8 Hydrostatyka i hydrodynamika Hydrostatyka Ciśnienie hydrostatyczne Jest to ciśnienie yołane ciężarem cieczy Ciśnienie hydrostatyczne zależy tylko od ysokości słupa cieczy, tj od głębokości, na której jest mierzone oraz od gęstości cieczy Na głębokości h, ciśnienie hydrostatyczne cieczy o gęstości określa yrażenie: p gh, m g 9,81 (81) s Oprócz ciśnienia hydrostatycznego, na ciecz może działać dodatkoo ciśnienie statyczne, czyli ciśnienie yierane na ciecz z zenątrz Jeżeli na poierzchnię sobodną cieczy działa ciśnienie statyczne p 0, którym często jest ciśnienie atmosferyczne, to panujące na głębokości h całkoite ciśnienie jest sumą ciśnienia statycznego i hydrostatycznego: p p 0 gh (8) Ciśnienie penym punkcie cieczy zależy tylko od głębokości tego punktu pod poierzchnią cieczy, natomiast nie zależy od poziomych rozmiaró cieczy ani od kształtu naczynia, którym ciecz się znajduje (paradoks hydrostatyczny) Prao Pascala Z rónania (8) ynika, że ziększenie na ciecz statycznego ciśnienia zenętrznego p 0 o p0 pooduje zmianę całkoitego ciśnienia p cieczy o p p0 Ta zmiana ciśnienia nie zależy od głębokości h i jest taka sama każdym punkcie cieczy Z poyższego rozumoania ynika prao Pascala, które głosi, że ciśnienie yierane na ciecz rozchodzi się jednakoo e szystkich kierunkach i ma całej sojej objętości tą samą artość, róną yieranemu na ciecz ciśnieniu Ciśnienie to skieroane jest zasze prostopadle do ścian naczynia i poierzchni zanurzonych cieczy ciał - bez zględu na ich kształt Prao Archimedesa W Q S Q F p Rys 81 Ilustracja do praa Archimedesa S i F oznaczają odpoiednio środek ciężkości ciała i środek yporu
Na ciało częścioo lub całkoicie zanurzone cieczy działa siła yporu skieroana ku górze i róna ciężaroi cieczy ypartej przez to ciało: W m g V g, (8) c gdzie W jest siłą yporu, m c jest masą ypartej cieczy o objętości V c i gęstości, a g - przyspieszeniem ziemskim W arunkach rónoagi, gdy ciało o masie m nie tonie, siła yporu róna jest ciężaroi ciała: W Q mg Siła yporu, działająca na zanurzone cieczy ciało, jest konsekencją rónania (81), z którego ynika, że dolne części ciała głębiej zanurzone, doznają ze strony cieczy iększego ciśnienia niż górne części ciała, co pooduje postanie ypadkoej, skieroanej ku górze siły yporu (Rys 81) Rónanie ciągłości Hydrodynamika Objętość cieczy nieściśliej przepłyającej jednostce czasu przez doolny przekrój poprzeczny strugi jest ielkością stałą: c Sv const, (84) gdzie S jest polem przekroju poprzecznego strugi, a v - prędkością przepłyającej cieczy tym przekroju (Rys 8) Z rónania ciągłości ynika, że strudze o zmiennym przekroju, doolny segment przemieszczającej się cieczy zmienia czasie przepłyu soją prędkość, a zatem i energię kinetyczną Zmiana energii kinetycznej odbya się kosztem pracy ykonanej przez siły ynikające z różnicy ciśnień panujących na różnych przekrojach strugi S 1, p 1 h v 1 S, p h 1 v 0 h Rys 8 Ilustracja do rónania ciągłości i rónania Bernoulliego Rónanie Bernoulliego Rónanie to opisuje zależność między ciśnieniem, a prędkością stacjonarnego przepłyu cieczy doskonałej (nielepkiej i nieściśliej) strudze, obecności pola graitacyjnego: p gh 1 v const, (85)
gdzie: p - ciśnienie cieczy, v - prędkość cieczy, - gęstość cieczy, h - ysokość zględem poziomu odniesienia, g - przyspieszenie ziemskie Prao Stokesa Prao to określa siłę oporu działającą na kulę o promieniu r, poruszającą się z prędkością v cieczy o spółczynniku lepkości : F 6 r v (86) Rónanie to spełnione jest dla zględnie małych prędkości v, przy których ruch cieczy zględem kuli jest laminarny Jednostki ciśnienia 1 pascal: 1Pa 1 N/m, 1 bar: 1bar 100000 Pa, 1 milibar: 1mbar 100Pa1hPa, 1 hektopascal: 1hPa 100Pa1mbar, 1 atmosfera techniczna: 1at 1kG/cm 98066,5 Pa, 1 atmosfera fizyczna: 1atm 1015Pa Jest to ciśnienie yierane przez słup rtęci o ysokości 760 mm 1 torr: 1torr 1,Pa Jest to ciśnienie yierane przez słup rtęci o ysokości 1 mm Przykład 81 Areometr, którego masa Przykłady M 60g, obciążono dodatkoo kaałkami metalu o masie m 5g Po obciążeniu areometr zanurzył się odzie tak, że skazyał gęstość Obliczyć gęstość metalu m Gęstość ody Roziązanie: 1 1000 kg/m 950 kg/m Oznaczmy przez V objętość zanurzonej odzie części areometru przypadku, gdy nie jest on obciążony kaałkami metalu Zgodnie z praem Archimedesa (8), ciężar areometru jest zrónoażony yporem ody, co pozala obliczyć objętość V : Mg 1 Vg, M V 1 Rozażmy sytuację, której areometr bez dodatkoego obciążenia znalazłby się cieczy o gęstości Objętość zanurzonej części areometru zrosłaby óczas porónaniu z objętością V o 1 peną dodatkoą objętość V tak, by skala areometru pokazyała gęstość cieczy Dodatkoa objętość V określona jest także przez prao Archimedesa:
Mg M 1 V V g V g, 1 V M 1 Areometr zanurzony odzie i obciążony kaałkami metalu pokazuje gęstość, co oznacza, że objętość jego zanurzonej części ynosi V V Oznaczając dodatkoo przez V m objętość zajmoaną przez podieszony metal możemy prao Archimedesa zapisać postaci: M 1 m 1 M mg V V V g M g 1 m 1 1 m Rónanie to pozala obliczyć nieznaną gęstość metalu m : m 1 m m M 1 Podstaiając ujednolicone jednym systemie jednostek dane liczboe otrzymamy: 714 kg/m m Przykład 8 Przez poziomą rurę o różnych przekrojach przepłya oda Obliczyć, jaka masa ody przepłya przez doolny przekrój rury czasie 1 s, jeżeli rurkach manometrycznych montoanych rurę miejscach o przekrojach ody ynosi Roziązanie: h 0 cm Gęstość ody S 1 10 cm i 1g/cm S 0 cm, różnica poziomó h S S 1 v v 1 Rónanie Bernoulliego (85) dla przepłyu poziomego ( h const ) ma postać: p 1 1 1 v1 p v, gdzie p 1,v 1 oraz p,v oznaczają ciśnienie i prędkość ody odpoiednio przekrojach S 1 i S Różnica ciśnień ody obydu przekrojach róna jest ciśnieniu yieranemu przez słup ody o ysokości rónej różnicy poziomó rurkach manometrycznych i ynosi: Obyda rónania proadzą do relacji: p p 1 h g
v 1 h g 1 v, która z rónaniem ciągłości (84) S 1v1 Sv torzy układ dóch rónań yznaczający prędkości przepłyu v 1 i v Po prostych przekształceniach znajdziemy szczególności: 1/ hg v 1 S S S1 Masa ody, która przepłya przez doolny przekrój rury jednostce czasu ynosi: Po ujednoliceniu jednostek otrzymamy: 1/ hg v 1S1 S 1S S S1,87 kg/s Przykład 8 Cylindryczny zbiornik o średnicy D ypełniony jest odą do ysokości h 0 1,8 m W dnie zbiornika znajduje się otór spustoy o średnicy d, która jest n 40 - krotnie mniejsza od średnicy zbiornika Jak długo będzie trało opróżnianie zbiornika do połoy jego zaartości? Po jakim czasie opróżniony zostanie cały zbiornik? Przyspieszenie ziemskie g 9,81 m/s Roziązanie: D h 0 v h d V h 0 Aby roziązać zadanie, należy określić prędkość v opadania poziomu cieczy zbiorniku podczas jego opróżniania Zależność tą znajdziemy ykorzystując rónanie ciągłości (84) oraz rónanie Bernoulliego (85), które zastosoane do poziomó h i h 0 przyjmą odpoiednio postać: D d v V V n v,
p 1 1 gh v p V, gdzie p jest ciśnieniem atmosferycznym takim samym na ysokości h i h 0, a V jest prędkością ody ypłyającej z otoru spustoego Eliminując z poyższego układu rónań V, otrzymamy poszukianą zależność: 1/ g v h 4 n 1 Elementarna zmiana d h poziomu ody zbiorniku iąże się z prędkością opadania tego poziomu v za pośrednictem relacji: 1/ g dh vdt hdt, dh 0 4 n 1 Separując zmienne h i t oraz całkując otrzymane rónanie po czasie znajdziemy: dh h g 4 n 1 1/ dt 1/ g h t h 4 0 n 1 Stała całkoania jest róna h 0, co ynika z założenia, że umonym momencie t 0 poziom cieczy był róny h 0 Rónanie to określa czas t, po którym poziom ody zbiorniku spadnie do artości h Dla n 4 1 otrzymamy: t g 1/ 1/ 4 n 1 h h n h h 0 0 g Przyjmując h h 0 /, znajdziemy czas T 1/, po którym zbiornik zostanie opróżniony do połoy: 1/ 0 1/ h 1 n g T Przyjmując h 0, znajdziemy czas T, po którym zbiornik zostanie opróżniony całkoicie: 1/ h0 n g T Uzględniając dane liczboe otrzymamy: T 1/ 84s, T 969s Należy zrócić uagę, że przy zaniedbaniu zjaisk ziązanych z lepkością, prędkość i czas opróżniania zbiornika nie zależą od gęstości cieczy Zadania 81 Ciało kształcie graniastosłupa o ymiarach a b c zanurzono penej cieczy Siła yporu działająca na to ciało ynosi W Jaka jest gęstość tej cieczy?
8 Dreniany klocek o gęstości d 650 kg/m płya cieczy, przy czym 0% objętości klocka ystaje nad jej poierzchnię Obliczyć gęstość cieczy 8 Po poierzchni morza płya góra lodoa Jej część o objętości poierzchnią ody Jaka jest objętość V całej góry lodoej, jeżeli jej gęstość natomiast gęstość ody morskiej 105 kg/m? V 1 50m znajduje się nad 900 kg/m, 84 Zaieszony na drucie kaałek szkła o masie m 150g i gęstości 1,5 g/cm jest całkoicie zanurzony kasie siarkoym o gęstości 1,8 g/cm Obliczyć naprężenie N drutu 85 Wydrążona kula, zrobiona z materiału o gęstości 1, płya po poierzchni cieczy o gęstości Promień kuli ynosi R, a promień ydrążenia r Jaka poinna być gęstość ciała, którym należałoby całkoicie ypełnić ydrążenie, aby kula płyała cieczy całkoicie zanurzona? 86 Ciało zaieszone na haczyku dynamometru zanurzono odzie Odczytany ciężar był o 0% mniejszy od ciężaru ciała poietrzu Obliczyć gęstość ciała Gęstość ody 1000 kg/m Wypór poietrza pominąć 87 Kaałek metalu jest zaieszony na sprężynie Gdy metal zanurzono odzie, długość sprężyny uległa skróceniu o l 1, cm Po zanurzeniu metalu cieczy o nieznanej gęstości, długość sprężyny uległa skróceniu o l 1,8 cm Obliczyć nieznaną gęstość cieczy Gęstość ody 1000 kg/m 88 Ciało zaieszono na sprężynoej adze Po zanurzeniu ciała odzie aga skazała artość Q 18 N Gdy to samo ciało zanurzono nafcie, aga skazała artość Q 19 N Jaka jest objętość V ciała, jeżeli gęstość nafty n 800 kg/m, a gęstość ody 1000 kg/m? 89 Odażnik aży poietrzu P 0,4 N, odzie Q 0,5 N, a oliie R 0,6 N ciężary łaście odażnika i oliy Ciężar łaściy ody 1G/cm n l Obliczyć 810 W cylindrycznym naczyniu o promieniu podstay r znajduje się ciecz Do jakiej ysokości h od dna naczynie poinno być ypełnione cieczą, aby jej parcie na dno naczynia było takie same, jak całkoite parcie na alcoatą - boczną ściankę naczynia? 811 Do leego ramienia rurki kształcie litery U nalano rtęci o gęstości r 1,6 g/cm, a następnie nafty o gęstości 0,8 g/cm na ysokość h 15cm ponad poziom rtęci Jaka poinna n być ysokość h słupa ody o gęstości 1 g/cm, którą trzeba dolać do praego ramienia rurki, aby jej górny poziom był o 10cm yższy od górnego poziomu nafty leym ramieniu rurki? 81 Ciało kształcie sześcianu o kraędzi a 05 m znajduje się odzie Jaką pracę L należy ykonać, aby unieść to ciało pooli, ruchem jednostajnym, pionoo ku górze na odległość s m? Gęstość ciała c 150 kg/m, a gęstość ody n 1000 kg/m 81 Balon o pojemności V 7 litró napełniono odorem o gęstości 0,09 kg/m Masa połoki balonu ynosi m 75g Z jakim przyspieszeniem balon zacznie znosić się poietrzu o gęstości 1,17 kg/m? p
814 Korkoa trata ratunkoa ma masę m 0kg Jakim maksymalnym ciężarem można obciążyć tratę, aby nie uległa odzie całkoitemu zanurzeniu? Gęstość korka i ody odpoiednio ynoszą 50 kg/m i 105 kg/m k 815 Złoty łańcuch, z przypuszczalną domieszką srebra, aży poietrzu Q 1 48 G, a odzie Q 45G Jaki jest skład tego złota, jeżeli iadomo, że ciężar łaściy czystego złota, a srebra 1 19G/cm 10,5 G/cm? Gęstość ody 1000 kg/m 816 Rurkoaty areometr o masie m 80g i średnicy d 1,8 cm zanurza się cieczy o gęstości do penej kreski na podziałce Jaka jest gęstość innej cieczy, jeżeli ten sam areometr 1 1, g/cm zanurzył się niej o,0 cm głębiej? 817 Z głębokości h 70cm poniżej poierzchni ody zolniono drenianą kulkę o gęstości d 650 kg/m Gęstość ody Na jaką ysokość y ponad poziom ody yskoczy kulka? Siły tarcia pominąć 1000 kg/m 818 Do ody, z ysokości h 70cm od jej poierzchni, spada sobodnie dreniana kulkę o gęstości d Gęstość ody 650 kg/m 1000 kg/m Obliczyć głębokość, na jaką zanurzy się kulka Siły tarcia pominąć 819 Jaką masę M można podnieść obciążając masą m tłok urządzenia hydraulicznego przedstaionego na rysunku? Poierzchnie tłokó, na których spoczyają masy M i m ynoszą odpoiednio S i s M m s S 80 W prasie hydraulicznej średnica tłoka ynosi d 1,6 cm, średnica prasy D cm, ramię siły k 60cm, ramię tłoka l 10cm Jaka jest siła Q yierana przez prasę, jeżeli obsługuje ją robotnik, działający siłą P 1kG? Czy ytorzone ciśnienie ystarczy do rozgniecenia kostki cementoej o kraędzi a 6 cm i ytrzymałości na zgniecenie F 600 kg/cm? 81 Jakie będzie skazanie czułej agi, gdy umieścimy na niej m 1kg żelaza o gęstości 7800 kg/m, a jakie, gdy na adze umieścimy m 1kg styropianu o gęstości ż Gęstość poietrza 1,185 kg/m p 5 kg/m? 8 W 1654 roku Otto von Guericke ykazał dośiadczeniu przeproadzonym Magdeburgu istnienie ciśnienia atmosferycznego Zetknął ze sobą die, szczelnie dopasoane, mosiężne półkule o promieniu r 40cm każda i odpompoał spomiędzy nich poietrze Następnie da zaprzęgi, każdy po osiem koni, ciągnąc za półkule przecine strony, nie były stanie ich rozerać Obliczyć siłę niezbędną do rozerania półkul magdeburskich s
8 Jaka jest masa poietrza nad poierzchnią S 1m Ziemi, gdy yierane przez nie ciśnienie jest róne ciśnieniu normalnemu? Jaka jest całkoita masa atmosfery ziemskiej? Średnie ciśnienie atmosferyczne przy poierzchni Ziemi p 101 hpa Promień Ziemi R 670 km 84 W rurze poziomej o średnicy d 1 5 cm płynie oda z prędkością v 1 40 cm/s przy ciśnieniu p 1 kg/cm W dalszej części rura jest ęższa i panuje niej ciśnienie prędkość v ody ąskiej części rury i jaka jest jej średnica? Gęstość ody Z p 1,8 kg/cm 1000 kg/m Jaka jest 85 Do tłoka ustaionej poziomo strzykaki o średnicy d 1 1,5 cm, przyłożona jest siła F N Średnica igły ynosi d 0, mm Z jaką prędkością będzie ypłyała oda ze strzykaki? Rozażyć także przypadek, gdy strzykaka ustaiona jest igłą pionoo do góry, a sumaryczna ysokość słupa ody strzykace i igle ynosi h 9 cm 86 Woda jest doproadzana do pinicy budynku rurą o średnicy D 5 cm pod ciśnieniem p baró Prędkość przepłyającej rurze ody ynosi v 1m/s Obliczyć prędkość oraz ciśnienie ody na drugiej kondygnacji budynku, do której oda doproadzana jest poziomą rurą o średnicy d 1,9 cm yproadzoną na ysokość h 8 m ponad rurę doproadzającą odę do budynku 87 Struga ody ypłyająca pionoo z kranu zęża się ku dołoi Poprzeczne pola przekrojó strugi odległe od siebie o y 5cm ynoszą S 1 1,5 cm i S 0,5 cm Jaka objętość ody ypłya z kranu czasie 1 sekundy? 88 W dnie szerokiego zbiornika z odą postał nieielki otór Jaka jest prędkość ody ypłyającej z tego otoru, jeżeli poziom ody zbiorniku ma ysokość H m, a obniżanie się tego poziomu jest zaniedbyanie małe? Rozażyć także przypadek, gdy otór jest na tyle duży, że obniżanie się poziomu ody zbiorniku jest zauażalne i ynosi v 0 5 cm/s 89 Do zbiornika naleana jest oda ilości V 15litró/s Jaka poinna być maksymalna średnica otoru d dnie naczynia, aby poziom ody nie obniżył się poniżej poziomu h m? 80 Wiadro ypełnione do ysokości h 50cm odą zaieszone jest na sprężynie i ykonuje drgania harmoniczne o okresie T 4 s i amplitudzie A 0 0 cm W dnie iadra znajduje się mały otór, przez który ycieka oda Jaka jest najiększa i najmniejsza prędkość yciekającej z iadra ody? 81 W zbiorniku z odą o ysokości słupa cieczy H 1,5 m postał nieielki otór odległości h 50cm od poierzchni ody Obliczyć prędkość ypłyającej ody oraz liczoną u podstay zbiornika odległość x, na którą doleci oda H h x 8 W zbiorniku napełnionym odą do ysokości H 1,5m postały da otorki, z których jeden znajduje się h 50cm poniżej poziomu ody, a drugi tej samej odległości h 50cm od dna zbiornika Jaki jest stosunek prędkości ypłyającej cieczy otorze górnym do prędkości cieczy ypłyającej z dolnego otoru? Poziom cieczy jest utrzymyany na tej samej ysokości
8 W poziomej rurze płynie ciecz Różnica poziomó tej cieczy rurkach A i B ynosi h 8 cm Średnice obydu rurek są takie same Jaka jest prędkość v przepłyu cieczy rurze? v A h B 84 Rysunek przedstaia schemat metody graitacyjnego opróżniania zbiornika z cieczą przy pomocy odpoiednio ygiętej rurki lub ężyka Zasysając jednorazoo ciecz przez dolny koniec rurki tak, by rurka ypełniła się cieczą, można zapoczątkoać proces dalszego samoistnego już opróżniania się zbiornika Wyjaśnić fizyczną istotę tego procesu Wykorzystując rónanie Bernoulliego, obliczyć maksymalną ysokość h 1 zniesienia rurki nad poziom cieczy, poniżej której proces opróżniania zbiornika będzie możliy Jaka będzie prędkość ypłyającej z rurki cieczy? W obliczeniach przyjąć, że poierzchnia cieczy zbiorniku jest tak duża, a średnica rurki tak mała, że poziom cieczy zbiorniku obniża się bardzo pooli Gęstość cieczy ynosi, a przyspieszenie ziemskie g h 1 d h 85 Jaką średnicę ma kulka, która spada odzie o spółczynniku lepkości 0,0P, jeżeli gęstość kulki 100 kg/m, a prędkość kulki v 0,1m/s? Gęstość ody 1000 kg/m 86 Jaką maksymalną prędkość osiąga kropla deszczu o średnicy d 1mm, jeśli spółczynnik lepkości dynamicznej poietrza 10 5 Pa s? Gęstość ody 1000 kg/m