Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji Karol Jastrzębski kjastrze@elka.pw.edu.pl
Plan prezentacji Teoria chaosu wprowadzenie Cechy sygnału chaotycznego Obwód Chuy oscylator chaotyczny Synchronizacja - po co i jak ją osiągnąć Propozycja systemu komunikacji Bezpieczeństwo systemu K. Jastrzębski 2
Teoria chaosu wprowadzenie Dział matematyki zajmujący się opisem układów zdeterminowanych, które jednak zachowują się w sposób kapryśny, nieprzewidywalny i na pozór przypadkowy Dla pewnych wartości parametrów równania zachowują się chaotycznie, podczas gdy dla pozostałych - regularnie Newton problem trzech ciał Lorenz przewidywanie pogody K. Jastrzębski 3
Teoria chaosu pojęcia (1/3) Niestabilność wrażliwość na warunki początkowe ( efekt motyla ) Matematycznie: dodatni wykładnik Lapunowa λ Cechy systemu niestabilnego: δ λ t δ x( t) e x(0) 1 δx T Lap ln λ L K. Jastrzębski 4
Teoria chaosu pojęcia (2/3) Mieszanie trajektoria zwiedza wszystkie obszary przestrzeni fazowej i w każdym przebywa przez czas proporcjonalny do jego objętości Sąsiednie trajektorie nie tylko oddalają się od siebie, ale też powracają dowolnie blisko, nieskończenie wiele razy Matematycznie: dodatnia entropia Kołmogorowa Mieszanie + niestabilność = chaos K. Jastrzębski 5
Teoria chaosu pojęcia (3/3) Atraktor ( attract, przyciągać) wyróżniony stan ruchu w przestrzeni fazowej, do którego zmierzają pobliskie trajektorie; różnica w ewolucji dwóch identycznych systemów, startujących z punktów blisko położonych, będzie rosła z czasem, jednak oba systemy pozostaną w strefie atraktora 2D punkty i cykle graniczne 3D w układach chaotycznych pojawiają się tzw. dziwne atraktory K. Jastrzębski 6
Atraktory (1/2) układ Lorenza: K. Jastrzębski 7
Atraktory (2/2) układ Rösslera: K. Jastrzębski 8
Cechy sygnału chaotycznego (1/2) sygnał zwyczajny sygnał chaotyczny K. Jastrzębski 9
Cechy sygnału chaotycznego (2/2) trudny do przewidzenia wrażliwy na warunki początkowe podobny do szumu jego funkcja autokorelacji zbliżona do funkcji autokorelacji szumu szerokopasmowy K. Jastrzębski 10
Obwód Chuy (Chua circuit) Prosty obwód nieliniowy, drgający chaotycznie Elementem nieliniowym jest f ( v 1 ), tzw. dioda Chuy x& = α ( y x h( x)) y& = x y + z z& = βy γz f ( v 1 ) = h ( 1 x) = m1x + 0.5( m0 m )[ x + 1 x 1] K. Jastrzębski 11
Idea transmisji wykorzystującej synchronizację (1/2) Gdyby dwa układy drgały tak samo Jest kilka innych koncepcji na użycie ciągłych systemów chaotycznych, ta to tzw. chaotic additive masking K. Jastrzębski 12
Idea transmisji wykorzystującej synchronizację (2/2) W systemie takim brak potrzeby szyfrowania informacji poufność zapewnia samo kodowanie (modulacja), ponieważ przesyłany sygnał jest chaotyczny Brak potrzeby wymiany kluczy Warunek konieczny - synchronizacja K. Jastrzębski 13
Jak osiągnąć synchronizację (1/5) Synchronizacja - bardziej formalnie -rozważmy dwa systemy, opisane równaniami stanu x& = f ( x) z& = f ( z) - systemy te są zsynchronizowane, gdy błąd synchronizacji t e( t) = ( z( t) x( t)) 0 K. Jastrzębski 14
Jak osiągnąć synchronizację (2/5) Synchronizacja - bardziej obrazowo Systemy zestrajają się K. Jastrzębski 15
Jak osiągnąć synchronizację (3/5) Jeden ze sposobów: Teraz trzeba zadbać, by błąd zmierzał do zera e(t) K. Jastrzębski 16
Jak osiągnąć synchronizację (4/5) Nadajnik (master) Odbiornik (slave) Błędy: K. Jastrzębski 17
Jak osiągnąć synchronizację (5/5) Jeśli pokażemy, że można skonstruować funkcję V ( e, e 2 3 ), spełniającą pewne określone warunki i zwaną funkcją Lapunowa, potrafimy dowieść, że punkt e 2, e ) jest stabilny ( 3 Dowodzi to synchronizacji K. Jastrzębski 18
System komunikacji (1/4) Autorstwo: Shuh-Chuan Tsay, Chuan-Kuei Hanga, Wan-Tai Chena, Yu-Ren Wu [2005] Pomysł dwukierunkowego hiperchaotycznego bezpiecznego system komunikacji (Hiperchaos chaos w wyższych wymiarach ; przestrzeń stanów musi mieć co najmniej 4 wymiary, by go zaobserwować) K. Jastrzębski 19
System komunikacji (2/4) Schemat: Dwie pary zestrojonych obwodów Chuy s 1, s 2 - sygnał nadawane, S RA, S RB - sygnały odzyskane K. Jastrzębski 20
System komunikacji (3/4) Równania stanu układu: strona A: strona B: x& & Ax + y = Bg( x) = Ay + Bg( y) + + Lθ Lθ A B x, y R Ax, Ay Bg( x), Bg( y) A 6 Lθ, Lθ B - wektory stanu -części liniowe -części nieliniowe -części zapewniające synchronizację K. Jastrzębski 21
System komunikacji (4/4) Przesyłane sygnały zaszyte są w zmiennych θ, θ A = s y 1 4 + s 2 x 4 A θ B x = s Strona A ma więc informacje o stanie y, a B o stanie x 4 1 Można dowieść, że system ten osiąga stan synchronizacji θ B 1 2 + s 1 y 1 K. Jastrzębski 22
Atraktory systemu (1/2) Mają kształt podwójnego zwoju (double scroll attractor) x x 1 2 zależność od : K. Jastrzębski 23
Atraktory systemu (2/2) y4 6 zależność od y : K. Jastrzębski 24
Przykładowe sygnały (1/2) s 1 Sygnał : v = s 1 + x 1 Sygnał, maskowany chaosem: Sygnał odtworzony po stronie odbiornika: K. Jastrzębski 25
Przykładowe sygnały (2/2) s 2 Sygnał : w = s 2 + y 4 Sygnał, maskowany chaosem: Sygnał odtworzony po stronie odbiornika: K. Jastrzębski 26
Błąd synchronizacji Różnice pomiędzy sygnałem nadawanym o odtworzonym w odbiorniku są niewielkie Wykres błędu dla sygnału : s 2 K. Jastrzębski 27
Bezpieczeństwo (1/4) Jeżeli intruz próbuje zdublować jeden z obwodów Chuy, o parametrach takich samych jak systemu oryginalnego, by wykraść sygnał s 2 z systemu Widmo sygnału odzyskanego przez intruza: s 2 Widmo sygnału : K. Jastrzębski 28
Bezpieczeństwo (2/4) Rezultaty dla sygnału głosowego Sygnał przesyłany: I jego widmo: K. Jastrzębski 29
Bezpieczeństwo (3/4) Sygnał odtworzony przez napastnika: I jego widmo: K. Jastrzębski 30
Bezpieczeństwo (4/4) Przy użyciu tego samego chaotycznego obwodu bez elementów grupujących (coupling elements), transmitowana wiadomość nie może być odtworzona przez intruza. Na podstawie analizy widmowej można dowieść teoretycznego bezpieczeństwa (theoretical security, Shannon) podanego systemu. Bezpieczeństwo teoretyczne nie można odzyskać wiadomości, nawet jeśli intruz posiada dosyć danych i zanalizuje je Problemy? K. Jastrzębski 31
Źródła L. M Pecora, T. L. Carroll [1990], Synchronization in chaotic systems Shuh-Chuan Tsay, Chuan-Kuei Huang, Wan-Tai Chen, Yu-Ren Wu, Synchronization of Chua chaotic circuits with application to the bidirectional secure communication systems, IJBCh, Vol.15, No.2 (2005) artykuły w International Journal of Bifurcation and Chaos, osiągalne przez http://www.bg.pw.edu.pl/serials/ T. Kapitaniak, Chaotic oscillators M. Tempczyk, Teoria chaosu dla odważnych M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia K. Jastrzębski 32
Dziękuję za uwagę Zastosowanie ciągłych układów chaotycznych do bezpiecznej komunikacji Karol Jastrzębski kjastrze@elka.pw.edu.pl