LAMBDA Zespół Szkół w Chełmży ul. Hallera 23, 87 140 Chełmża tel./fax. 675 24 19 Konkurs matematyczny dla uczniów klas III gimnazjum www.lamdba.neth.pl ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE W uwagi na fakt, że dział Geometria na płaszczyźnie jest bardzo obszerny, przedstawiamy listę zagadnień obejmujących zadania konkursowe. 1. Własności trójkątów na płaszczyźnie pojęcie trójkąta pojęcia: wysokości, środkowe, symetralne boków, dwusieczne kątów w trójkącie, środek ciężkości trójkąta, ortocentrum twierdzenia dotyczące trójkątów: Tw. o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie, nierówność trójkąta, Tw dotyczące środkowych w trójkącie, Tw. o odcinku łączącym środki boków w trójkącie, Twierdzenie o wysokościach trójkąta, Twierdzenie Pitagorasa (i odwrotne) 2. Własności czworokątów na płaszczyźnie pojęcie czworokąta, klasyfikacja czworokątów pojęcia: dwusieczne kątów wewnętrznych w czworokątach, symetralne boków w czworokątach, wysokości w czworokątach twierdzenia dotyczące czworokątów: Twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trapezu, Twierdzenie o własnościach równoległoboku, Strona 1 z 5
3. Pola trójkątów Wzory na pola trójkątów: klasyczny wzór na pole trójkąta, wzór Herona 4. Pola czworokątów wzory na pola równoległoboków wzór na pole trapezu ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE 1. Czy można zbudować trójkąt o bokach mających długości: a) 2, 4, 6 b) 10, 12, 14 c) 2 2, 5, 2+ 2 2. Dwa boki trójkąta mają długość 1 cm i 4 cm. Oblicz obwód trójkąta, wiedząc, że długość trzeciego boku wyraża się liczbą naturalną 3. Czy stosunek boków trójkąta może być równy 5:6:7? Odpowiedź uzasadnij. 4. Boki trójkąta ABC mają długości AB = 10 cm, BC = 11 cm, AC = 12 cm. Połączono środki boków trójkąta otrzymując trójkąt A1B1C1. Oblicz obwód trójkąta A1B1C1. 5. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono odcinek DE taki, że DE jest prostopadły do AB oraz E leży na boku AB. Uzasadnij, że długość odcinka DE jest równa połowie wysokości poprowadzonej z wierzchołka C. 6. Jeden z kątów trójkąta jest równy 25 o, a różnica pozostałych kątów wynosi 15 o. Wyznacz, te kąty. 7. Suma miar dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu. Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny. 8. Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym ABC ( C =90 o ) wysokość poprawdzona z wierzchołka C dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne, których kąty są równe odpowiednim kątom trójkąta ABC. Strona 2 z 5
9. W równoramiennym trójkącie prostokątnym środkowe poprowadzone do przyprostokątnych mają długość k. Oblicz długości boków tego trójkąta. 10. Miejscowości A, B i C leżą nad jeziorem. Miejscowość A jest położona 2,7 km na zachód od miejscowości C, z miejscowości C do miejscowości B prowadzi droga na południe, która jest o 900 m dłuższa od drogi AC. O ile krótsza jest odległość w linii prostej od A do B od drogi prowadzącej przez C? A C 11. Dwóch rowerzystów wyrusza jednocześnie z tego samego miejsca. Jeden porusza się z prędkością 12km/h na zachód, a drugi z prędkością 16km/h na północ. Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa 60km? 12. W pewnym trapezie trzy boki mają długość 6 cm, a kąt rozwarty trapezu ma miarę 120 o. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu. 13. Długości podstaw trapezu mają się do siebie jak 5:2, a ich różnica wynosi 9 cm. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. 14. Oblicz szerokość prostokątnej ramy obrazu, wiedząc, że obwód zewnętrzny, ramy jest o 28 cm dłuższy od obwodu wewnętrznego ramy. 15. W rombie przekątna tworzy z jednym z boków rombu kąt o mierze 28 o. Oblicz, jakie są miary kątów rombu. 16. Uzasadnij, że środki boków dowolnego trapezu są wierzchołkami równoległoboku? 17. Wykaż, że w czworokącie ABCD suma długości boków AD i BC jest mniejsza od sumy długości przekątnych. 18. W trójkącie równoramiennym, ABC AC = CB, długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C wynosi 4 oraz AC = AB - 1. Oblicz pole tego trójkąta. 19. Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. 20. Trójkąt równoboczny o boku długości 6 obrócono względem środka ciężkości o kąt o mierze 60 o. Oblicz pole otrzymanej figury? B Strona 3 z 5
21. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o obwodzie 20 cm ma miarę 30 o. Oblicz pole tego trójkąta. 22. Boki prostokąta ABCD są równe a i b. Bok a powiększono o 20%, bok b o 0,25 jego długości. Otrzymano w ten sposób prostokąt EFGH. Oblicz, ile procent pola prostokąta ABCD stanowi prostokąt EFGH. 23. Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze 30 o i jest prostopadła do boku trapezu. Każde z ramion trapezu ma długość 4 dm. Oblicz pole i obwód trapezu. 24. Pole równoległoboku AZOR jest równe 128. Wysokość AW poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego ustala proporcje RW : WO =3:5 oraz AW : RW = 4:3. Oblicz wysokość równoległoboku. 25. Oblicz wysokość trapezu w którym odcinek łączący środki ramion ma długość 8, a pole trapezu wynosi 16. 26. Drużyna harcerska miała do dyspozycji kawałek materiału w kształcie trapezu prostokątnego. Materiał ten przeznaczono na chorągiewkę. W tym celu złożono materiał wzdłuż linii łączącej środki ramion trapezu; miała ona długość 0,9 m. Potem odcięto skrawek w kształcie trójkąta równoramiennego, wyznaczony przez złożenie materiału. (jak na rysunku). Trójkątny ścinek miał pole 600 cm 2, a jego podstawa miała długość 0,4 m. Oblicz: a) Obwód chorągiewki z dokładnością do 0,01 m. b) Pole chorągiewki Strona 4 z 5
LITERATURA [1] Bobiński Z., Nodzyński P., Uscki M. LIGA ZADANIOWA zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką [2] Gdowski B., Pluciński E. ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI dla kandydatów na wyższe uczelnie [3] Kłaczkow K., Kurczab M., Świda E., MATEMATYKA -- zbiór zadań dla liceów i techników klasa I [4] Zawaira A., Hitchcock G. A PRIMER FOR MATHEMATICS COMPETITIONS [5] E. Bańkowska, D. Stankiewicz MATEMATYKA W ZASTOSOWANIACH -- Strona 5 z 5