Zadania z Termodynamiki

Zadania z Termodynamiki 1. Obliczyć zależność C p C V dla 1 mola gazu van der Waalsa [1]. Znaleźć przybliżone wyrażenie dla gazu rozrzedzonego V b. 2. Udowodnić zależność [1]: 3. Udowodnić zależność [5] C p p C V = T 2 V T T 2 = T 2 p T T 2 V p 4. Entalpia układu zadana jest w postaci szeregu Taylora względem ciśnienia i entropii, ograniczonego do wyrazów kwadratowych [1]: H(S, p) = a 0 + a 1 p + a 1 S + a 2 p 2 + a 3 S p + a 4 S 2 Wyprowadzić równanie stanu w zmiennych p, T, V 5. Wyrazić ciepła właściwe C p i C V poprzez potencjał Gibbsa i jego pochodne [1]. 6. Dany jest potencjał Gibbsa w postaci ogólnego rozwinięcia w szereg względem p i T: G(p, T) = G 0 + A T + B p + C T 2 + D T p + E p 2 gdzie A, B, C, D, E stałe. Obliczyć entropię S(T, p), entalpię jako funkcję H(T, p) i H(S, p) oraz temperaturę T(S, p) [1]. 7. Wyrazić dane pochodne poprzez wielkości mierzalne w doświadczeniu [1]: 2 G p T, 2 F p 2, 2 G T 2 8. Wykazać następujący związek między współczynnikami ściśliwości adiabatycznym i izotermicznym: p = 1 S p T κ gdzie κ = C p /C V wykładnik adiabaty [2]. 1

9. Wykazać podobny związek dla adiabatycznego i izotermicznego współczynnika wydłużenia cienkiego pręta: l p = C l S C p l p gdzie C l to ciepło właściwe przy stałej długości pręta [2]. 10. Znaleźć poprzez całkowanie na płaszczyźnie (T, V) entropię S(T, V) 1 mola gazu van der Waalsa [2]. 11. Znaleźć poprzez całkowanie na płaszczyźnie (T, V) energię wewnętrzną U(T, V) 1 mola gazu van der Waalsa [2]. 12. Znaleźć poprzez całkowanie na płaszczyźnie (T, V) entropię swobodną F(T, V) 1 mola gazu van der Waalsa [2]. 13. Znaleźć wyrażenie na pracę W dla odwracalnej przemiany izotermicznego rozszerzania się 1 mola gazu van der Waalsa. Wyrazić ją poprzez objętości V 1 i V 2 gazu na początku i końcu przemiany. 14. Znaleźć zależność pomiędzy następującymi współczynnikami materiałowymi: a) ciepłem właściwym C p, b) współczynnikiem izobarycznej rozszerzalności cieplnej α = 1 V c) adiabatycznym współczynnikiem temperaturowym χ = T p, S który opisuje zjawisko ochładzania się przy adiabatycznym rozprężeniu gazu [2]. 15. Wyrazić zmianę entropii ds poprzez C p i α dla rozszerzania ciała przy stałym ciśnieniu [2]. 16. Obliczyć ciepło pochłonięte przez dielektryk (na jednostkę objętości) przy izotermicznym wzroście pola elektrycznego od 0 do E. Założyć, że zależność temperaturowa względnej przenikalności dielektrycznej wynosi: T T, p ε(t) = 1 + a T gdzie a jest stałą. [2] 2

17. Empiryczna zależność stałej dielektrycznej od temperatury dla wody wynosi: ε = 88,0 0, 35 (T 273) + 0,003 (T 273) 2 Obliczyć zmianę molowego ciepła właściwego wody C V po przyłożeniu pola elektrycznego o natężeniu E = 900 V/m. [2] 18. Obliczyć dla 1 cm 3 gazu jednoatomowego dodatkowe ciepło właściwe spowodowane zawartym w tej objętości promieniowaniem termicznym (ciała doskonale czarnego). Porównać jego wartość liczbową z ciepłem właściwym samego gazu. [2] 19. Wyrazić ciepło właściwe C p i współczynnik rozszerzalności termicznej α poprzez pochodne entalpii H po ciśnieniu p i entropii S. [2] 20. Znaleźć zależnośc pomiędzy współczynnikami rozszerzalności termicznej α i ściśliwości izotermicznej κ dla gazu van der Waalsa. [3] 21. Znaleźć równanie stanu dla substancji, dla której współczynniki z poprzedniego zadania są zadane poprzez liniowe zależności od ciśnienia i temperatury: κ = a + b (T T 0 ) α = c d p a, b, c, d to stałe. Wskazówka scałkować formę zupełną d ln V na płaszczyźnie (p, T). [3] 22. Korzystając z tego, że forma ds jest zupełna pokazać następującą zależność [3]: H p = V T T T 23. Korzystając z ogólnego warunku równowagi termodynamicznej TδS < δu + pδ obliczyć warunki na drugie pochodne potencjału Gibbsa G po ciśnieniu p i temperaturze T w stanie równowagi termodynamicznej. 24. Korzystając z ogólnego warunku równowagi termodynamicznej TδS < δu + pδv obliczyć warunki na drugie pochodne entalpii H po ciśnieniu p i entropii S w stanie równowagi termodynamicznej. 3 p

25. Dane jest równanie stanu cienkiego pręta: F(l, T) = at [ l l 0 ( l l 0 ) 2 ] gdzie a i l 0 to stałe. Wykazać, że energia wewnętrzna pręta nie zależy od jego wydłużenia. Obliczyć pracę przy izotermicznym wydłużeniu pręta [3]. 26. Wyznaczyć ciepła właściwe 1 mola idealnego gazu dla następujących procesów: a) pv 2 = const, b) p 2 V = const, c) p/v = const [4]. 27. 1 mol idealnego gazu znajduje się w nie ograniczonym z góry cylindrze w jednorodnym polu grawitacyjnym. Obliczyć ciepło właściwe. Wskazówka: skorzystać z równania hydrostatyki d p = ρgdh i równania stanu gazu doskonałego[4]. 28. Znaleźć sprawność cyklu Stirlinga składającego się z dwóch izoterm T = T 1 i T = T 2 oraz dwóch izochor V = V 1 i V = V 2 [4]. 29. Znaleźć sprawność cyklu Lenôira składającego się z izochory 1-2, adiabaty 2-3 i izobary 3-1. Dany jest stopień sprężania δ = p 2 /p 1 [4]. T 2 1 3 S 30. Znaleźć sprawność cyklu Otto składającego się z dwóch adiabat i dwóch izochor. Dany jest stopień sprężania η = V 2 /V 1 [4]. 31. Dla kryształów w niskiej temperaturze ciepło właściwe danej jest poprzez prawo Debye a C v T 3. Pokazać, że w tym przypadku różnica C p C V T 7 (jest proporcjonalna do siódmej potęgi temperatury)[4]. 32. Dany jest potencjał Gibbsa pewnego układu: G(p, T) = a T(1 ln T) + RT ln p T S 0 gdzie a, R, S 0 to stałe. Znaleźć równanie stanu V = V(T, p) i energię wewnętrzną U = U(p, T) [4]. 33. Pokazać, że z ogólnego warunku stabilności termodynamicznej T δs < δu + pδv wynika warunek wiążący wariacje czterech parametrów [4]: δtδs > δpδv 4

34. Korzystając z warunku stabilności termodynamicznej z zadania 33 pokazać, że jeśli w stanie równowagi dla pewnego układu znika pochodna ( p/) T = 0 to musi także znikać druga pochodna ( 2 p/ 2 ) T = 0, a trzecia pochodna powinna być ujemna ( 3 p/ 3 ) T. Wskazówka: rozwinąć wariację δp w szereg względem wariacji δv w stałej temperaturze. 35. Wyznaczyć sprawność cyklu Joule a składającego się z dwóch izobar i dwóch adiabat. Dany jest wykładnik adiabaty κ oraz stopień sprężania δ = p 2 /p 1. Znaleźć optymalny współczynnik sprężania, przy którym wykonana praca będzie maksymalna dw/dδ = 0 [5]. 36. Znaleźć pochodne ( U/) T oraz ( C V /) T dla jednego mola gazu Berthelota o następującym równaniu stanu [5]: ( p + a TV 2 ) (V b) = RT Wskazówka: skorzystać z zadania 3 i z relacji Maxwella dla ( U/) T. 37. Znaleźć temperaturę końcową przy adiabatycznym wyłączeniu pola magnetycznego dla kryształu Gd 2 (SO 4 ) 3 H 2 O (uwodniony siarczan gadolinu). Dane: temperatura początkowa T 0 = 2 K, pole magnetyczne B 0 = 0,71 Tesli, magnetyzacja: M = 78,7[J K/Tesla 2 ] B/T, ciepło właściwe C = 2,65[J/K] /T 2. [5] 38. Dla pewnego układu termodynamicznego związek pomiędzy energią wewnętrzną U, entropią S, liczbą cząstek N i objętością V dany jest następującym wzorem: U = const N ( ) α ( ) N αs exp V Nk Sprawdzić, że równaniem stanu jest równanie gazu doskonałego, niezależnie od wartości stałej α. Znaleźć wykładnik adiabaty κ oraz ciepła właściwe C P i C V. [6] 39. Pokazać, że µ v = v p T v T gdzie v jest objętością 1 mola. [7] 40. Dane są cztery nierówności termodynamiczne (a) ( p/) T < 0 5

(b) ( p/ T) V > 0 (c) ( µ/) T < 0 (d) ( T/) S > 0 Które z nich wynikają z kryteriów stabilności termodynamicznej? Które nierówności są ze sobą niezgodne? [7] 41. Pokazać, że κ S κ T = C V C P gdzie κ S i κ T to współczynniki ściśliwości adiabatycznej i izotermicznej. [7] 42. Wyrazić ciepła właściwe C P i C V przez współczynniki ściśliwości adiabatycznej i izotermicznej κ S i κ T oraz współczynnik rozszerzalności cieplnej α. [8] 43. Wyprowadzić następującą tożsamość: N µ = N 2 κ T T,N V gdzie κ T jest współczynnikiem ściśliwości izotermicznej. [8] 44. Wyprowadzić następującą tożsamość: gdzie H to entalpia. [8] T C P p = T H T V p 45. Pokazać, że dla gazu van der Waalsa ciepło właściwe C V w danej temperaturze T nie zależy od objętości V. [8] 46. Pokazać, że jeśli objętość V układu jest liniową funkcją temperatury to ciepło właściwe C p nie zależy od ciśnienia. [9] 47. Wykazać następującą tożsamość termodynamiczną [9] p = S p + T ( ) 2 T C p T p 48. Wykazać następującą tożsamość termodynamiczną [9] p = S p T ( ) p 2 T C V T V 6

49. Obliczyć równanie adiabaty dla gazu van der Waalsa. [10] 50. Współczynnik rozszerzalności cieplnej wody w zakresie temperatur od 0 C do 4 C jest ujemny. Pokazać, że w tym zakresie temperatur woda przy ściskaniu adiabatycznym ochładza się. [10] 51. Współczynnik rozszerzalności cieplej pewnego układu termodynamicznego wynosi: α = R pv + a RT 2 V a współczynnik ściśliwości izotermicznej: κ = 1 V [ T f (p) + b ] p gdzie a i b to stałe. Wyznaczyć postać nieznanej funkcji f (p) i równanie stanu. [11] 52. Dla pewnego układu termodynamicznego współczynnik rozszerzalności cieplej wynosi: α = RV p + av T 2 a współczynnik ściśliwości izotermicznej: κ = TV f (p) gdzie a to pewna stała. Wyznaczyć postać nieznanej funkcji f (p) i równanie stanu. [11] 53. Dla gazu spełniającego równanie Dietericiego p = RT ( V b exp a ) RTV gdzie a, b = const wyznaczyć współczynnik efektu Joule a Thomsona ( T/ p) H. [11] 7

Literatura [1] J. de Boer, Atomic Theory of Heat and Thermodynamics [2] M.A. Leontoviq, Vvedenie v Termodinamiku [3] D. Ter Haar, H. Wergeland, Elements of Thermodynamics [4] I.P. Bazarov, Termodinamika [5] H. Lumbroso, Thermodynamique problèmes résolus. [6] B. Bergersen, Statistical mechanics [7] D. Chandler, Introduction to modern statistical mechanics [8] D. Dalvit. J. Frastai, I. Lawrie, Problems on statistical mechanics [9] A.S. Kondratev, V.P. Romanov, Zadaqi po statistiqesko i fizike [10] V.F. Nozdrev, Kurs termodinamiki [11] L. Reichl, A modern course in statistical physics 8