Krzysztof Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt AR-GARCH Wprowadzenie U podstaw modelu Blacka, Scholesa i Mertona znajduje się między innymi nierealistyczne założenie, że ceny instrumentu bazowego zmieniają się zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, którego parametry są stałe. Powoduje to, że w pewnych przypadkach, teoretyczne wartości uzyskane z modelu odbiegają od cen obserwowanych w rzeczywistości (model cechuje się obciążeniem). W przypadku, gdyby model Blacka-Scholesa wyceniał opcje prawidłowo, to zmienność implikowana (por. Hull (1999)) powinna mieć stałą wartość niezależną od współczynnika moneyness 1 opcji oraz niezależną od terminu do wygaśnięcia opcji. Rzeczywista płaszczyzna zmienności charakteryzuje się efektem uśmiechu zmienności, czyli zależnością zmienności implikowanej od ceny wykonania. Kształt uśmiechu zmienności zależy od siły efektu dźwigni w szeregu stóp zwrotu instrumentu bazowego, czyli wielkości asymetrii w reakcji inwestorów na dopływające do rynku wiadomości dobre i złe. Efekt dźwigni powoduje asymetrię w uśmiechu zmienności, który nazywany jest wtedy grymasem zmienności. Wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia, kształt uśmiechu lub grymasu zmienności staje się bardziej płaski. Dodatkowo wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia obserwuje się często wzrost lub spadek zmienności implikowanej dla opcji o tym samym współczynniku moneyness. Efekt ten nazywa się strukturą 1 Współczynnik moneyness zdefiniowany został jako: moneyness = S t 0, (1) Xe rt gdzie: S t0 - cena spot akcji w chwili t 0, X - cena wykonania, r - wolna od ryzyka stopa procentowa w skali roku, T - czas do wygaśnięcia opcji w latach. 1
czasową zmienności implikowanej. Związany jest on z faktem, że po okresie szczególnie niskiej lub wysokiej zmienności, obserwuje się powrót do poziomu średniego. W pracy zaprezentowane zostanie podejście umożliwiające wycenę europejskiej opcji kupna z uwzględnieniem takich własności szeregów stóp zwrotu instrumentu bazowego jak: autokorelacja, skupianie zmienności, efekt dźwigni (por. Piontek (00)). Dokonana zostanie wycena europejskich opcji kupna dla chwili t 0 dla różnych współczynników moneyness oraz dla różnych terminów do wygaśnięcia wystawionych na jednostkę indeksu WIG. Na podstawie uzyskanych wartości opcji wyznaczona zostanie płaszczyzna zmienności implikowanej dla modelu Blacka-Scholesa. Uzyskanie charakterystycznych efektów uśmiechu zmienności, struktury czasowej zmienności oraz zgodność zmienności implikowanej dla opcji at-the-money odługimter- minie do wygaśnięcia z długoterminową zmiennością szeregu stóp zwrotu, świadczyć będzie o tym, iż prezentowany model umożliwia uwzględnienie obserwowanych na rynku własności cen opcji. Niestety jest to argument nie wprost. Brak rzetelnych i kompletnych danych o cenach i parametrach opcji wystawianych na rynku pozagiełdowym oraz niska płynność warrantów (wraz z brakiem możliwości dokonania krótkiej sprzedaży warrantu) na rynku giełdowym w Polsce, uniemożliwiają porównanie wartości uzyskiwanych z modelu z cenami rzeczywistymi (np. dla warrantow na WIG0). Prezentowane zagadnienia pozostaną więc w sferze przykładu ilustracyjnego. 1. Model wyceny opcji Omawiane podejście zaproponowane zostało przez Duana przy założeniu, że szereg stóp zwrotu z instrumentu bazowego opisywany jest modelem GARCH-M(1,1) (por. Duan (1996)). Zostało ono jednak szybko uogólnione na inne postaci warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji (por. Schmitt (1996), Hafner, Herwartz (1999), Härdle, Hafner(000)). Opcje sprzedaży można wycenić analogicznie lub poprzez parytet kupna-sprzedaży (por. Hull (1999).
Podejście to jest uogólnieniem tradycyjnej metody wyceny przy neutralnym podejściu do ryzyka (risk neutral valuation) (por. Weron i Weron (1998), Hull (1999)) w przypadku modeli z warunkową wartością oczekiwaną oraz warunkową wariancją i polega na takiej modyfikacji procesu stóp zwrotu, by dla każdej chwili, warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu była równa stopie wolnej od ryzyka. Równoważne jest to temu, iż zdyskontowana przy stopie wolnej od ryzyka cena instrumentu bazowego jest martyngałem (por. np. Weron i Weron (1998). Parametr modyfikujący proces stóp zwrotu nie jest stały w czasie i podejście to nazwane zostało wyceną przy punktowej własności neutralności wobec ryzyka (Locally Risk-Neutral Valuation Relationship - LRNVR). Także w tym przypadku wprowadza się pojęcia miary P, dla procesu nieprzekształconego oraz arbitrażowej miary Q, względem której zdyskontowany proces cen instrumentu bazowego jest martyngałem. Uwzględnienie zmiennej w czasie wariancji powoduje, tzw. niezupełność rynku (incompletness of market) oraz istnienie w ogólności wielu możliwych miar Q, dla których spełnione jest założenie braku arbitrażu (por. Weron i Weron (1998)). Niezbędne staje się założenie o preferencjach inwestora względem ryzyka i postaci funkcji użyteczności. Do dalszej analizy przyjęto jako model stóp zwrotu z instrumentu bazowego przyjęto model AR(1)-GJR-GARCH(1,1) (por. Piontek(00)). Odpowiednie postaci modelu względem miary P i Q dane są poniżej (por. Hafner, Herwartz (1999)) 3 : y t = µ + φ 1 y t 1 0.5h t + h t z t, miara P z t N(0, 1), () h t = ω + [ ] (α 1 + α1 I (zt 1 <0))zt 1 + β 1 h t 1, 3 Pojawienie się składnika 0, 5h t związane jest z faktem, iż rozpatrywane są logarytmiczne stopy zwrotu (por. lemat Itô). 3
miara Q y t = r 1 0.5h t + h t η t, η t N(0, 1), h t = ω + [ (α 1 + α1 I ] (η t 1 λ t 1 ))(η t 1 λ t 1 ) + β 1 h t 1, λ t = µ + φ 1y t 1 r 1, ht (3) gdzie: y t - logarytmiczna stopa zwrotu z instrumentu bazowego z okresu [t 1,t], r 1 - stopa wolna od ryzyka w horyzoncie, dla którego wyznaczane są stopy zwrotu. Wycena opcji dla chwili t = t 0 oparta jest na procedurze Monte Carlo, której przebieg jest następujący: a. Estymacja parametrów procesu stóp zwrotu względem miary P. Niezbędna jest też informacja o wartości warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji w chwili t 0, które decydują o warunku początkowym podczas generowania zbioru trajektorii procesu wetapieb. b. Wygenerowanie m trajektorii szeregu cen instrumentu bazowego o długości n dni sesyjnych względem miary Q. Cenę S i,n po n dniach (liczba dni do wygaśnięcia opcji) dla i-tej trajektorii uzyskuje się w oparciu o wzory (3) oraz o zależność: ( ) n n S i,n = S t0 exp nr 1 0.5 h i,t0 +s +. (4) s=1 s=1 η i,t0 +s W etapie tym wykorzystuje się również typowe procedury poprawy własności metody Monte Carlo. c. Wycena europejskiej opcji kupna. Wartość opcji w chwili t 0 równa jest wartości oczekiwanej (względem miary Q) zdyskontowanej wartości wypłaty opcji. Europejska opcja kupna w chwili wykonania związana jest z wypłatą równą max[s T X, 0], gdzies T to cena instrumentu bazowego w chwili wygaśnięcia (rozliczania) opcji, a X, to cena wyko- 4
nania opcji. c t0 =exp( nr 1 ) 1 m m [max(s i,n X), 0]. (5) i=1. Przykład empiryczny Poniżej przedstawiono wyniki wyceny hipotetycznej europejskiej opcji kupna wystawionej na jednostkę indeksu WIG. Dniem, dla którego dokonywano wyceny był dzień 15-05-00. Wartość indeksu w tym dniu wynosiła 15475,75. Stopę wolną od ryzyka w skali roku przyjęto na poziomie 10%. Parametry modelu stóp zwrotu względem miary P wyestymowane zostały na podstawie 1900 obserwacji poprzedzających dzień wyceny. Tabela 1: Parametry modelu dla indeksu WIG względem miary P Parametr µ φ 1 ω α 1 α 1 β 1 Wartość 5,3E-05 0,189 1,79E-0.5 0,11 0,068 0,798 Źródło: obliczenia własne. Długoterminowa zmienność stóp zwrotu w skali roku, uzyskana na podstawie modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1) wynosiła 8,4%. W dniu wyceny, warunkowa zmienność w skali roku (wyznaczona na podstawie wartości warunkowej wariancji) wynosiła 17,66%. Dokonano wyceny opcji dla 17 wartości współczynnika moneyness z przedziału [0,8;1,] oraz dla terminów do wygaśnięcia opcji od 1 do 6 miesięcy. Uzyskane wartości zmienności implikowanej, wynikającej z odwrócenia modelu Blacka-Scholesa dla różnych terminów do wygaśnięcia opcji oraz dla różnych wartości współczynnika moneyness, prezentuje rysunek 1. Potwierdza on występowanie typowego efektu uśmiechu zmienności, którego asymetria spowodowana jest niezerową wartością współczynników α1 oraz φ 1. Autokorelacja stóp zwrotu wpływa również na przesunięcie minimalnej wartości zmienności implikowanej dla poszczególnych terminów do wykupu w kierunku mniejszych wartości współczynnika moneyness. Zgodnie z oczekiwaniami, uśmiechy zmienności stają się coraz bardziej płaskie wraz ze wzrostem terminów do wykupu. Obserwuje się również rosnącą strukturę czasową zmienności implikowanej wraz ze wzrostem 5
terminu do wygaśnięcia. Spowodowane jest to tym, że warunkowa wariancja w chwili wyceny opcji była poniżej długoterminowego poziomu średniego, a wykorzystywany model GARCH cechuje się powrotem do średniej. Dokonano również wyceny opcji dla rocznego terminu do wykupu. Uzyskano praktycznie płaski uśmiech zmienności. Wartość zmienności implikowanej równa była w przybliżeniu długoterminowej zmienności szeregu stóp zwrotu w skali roku. Rysunek 1: Płaszczyzna zmienności dla modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1) zmiennosc 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 6 5 4 1. liczba miesiecy 3 1.1 1 moneyness 0.9 1 0.8 Źródło: opracowanie własne. 1.3 Zaprezentowane własności modelu wyceny opcji są argumentem nie wprost na to, że model uwzględniający efekt autokorelacji, skupiania zmienności oraz dźwigni, powinien prowadzić do wyceny opcji bliższej cenom rynkowym. Wniosek ten potwierdzony został dla instrumentów pochodnych z rynku niemieckiego (por. Hafner, Herwartz (1999)). Literatura [1] J. Duan. (1995). The GARCH Option Pricing Model. Mathematical Finance, 5, str. 13 3. [] C. Hafner, H. Herwartz. (1999). Option Pricing under Linear Autoregressive Dynamics, Heteroskedasticity, and Conditional Leptokurtosis. Humboldt-Universität, Berlin. http://ideas.repec.org. 6
[3] J. Hull. (1999). Futures, options and other derivatives. Prentive-Hall, New York. [4] K. Piontek. (00). Modelowanie i prognozowanie zmienności instrumentów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca doktorska). [5] Ch. Schmitt. (1996). Option Pricing Using EGARCH Models. ZEW Discussion Paper No. 96-0. Mannheim. [6] A. Weron, R. Weron. (1998). Inżynieria finansowa. WNT, Warszawa. 7