, (2.11a) przy zym parametry wytrzymałośiowe mają wartośi: a f 2f 2f s 2f t b 1 h 1 x =, x =-, x =-x- =- -. (2.11b) t b 1 3f 3f 3f f 3f Promień przekroju dewiatorowego r jest wyrażony przez parametry b 0, b 1, b 2 określone na podstawie zależnośi zahodząyh wzdłuż południka śiskania przy q = 60 : ì F ü 1 ( s s 0, s f 1 2 3 ) = = =- f é 1 1ù 2 é1 x x ùì 1 b ü - ì 0 F ú 3 9 b ü ï 0 ï 1 a a 2 2 ( s s s, s s f ï 1 2 3 2) 1 x x úï b ï = =- =- - = = 1 x x h h 2 2 1 2 2 ï í ý í ý b ï í 1ý, (2.12) f 2 2 1 x x b ê 0 0ú 2 1 x x F ë ûïî ï b þ 0 0 2 1 ( s = s = s = 0) ï î ïþ ê 1 2 3 ë û f ú ïî ïþ 2 b =-xb - x b, 0 0 1 0 2 ( x x ) 3x + 1 6 3 + + 1 2 b = b +, (2.12a) 1 2 3 5 3x - 1 6 x( 3x + 4 0 ) + x2( 3x + 1 0 ) + 3x0 b =-, 2 5 ( 3x + 1 0 )( x + x0)( 3x-1) przy zym parametry wytrzymałośiowe są równe: a f 1 s f, h 2 x =- =- x =- -. (2.12b) 2 3f 3 f 3f Z warunku wspólnego wierzhołka r ( x ) r ( x ) t = =, znajdujemy parametr 0 0 0 x, który jest równy dodatniemu pierwiastkowi równania: 0 2 - a + a -4a a 2 1 1 2 0 r ( x0) = a + a x + a x = 0 x =, (2.13) 0 1 0 2 0 0 2a 2, 27
w którym a 0, a 1, a 2 są oblizone według zależnośi (2.11a, 2.11b). Wartośi f, f dobrano na poziomie stanu hydrostatyznego naprężenia dla konstrukji 1 2 a rzezywistej s. Powierzhnia granizna jest wypukła, jeśli wartośi h parametrów spełniają następująe silnie ogranizająe nierównośi: a > 0, a 0, a 0, 0 1 2 b > 0, b 0, b 0, (2.14) 0 1 2 rt 0, 5 < < 1, 25. r Model powierzhni graniznej opisany powyżej łatwo redukuje się do prostszyh modeli powierzhni graniznyh. W szzególnyh przypadkah otrzymujemy: ylinder Misesa, a = b, a = b = a = b = 0, 0 0 1 1 2 2 stożek Drukera-Pragera, a = b, a = b, a = b = 0, 0 0 1 1 2 2 stożek z nieobrotową podstawą, a a 0 1 =, a = b = 0, 2 2 b b 0 1 stożek z krzywoliniowymi tworząymi i nieobrotową podstawą, a a a 0 1 2 = =. b b b 0 1 2 Przedstawiony model obrazuje główne ehy zniszzenia betonu i wyznaza stożkową powierzhnię granizną o krzywoliniowyh tworząyh i podstawie złożonej z trzeh eliptyznyh odinków. Wartośi parametrów harakteryzująyh ten model są łatwe do wyznazenia na podstawie standardowyh prób wytrzymałośiowyh. Zawiera on wszystkie trzy niezmienniki naprężeń w równoważnej formie naprężeń średnih s, F i kąt q. h Ponadto zapewnia on gładkość powierzhni graniznej w szerokim zakresie wartośi parametrów i opisuje ztery inne modele powierzhni graniznej mająe zastosowanie w zagadnieniah dotyząyh zniszzenia betonu po odpowiednim ustaleniu stałyh parametrów. Złożony stan naprężenia roziąganie - śiskanie - śiskanie, s ³ 0 ³ s ³ s 1 2 3 W stanie roziąganie - śiskanie - śiskanie funkję F zapisujemy w postai: 28
1 1 é 2 2 2ù 2 2 ê( 2 3) 2 3ú F = F = s - s + s + s 15 êë úû a S jest definiowane równaniem: ( ) q é ( ) ( ) 2 2 2 4( ) os q ( 2 t t), (2.15) 1 2 2 2 2 2 2 2 æ s ö2p p - p os + p 2p -p 4 p - p os q + 5p -4p p ù t t ê t t t ú 1 1 ë û 2 ç 2 t S = S = - çè f ø p - p + p - p w którym kąt q określamy z równania (2.9), a p, p oblizamy ze wzorów: p a a a, (2.16) t 2 = + +, (2.17) t 0 1 2 2 = + +. 0 1 2 p b b b Nieznane wartośi parametrów a, a, a, b, b, b określono zgodnie 0 1 2 0 1 2 z równaniami (2.11a-2.12b), dla: 1 = ( s + s 2 3). (2.18) 3 Zarysowanie powstanie w jednej płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy spełnione jest kryterium zniszzenia (2.4). 1 Zniszzenie w pozostałym obszarze skutkuje powstaniem rysy poślizgowej, gdyż wszystkie naprężenia główne są tu śiskająe. Ten obraz zniszzenia ma harakter plastyzny i jest określany jako miażdżenie przy śiskaniu. Złożony stan naprężenia roziąganie - roziąganie - śiskanie, s ³ s ³ 0 ³ s 1 2 3 W stanie roziąganie-roziąganie-śiskanie funkja F przyjmuje postać: F = F = s, i = 1, 2, (2.19) 3 i a S jest definiowane jako: f æ s ö t 3 S = S = 1 3 f ç + f çè ø. (2.20) Zarysowanie powstanie w dwóh płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, gdy spełnione jest kryterium zniszzenia 1 2 (2.4) dla i = 1, 2. Zarysowanie powstanie tylko w jednej płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy spełnione jest kryterium 1 zniszzenia dla i = 1. W rzezywistośi w różnyh miejsah obiążonego ośrodka powstaną zarysowania we wzajemnie prostopadłyh kierunkah. Ten obraz zniszzenia bywa określany jako miażdżenie przy śiskaniu, gdy występuje wzdłuż południka śiskania oraz w jego bezpośrednim sąsiedztwie. 29
Złożony stan naprężenia roziąganie - roziąganie - roziąganie, s ³ s ³ s ³ 0 1 2 3 W stanie roziąganie - roziąganie - roziąganie funkja F ma postać: F = F = s, i = 1, 2, 3, (2.21) 4 i a S jest definiowane jako: ft S = S =. (2.22) 4 f Zarysowanie powstanie w płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, s, gdy kryterium zniszzenia (2.4) jest spełnione dla 1 2 3 i = 1, 2, 3. Zarysowanie powstanie w płaszzyznah prostopadłyh do kierunków naprężeń głównyh s, s, gdy kryterium zniszzenia (2.4) jest 1 2 spełnione dla i = 1, 2. Zarysowanie powstanie tylko w płaszzyźnie prostopadłej do kierunku naprężenia głównego s, gdy kryterium zniszzenia 1 (2.4) jest spełnione dla i = 1. Na Rys. 2.4 przedstawiono powierzhnię granizną w dwuosiowym stanie naprężenia po zrzutowaniu na płaszzyznę s - s w obszarze największyh xp yp niezerowyh naprężeń normalnyh s xp, s. Stany bezpieznej pray materiału yp znajdują się wewnątrz tej powierzhni, której ewoluja będzie reprezentować wzmonienie lub osłabienie materiałowe. Osiągnięie przez śieżkę naprężenia powierzhni graniznej skutkuje wzrostem odkształeń bez zmiany naprężenia lub osłabieniem materiałowym opisująym spadek naprężeń. Na powierzhni graniznej natomiast są położone punkty odpowiadająe zniszzeniu w funkji znaku naprężenia normalnego s zp w kierunku z. Fizyznie niemożliwy jest stan, któremu odpowiada punkt położony na zewnątrz ogranizonego obszaru. Jeżeli w kierunkah xy, występuje śiskanie ( s < 0, s < 0 ), a w kierunku z roziąganie ( s > 0 ), to rysa powstanie w płaszzyźnie prostopadłej do zp naprężenia roziągająego s. Materiał zostanie zmiażdżony, gdy wartość zp naprężenia normalnego jest nieznaznie mniejsza lub równa zero ( s 0 ). zp Moduł sprężystośi zmiażdżonego elementu materiału matryy betonowej we wszystkih kierunkah jest równy zero. xp yp 30
yp f zarysowanie f t zarysowanie f t xp zp > 0 (zarysowanie lub miażdżenie) zp = 0 (miażdżenie) zp < 0 (miażdżenie) f zarysowanie Rys. 2.4. Powierzhnia granizna w obszarze naprężeń normalnyh w dwuosiowym stanie naprężenia. 2.2.3. Prawo ewoluji powierzhni graniznej w przestrzeni naprężeń Beton jest materiałem kruhym i harakteryzuje się różnym zahowaniem przy śiskaniu i roziąganiu. Wytrzymałość betonu na roziąganie wynosi od 8 do 15% wytrzymałośi na śiskanie [93]. Prawo ewoluji powierzhni graniznej opisuje zależność pomiędzy naprężeniami a odkształeniami dla betonu w jednoosiowym stanie naprężenia, Rys. 2.5 [8]. Opis zahowania betonu w jednoosiowym stanie naprężenia był od dawna tematem liznyh pra. Spośród nowszyh należy wymienić prae Buyukozturka [19], Chena A.T.C. i Chena W.F. [22] oraz monografię Godykiego-Ćwirko [46]. Funkja naprężenie - odkształenie przy śiskaniu jest liniowa do ok. 30 % wartośi graniznej wytrzymałośi na śiskanie f. Powyżej tego punktu naprężenia rosną stopniowo do osiągnięia wytrzymałośi na śiskanie. Po jej osiągnięiu beton ulega osłabieniu, a gałąź krzywej opada aż do zmiażdżenia przy graniznym odkształeniu e. Obserwowana opadająa zęść krzywej nie u jest obiektywną ehą materiałową [23], lez uzależniona jest warunkami eksperymentu. Przede wszystkim zależy od sztywnośi maszyny wytrzymałośiowej w odniesieniu do sztywnośi badanego elementu i prędkośi odkształeń [21]. Jeżeli krzywa naprężenie - odkształenie końzy się raptownie w wierzhołku wykresu, to materiał jest klasyfikowany jako kruhy lub też proes badania był prowadzony ze zbyt dużą prędkośią. Im mniej stroma jest opadająa zęść krzywej, tym bardziej materiał jest plastyzny, a gdy nahylenie wykresu poza wartośią szzytową jest zerowe to materiał jest oeniany jako idealnie - plastyzny. Krzywa naprężenie - odkształenie dla betonu przy roziąganiu ma kształt podobny jak przy śiskaniu i jest w przybliżeniu liniowa do graniznej 31
wytrzymałośi na roziąganie f. Po osiągnięiu tej wartośi rozwijają się t główne rysy w betonie, a wytrzymałość spada do zera. f granizne naprężenie śiskająe E osłabienie betonu śiskanie odkształenie przy graniznym naprężeniu t t1 roziąganie f t - granizna wytrzymałość betonu na roziąganie 1 u t Rys. 2.5. Zależność naprężenie - odkształenie dla betonu w stanie jednoosiowego śiskania i roziągania [8]. Przy projektowaniu konstrukji żelbetowyh trzeba brać pod uwagę ały wykres naprężenie - odkształenie, zęsto w formie wyidealizowanej. Z tego względu szzególnie interesująe jest zahowanie betonu o wysokiej wytrzymałośi, gdyż na wszystkih etapah obiążenia następuje w nim znaznie mniejszy rozwój zarysowania niż w betonie o normalnej wytrzymałośi [93]. W efekie większa zęść krzywej naprężenie - odkształenie ma przebieg liniowy i jest bardziej stroma do znaznej zęśi wytrzymałośi graniznej. Również opadająa zęść krzywej jest mono nahylona, o świadzy o tym, że beton o wysokiej wytrzymałośi jest bardziej kruhy niż beton zwykły. Jednak pozorna kruhość betonu wysokiej wytrzymałośi nie zawsze znajduje odzwieriedlenie w zahowaniu elementów żelbetowyh z niego wykonanyh. Wielu badazy, np. Pee i Fabbroino [36, 84], Kamińska [55, 56], Lambotte i Taerwe [63], Larrard i in. [64], Lin i in. [65], Mansur i in. [71, 88], Olsen i in [80], Pendyala i in. [85], Sarker i in. [91], Tognon i in. [108], Uzumeri I Basset [110], Weiss i in. [113] stwierdziło, że wraz ze wzrostem wytrzymałośi betonu następuje wzrost iągliwośi konstrukji żelbetowej. Zahowanie betonu o wysokiej wytrzymałośi zasługuje na uwagę również z powodu zmian wielkośi odkształeń na różnyh poziomah naprężenia. Jednakże przy tym samym naprężeniu, niezależnie od wytrzymałośi, moniejszy beton wykazuje mniejsze odkształenie. Równania opisująe krzywą zależnośi pomiędzy odkształeniami i naprężeniami są bardzo użytezne w zastosowaniah do analizy konstrukji. Podejmowane były lizne próby wyprowadzania takih równań, ale według Neville [77] prawdopodobnie najbardziej udaną propozyję krzywej naprężenie - odkształenie dla betonu zwykłego w stanie jednoosiowego 32