MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 896-77X 3, s. 47-54, Gliwice 6 MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ O WŁAŚCIWOŚCIACH NIENEWTONOWSKICH W SZCZELINIE STOŻKOWEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO W POLU MAGNETYCZNYM MARIUSZ KOPROWSKI Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni Streszczenie. W artykule omówiony został model matematyczny przepływu cieczy nienewtonowskiej o właściwościach lepkosprężystych, magnetycznych w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego. W modelu zakłada się, że przepływ cieczy smarującej jest stacjonarny, osiowo niesymetryczny, izotermiczny i odbywa się w obecności zewnętrznego stałego pola magnetycznego. Ferroolej jest cieczą ściśliwą, a jej lepkości dynamiczna zależy od temperatury, ciśnienia i pola magnetycznego.. WSTĘP W pracy przedstawiono i omówiono model matematyczny stożkowego łożyska ślizgowego smarowanego ferroolejem. Łożyska stożkowe są grupą łożysk zdolnych do przenoszenia obciążeń osiowych i promieniowych []. Wartość przenoszonej siły osiowej przez stożkowe łożysko ślizgowe zależy od kąta rozwarcia tworzącej stożka stanowiącego czop łożyska. Obecnie stożkowe łożyska ślizgowe znajdują największe zastosowanie w mechanice precyzyjnej (np. w napędach dysków HDD). Istnieje jednak wciąż wzrastająca tendencja do stosowania tego typu łożysk w maszynach przemysłowych. Magnetyczne stożkowe łożyska ślizgowe firmy SKF stosowane są między innymi w układach próżniowych (dmuchawach) instalacji odzyskującej odnawialną formę energii z morza zbudowanej w ramach programu badawczego prowadzonego przez Międzynarodowy Instytut Oceaniczny PICHTR na Hawajach [5]. Ponadto prowadzone są badania nad możliwością zastosowania stożkowych łożysk ślizgowych (magnetycznych) w lotniczych turbinach gazowych [6]. Według autora istnieje wiele przesłanek przemawiających za możliwością zastosowania stożkowych łożysk ślizgowych smarowanych ferroolejem, np. w powyżej przytoczonych przykładach. Łożyska ślizgowe smarowane ferroolejem mogą pracować w warunkach dużych prędkości obrotowych i przy dużych obciążeniach, a także w próżni. Ponadto ferroolej posiada duże zdolności do tłumienia drgań [], [], [4]. Cecha ta byłaby szczególnie pożądana w przypadku potencjalnego zastosowania stożkowych łożysk ślizgowych w łożyskowaniu wałów turbosprężarek.
48 M. KOPROWSKI. MODEL GEOMETRYCZNY STOŻKOWEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO W niniejszej pracy rozpatrywane jest stożkowe łożysko ślizgowe samowzbudne z osiowoniesymetryczną szczeliną smarną. Model matematyczny hydrodynamicznego smarowania (MHD) stożkowego łożyska ślizgowego rozpatrywany jest na podstawie danych przyjętych zgodnie z rysunkiem. W celu najwłaściwszego opisu przepływu ferrooleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego przepływ ten powinien być rozpatrywany w układzie współrzędnych stożkowych, yx, (rys., c). Współczynniki Lamego dla cienkiej warstewki smarującej (rys. ) w stożkowym układzie współrzędnych przyjmują następującą postać: h = R + xcosγ + ysin γ, h = h =. (.) 3 γ π/ γ υ+π/ γ γ e υ R p R c e+sinυ φ p c w β y x ε=f(x,,υ,γ,γ ) a) ε=f(x,,υ,γ,γ ) b) x α = e r R γ R x α 3 =x e 3 n A r r π/ n π/e α =y r r r α 3 e α x 3 x k j π/ x x i A α ε(x,,υ,γ,γ ) c) d) Rys.. Model geometryczny stożkowego łożyska ślizgowego, a) przekrój poprzeczny, b) przekrój poziomy, c) powierzchnia stożkowa schemat geometryczny, d) układ współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni stożka. R p, R c promień panewki, czopa; p, c środek panewki, czopa; ε(, x, ϑγγ,, ) wysokość szczeliny; γ, γ kąty rozwarcia czopa, panewki; ϑ kąt przekoszenia czopa; e mimośród;, yx, współrzędne stożkowe; x,y,z współrzędne prostokątne; e, e, e 3 jednostkowe wektory kierunkowe, n wektor
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ... 49 jednostkowy normalny zewnętrznie do powierzchni bocznej stożka, (, x,,, ) wysokość szczeliny smarnej ε υγ γ 3. MODEL MATEMATYCZNY W przyjętym modelu hydrodynamicznym zakłada się, że przepływ lepkosprężystego ferrooleju w polu magnetycznym w szczelinie łożyska stożkowego jest stacjonarny, osiowo niesymetryczny i izotermiczny. Dla tak przyjętego modelu hydrodynamicznego przepływu, ferrooleju w szczelinie łożyska stożkowego równanie zachowania pędu (3.) i równanie ciągłości (3.3) przyjmują ogólną postać następujących równań [], [5], [7], [8]: dv, (3.) 443 443 4443 ρ = Div ( S ) + µ ( ) ( ) N H+ µ N H { dt 3 4 div( ρ v ) =, (3.3) gdzie: m v wektor prędkości ferrooleju o współrzędnych: v, vy, vx[ ], s A N wektor namagnesowania ferrooleju o współrzędnych: N, Ny, Nx[ ], m A H wektor natężenia pola magnetycznego o współrzędnych: H, Hy, Hx[ ] m µ współczynnik przenikalności magnetycznej w próżni, operator Nabla, ρ gęstość ferrooleju [kg/m 3 ]., Wektor naprężeń S określony jest zależnością Rivilina Ericksena o następującej postaci: S= pi+ ηa + α AA + βa, (3.4) T A = L+ L, (3.5) T ( grad ) T A= grada+ a + LL, (3.6) v a= L v +, (3.7) t L= gradv, (3.8) gdzie: A, A tensory prędkości deformacji [s - ], L tensor jako gradient z wektora prędkości [s - ], m a wektor przyśpieszenia o współrzędnych a, ay, ax[ ], s p ciśnienie hydrodynamiczne [Pas], η współczynnik lepkości dynamicznej oleju [Pas], I tensor jednostkowy o współrzędnych bezwymiarowych, αβ, współczynniki opisujące lepkosprężyste własności ferrooleju [Pas ].
5 M. KOPROWSKI W równaniu zachowania pędu człon oznaczony cyfrą opisuje wpływ sił bezwładności oleju w jednostce objętości na przepływ ferrooleju w szczelinie łożyska. Człon nr z prawej strony równania (3.) określa wpływ sił lepkości i ciśnienia hydrodynamicznego w jednostce objętości na przepływ ferrooleju w łożysku. Człony 3 i 4 opisują wpływ sił magnetycznych na jednostkę objętości pochodzących z zewnętrznego pola magnetycznego przy czym człon nr 3 określa siły magnetyczne powstające w ferrooleju od wektora namagnesowania N. Wektor ten zależy od ilości cząsteczek magnetycznych zawartych w ferrooleju oraz od wartości przyłożonego zewnętrznego pola magnetycznego. Natomiast człon nr 4 określa wpływ sił magnetycznych na jednostkę objętości wywołanych momentem magnetycznym. Człon ten równa się zeru, gdy wektory N i H są równoległe. Sytuacja taka ma miejsce, gdy wartość natężenia zewnętrznego pola magnetycznego jest na tyle duża, że wszystkie wektory namagnesowania cząsteczek magnetycznych w ferrooleju ustawione są zgodnie z kierunkiem jego działania. Ferroolej osiąga wówczas stan nasycenia. Analizę wpływu zewnętrznego pola magnetycznego na rozpatrywany przepływ ferrooleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego przeprowadzono na podstawie równań Maxwella. Równania te dla stałego pola magnetycznego przyjmują następującą postać [4], [6]: roth=, (3.9) divb=. (3.) Dla ferrooleju obowiązuje poniższy związek: B = µ H+ N µ H + χ = H µ, (3.) o ( ) ( ) gdzie: H wektor natężenia pola magnetycznego [H/m], B wektor indukcji magnetycznej [H/m], N wektor namagnesowania ferrooleju [A/m], µ o współczynnik magnetyczny w próżni [H/m], µ współczynnik przenikalności magnetycznej ferrooleju [H/m], χ współczynnik podatności magnetycznej ferrooleju. Zapisując równania (3.), (3.3), (3.9), (3.) w układzie współrzędnych stożkowych oraz biorąc pod uwagę współczynniki Lamego określone wzorem (3.), otrzymujemy układ równań opisujący przepływ ferrooleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego w polu magnetycznym. Podstawiając odpowiednie liczby kryterialne oraz zależności łączące wielkości wymiarowe i bezwymiarowe, otrzymujemy ogólną postać układu równań podstawowych w formie bezwymiarowej (tj. równanie ciągłości i wektorowe równanie zachowania pędu). Sprowadzenie równań podstawowych do postaci bezwymiarowej umożliwia pominięcie z równań członów mało istotnych, np. tysiąc razy mniejszych od członów rzędu oraz zastosowanie prezentowanego w pracy modelu matematycznego do różnych typoszeregów stożkowych łożysk ślizgowych. Liczby kryterialne oraz zależności łączące wielkości bezwymiarowe z wymiarowymi wykorzystano w modelu: U ωr,, 3,,,, oη v o = Uv vy = Uψv vx = v y = εoy x= Lx ρ = ρoρ po =, L εo L ε L =, ψ = o, α = αα o, β = βoβ, η = ηη o, gdzie : η= ηbηpηt, R Ro ξ p ( ),, o p δbb, o δtt α, o, ou β, ou ε = εε o x η p = e η B = e η T = e Dα = Dβ =, ηoro ηoro o
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ... 5 Uε Re oρ o µ, onoh = R o f =, U = ω( Ro + Lcos α),b= Lsin α. (3.) ηo po Dla pola magnetycznego: H = H H, H = H H, H = H H, N = N N, N = N N, N = N N, (3.3) o y o x o 3 o y o x o 3 gdzie: ρ o charakterystyczna wymiarowa wartość gęstości ferrooleju, η o charakterystyczna wymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju, D α, D β liczby Deboraha, η bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od ciśnienia, p η T bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od temperatury, ηb bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od indukcji magnetycznej, ξ bezwymiarowy współczynnik opisujący zmiany lepkości dynamicznej [Pa ], δ bezwymiarowy współczynnik opisujący zmiany lepkości dynamicznej od indukcji pola magnetycznego [T ], Br bezwymiarowa liczba Brinkmana, H, H, H 3 bezwymiarowa wartość składowych wektora natężenia pola magnetycznego, L, R wielkości zgodne z rysunkiem, L bezwymiarowa długość łożyska, N, N, N 3 bezwymiarowa wartość składowych wektora namagnesowania ferrooleju, N o charakterystyczna wartość wektora namagnesowania ferrooleju, p o charakterystyczna wymiarowa wartość ciśnienia hydrodynamicznego, p o bezwymiarowa wartość ciśnienia hydrodynamicznego, Re liczba Reynoldsa określająca rodzaj przepływu, R f bezwymiarowa wartość ciśnienia magnetycznego, m U prędkość obwodowa s, v, v, v 3 bezwymiarowa wartość składowych wektora prędkości, ε wysokość szczeliny w stożkowym łożysku ślizgowym (rys. 3), ε o ψ bezwymiarowa wartość stosunku, R ω prędkość kątowa czopa łożyska [s ], α o, β o charakterystyczne wymiarowe wartości współczynników lepkosprężystości ferrooleju. 3 Równania Maxwella (3.9) i (3.) po oszacowaniu tzn. pominięciu członów rzęduψ przyjmują następującą postać: H N =, =, (3.4) y y H oraz H =, 3 =. (3.5) y y
5 M. KOPROWSKI Wektorowe równanie zachowania pędu po uwzględnieniu równań (3.) i (3.3) oraz 3 pominięciu członów rzędu ψ przyjmuje następującą postać: na kierunku : v v v3 v Reψρ Λ v + v + + Λ 3 vv cosγ = y L x L 44444444444444443 v v v =Λ ( p) + η + Dα Λ α + α y y y y y 4443 4443 444444444444443 3 4 v v v3 v3 v +Λ + Λ 3 v cosγ + α Λ + vλ cosγ + y L L y L L x 4444444444444444444444444444443 4 v3 v v3 v + α 3 Λ cosγ + + Dβ β Λ + L x L y y y L y 444444444444443 44444444443 4 5 v v v v +Λ + Λ3 v cosγ vλcosγ 3 v3 v v + β + v + y L y L y y L x y 44444444444444 444444444444444443 5 v H + v Λ + vv 3Λ cosγ + Rf Λ N + L 44444444443 4444443 5 6 N3 H (3.6) + + ( NH NH ( N3H NH 3), L x ψ y 44444444444444444444443 6 na kierunku y: p v3 v v3 v D = α α D β β + +, y + (3.7) y L y y y L y y na kierunku x: v v3 v3 v3 v3 Reψρ Λ + v + v 3 Λ cosγ = +Λ cosγ p+ L L y L x L x v3 v v3 v3 v + η 3 + Dα α Λ + α + y 3 L y y L y y L x y v v + 3 v v3 v + α Λ + Λ v cosγ + α Λ cosγ + L y y y L L x L x
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ... 53 v 3 v 3 3 ( cos ) v v v v Λ α γ + Dβ β + L 3 + y y y L x y L x y v3 v v3 v3 N H3 N3 H3 + β v 3 3 + + Λ v vλ cosγ + Rf + + y L x L y L + xla L x + ΛRf ( NH 3 NH 3) ( + xl cos γ)( NH3 NH 3 ). ψ y Równanie ciągłości: ( ρ v ) ( ρ v ) ( ρ v ) Λ + + Λ v cosγ + =. 4. WNIOSKI I UWAGI KOŃCOWE 3 3 y L L x (3.8) (3.9) Końcowa postać równania zachowania pędu (3.6-3.8) i ciągłości (3.9) w formie bezwymiarowej umożliwia szerszą analizę tych równań bez konieczności ograniczania się do jednego typoszeregu łożysk (np. o danych wymiarach R c (R p ), L c (L p ) i kątach γ i γ ). Wprowadzanie odpowiednio zmodyfikowanych współczynników Lamego (.) do prezentowanych w pracy równań daje możliwość przejścia z układu równań adekwatnych dla stożkowego łożyska ślizgowego do układu równań odpowiednich dla walcowego łożyska ślizgowego. Przejście takie pozwala na weryfikację układu równań podstawowych opisującego przepływ oleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego z układem równań podstawowych odpowiednich dla łożysk poprzecznych (walcowych). Ponadto transformacja taka umożliwia nam dokładniejszą analizę wpływu kształtu czopa i panewki łożyska stożkowego na przepływ oleju w tego typu łożysku. Przejście z układu równań podstawowych właściwego dla łożyska stożkowego do układu równań podstawowych dla łożyska walcowego (poprzecznego) następuje, gdy wartość kątów γ i γ wynosi 9. Człony oznaczone numerem w równaniu zachowania pędu na kierunku (po obwodzie) Reψ,,8 określają wpływ sił bezwładności na przepływ mnożne przez wyrażenie ( ) oleju w szczelinie łożyska. W przypadku przyjęcia w modelu, że v v3, wpływu tych sił nie powinno się zaniedbywać w dalszej analizie []. Występowanie członu oznaczonego numerem w równaniu (3.6) wynika z osiowo niesymetrycznego przepływu ferrooleju w szczelinie łożyska ślizgowego. Lepkość dynamiczna ferrooleju jest iloczynem trzech lepkości: ηt, ηp, η B opisanych wzorem (3.) uwzględniających wpływ temperatury, ciśnienia i pola magnetycznego na jej wartość. Człony 4 i 5 w równaniu (3.6) mnożone przez liczby D α i D β określają wpływ własności lekspkosprężystych ferrooleju na jego przepływ w szczelinie. Wówczas, gdy D α i D β =, otrzymujemy klasyczny przypadek smarowania łożyska stożkowego ślizgowego cieczą newtonowską. Człon numer 5 mnożony rzez liczbę magnetyczną R f w równaniu (3.6) przedstawia wpływ sił magnetycznych na przepływ ferrooleju w łożysku. Liczba R f przy obecnych technicznych możliwościach wytworzenia pola magnetycznego rzędu B=, T -,7 T wnosi od do, []. W przypadku dużych wartości zewnętrznego pola magnetycznego lub założeniu, że współczynnik podatności magnetycznej χ ferrooleju jest wielkością skalarną, część członu nr 5 pochodząca od rotacji wektorów H i N (wzór nr, człon nr 4) w równaniu (3.6) zanika. Sytuacja taka występuje również wtedy, gdy brak jest zewnętrznego pola magnetycznego.
54 M. KOPROWSKI Równanie (3.7) obrazuje fakt, że ciśnienie po wysokości szczeliny nie jest stałe, a jego zmiany zależą od właściwości lepkosprężystych ferrooleju. Oczywiście, wielkości tych zmian mogą być niewielkie i zależą od lepkosprężystych współczynników α i β. Analiza równania (3.8) jest analogiczna do analizy przeprowadzonej dla równania (3.6). LITERATURA. A. Ceber.: Ob unduliaconnoj nieustojcziwosti ferrosmiektikow, Magnitnaja Gidrodinamika, Vol. 4 (99), s. -4.. A. Ceber.: Physical properties and model of magnetic fluids., Magnitnaja Gidrodinamika, Vol. 4 (99), p. 5-39. 3. A. Miszczak.: Podstawy niekonwencjonalnej hydrodynamicznej teorii smarowania poprzecznych łożysk ślizgowych, Zeszyty naukowe Akademii Morskiej w Gdyni, zeszyt nr 49 (3), s. 7-64. 4. E. Kącki.: Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki, Wydawnictwo Naukow-Techniczne, Warszawa 99. 5. Gamal M. Abel-Rahman.: Flow of a non-newtonian power law through a conical Bearing In an applied magnetic field, Applied Mathematics and Computation, Vol. (995), p. 349-399. 6. J. Dudziewicz.: Podstawy elektromagnetyzmu, WNT, Warszawa 97. 7. K. Wierzcholski, D. Wissussek, A. Miszczak.: Estimation of equation for hydrodynamic flow of Rivlin Ericksen fluid in the thin gap, System modeling control, Vol. (995), p. 349-399. 8. K. Wierzcholski, R. Janiszewski.: Ferromagnetishe Gleitlager, Schmierungstechnik, Vol. (98), p. 366-37. 9. K. Wierzcholski, R. Janiszewski.: Wybrane zagadnienia z magnetosprężystości i magnetohydrodynamiki, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Lubelskiej, Lublin 983.. K. Wierzcholski.: Mathematical Metod In hydrodynamic theory of lubricating, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, Szczecin 993.. K. Wierzcholski.: Random changes of temperature in slide bearing gap, Proceeding of The Sixth International Congress on Thermal Stresses, Vol. (Wiedeń 5), p.449-45.. K. Wierzcholski.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Śląskiej, Szczecin 995. 3. K. Wierzcholski.: The method of Lorent s forces and energetistic method for magnetic bearing capacity determination, ZEM, zeszyt nr 3-4 (994), p. 67-65. 4. R. E. Rosensweig.: Ferrodynamics, Dver Publications, New York, 997. 5. www.grc.nasa.gov 6. www.skf.com MAGNETOHYDRODYNAMIC FLOW OF NON-NEWTONIAN LUBRICATING FLUID IN CONICAL BEARING GAP IN MAGNETIC FIELD In this paper was showed and discussed the magnetohydrodynamic (MHD) model of lubricating fluid with non-newtonian (e.g. ferroliquid) properties in conical slide bearing gap. Here is presented the consideration of influence of permanent magnetic field on the basic parameters of the lubricant. The flow of non-newtonian magnetohydrodynamic lubricant in conical slide bearing gap in magnetic field is described by equations of momentum conservation, continuity equation and Maxwell s equations in this mathematical model. The mentioned equations are considered in conical coordinates(, yx, ).