Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów Krzysztof Makarski 18 Technologia Wst ep Przypomnijmy: Teoria konsumenta w szczególności krzywa popytu Teraz krzywa podaży (analogicznie) Najpierw technologia (analogia do preferencji) Nak lady i wyniki Zarówno nak lady (czynniki produkcji) jak i wynik produkcji (produkt) sa strumieniami Opisywanie ograniczeń technicznych Zbiór produkcyjny - zbiór takich kombinacji nak ladów i wyników, które obejmuja technicznie wykonalne sposoby produkcji Patrz Rysunek 181 Funkcja produkcji - brzeg zbioru produkcyjnego (mierzy maksymalny, możliwy produkt przy danych nak ladach) W przypadku dwu czynników produkcji wygodnym sposobem opisywania funkcji produkcji sa izokwanty Izokwanty - takie kombinacje nak ladów które daja ten sam poziom produktu podobne do krzywych obojetności Izokwanty sa Pamietaj jednak że poziom produkcji (np 5 par butów) w odróżnieniu od poziomu użyteczności (np 5 utyli) ma interpretacje ekonomiczna (zatem nie można stosować monotonicznych transformacji w odniesieniu do funkcji produkcji) Przyk lady technologii sta le proporcje - jeden cz lowiek, jedna lopata y = min{x 1, x 2 } Patrz Rysunek 182 substytuty doskona le - czerwony i czarny o lówek Patrz Rysunek 183 Cobb-Douglas - y = Ax a 1x b 2 1
Rysunek 181: Zbiór produkcyjny Rysunek 182: Sta le proporcje 2
Rysunek 183: Doskona le substytuty W lasności technologii (za lożenia) Monotoniczność - wi ecej nak ladów nie wyprodukuje mniej produktu (lub inaczej w lasność swobodnego dysponowania) Mówimy, że funkcja produkcji f(x) jest monotoniczna, jeżeli dla każdego x 1 = (x 1 1, x 1 2,, x 1 n) i x 2 = (x 2 1, x 2 2,, x 2 n), x 1 x 2, wówczas f(x 1 ) f(x 2 ) Wypuk lość - średnie produkuja wiecej niż ekstrema (dla dowolnych dwóch metod wytwarzania wytwarzajacych taki sam produkt, ich kombinacja nie wyprodukuje mniej) Mówimy, że funkcja produkcji f(x) jest wypuk la, jeżeli dla każdego x 1 = (x 1 1, x 1 2,, x 1 n) i x 2 = (x 2 1, x 2 2,, x 2 n), f(x 1 ) = f(x 2 ), wówczas dla każdego λ [0, 1], f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) f(x 1 ) Patrz Rysunek 184 Mówimy, że funkcja produkcji f(x) jest ściśle wypuk la, jeżeli dla każdego x 1 = (x 1 1, x 1 2,, x 1 n) i x 2 = (x 2 1, x 2 2,, x 2 n), f(x 1 ) = f(x 2 ), wówczas dla każdego λ (0, 1), f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) > f(x 1 ) 3
Rysunek 184: Wypuk lość Produkt krańcowy Niech f(x 1, x 2 ) bedzie funkcja produkcji, MP 1 mówi ile dodatkowych jednostek produktu zostanie wyprodukowanych po zwiekszeniu nak ladu czynnika 1 o jednostke (przy niezmienionym nak ladzie czynnika 2) Aby policzyć wystarczy policzyć pochodna Techniczna stopa substytucji Techniczna stopa substytucji odpowiednik krańcowej stopy substytucji formu la interpretacja Prawo malejacej krańcowej produkcyjności MP 1 = f 1 (x 1, x 2 ) MP 2 = f 2 (x 1, x 2 ) T RS = MP 1 MP 2 Zwiekszanie nak ladu czynnika zwieksza produkt, ale te przyrosty sa malejace Patrz Rysunek 185 Nazywamy to prawem malejacego krańcowego produktu 4
Rysunek 185: Funkcja produkcji D lugi i krótki okres Wszystkie czynniki zmienne - d lugi okres Niektóre czynniki sta le - krótki okres Korzyści skali Mówimy, że funkcja produkcji spe lnia Przyk lad sta le korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f(λx 1, λx 2 ) = λ 1 f(x 1, x 2 ) rosnace korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f(λx 1, λx 2 ) = λ a f(x 1, x 2 ) i a > 1 rosnace korzyści skali, jeżeli dla każdego λ > 0, f(λx 1, λx 2 ) = λ a f(x 1, x 2 ) i a < 1 1 Miluchna uprawia róże Jeżeli L oznacza ilość godzin pracy która ona wykonuje, a T obszar ziemi pod uprawe, to jej produkcja dana jest wzorem f(l, T ) = L 0,5 T 0,5 kwiatów róży Narysuj izokwante reprezentujac a 4 kwiaty róży Znajdź T RS w punkcie (4, 4) Jakie korzyści skali cechuja te funkcje produkcji? 5
W krótkim okresie ilość ziemi jest sta la Narysuj krzywa pokazujac a produkcje Miluchny w zależności od jej wk ladu pracy, jeżeli dysponuje ona 1 jednostka ziemi Jak nazywamy w ekonomii nachylenie tej krzywej? Czy krzywa ta staje sie bardziej czy mniej stroma wraz ze wzrostem ilości pracy? Narysuj wykres pokazujacy krańcowy produkt pracy Przypuśćmy, że ziemia pod uprawe rośnie do 4 Na rysunku do (c) narysuj nowa funkcje produkcji, a na rysunku do (d) nowy krańcowy produkt pracy Podsumowanie Technologia opisana za pomoca funkcji produkcji (podobnie jak funkcja użyteczności opisuje preferencje) W lasności (monotoniczność, wypuk lość oraz korzyści skali) Prawo malejacej krańcowej produktywności TRS oraz krańcowe produktywności Lektura: Varian, rozdzia l 18, bez 188 19 Maksymalizacja zysku Wst ep Zacz eliśmy od technologii Nast epny krok (opisu dzia lania) co jest celem firmy Co z tego celu wynika Na końcu funkcja podaży Co jest celem firmy? W ekonomii przyjmuje si e, że celem firmy jest to co ich w laściciele chcieliby żeby firma robi la Przy bardzo ogólnych warunkach sprowadza si e to do maksymalizacji wartości firmy Przy troch e mocniejszych warunkach, sprowadza si e to do maksymalizacji zysku Zyski Zyski sa zdefiniowane jako przychody minus koszty n π = p i y i i=1 m w i x i Wszystkie czynniki produkcji powinny być uwzgl ednione wed lug ich cen rynkowych (nawet jeżeli nie jest kupowane na rynku) Dlaczego? Bo może być sprzedane na rynku, zatem wykorzystywanie w produkcji a nie gdzieś indziej jest kosztem utraconych możliwości (np wk lad pracy w laściciela firmy) Sk ladniki zysku (koszty i przychody) sa mierzone strumieniami i=1 6
Organizacja przedsiebiorstw Przedsiebiorstwa indywidualne - jeden w laściciel Spó lka - kilku w laścicieli Korporacja - wielu w laścicieli Zyski i wartość rynkowa akcji Maksymalizowanie wartości rynkowej firmy jest dobrze zdefiniowanym obiektem przy bardzo s labych za lożeniach Oznacza to, że jest to bardzo ogólny rezultat Ponadto maksymalizacja wartości firmy jest zgodne z interesem w laścicieli firmy W świecie bez niepewności, wartości firmy jest równa dzisiejszej wartości przysz lych zysków, co powoduje, że maksymalizacja wartości firmy jest równoważne maksymalizacji wartości dzisiejszej zysków Problemy pojawiaja sie w świecie z niepewnościa Mimo to ograniczymy nasze analizy do prostszego problemu maksymalizacji zysku Czynniki sta le i zmienne czynniki sta le - wielkość zatrudnienia czynnika nie może być zmieniona (np fabryka lub sprz et) quasi-sta le czynniki - można je wyeliminować tylko jeżeli produkuje si e zero (reklama, elektryczność, ogrzewanie, itp) czynniki zmienne - można dowolnie wybierać ich wielkość Krótkookresowa maksymalizacja zysku Analitycznie można zapisać max x 1 pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 warunek optymalności: wartościowy produkt krańcowy równa si e wynagrodzeniu czynnika pf (x 1, x 2 ) = w 1 pmp 1 (x 1, x 2 ) = w 1 Maksymalizacja zysku w d lugim okresie Analitycznie można zapisać max (x 1,x 2) pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 warunki optymalności pf 1 (x 1, x 2) = w 1 pf 2 (x 1, x 2) = w 2 lub inaczej pmp 1 (x 1, x 2) = w 1 pmp 2 (x 1, x 2) = w 2 7
Rysunek 186: Maksymalizacja zysku w krótkim okresie Przyk lad 1 Rozważmy przedsiebiorstwo wykorzystujace jeden czynnik produkcji x do produkcji y Proces produkcyjny opisany jest nastepuj ac a funkcja produkcji f(x) = 16 x Produkt kosztuje 100 z l, a czynnik produkcji 100 z l Zapisz problem maksymalizacji zysku Znajdź wielkości y, x maksymalizujace zysk Ile bedzie wynosi l zysk w optimum? Pokaż na wykresie Maksymalizacja zysku i korzyści skali Sta le korzyści implikuja, że d lugoterminowe zyski wynosza zero Gdyby by ly dodatnie wówczas firmy wybierajac nieskończona produkcje osiagn e lyby niekończone zyski Niemniej fakt, że zyski wynosza zero nie oznacza, że czynniki produkcji nie sa wynagradzane (w tym kapita l) Rosnace korzyści skali i model doskonale konkurencyjny nie daja sie pogodzić Minimalizacja kosztów Aby rozwiazać problem maksymalizacji zysku, z wielu wzgledów, wygodne jest podzielenie problemu na dwa etapy W pierwszym etapie rozwiazujemy problem minimalizacji kosztów, co pozwala znaleźć funkcje kosztów c(y) Natomiast w etapie drugim rozwiazujemy (uproszczony, bo uwzgledniaj acy funkcje kosztów c(y) wyprowadzona w problemie minimalizacji kosztów) problem maksymalizacji zysku 8
Podsumowanie Cel firmy (zysk i wartość firmy) Maksymalizacja zysków w krótkim okresie Maksymalizacja zysków w d lugim okresie Dwustopniowe rozwiazanie problemu maksymalizacji zysków Lektura: Varian, rozdzia l 19, bez 196, 198 i 1910 20 Minimalizacja kosztów Wst ep Celem jest wyprowadzenie funkcji popytu i jej w lasności Funkcje podaży wyprowadzamy z decyzji maksymalizujacych zysk firm Problem maksymalizacji zysku rozwiazujemy dwustopniowo Przyk lad Krok 1: Minimalizacja kosztów (wyprowadzenie funkcji kosztów c(y)) Krok 2: Maksymalizacja zysków przy użyciu funkcji kosztów c(y) 1 Firma genealogiczna Korzenie produkuje korzystajac z jednego produktu Funkcja produkcji f(x) = x Ile jednostek x jest potrzebnych do wyprodukowania y jednostek produktu Jeżeli w = 10 ile b edzie kosztowa lo wyprodukowanie 10 jednostek produkcji? Ile jednostek x jest potrzebnych do wyprodukowania y jednostek produktu Jeżeli w = 10 ile b edzie kosztowa lo wyprodukowanie y jednostek produkcji? Znajdź funkcj e kosztów c(y) Znajdź koszt przecietny AC(y) = c(y) y Jakie korzyści skali cechuja funkcje produkcji? Minimalizacja kosztów Celem problemu minimalizacji kosztów jest otrzymanie funkcji kosztów c(y) opisujacej ile bedzie kosztować wyprodukowanie y jednostek produktu w natańczy możliwy sposób Problem minimalizacji kosztów ma postać: Graficznie Patrz Rysunek 201 Warunek na minimalizacj e kosztów Wyprowadzenie tego warunku na ćwiczeniach c(y) = min (x 1,x 2) w 1x 1 + w 2 x 2 pw f(x 1, x 2 ) = y MP 1(x 1, x 2) MP 2 (x 1, x 2 ) = T RS(x 1, x 2) = w 1 w 2 (201) Przyk lady dla funkcji produkcji f(x 1 ; x 2 ) = min{x 1, x 2 }, wówczas c(w 1, w 2, y) = (w 1 + w 2 )y Funkcja produkcji Cobba-Douglasa na ćwiczeniach 9
Rysunek 187: Minimalizacja kosztów Korzyści skali i funkcja kosztów Rosnace korzyści skali generuja malejace koszty przecietne (AC) Sta le korzyści skali generuja sta le koszty przecietne (AC) Malejace korzyści skali generuja rosnace koszty przecietne (AC) Koszty d lugookresowe i krótkookresowe D lugi okres: wszystkie nak lady zmienne Krótki okres: niektóre nak lady sta le Koszty utopione Koszy utopione - koszty które już zosta ly poniesione i nie moga być odzyskane Podsumowanie Minimalizacja kosztów Warunek optymalności (minimalizujacy koszty) T RS = w1 w 2 Korzyści skali a funkcja kosztów Krótki i d lugi okres Lektura: Varian, rozdzia l 20, bez 202 10