Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Transkrypt

1 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt) a b a Wiedząc, że dla b 0. Oblicz b a b Zadanie ( pkt) Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem 0 0. Oblicz stosunek długości boków tego prostokąta. Zadanie ( pkt) Udowodnij, że ( ) Zadanie ( pkt) Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu x x y y m jest para liczb m dodatnich takich, że każda z nich jest mniejsza od. Zadanie 5 ( pkt) W trapezie prostokątnym ABCD, ( AD AB) długości podstaw i ramienia prostopadłego do podstaw są odpowiednio równe a, b i c. Wyznacz odległość punktu przecięcia się przekątnych tego trapezu od podstawy AB. Zadanie 6 ( pkt) Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta ABC przy wierzchołkach A i B przecinają się w punkcie S. Przez punkt S poprowadzono prostą równoległa do boku AB, która przecina bok AC w punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wykaż, że DE AD BE. Zadanie 7 ( pkt) Stara legenda głosi, że czeska królewna Libusza obiecała oddać swą rękę temu z trzech ubiegających się o nią rycerzy, który rozwiąże zadanie: "Ile brzoskwiń mieści koszyk, z którego połowę całej zawartości i jedną brzoskwinie oddam pierwszemu, zaś drugiemu połowę reszty i jedną brzoskwinię, wreszcie trzeciemu połowę pozostałych i trzy ostatnie?" Oblicz ile brzoskwiń otrzymałby każdy z rycerzy. Zadanie 8 ( pkt) Wśród 00 badanych osób 65% biegle zna język angielski,7% zna biegle język francuski, a % zna biegle oba języki. Oblicz ile osób spośród badanych nie zna żadnego z tych języków. Zadanie 9 (5 pkt) Jeden z boków trójkąta ma długość. Kąty przylegające do tego boku mają miary równe odpowiednio 5 0 i 0 0. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. Zadanie 0 (5 pkt) Suma cyfr liczby dwucyfrowej należy do zbioru rozwiązań nierówności t 9 0. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry, to stosunek otrzymanej liczby do liczby początkowej będzie wynosił 5 : 6. Jakie to liczby? Życzymy powodzenia

2 Kryteria oceniania dla klasy I LO i I Technikum zakres podstawowy Nr Wykonana czynność zad Pkt Przekształcenie wzoru do postaci b a a Obliczenie wartości wyrażenia : - 9 a b Rysunek wraz z oznaczeniami np. a - długość prostokąta, b - szerokość prostokąta 0.5 Uzasadnienie, że trójkąt ABO (gdzie A,B to kolejne wierzchołki prostokąta a O punkt przecięcia się przekątnych) jest trójkątem równoramiennym Obliczenie miar kątów w trójkącie równoramiennym b Obliczenie stosunku długości boków tego prostokąta ; a Znajomość wzoru skróconego mnożenia ( a b ) a ab b Przekształcenie lewej strony równości do postaci : ,5 Dokonanie redukcji wyrazów podobnych i obliczenie wartości lewej strony równości ; Rozwiązanie układu równań : x m y 5 m Zapisanie układu nierówności m Rozwiązanie układu nierówności podwójnych: m 5,5 (, ) 5 Rysunek wraz z oznaczeniami Uzasadnienie, że trójkąty ABS i CDS, gdzie S jest punktem przecięcia się przekątnych są podobne a x Zapisanie równania gdzie x jest odległością punktu S od podstawy AB b c x a c,5 Wyznaczenie x ; x a b 6 Rysunek z oznaczeniami Zapisanie równania : DE DS SE gdzie S jest punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta Uzasadnienie, że kąty BAS i DSA oraz kąty ABS, ESB są przystające, jako kąty naprzemianległe Uzasadnienie, że trójkąty ASD i BSE są równoramienne a tym samym,5 AD DS oraz BE ES Wyciągnięcie wniosków z wcześniejszych zapisów a mianowicie że DE AD BE 7 Analiza zadania : x - liczba brzoskwiń w koszyku, x - liczba brzoskwiń, którą otrzymał pierwszy rycerz, x - liczba brzoskwiń, którą otrzymał drugi rycerz, x - liczba brzoskwiń, które otrzymał trzeci rycerz. 8,5

3 Zapisanie równania: x + 8 Rozwiązanie równania : x = 0 Sprawdzenie czy wyznaczone liczby spełniają warunki zadania oraz udzielenie odpowiedzi : Pierwszy rycerz otrzymał 6 brzoskwiń, drugi 8 brzoskwiń a trzeci 6 brzoskwiń, a w koszyku było 0 brzoskwiń. 8 Sporządzenie diagramu Venna Obliczenie jaki procent uczniów zna tylko język angielski : % Obliczenie jaki procent uczniów zna tylko język francuski ; % Obliczenie jaki procent uczniów zna co najmniej jeden język obcy ; 88% Obliczenie jaki procent uczniów nie zna żadnego języka obcego ; % Obliczenie liczby uczniów, którzy nie znają żadnego języka obcego ; 8 uczniów 9 Rysunek wraz z oznaczeniami np. AB, miara kąta CAB - 5 0, miara kąta CBA Zauważenie, że wysokość mająca długości h, poprowadzona z wierzchołka C dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty z których pierwszy jest połową kwadratu o boku długości h a drugi połową trójkąta równobocznego o boku długości h h Zapisanie równania h Rozwiązanie równania ; h = Obliczenie pola i obwodu trójkąta ; P i Obwód 0 Analiza zadania: x - cyfra dziesiątek, y - cyfra jedności, x + y = t Rozwiązanie nierówności ; t 8, 0 Wyznaczenie liczby naturalnej należącej do przedziału 8, 0 ; 9 Zapisanie układu równań : 0 9 x y 5 y 0 y x 6 Rozwiązanie układu równań ; x =, y = 5 Sprawdzenie, czy wyznaczone liczby spełniają warunki zadania i udzielenie odpowiedzi : liczby dwucyfrowe 5 i 5 spełniają warunki zadania Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

4 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa II LO i II, III Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt ) Wykaż, że liczba jest podzielna przez 8 Zadanie ( pkt ) Zamień ułamek dziesiętny 0,() na ułamek zwykły. Zadanie ( pkt ) Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x x 5 Zadanie ( pkt ) Nie wyznaczając pierwiastków równania x x 0 oblicz sumę ich odwrotności. 6 Zadanie 5 ( pkt) Sporządź wykres funkcji f(x) = ( x ) x x Określ liczbę rozwiązań równania ( x ) x x = m w zależności od wartości m. Naszkicuj wykres funkcji y = g(m) przyporządkowującej liczbie m R liczbę rozwiązań danego równania. Zadanie 6 ( pkt ) Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 7. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. Zadanie 7 ( pkt ) Udowodnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez resztę. Zadanie 8 ( pkt ) Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości cm i cm od końców tego ramienia, które nie jest prostopadłe do podstaw. Oblicz pole trapezu. Zadanie 9 ( 5 pkt ) Paweł mówi do Piotra: " Mam razy więcej lat niż ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie lat" Ile lat ma Piotr? Zadanie 0 ( 5 pkt ) W trójkąt prostokątny ABC, w którym długość przyprostokątnej AC jest równa 6 a długość przeciwprostokątnej AB jest równa 0 wpisano prostokąty, tak, że dwa boki zawierają się w przyprostokątnych a pozostały wierzchołek należy do przeciwprostokątnej. Podaj wymiary prostokąta o największym polu. Życzymy powodzenia

5 Kryteria oceniania dla klasy II LO i II, III Technikum zakres podstawowy Nr Wykonana czynność zad Pkt 6 Zapisanie sumy w postaci iloczynu ( 8 )( )( )( )( ),5 Uzasadnienie, że liczba jest podzielna przez 8 Zapisanie ułamka w postaci 0,... i oznaczenie np. literką x Zapisanie wyrażenia 00x ; 00x =,... Zapisanie równania : 00x = + x Obliczenie x: x = 99 Określenie warunków w celu wyznaczenia dziedziny funkcji : x 0 i x 0 Wyznaczenie dziedziny : D f = Obliczenie wartości funkcji dla x = Określenie przeciwdziedziny: 5 Sprawdzenie, czy delta jest nieujemna ; x x Zapisanie sumy odwrotności pierwiastków równania w postaci ułamka : xx Obliczenie sumy i iloczynu pierwiastków równania korzystając ze wzorów Vietea; 9 9 x x x x Obliczenie sumy odwrotności pierwiastków równania: 5 Zapisanie przepisu funkcji w postaci : f(x) = ( x ) x 6 Zapisanie przepisu funkcji w postaci : f ( x ) x dla x x dla x Sporządzenie wykresu funkcji,5 Określenie liczby rozwiązań równania ( x ) x x = m w zależności od wartości m: g( m ) dla m dla m dla m (, 0 ) 0, ( 0, ) (, ) Sporządzenie wykresu funkcji y = g(m) a b,5 Zapisanie układu trzech równań z trzema niewiadomymi: h 5 a h 9 b Rozwiązanie układu równań : a 5,b, h 5,5 Obliczenie pola trójkąta : P = 6 5 Obliczenie obwodu trójkąta: Obwód = 5 ( 5 6 ) 7 Analiza zadania : zapisanie kolejnych liczb całkowitych w postaci np. x, x+, x+ Zapisanie sumy kwadratów tych liczb w postaciach : x ( x ) ( x ) x 6x 5 x 6x 5 5,5 Zapisanie ilorazu sumy przez w następującej postaci : x x Uzasadnienie, że wyrażenie x x jest liczbą całkowitą a 5 po podzieleniu przez daje iloraz równy i resztę

6 8 Rysunek wraz z oznaczeniami ; np. długości podstaw a, b, długość wysokości h, a miary kątów pomiędzy ramieniem nie prostopadłym do podstaw a podstawami odpowiednio α i β. Uzasadnienie, że trójkąt o bokach długości cm i cm jest trójkątem prostokątnym Obliczenie długości ramienia nie prostopadłego do podstaw; c= 5 Obliczenie długości promienia okręgu z równania 5 r ; r 5 Obliczenie długości wysokości trapezu; h = 5 5 Obliczenie sumy długości podstaw trapezu, korzystając z własności czworokątów, w których jest wpisany okrąg ; a + b = 9 5 Obliczenie pola trapezu; P = 5 9 Analiza zadania ; y - wiek Piotra obecnie, x - wiek Pawła obecnie,,5 y - (x -y) - wiek Piotra przed laty, y - wiek Pawła przed laty x - wiek Piotra w przyszłości, x + (x - y) wiek Pawła w przyszłości, gdzie y jest stałą różnicą między wiekiem Pawła i Piotra Zapisanie układu równań; x x y ( x y ) ( x y ) x Rozwiązanie układu równań; x =8, y = Sprawdzenie czy wyznaczone liczby spełniają warunki zadania Udzielenie odpowiedzi. : Piotr ma lata a Paweł 8 lat 0 Rysunek wraz z oznaczeniami Obliczenie długości przyprostokątnej BC; BC Uzasadnienie, że trójkąty ABC, AKM (gdzie K,C,L,M to kolejne wierzchołki prostokąta ) są podobne y Zapisanie proporcji ; gdzie x, y to długości boków prostokąta 6 6 x Zapisanie pola prostokąta jako funkcji na przykład zmiennej x; P x ( x ) Uzasadnienie, że funkcja posiada maksimum Obliczenie długości boków prostokąta dla których jego pole jest największe Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

7 Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa III LO, IV technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt ) Liczba czterocyfrowa x87y dzieli się przez 5. Znajdź cyfry x i y Zadanie ( pkt ) Zbadaj czy nieskończony ciąg o wyrazach n n n 5 jest ciągiem geometrycznym a Zadanie ( pkt ) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma odległości dowolnego punktu przeciwprostokątnej od obu przyprostokątnych jest równa długości przyprostokątnej Zadanie ( pkt ) Wyznacz parametry p i q tak, aby liczba była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W( x ) x 5 x px q Zadanie 5 ( pkt) Zegar o pełnej godzinie bije tyle razy, ile wskazuje jego mała wskazówka, a w połowie godziny bije tylko raz. Wiedząc, że na zegarze godziny są zapisane liczbami,,,,5,6,7,8,9,0,, oblicz ile razy uderzy zegar w ciągu doby licząc od godziny 0 5. Zadanie 6 ( pkt ) Funkcje określone wzorami : f ( x ) mx x i g( x ) x x n mają takie same dwa miejsca zerowe. a) Wyznacz wartości parametrów m i n, b) Czy zbiory wartości podanych funkcji są takie same. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 7 ( pkt ) Oblicz sumę W obliczeniu wykorzystaj wzór, który możesz otrzymać przekształcając różnicę n n Zadanie 8 ( pkt ) Znajdź wszystkie rozwiązania równania - x = y - xy - w zbiorze liczb całkowitych. Zadanie 9 ( 5 pkt ) Na bokach prostokąta o obwodzie p dorysowano na zewnątrz prostokąta półokręgi których średnice są jego bokami. Dla jakich długości boków prostokąta pole figury ograniczonej tymi półokręgami i bokami prostokąta jest najmniejsze. Zadanie 0 ( 5 pkt ) Na okręgu o promieniu długości r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość r. Oblicz pole tego trapezu. Życzymy powodzenia

8 Kryteria oceniania dla klasy III LO, IV technikum zakres podstawowy Nr Wykonana czynność zad Pkt Rozpatrzenie dwóch przypadków dla y uwzględniając fakt podzielności danej liczby przez 5: y= 0 lub y = 5 Wypisanie wszystkich możliwych wartości dla x dla pierwszego i drugiego przypadku: x =,,7 lub x =,6,9 Wypisanie liczb 870, 6870, 9870, 875, 875,7875 Wyznaczenie wyrazu a n ; a n n 5 n n Obliczenie ilorazu ; q = Uzasadnienie, że ciąg jest ciągiem geometrycznym Rysunek wraz z oznaczeniami np. a - długość ramienia trójkąta, x, y - odległości punktu należącego do przeciwprostokątnej odpowiednio od pierwszego i drugiego ramienia trójkąta Zauważenie, że otrzymane trójkąty są równoramienne Uzasadnienie, że suma odległości jest równa długości przyprostokątnej,5 Zapisanie układu równań : p q p 8 Rozwiązanie układu równań: p =, q = 9 5 Obliczenie liczby uderzeń zegara o godzinie "wpół do..." : razy Zauważenie, że liczby uderzeń pełnych godzin można ułożyć w ciąg arytmetyczny o a =, r = i n = Obliczenie sumy uderzeń w ciągu pełnych godzin : S = 78,5 Obliczenie sumy wszystkich uderzeń : Sformułowanie założeń : m 0 i m i m 8 Obliczenie sumy i różnicy miejsc zerowych dla pierwszej i drugiej funkcji, korzystając ze wzorów Viete`a : x x x x x m i n x x x x m Wyznaczenie wartości liczbowych parametrów : m = -, n = - 7 Udzielenie odpowiedzi na temat zbiorów wartości funkcji: nie są takie same Uzasadnienie odpowiedzi,5 Wyprowadzenie wzoru. n( n ) n n 8 Zapisanie sumy w postaci Obliczenie sumy : x 5 Przekształcenie równania do postaci y, przy x x,5 Przekształcenie równania do postaci y x Zauważenie, że wyrażenie x - może przyjmować tylko wartości ±, ±, ± Wyznaczenie par x, y spełniających równanie :

9 (, ),( 0, 5),(, ),(, ),( 5, 0 ),(, ) 9 Rysunek wraz z oznaczeniami np. a, b- długości boków prostokąta Zapisanie pola figury : P f a b Zapisanie pola figury po uwzględnieniu, że a + b = p: P f,5 (b pb p ) Uzasadnienie, że otrzymana funkcja kwadratowa przyjmuje wartość najmniejszą Obliczenie a, b dla których funkcja przyjmuje wartość najmniejszą : b = p, a = p,5 0 Rysunek wraz z oznaczeniami np.r - wysokość trapezu, r podstawy, a - długość dłuższej podstawy, c - długość ramienia nie prostopadłego do podstaw Zapisanie układu równań :,5 r c a r wykorzystując własność ( a r ) ( r ) c czworokątów w które można wpisać okrąg oraz Twierdzenie Pitagorasa Rozwiązanie układu równań: c 5,5 r, a r Obliczenie pola trapezu : P trapezu r Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.