Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny Kls II - poziom rozszerzony I okres Plnimetri uzupełnienie z klsy I klsyfikuje trójkąty ze względu n miry ich kątów, stosuje twierdzenie o sumie mir kątów wewnętrznych trójkąt do rozwiązywni zdń, podje definicję trójkątów przystjących orz cechy przystwni trójkątów, podje cechy podobieństw trójkątów, sprwdz, czy dne trójkąty są podobne; oblicz długości boków trójkąt podobnego do dnego w dnej skli; ukłd odpowiednią proporcję, by wyznczyć długości brkujących boków trójkątów podobnych; rozumie pojęcie figur podobnych, oblicz długości boków w wielokątch podobnych, podje twierdzenie Pitgors i twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors orz wzory n długość przekątnej kwdrtu i długość wysokości trójkąt równobocznego; podje definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych dnego trójkąt prostokątnego, odczytuje wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt w tblicch lub wrtości kąt n podstwie wrtości funkcji trygonometrycznych, rozwiązuje trójkąty prostokątne, podje związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt, podje różne wzory n pole trójkąt, podje wzory n pole równoległoboku, rombu, trpezu; podje twierdzenie Tles i twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles; wykorzystuje twierdzenie Tles do rozwiązywni zdń; wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów wskzuje trójkąty przystjące, stosuje nierówność trójkąt do rozwiązywni zdń, wykorzystuje zleżności między polmi i obwodmi wielokątów podobnych sklą podobieństw do rozwiązywni zdń, podje twierdzenie Tles i twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles, stosuje twierdzenie Pitgors do rozwiązywni zdń, korzystjąc z twierdzeni Pitgors, wyprowdz zleżności ogólne dotyczące długości przekątnej kwdrtu i wysokości trójkąt równobocznego; podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º; stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdń prktycznych; rozwiązuje trójkąty prostokątne; wyzncz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, gdy dn jest jedn z nich, stosuje poznne związki do uprszczni wyrżeń zwierjących funkcje trygonometryczne, oblicz pole trójkąt, dobierjąc odpowiedni wzór do sytucji; wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów; wykorzystuje twierdzenie Tles do podziłu odcink w podnym stosunku; wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch; stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdń prktycznych przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie, wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni zdń, wykorzystuje twierdzenie Tles do rozwiązywni zdń, korzystjąc z twierdzeni Pitgors, wyprowdz zleżności ogólne, oblicz długości boków trójkąt podobnego, wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni zdń; wykorzystuje zleżności między polmi i obwodmi wielokątów podobnych sklą podobieństw do rozwiązywni zdń, wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch, stosuje funkcje trygonometryczne w zdnich, uzsdni związki między funkcjmi trygonometrycznymi; wykorzystuje umiejętność wyznczni pól trójkątów do obliczni pól innych wielokątów przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie; stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych; wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów; biegle stosuje włsności figur, włsności podobieństw i twierdzenie Pitgors orz funkcje trygonometryczne w zdnich plnimetrycznych, przeprowdz dowód twierdzeni Tles; przeprowdz dowód twierdzeni Tles; stosuje twierdzeni o związkch mirowych podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu; rozwiązuje zdni wymgjące uzsdnieni i dowodzeni z zstosowniem twierdzeni Tles i twierdzeni odwrotnego do twierdzeni Tles; stosuje włsności podobieństw figur podczs rozwiązywni zdń problemowych orz zdń wymgjących przeprowdzeni dowodu; stosuje włsności czworokątów podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu; rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące przystwni i podobieństw figur; biegle posługuje się posidnymi widomościmi i umiejętnościmi w rozwiązywniu złożonych zdń Geometri nlityczn uzupełnienie z klsy I oblicz odległość punktów w ukłdzie współrzędnych; wyzncz współrzędne środk odcink, mjąc dne współrzędne jego końców; oblicz obwód wielokąt, mjąc dne współrzędne jego wierzchołków; oblicz odległość punktu od prostej; sprwdz, czy punkt nleży do dnego okręgu; wyzncz środek i promień 1
okręgu, mjąc jego równnie; opisuje równniem okrąg o dnym środku i przechodzący przez dny punkt; określ wzjemne położenie dwóch okręgów, obliczjąc odległości ich środków orz n podstwie rysunku (proste przykłdy); określ wzjemne położenie okręgu i prostej, porównując odległość jego środk od prostej z długością promieni okręgu; rozwiązuje lgebricznie i grficznie proste ukłdy równń, z których co njmniej jedno jest drugiego stopni; sprwdz, czy dny punkt nleży do dnego koł; opisuje w ukłdzie współrzędnych koło; wykonuje dziłni n wektorch; stosuje dziłni n wektorch do bdni współliniowości punktów; stosuje dziłni n wektorch do podziłu odcink; konstruuje figury jednokłdne; wskzuje figury osiowosymetryczne; wyzncz współrzędne punktów w symetrii względem dnej prostej proste przykłdy; wskzuje figury środkowo symetryczne; wyzncz współrzędne punktów w symetrii względem dnego punktu stosuje wzór n odległość między punktmi do rozwiązywni zdń dotyczących równoległoboków; oblicz odległość między prostymi równoległymi; stosuje wzór n odległość punktu od prostej w typowych zdnich z geometrii nlitycznej; stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym kątem nchyleni prostej do osi OX; określ wzjemne położenie dwóch okręgów, obliczjąc odległości ich środków orz n podstwie rysunku; dobier tk wrtość prmetru, by dne okręgi były styczne (proste przykłdy); korzyst z włsności stycznej do okręgu; wyzncz punkty wspólne prostej i okręgu; rozwiązuje lgebricznie i grficznie ukłdy równń, z których co njmniej jedno jest drugiego stopni; stosuje ukłdy równń drugiego stopni do rozwiązywni zdń z geometrii nlitycznej; podje geometryczną interpretcję rozwiązni ukłdu nierówności stopni drugiego; sprwdz, czy wektory mją ten sm kierunek i zwrot; stosuje dziłni n wektorch i ich interpretcję geometryczną w zdnich; stosuje wektory do rozwiązywni zdń; wyzncz współrzędne punktów w dnej jednokłdności; stosuje włsności jednokłdności w typowych zdnich; wyzncz współrzędne punktów w symetrii względem dnej prostej; stosuje włsności symetrii środkowej w zdnich stosuje wzór n odległość punktu od prostej w zdnich z geometrii nlitycznej; wyzncz kąt między prostymi; sprwdz, czy dne równnie jest równniem okręgu; wyzncz wrtość prmetru tk, by równnie opisywło okrąg; stosuje równnie okręgu w zdnich; dobier tk wrtość prmetru, by dne okręgi były styczne; opisuje ukłdem nierówności przedstwiony podzbiór płszczyzny; zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory spełnijące określone wrunki proste przykłdy; stosuje włsności jednokłdności w zdnich; stosuje włsności symetrii osiowej w zdnich; zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory spełnijące określone wrunki wyprowdz wzór n odległość punktu od prostej; wykorzystuje dziłni n wektorch do dowodzeni twierdzeń; biegle stosuje widomości w sytucjch nietypowych, biegle stosuje wzory skróconego mnożeni do uprszczni wyrżeń, rozwiązuje złożone zdni dotyczące wrtości bezwzględnej, funkcji liniowej i kwdrtowej; sporządz wykres nietypowej funkcji n podstwie jej opisu, np. y f () 2 f orz wykres funkcji n podstwie wykresu y = f(); wyzncz zbiór wrtości funkcji zdnej wzorem, buduje modele mtemtyczne do sytucji relistycznych. biegle posługuje się posidnymi widomościmi i umiejętnościmi w rozwiązywniu złożonych zdń Wielominy podje przykłdy wielominów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczynników, zpisuje wielomin w sposób uporządkowny, oblicz wrtość wielominu dl dnego rgumentu; sprwdz, czy dny punkt nleży do wykresu dnego wielominu, wyzncz sumę, różnicę, iloczyn wielominów i określ ich stopień, szkicuje wykres wielominu będącego sumą jednominów stopni pierwszego i drugiego, określ stopień iloczynu wielominów bez wykonywni mnożeni, podje współczynnik przy njwyższej potędze orz wyrz wolny iloczynu wielominów, bez wykonywni mnożeni wielominów, oblicz wrtość wielominu dwóch (trzech) zmiennych dl dnych rgumentów, stosuje wzory n kwdrt i sześcin sumy i różnicy orz wzór n różnicę kwdrtów do wykonywni dziłń n wielominch orz do rozkłdu wielominu n czynniki, stosuje wzory n sumę i różnicę sześcinów, rozkłd wielomin n czynniki, stosując metodę grupowni wyrzów i wyłączni wspólnego czynnik poz nwis, dzieli wielomin przez dwumin, sprwdz poprwność wykonnego dzieleni, sprwdz podzielność wielominu przez dwumin, dobier wzór wielominu do szkicu, szkicuje wykres wielominu, mjąc dną jego postć iloczynową wykresu, opisuje wielominem zleżności dne w zdniu i wyzncz jego dziedzinę, bez wykonywni dzieleni rozwiązuje proste nierówności wielominowe dne w postci iloczynowej, oblicz resztę z dzieleni wielominu przez dwumin,
sprwdz równość wielominów; wyzncz, dl jkich wrtości prmetrów dw wielominy są równe, bd, dl jkich wrtości np. liczby m/ liczb m, p podn/e liczb/y są pierwistkmi wielominów, wykonuje dzielenie pisemne wielominu przez dwumin, stosuje twierdzenie Bezout do znjdowni pierwistków wielominu, stosuje schemt Horner do dzieleni wielominu przez dwumin (-) i bdni, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu orz rozwiązywni równń wielominowych, biegle rozkłd wielomin n czynniki stosując wzory skróconego mnożeni i grupownie wyrzów, zpisuje wielomin w postci w( ) p( ) q( ) r, szkicuje wykres wielominu dnego w postci iloczynowej, posługuje się wzorem n 1 1 1..., stosuje włsności trójminu kwdrtowego do rozkłdu wielominu n czynniki, rozwiązuje równni wielominowe, oblicz wrtość wielominu stopni co njwyżej trzeciego dl rgumentów np. 3 1, rozwiązuje nierówności wielominowe zpisne w postci iloczynu, stosuje twierdzenie o pierwistkch cłkowitych wielominu o współczynnikch cłkowitych, rozwiązuje proste zdni tekstowe dotyczące wielominów, rozwiązuje proste zdni z prmetrem dotyczące reszty z dzieleni wielominu przez dwumin, wyzncz pierwistki wymierne wielominu o współczynnikch cłkowitych, rozwiązuje równni i nierówności wielominowe, rozkłd wielomin n czynniki różnymi metodmi, bd podzielność wielominów, stosuje twierdzenie o reszcie z dzieleni wielominu przez dwumin, stosuje twierdzeni o wielominch do rozwiązywni równń i nierówności, wyzncz resztę z dzieleni wielominów przy dnych pewnych wrunkch, rozwiązuje równni i nierówności wielominowe z wrtością bezwzględną, stosuje dzielenie wielominów w zdnich z prmetrem, dostrzeg związek między pierwistkmi wielokrotnymi podzielnością wielominu, stosuje twierdzenie o pierwistkch wymiernych wielominu o współczynnikch cłkowitych, dzieli wielomin przez różnego stopni dwuminy i trójminy, rozwiązuje równni wielominowe z prmetrem o podwyższonym stopniu trudności, przeprowdz dowody twierdzeń dotyczących wielominów, np. twierdzeni Bézout, twierdzeni o pierwistkch cłkowitych i wymiernych wielominów, rozwiązuje zdni problemowe z wykorzystniem równń i nierówności wielominowych, Funkcje wymierne wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne i stosuje tką zleżność do rozwiązywni prostych zdń, wyzncz współczynnik proporcjonlności, podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu, szkicuje wykres funkcji f ( ) (w prostych przypdkch tkże w podnym zbiorze), gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności), przesuw wykres funkcji f ( ), gdzie 0 o wektor i podje jej włsności, dobier wzór funkcji do jej wykresu; podje współrzędne wektor, o jki nleży przesunąć wykres funkcji f ( ), gdzie 0, by otrzymć wykres g( ) q, przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej w prostych przypdkch, p wyzncz symptoty wykresu funkcji homogrficznej, wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego, oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej, skrc i rozszerz wyrżeni wymierne, wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych w prostych przypdkch, rozwiązuje proste równni wymierne, rozwiązuje, również grficznie, proste nierówności wymierne, wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych, wyzncz ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej, stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni prostych równń i nierówności wymiernych; mnoży i dzieli proste wyrżeni wymierne, dodje i odejmuje wyrżeni orz podje odpowiednie złożeni, których wspólnym minownikiem jest iloczyn minowników dnych wyrżeń, wykonuje brdziej złożone dziłni n wyrżenich wymiernych i wyzncz dziedzinę wyrżeni będącego 3
wynikiem dziłń, szkicuje wykres funkcji nierówności typu f ( ) c i opisuje włsności otrzymnej funkcji, w tym rozwiązni nierówności np. f ( ) 0, rozwiązuje b t, szkicuje wykresy funkcji homogrficznej po uprzednim przeksztłceniu wzoru, szkicuje wykresy funkcji y f ( ) 4, stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni prostych równń i nierówności wymiernych, rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną, wyzncz równni osi symetrii i współrzędne środk symetrii hiperboli opisnej równniem, przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej, szkicuje wykresy funkcji homogrficznych i określ ich włsności, wyzncz wzór funkcji homogrficznej spełnijącej podne wrunki, rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji homogrficznej, szkicuje wykresy funkcji y f (), y f ( ), y f ( ), gdzie y f () jest funkcją homogrficzną i opisuje ich włsności, wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych i podje odpowiednie złożeni, przeksztłc wzory, stosując dziłni n wyrżenich wymiernych; wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych, rozwiązuje brdziej złożone równni wymierne, rozwiązuje nierówności typu b t, szkicuje wykresy funkcji y f ( ), y f ( ), gdzie y f () jest funkcją homogrficzną i opisuje ich włsności i odczytuje włsności, c d rozwiązuje ukłdy nierówności wymiernych; wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych; rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące funkcji wymiernej; stosuje włsności wrtości bezwzględnej do rozwiązywni równń i nierówności wymiernych; zzncz w ukłdzie współrzędnych zbiory punktów spełnijących określone wrunki; rozwiązuje równni i nierówności wymierne, stosuje funkcję homogrficzną i wyrżeni wymierne w zgdnienich prktycznych, szkicuje wykresy funkcji homogrficznej po uprzednim przeksztłceniu wzoru, rysuje wykres funkcji homogrficznej z wrtością bezwzględną, w tym y f jkich wrtości prmetrów dwie funkcje wymierne są równe,, wykonuje dziłni n funkcjch wymiernych, sprwdz, czy dne dwie funkcje wymierne są równe, bd, dl rozwiązuje zdni problemowe z wykorzystniem nierówności wymiernych, rozwiązuje równni i nierówności wymierne z wrtością bezwzględną, rozwiązuje zdni dotycząc funkcji homogrficznej z prmetrem, biegle posługuje się wyrżenimi wymiernymi i funkcją homogrficzną w zdnich II OKRES Funkcje trygonometryczne zzncz kąt w ukłdzie współrzędnych, wskzuje jego rmię początkowe i końcowe; wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego końcowym rmieniu; określ znki funkcji trygonometrycznych dnego kąt; oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135, 225 ; określ, w której ćwirtce ukłdu współrzędnych leży końcowe rmię kąt, mjąc dne wrtości funkcji trygonometrycznych; wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni prostych zdń; potrfi wyrzić mirę kąt w stopnich i rdinch orz zmienić mirę łukową n rdinową i odwrotnie, podć definicje funkcji trygonometrycznych kąt dowolnego, zpisć związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt, obliczć wrtości prostych wyrżeń, w których występują funkcje trygonometryczne, szkicowć wykresy podstwowe funkcji trygonometrycznych i podć okres podstwowy funkcji, odczytć wrtości funkcji trygonometrycznych z tblic, podć rozwiązni prostych równń trygonometrycznych n podstwie wykresu oblicz wrtość trudniejszych wyrżeń, w których występują wrtości funkcji trygonometrycznych, ustl znk funkcji trygonometrycznej w zleżności od miry kąt, zzncz w ukłdzie współrzędnych kąt skierowny o dnej mierze, wykreśl kąt, gdy dn jest wrtość funkcji trygonometrycznej tego kąt, sprwdz proste tożsmości trygonometryczne, w tym zwierjące funkcje trygonometryczne kąt podwojonego, oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych
z wykorzystniem kąt obrotu, oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych kąt dowolnego mjąc dną jedną z nich, sporządz wykresy funkcji trygonometrycznych w przesunięciu o wektor, sporządz wykresy funkcji trygonometrycznych w symetrii względem osi ukłdu współrzędnych, odczytuje z wykresu włsności funkcji trygonometrycznych, oblicz wrtość wyrżeni np. sin2, gdy dn jest wrtość cos, sporządz wykresy funkcji trygonometrycznych typu y sin, wyzncz mirę dowolnego kąt, gdy dn jest wrtość funkcji trygonometrycznej tego kąt, rozwiązuje y sin, proste równni i nierówności trygonometryczne np. n podstwie wykresu, rozwiązuje równni szkicuje wykresy funkcji y f () orz y f (), gdzie y f () jest funkcją trygonometryczną i określ ich włsności; stosuje tożsmości trygonometryczne; dowodzi proste tożsmości trygonometryczne, podjąc odpowiednie złożeni; oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, znjąc wrtość funkcji sinus lub cosinus; wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów z zstosowniem wzorów n funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów; stosuje wzory n funkcje trygonometryczne kąt podwojonego; wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych dnych kątów z zstosowniem wzorów redukcyjnych; rozwiązuje proste równni i nierówności 3 trygonometryczne; posługuje się tblicmi lub klkultorem do wyznczeni kąt, przy dnej wrtości funkcji trygonometrycznej typu cos( 2 ), 3 2 oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 315, 1080 ; stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni zdń; oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów; wyzncz kąt, mjąc dną wrtość jednej z jego funkcji trygonometrycznych; szkicuje wykres funkcji okresowej; stosuje okresowość funkcji do wyznczni jej wrtości; wykorzystuje włsności funkcji trygonometrycznych do obliczeni wrtości tej funkcji dl dnego kąt; szkicuje wykresy funkcji f () y f, gdzie y f () jest funkcją trygonometryczną i określ ich włsności; n podstwie wykresów y orz funkcji trygonometrycznych szkicuje wykresy funkcji, będące efektem wykonni kilku opercji orz określ ich włsności; oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, znjąc wrtość funkcji tngens lub cotngens; oblicz wrtość wyrżeń z zstosowniem wzorów n funkcje trygonometryczne sumy/różnicy kątów (korzystjąc z tblic), rozwiązuje równni/ nierówności trygonometryczne typu: do wykresów funkcji podstwowych, sporządz wykresy funkcji trygonometrycznych typu 5 3 cos3, sin2 cos 1, sin cos 1 2 y k tg, y cosk, y sin, odwołując się, rozwiązuje równni trygonometryczne poprzez wprowdzenie zmiennej pomocniczej, wykzuje tożsmości trygonometryczne stosuje wzory n funkcje trygonometryczne kąt podwojonego do przeksztłcni wyrżeń, w tym również do uzsdnini tożsmości trygonometrycznych; stosuje związki między funkcjmi trygonometrycznymi do rozwiązywni trudniejszych równń i nierówności trygonometrycznych; wyzncz zbiór wrtości funkcji trygonometrycznej n podstwie wzoru, rozwiązuje złożone równni trygonometryczne, w tym stosując wzory n sinus/cosinus podwojonego kąt, bd prwdziwość dnej równości trygonometrycznej, zpisuje wrunki określjące dziedzinę tożsmości trygonometrycznej, zn wzory redukcyjne 0 180, 360 0 i je stosuje do obliczni wrtości funkcji trygonometrycznych kąt i do przeksztłcni wyrżeń trygonometrycznych, potrfi wskzć, któr z funkcji trygonometrycznych jest przyst/nieprzyst i co to ozncz sporządz złożone wykresy funkcji trygonometrycznych, oblicz np. sumę rozwiązń równni trygonometrycznego w zdnym przedzile, rozwiązuje równni trygonometryczne z zstosowniem wzorów n sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych, wyzncz zbiór wrtości złożonej funkcji trygonometrycznej, tkże z zstosowniem poznnych wzorów, sporządz wykresy funkcji z zstosowniem wzorów n funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy kątów, wyprowdz wzory n funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów orz n funkcje kąt podwojonego; rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji trygonometrycznych Ciągi
wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów; szkicuje wykres ciągu; wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów; wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym orz ciągu określonego rekurencyjnie; wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtość; podje przykłdy ciągów monotonicznych, których wyrzy spełniją dne wrunki; uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny, mjąc dne jego kolejne wyrzy; bd, w prostszych przypdkch, monotoniczność ciągu; bd monotoniczność sumy i różnicy ciągów; wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym; wyzncz wzór ogólny ciągu będącego wynikiem wykonni dziłń n dnych ciągch w prostych przypdkch; podje przykłdy ciągów rytmetycznych; wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę; wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy; stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego; sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny (proste przypdki); oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego; podje przykłdy ciągów geometrycznych; wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz; wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy; sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny (proste przypdki); oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego; oblicz wysokość kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz, oprocentownie lokty i okres oszczędzni (proste przypdki); oblicz sumę szeregu geometrycznego w prostych przypdkch oblicz wyrzy ciągu dnego rekurencyjnie, bd n podstwie wykresu, czy dny ciąg m grnicę i w przypdku ciągu zbieżnego podje jego grnicę, bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od liczby o podną wrtość orz ile jest większych (mniejszych) od dnej wrtości (proste przypdki), podje grnicę ciągów n q dl q 1;1 orz 1 k n dl k > 0, rozpoznje ciąg rozbieżny n podstwie wykresu i określ, czy m on grnicę niewłściwą, czy nie m grnicy, oblicz, grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeń o grnicch ciągów zbieżnych i rozbieżnych (proste przypdki), podje twierdzenie o rozbieżności ciągów: n q dl q > 0 orz n k dl k > 0, sprwdz, czy dny szereg geometryczny jest zbieżny wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki; bd monotoniczność ciągów; rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności związne ze wzorem rekurencyjnym ciągu; rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące monotoniczności ciągu; bd monotoniczność iloczynu i ilorzu ciągów; sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny; sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny; rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego; wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny i geometryczny; stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdń; określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego; rozwiązuje zdni związne z kredytmi dotyczące okresu oszczędzni i wysokości oprocentowni; stosuje wzór n sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywni zdń, również osdzonych w kontekście prktycznym; rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące ciągów, rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności związne ze wzorem rekurencyjnym ciągu, bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od liczby o podną wrtość orz ile jest większych (mniejszych) od dnej wrtości, stosuje wzór n sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywni zdń, również osdzonych w kontekście prktycznym stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego w zdnich; stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w zdnich; bd, ile wyrzów dnego ciągu jest oddlonych od liczby o podną wrtość orz ile jest większych (mniejszych) od dnej wrtości; oblicz, grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeń o grnicch ciągów zbieżnych i rozbieżnych rozwiązuje złożone zdni dotyczące ciągów, tkże w powiązniu z innymi dziłmi mtemtyki, oblicz grnice ciągów, korzystjąc z twierdzeni o trzech ciągch Rchunek różniczkowy uzsdni w prostych przypdkch, że funkcj nie m grnicy w punkcie, oblicz grnice funkcji w punkcie, korzystjąc z twierdzeń o grnicch (proste przypdki), oblicz grnice jednostronne funkcji w punkcie (proste przypdki), oblicz grnice niewłściwe jednostronne w punkcie i grnice w punkcie (proste przypdki), oblicz grnice funkcji w nieskończoności (proste przypdki), korzyst ze wzorów (c)' = 0, ()' = 1, ( n )' = n n 1 do wyznczeni funkcji pochodnej orz wrtości pochodnej w punkcie, podje ekstremum funkcji, korzystjąc z jej wykresu 6
wyzncz równni symptot pionowych i poziomych wykresu funkcji (proste przypdki), sprwdz ciągłość nieskomplikownych funkcji w punkcie, oblicz pochodną funkcji w punkcie, zn i stosuje schemt bdni włsności funkcji, szkicuje wykres funkcji n podstwie jej włsności (proste przypdki), korzyst, w prostych przypdkch, z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji, wyzncz ekstrem funkcji stosując wrunek konieczny istnieni ekstremum, uzsdni, że dn funkcj nie m ekstremum (proste przypdki), wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji w przedzile domkniętym i stosuje do rozwiązywni prostych zdń uzsdni, tkże n odstwie wykresu, że funkcj nie m grnicy w punkcie, uzsdni, że dn liczb jest grnicą funkcji w punkcie, oblicz grnice w punkcie, tkże niewłściwe, stosuje twierdzenie o związku między wrtościmi grnic jednostronnych w punkcie grnicą funkcji w punkcie, oblicz grnice funkcji w nieskończoności, wyzncz równni symptot pionowych i poziomych wykresu funkcji, sprwdz ciągłość funkcji, oblicz pochodną funkcji w punkcie, stosuje interpretcję geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznczeni współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicz kąt, jki t styczn tworzy z osią OX, wyzncz przedziły monotoniczności funkcji, uzsdni monotoniczność funkcji w dnym zbiorze, uzsdni, że funkcj nie m ekstremum, wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji w przedzile domkniętym i stosuje do rozwiązywni trudniejszych zdń w tym optymlizcyjnych, stosuje interpretcję geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznczeni współczynnik kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicz kąt, jki t styczn tworzy z osią OX (proste przypdki), stosuje pochodną do wyznczeni prędkości orz przyspieszeni poruszjących się cił (proste przypdki) oblicz pochodną funkcji w punkcie z definicji,, oblicz grnice funkcji w punkcie, wyzncz ekstrem funkcji stosując wrunek konieczny i wystrczjący istnieni ekstremum, bd włsności funkcji i szkicuje jej wykres; wyzncz wrtości prmetrów tk, by funkcj był monotoniczn; wyzncz ekstrem funkcji stosując wrunek konieczny i wystrczjący istnieni ekstremum; uzsdni, że funkcj nie m ekstremum; wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji w przedzile domkniętym i stosuje do rozwiązywni trudniejszych zdń w tym optymlizcyjnych; bd włsności funkcji i szkicuje jej wykres wyprowdz wzory n pochodną iloczynu i ilorzu funkcji, rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności dotyczące rchunku różniczkowego, wyzncz wrtości prmetrów, dl których funkcj jest ciągł w dnym punkcie lub zbiorze, stosuje twierdzenie o przyjmowniu wrtości pośrednich orz twierdzenie Weierstrss, uzsdni istnienie pochodnej w punkcie, wyprowdz wzory n pochodną sumy i różnicy funkcji, wyzncz wrtości prmetrów tk, by funkcj był monotoniczn. 7