Zarządzanie ryzykiem finansowym w przedsiębiorstwie

Zenon Marciniak Zarządzanie ryzykiem finansowym w przedsiębiorstwie Szkoła Główna Handlowa Kolegium Gospodarki Światowej Instytut Polityki Handlu Zagranicznego i Studiów Europejskich Warszawa 013

SPIS TREŚCI 1. SYSTEM ZARZĄDZANIA RYZYKIEM... 3 1.1 CELE DZIAŁALNOŚCI... 4 1.1.1 Wartość, zysk, strumienie pieniężne... 4 1.1. Stopy zwrotu... 4 1. EVA... 8. POMIAR RYZYKA... 9.1 TRADYCYJNE MIERNIKI RYZYKA... 9.1.1 Wariancja i odchylenie standardowe... 9. NOWOCZESNE MIERNIKI RYZYKA... 10..1 VaR... 10.. Mierniki ryzyka marginalnego... 16 3. RYZYKO WALUTOWE... 17 3.1 TEORIE KURSÓW WALUTOWYCH... 17 3. STOPA PRZYCHODU DLA POZYCJI NIEZABEZPIECZONEJ... 18 3.3 STOPA PRZYCHODU DLA POZYCJI ZABEZPIECZONEJ... 19 4. WALUTOWE INSTRUMENTY POCHODNE... 5 4.1 CHARAKTERYSTYKA TRANSAKCJI WALUTOWYCH... 5 4. CENA SPOT, CENA FORWARD, CENA FUTURES... 34 4.3 ARBITRAŻ CASH-AND-CARRY... 35 4.4 CENY KONTRAKTÓW WALUTOWYCH... 36 5. RYZYKO STOPY PROCENTOWEJ... 38 5.1 LUKA DURATION... 38 5. MODEL DURATION Z WYPUKŁOŚCIĄ... 4 6. PROCENTOWE INSTRUMENTY POCHODNE... 44 6.1 SWAP PROCENTOWY (INTEREST RATE SWAP)... 44 6. ASW (ASSET SWAP) = ZAKUP OBLIGACJI + IRS... 50 6.3 FRA (FORWARD RATE AGREEMENT)... 51 6.4 OIS (OVERNIGHT INDEX SWAP)... 54 7. RYZYKO KREDYTOWE... 58 7.1 ZDOLNOŚĆ KREDYTOWA... 58 7.1.1 Metody fundamentalne oceny zdolności kredytowej... 58 7.1. Oceny agencji ratingowych... 58 7.1.3 Prawdopodobieństwa wypłacalności i niewypłacalności... 59 7.1.4 Macierze migracji... 6 7.1.5 Premia za ryzyko kredytowe... 6 7. EKSPOZYCJA KREDYTOWA... 66 7.3 KORZYŚCI DLA ZAGRANICZNYCH INWESTORÓW NABYWAJĄCYCH SPW... 69 SPIS TABEL... 71 SPIS RYSUNKÓW... 71 SPIS PRZYKŁADÓW... 7

1. System zarządzania ryzykiem Ryzyko dotyczy podstawowych celów działania przedsiębiorstwa. Ryzyko może dotyczyć celu działania w ujęciu absolutnym (wartość, strumienie pieniężne, zysk) bądź w ujęciu względnym (stopa zwrotu). Zaletą posługiwania się stopami zwrotu jest możliwość porównywania korzyści dla różnych inwestycji (np. w różnych walutach). Stopa zwrotu mierzy zmiany w stosunku do określonego poziomu. Czasami ryzyko jest wprost definiowane jako niepewność osiągnięcia przez inwestora oczekiwanej stopy zwrotu 1. Metodologia pomiaru ryzyka i zarządzania ryzykiem jest otwartym systemem z wieloma modelami i technikami badań oraz prognozowania. Metody te mają na celu przedstawienie wpływu ryzyka na postawione cele działalności. SYSTEM ZARZĄDZANIA RYZYKIEM Cele działania Czynniki ryzyka Ekspozycja Pomiar ryzyka Zarządzanie 1. absolutne 1. ryzyko rynkowe - zmienność 1. metody wyceny wartości 1. metody tradycyjne 1. strategie zarządzania wartość a. cen a. tradycyjne wariancja konserwatywne zysk b. stopy procentowej b. bezarbitrażowe odchylenie standardowe aktywne (optymalizacja) strumień pieniężny c. kursu walutowego c. dwumianowe (alokacja kapitału) d. symulacja. mierniki koncentracji. względne. ryzyko kredytowe i dywersyfikacji. limity prosta stopa zwrotu zmiany zdolności kredytowej logarytmiczna stopa zwrotu a. zmiany strumieni 3. mierniki wrażliwości 3. zapotrzebowanie na kapitał metody credit scoringu luka walutowa prognoza zmiany wartości prawd. niewypłacalności, δ luka procentowa (duration) ekonomicznej kapitału stopy odzysku, δ opcje δ, γ, τ, ρ, κ b. zmiany stóp procentowych 4. ocena decyzji premie za ryzyko 4. metody nowoczesne V/VaR macierze migracji VaR P&L/EaR EaR CFAT/CFaR 3. ryzyko operacyjne CFaR 5. Stress test Rys. 1. System zarządzania ryzykiem Źródło: Opracowanie własne. Badanie ekspozycji wartości na ryzyko jest dokonywane przy wykorzystaniu metod pokazujących wpływ prognozowanych zmian na rynku finansowym na wartość bądź stopę zwrotu. Są to metody analityczne, analiz wrażliwości, probabilistyczne (drzew decyzyjnych), scenariuszowe oraz symulacyjne (np. metoda Monte Carlo). Metody te mają na celu pokazanie wpływu zmian cen, stóp procentowych, kursów walutowych, zmian wiarygodności kredytowej na wartość poszczególnych pozycji, a w konsekwencji na wartość kapitału przedsiębiorstwa bądź banku. Lukę duration bądź lukę walutową można traktować jak pozycję netto. Luka wyraża brak uodpornienia na czynniki ryzyka. 1 Por. Reilly F.K., Brown K.C., Investment Analysis and Portfolio Management, 5 th Edition, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publishers1997 s. 11. 3

1.1 Cele działalności 1.1.1 Wartość, zysk, strumienie pieniężne Ryzyko można w sposób najbardziej ogólny zdefiniować jako możliwość zmian wartości rynkowej powodowaną zmiennością przyszłych strumieni pieniężnych oraz zmianami kosztu kapitału. Przypomnijmy, że wartość (kapitału własnego, a także poszczególnych składników majątkowych) jest sumą przyszłych strumieni pieniężnych zaktualizowanych wg stopy kosztu kapitału: n CFt CVn (1) PV = + t n t= 1 (1 + RRR) (1 + RRR) PV - wartość dzisiejsza (ang. present value) na koniec okresu t=0, CF t - oczekiwany strumień pieniężny (ang. cash flow) w przyszłym okresie t w wyniku realizacji inwestycji, CV n - wartość końcowa (ang. continuing value) w okresie t=n, RRR - wymagana przez inwestora stopa zwrotu (ang. required rate of return) - stopa dyskontowa równa stopie kosztu kapitału. 1.1. Stopy zwrotu Stopa zwrotu pomiędzy terminem t-1 a terminem t Absolutna zmiana ceny pomiędzy terminem t-1 a terminem t (np. jeden dzień później) wynosi: () Pt = Pt Pt 1 P t - cena w momencie t (np. cena sprzedaży), P t-1 - cena w momencie t-1 (np. cena zakupu). Stopa zmiany ceny (prosta stopa zwrotu, stopa przychodu), a więc względna zmiana ceny pomiędzy terminem t, a poprzednim terminem t-1 wynosi: (3) (4) R t Pt P = P t 1 t 1 Pt = P t 1 Pt 1 = P t 1 Wskaźnik zmiany ceny wynosi : 1+ R t Pt = P t 1 Stopa zmiany ceny jest czasami nazywana stopą w okresie posiadania inwestycji (HPY, ang. holding period yield), a wskaźnik zmiany ceny jest nazywany zwrotem w okresie posiadania (HPR, ang. holding period return). Por. Reilly F.K., Brown K.C., Investment Analysis and Portfolio Management, 5 th Edition, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publishers1997 s. 6-7. 4

Stopa zwrotu przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej (logarytmiczna stopa zwrotu) jest wyznaczana na podstawie wzoru: (5) r t = ln ( ) = ln 1+ R ( P ) ln( P ) t t Pt = ln P t 1 t 1 = pt pt 1 r t - logarytmiczna stopa przychodu (zwrotu) pomiędzy terminem t-1 a terminem t, p t = ln(p t ) - logarytm naturalny od P t. Znaki logarytmicznej stopy zwrotu oraz prostej stopy zwrotu są zawsze jednakowe. Absolutną zmianę ceny można zapisać przy wykorzystaniu zdefiniowanych stóp zwrotu w sposób następujący: (6) Pt = R tpt 1 bądź rt P = e 1 (7) ( ) t 1 t P Stopa równoważna w skali rocznej Równoważną stopę zwrotu w skali rocznej możemy wyznaczyć na podstawie wzoru: 365 (8) R = ( 1+ R (k)) t-k 1 t-k - liczba dni. a t Przykład 1. Stopa zwrotu w skali rocznej W ciągu 73 dni cena wzrosła z 100 zł/akcję do 10 zł/akcję. Polecenia: 1. Ile wynosi stopa zwrotu?. Ile wynosi stopa zwrotu w skali rocznej? 3. Ile wyniesie stopa zwrotu w skali rocznej, jeśli poziom ceny 10 zł /akcję zostanie osiągnięty po 4 latach? Rozwiązanie Ad 1. Stopa zwrotu wynosi: (10 : 100) -1 = % Ad. Stopa zwrotu w skali rocznej wynosi: (1 +,0%)^(365:73) -1 = 10,41%. Ad 3. Stopa zwrotu w skali rocznej wynosi: (1 +,0%)^(365:1460) -1 = 0,50%. 5

Średnia arytmetyczna i średnia geometryczna stóp zwrotu Stopy zwrotu mogą być wyliczone dla poszczególnych kolejnych podokresów. Średnia z tych z stóp może być średnią arytmetyczną bądź średnią geometryczną. Średnią arytmetyczną wyznaczymy według wzoru: (9) R = n t= 1 n R t Najczęściej bardziej prawidłowe jest wyznaczenie średniej geometrycznej: n t-1 1 n (10) R = (1+ R ) 1 = ((1+ R ) (1 + R )... (1 + R )) 1 t 1 n 1 n Przykład. Średnia arytmetyczna i średnia geometryczna stóp zwrotu Ceny akcji kształtują się w sposób następujący: Okres Cena 1 100 10 3 96 4 105,6 5 95,04 Polecenia: 1. Wyznaczyć proste stopy zwrotu z okresu na okres.. Ile wynosi średnia arytmetyczna stóp zwrotu? 3. Ile wynosi średnia geometryczna stóp zwrotu? Rozwiązanie Ad 1. Okres Stopa Wskaźnik 0% 10% 3-0% 80% 4 10% 110% 5-10% 90% Ad. Średnia arytmetyczna stóp zwrotu jest równa 0,0%. Ad 3. Średnia geometryczna wynosi: (10,0% * 80,0% * 110,0% * 90,0%) ^(1/4) - 1 = -1,3%. 6

Stopa zwrotu dla portfela inwestycyjnego Wyznaczenie stopy zwrotu dla portfela inwestycyjnego wymaga zastosowania agregacji rodzajowej (ang. cross-section aggregation). Jeśli w okresie t=0 cena portfela inwestycyjnego złożonego z n instrumentów finansowych wynosi P 0, to w okresie t=1 cena tego portfela jest równa: (11) P = w P ( 1+ R ) + w P ( 1+ R ) + + w P ( 1+ ) 1 1 0 1 0 n 0 R n w j - udział instrumentu j w portfelu (w 1 + w +... + w n =1). Stopa zwrotu dla portfela inwestycyjnego może być wyznaczona na podstawie zmiany wartości dla całego portfela bądź jako średnia stóp zwrotu dla poszczególnych pozycji ważona ich udziałami w portfelu (w momencie t=0). Stopa przychodu dla portfela przy założeniu kapitalizacji dyskretnej jest równa: P1 P0 (1) R P = = w1r1 + w R + + w nr n P 0 Cena portfela inwestycyjnego w okresie t=1 przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej jest równa: r n (13) 1 r P r 1 = w1p0e + wp0e + + w np0e r j - logarytmiczna stopa przychodu (zwrotu) dla instrumentu j, Stopa zwrotu dla portfela inwestycyjnego przy założeniu kapitalizacji ciągłej wynosi: r P P1 = ln P 0 r1 r rn (14) = ln( w e + w e + + w e ) = ln 1 [ w (1+ R ) + w (1+ R ) + + w (1+ R )] 1 1 n n Logarytmiczna stopa zwrotu dla portfela inwestycyjnego jest w przybliżeniu średnią logarytmicznych stóp zwrotu ważoną udziałami poszczególnych instrumentów finansowych: (15) r p w jr n j= 1 j Z poniższej tabeli wynika, że w przypadku agregacji czasowej łatwiej jest posługiwać się stopą zwrotu kapitalizowaną w sposób ciągły, natomiast w przypadku agregacji rodzajowej stopę przychodu dla portfela inwestycyjnego łatwiej jest wyliczyć posługując się kapitalizacją dyskretną. Tabela 1. Agregacja stóp zwrotu Agregacja czasowa Agregacja rodzajowa Kapitalizacja dyskretna T R t (k) = ( 1+ R t ) 1 n R P = w jr j t 1 j= 1 Kapitalizacja ciągła T n r r t(k) = r t t=1 j r P = ln w je j= 1 Źródło: J.P.Morgan/ Reuters, RiskMetrics TM Technical Document, Fourth Edition, 1996, s. 49. n 7

1. EVA EVA dla właścicieli i wierzycieli (16) EVA = EBIT (1-T) - R A x K P bądź (17) EVA = (R V - R A ) x K P EBIT - zysk operacyjny (sprzedaż minus koszty operacyjne minus amortyzacja) przed uwzględnieniem kosztów finansowych oraz podatku (ang. earnings before interest and taxes), T - stawka podatku dochodowego, R A - średni ważony koszt kapitału (WACC), K P - kapitał na początku okresu, R V - stopa zwrotu dla aktywów EBIT (1-T)/K P (odpowiednik ROA). EVA dla właścicieli Strumienie pieniężne zysku ekonomicznego dla każdego z okresów mogą być wyznaczone według jednego z przedstawionych poniżej sposobów: (18) EVA E = ZN - R E x KW P bądź (19) EVA E = (R W - R E ) x KW P ZN - zysk netto, R E - koszt kapitału własnego, KW P - kapitał własny na początku okresu, R W - stopa zysku ZN/KW P (odpowiednik ROE). 8

. Pomiar ryzyka.1 Tradycyjne mierniki ryzyka.1.1 Wariancja i odchylenie standardowe Portfel złożony z dwóch pozycji Załóżmy, że portfel inwestycyjny składa się z dwóch instrumentów finansowych np. papierów wartościowych A oraz B. Mogą to być dowolne różne inwestycje. Wartość oczekiwana stopy zwrotu dla portfela złożonego z dwóch pozycji jest następująca: (0) E(rP ) = w AE(rA ) + w BE(rB ) r j - stopa przychodu (zwrotu) dla instrumentu j, w j - udział kapitału zainwestowanego w zakup papieru wartościowego j w portfelu (w A + w B =1). Wariancję stopy zwrotu dla portfela złożonego z dwóch pozycji wyznaczamy na podstawie wzoru: (1) σ P = w Aσ A + w Bσ B + w Aw BρABσ Aσ B ρ AB - współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu dla dwóch papierów wartościowych. Portfel złożony z wielu pozycji Wartość oczekiwana stopy zwrotu dla portfela złożonego z n inwestycji wynosi: () E(r p ) = w jr n j= 1 j r j - stopa przychodu (zwrotu) dla instrumentu j, w j - udział kapitału zainwestowanego w pozycję j w portfelu. Macierz wariancji dla portfela inwestycyjnego złożonego z n pozycji ma postać: T (3) σ = w Vw = [ w w... w ] σ w 1n 1 σ w n M M σ nn w n σ1 σ1 L σ 1 σ L P 1 n M M O σ n1 σ n L w j - udział kapitału zainwestowanego w pozycję j w portfelu, w - wektor tych udziałów (ze znakiem transpozycji T - poziomy), σ i - wariancja stóp zwrotu dla inwestycji i. σ ij - kowariancja pomiędzy stopami zwrotu dla inwestycji i oraz j, V - macierz wariancji i kowariancji. Wariancja portfela może być również zapisana w sposób następujący: 9

n (4) σ = w σ + w wσ P i= 1 i i n i=1 n j j= 1 i i j ij Wykorzystując definicję współczynnika korelacji, wariancję dla portfela inwestycyjnego możemy zapisać również w sposób następujący: 1 ρ1 L ρ wσ 1n 1 1 T (5) [ ] ρ1 1 L ρ = w σ n σ P u Ru = wσ 1 1 w σ... w nσ n M M O M M ρn1 ρn L 1 w nσ n w j - udział kapitału zainwestowanego w pozycję j w portfelu, σ j - odchylenie standardowe stóp zwrotu dla inwestycji j. u - wektor iloczynów w j σ j (ze znakiem transpozycji T - poziomy), ρ ij - współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu dla inwestycji i oraz j, R - macierz współczynników korelacji. Wariancja portfela może być zatem zapisana w sposób następujący: n (6) σ P = w iσi + w iwρ j i= 1 n i= 1 n = j j 1 i ij σσ. Nowoczesne mierniki ryzyka..1 VaR i j VaR (ang. Value at Risk) została przyjęta jako podstawowa i syntetyczna miara ryzyka w systemach RiskMetrics 3 oraz CreditMetrics 4 (J.P. Morgan). W kwietniu 1999 roku pojawił się system CorporateMetrics 5 z podstawowymi miernikami ryzyka: Earnings at Risk (EaR), Earnings-per-Share-at-Risk (EPSaR) oraz Cash-Flow at Risk (CFaR), będącymi odpowiednikami VaR. Dokument został przygotowany przez RiskMetrics Group (RMG). Termin VaR jest tłumaczony jako wartość zagrożona. VaR jest potencjalnym maksymalnym zmniejszeniem wartości np. portfela inwestycyjnego z określonym prawdopodobieństwem w określonym horyzoncie. Value at Risk jest potencjalną maksymalną stratą (zmniejszeniem wartości), możliwą do wystąpienia z określonym prawdopodobieństwem (np. 5%), zależną od zmienności cen, kursów, stóp procentowych, itd. oraz zależną od aktualnej wartości rynkowej pozycji, wartości portfela bądź wartości przedsiębiorstwa czy też banku. Im niższe jest założone prawdopodobieństwo, nazywane poziomem tolerancji 6, tym większa jest VaR. Im dłuższy jest horyzont, tym większa jest oczekiwana zmienność oraz większy jest poziom VaR. Oczekiwana zmienność zależy od horyzontu ryzyka. Zależność ta nie jest wprost 3 RiskMetrics TM Technical Document, Fourth Edition (December 1996) 4 CreditMetrics Technical Document, kwietnia 1997 J.P. Morgan & Co. Incorporated. 5 CorporateMetrics The Benchmark for Corporate Risk Management, Technical Document, RiskMetrics Group, kwiecień 1999 oraz Jongwoo Kim, Alan M.Malz, Jorge Mina, LongRun Technical Document, RiskMetrics Group, kwiecień 1999 6 Por. K. Jajuga, Value at Risk, Rynek Terminowy, nr 9/00 10

proporcjonalna. Stawiając prognozy zmienności czasami wykorzystuje się zasadę pierwiastka czasu (ang. square root of time rule) 7 : (7) σ d σ d = 1 σ 1 - odchylenie standardowe dla horyzontu jednego dnia, σ d - odchylenie standardowe dla horyzontu d dni. VaR wyraża potencjalne maksymalne zmniejszenie wartości portfela inwestycyjnego w założonym horyzoncie (jednego dnia, dwóch tygodni, miesiąca). Zmniejszenie wartości o więcej niż wyznaczony poziom VaR wystąpi z określonym małym prawdopodobieństwem (najczęściej przyjmuje się 5%). Prawdopodobieństwo, że stopa zwrotu będzie niższa (wartość portfela zmniejszy się bardziej niż VaR) wynosi 5%. Prawdopodobieństwo, że inwestor nie straci więcej niż VaR wynosi 95%. Często przyjmuje się, że stopa zwrotu dla portfela ma warunkowy rozkład normalny (założenia tego nie można stosować, gdy w portfelu są instrumenty o niesymetrycznym rozkładzie stóp zwrotu np. opcje). Jeśli stopa zwrotu r t jest zmienną losową z wartością oczekiwaną µ=0 (dla prognozy na 1 dzień), to: (8) { r 1,65σ } 5% P t = t t-1 1,65 - wartość standaryzowanej zmiennej rozkładu normalnego odpowiadającej prawdopodobieństwu 5%, σ t t-1 - warunkowe odchylenie standardowe kapitalizowanych w sposób ciągły stóp zwrotu. f(r) ( r < -1,65σ + µ ) 5% P = 1 0 1 0 ) r = -1,65σ 1 + µ 0 1 0 95% 5% stopa zwrotu r Rys.. Rozkład stopy zwrotu Źródło: Opracowanie własne. W przypadku portfela złożonego z jednego instrumentu finansowego zmiana wartości portfela może być ustalona na podstawie wzoru: 1,65σ t t 1 (9) VaR = [ 1 e ] Vt 1 e - stała Eulera (e=,7183), V t-1 - wartość portfela w momencie t-1. 7 Por. RiskMetrics TM Technical Document, Fourth Edition (December 1996), s. 87. 11

f(v) V t = e 1,65σ t t 1 V t 1 95% 5% V t V t-1 wartość Rys. 3. Value at Risk Źródło: Opracowanie własne. Dokonując zwykłej aproksymacji, VaR można zapisać jako: (30) VaR 1,65σ t Vt 1 t 1 VaR Iloczyn wartości standaryzowanej zmiennej t oraz odchylenia standardowego (1,65σ) jest nazywany statystyką VaR. Jest to odpowiedni (np. piąty) percentyl rozkładu stopy zwrotu. Statystyka t odpowiadająca prawdopodobieństwu zmniejszenia wartości Zmienność (wariancja) portfela, uwzględniająca korelacje pomiędzy pozycjami Wartość portfela (przedsiębiorstwa, banku) VaR 1,65σ t V t 1 t 1 Rys. 4. Czynniki VaR Źródło: Opracowanie własne. 1

W przypadku portfela inwestycyjnego złożonego z co najmniej dwóch pozycji można wykorzystać następujący bardzo wygodny zapis macierzowo - wektorowy: ) ) (31) VaR VRV T Vt- 1 V ) - wektor udziałów danego instrumentu w portfelu inwestycyjnym pomnożonych przez statystykę VaR, R - symetryczna macierz współczynników korelacji pomiędzy stopami zwrotu dla inwestycji w portfelu. Zapis ten jest równoważny następującemu prostemu zapisowi wykorzystującemu odchylenie standardowe dla portfela inwestycji: (3) VaR 1,65σ P V t 1 σ P - odchylenie standardowe dla portfela inwestycji. 13

Przykład 3. VaR dla jednego instrumentu Wartość rynkowa portfela wynosi 100 mln zł. Oczekiwana stopa zwrotu dla 1-dniowego horyzontu prognozy wynosi 0. Odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi 1%. Polecenia: 1. Podaj wzór na wartość portfela przy założeniu kapitalizacji ciągłej.. Ile wynosi prognozowana stopa zwrotu przy założeniu, że prawdopodobieństwo otrzymania niższej niż prognozowana stopy zwrotu wynosi 5%. 3. Wyznaczyć wartość portfela odpowiadającą prognozowanej stopie zwrotu. 4. Wyznaczyć potencjalną stratę (VAR). 5. Wyznaczyć potencjalną stratę (VAR) przy zastosowaniu zwykłej aproksymacji. Rozwiązanie Ad 1. Aktualna rynkowa wartość portfela wynosi 100 mln zł. Przyszła prognozowana wartość portfela V 1 wynosi: V = Ad. Przyjmujemy prawdopodobieństwo 5%, że stopa zwrotu r dla portfela będzie mniejsza niż stopa prognozowana ) P r < r = 5% ( ) ( < -1,65σ + µ ) 5% P r = 1 0 1 0 Wartość oczekiwana prognozowanej na 1 dzień stopy zwrotu jest równa zeru: µ 1 = 0 0 Prognozowana na 1 dzień stopa zwrotu dla portfela wynosi zatem: ) r = -1,65σ = -1,645% 1 0 Ad 3. Wartość portfela zmniejszona o potencjalną stratę wynosi: ) ) r V = V = 98,369 mln zł 1 0e Ad 4. Potencjalna strata wynosi: ) ) r VaR = V - V = V 1- ( ) 0 1 0 e r 1 V0e = 1,631 mln zł Ad 5. Potencjalna strata przy zastosowaniu zwykłej aproksymacji wynosi: α/ t t σ V 0 VaR = t σ V 0 5,00% 1,645 0,01645 100 1,645 mln zł 14

Przykład 4. VaR dla pozycji walutowej Bank ma pozycję walutową długą 5 mln USD. Kurs wynosi 4,00 zł/usd. Stopa zmiany kursu jest zmienną losową o warunkowym rozkładzie normalnym. Parametry tego rozkładu: średnia = 0; odchylenie standardowe 1,0%. Polecenia: 1. Podaj wartość pozycji w walucie krajowej.. Wyznaczyć potencjalną stratę (VAR) w ciągu najbliższego dnia dla poziomu istotności 5%,,5%, 0,5%. 3. Wyznaczyć potencjalną stratę (VAR), jeśli odchylenie standardowe stopy przychodu dla lokaty za granicą wynosi 0,5%, a współczynnik korelacji pomiędzy stopą przychodu dla lokaty za granicą a stopą zmian kursu waluty zagranicznej wynosi: -0,5. Rozwiązanie Ad 1. Ekspozycja na ryzyko zmiany kursu walutowego jest równa wartości pozycji walutowej wyrażonej w walucie krajowej, a więc 100 mln zł. Ad. Aby ustalić ryzyko związane z daną ekspozycją należy określić ryzyko związane ze zmiennością kursu. Ryzyko walutowe jest mierzone odchyleniem standardowym stopy zmian kursu. Odchylenie standardowe informuje, o ile przeciętnie stopa zmian kursu walutowego odchyla się od wartości średniej równej 0. Iloczyn zmiennej standaryzowanej t rozkładu normalnego i odchylenia standardowego mówi, do jakiego poziomu stopa zmiany kursu może obniżyć się przy założonym prawdopodobieństwie równym α/, że stopa ta znajdzie się w przedziale poniżej wyznaczonego poziomu. Iloczyn ten jest nazywany oczekiwaną zmiennością (expected volatiliy). VaR jest wyznaczana jako iloczyn: VaR t α σ V t t 1 t 1 V t-1 - wartość ekspozycji walucie krajowej (wartość ekspozycji w walucie obcej * kurs waluty obcej) t α σ t t 1 α/ V t-1 VaR 5,00% 1,645 1,0% 100 1,645 mln zł.,50% 1,960 1,0% 100 1,960 mln zł. 0,50%,576 1,0% 100,576 mln zł. Ad 3. Zmiana wartości ekspozycji w walucie krajowej zależy od następujących czynników: 1. stopy zmiany kursu waluty obcej,. stopy przychodu inwestycji za granicą (lokaty, obligacji itp.) 3. korelacji pomiędzy tymi stopami. 15

Dane są: 1. odchylenie standardowe stopy zmian kursu waluty zagranicznej = 1,0%. odchylenie standardowe stóp dla aktywów zagranicznych = 0,5% 3. współczynnik korelacji = -0,5 Wariancja stopy przychodu w walucie krajowej jest więc równa = 0,008% Odchylenie standardowe wynosi = 0,866% VaR wyznaczamy na podstawie znanego wzoru: VaR tασ r V H t 1 t α α/ σ rh V t-1 VaR 5,00% 1,645 0,866% 100 1,44 mln zł.,50% 1,960 0,866% 100 1,697 mln zł. 0,50%,576 0,866% 100,31 mln zł. VaR możemy wyznaczyć także na podstawie wzoru: W naszym przykładzie dla zmiennej t=1,645 mamy: V ) = 0,01644853 0,00847 R = ) V T = 0,01644853 0,00847 1-0,5-0,5 1 σ = σ + σ + ρ VaR ) ) VRV T V T więc V ) RV ) = 1,44% VaR = 1,44 mln zł. r H r z r d r r z d σ r z σ σ rh t-1 σ rd σ rz ρ r z r d r d.. Mierniki ryzyka marginalnego Ryzyko może być mierzone w kategoriach marginalnych wielkości mierników statystycznych. Marginalna statystyka dla danej pozycji jest wyznaczana jako różnica pomiędzy statystyką dla całego portfela a statystyką dla portfela bez określonej pozycji. Marginalna statystyka (np. odchylenie standardowe, bądź percentyl) wyraża wielkość zmniejszenia ryzyka wynikającą z usunięcia danej pozycji z portfela bądź zwiększenia ryzyka wynikającą z dodania danej pozycji do portfela (bez danej pozycji). Różnica pomiędzy wartością zwykłej statystyki a wartością statystyki marginalnej dla danej pozycji w portfelu jest interpretowana jako efekt dywersyfikacji. Stress Test Stress Test, nazywany testem skrajnych warunków, ma na celu ocenę ryzyka w skrajnych sytuacjach. Metoda polega na generowaniu skrajnych scenariuszy oraz obejmuje ocenę strat w przypadku wystąpienia ekstremalnego najgorszego scenariusza bądź szacunek prawdopodobieństwa wystąpienia takiego scenariusza. 16

3. Ryzyko walutowe 3.1 Teorie kursów walutowych Teoria parytetu siły kupna Teoria absolutnego parytetu siły kupna (PPP- ang. absolute purchasing power parity) uzależnia poziom kursu walutowego od poziomu cen w dwóch krajach: Pd (33) S 0 = Pf S 0 - kurs spot, P d - poziom cen w kraju, P f - poziom cen za granicą. Zgodnie z teorią względnego parytetu siły kupna (ang. relative purchasing power parity) oczekiwany poziom kursu zależy od stopy inflacji w kraju oraz stopy inflacji za granicą: (34) E(S) = S 0 ( 1+π dt) ( 1+π T) f E(S) - oczekiwany (prognozowany) poziom kursu, S 0 - kurs spot, π d - oczekiwana stopa inflacji w skali rocznej w kraju na okres T, π f - oczekiwana stopa inflacji w skali rocznej za granicą na okres T, T - okres prognozy wyrażony jako ułamek roku (liczba dni dzielona przez 365). Teoria Fishera Równanie Fishera przedstawia zależność wskaźnika zmian nominalnej stopy procentowej od wskaźnika zmian stopy realnej oraz wskaźnika stopy inflacji: N R (35) 1+ i T = ( 1+ i T)( 1+ πt) π - stopa inflacji, i N - nominalna stopa procentowa w skali rocznej, i R - realna stopa procentowa w skali rocznej. Jeśli stopy procentowe realne są w dwóch krajach takie same (taka sytuacja w praktyce występuje rzadko), to zachodzi relacja: (36) N ( 1+ i T) N ( 1+ i T) f d = ( 1+πdT) ( 1+π T) f i - nominalna stopa procentowa w skali rocznej w kraju, N d N i f - nominalna stopa procentowa w skali rocznej za granicą. Wykorzystując teorię parytetu siły kupna mamy wówczas zależność nazywaną międzynarodowym efektem Fishera (ang. international Fisher effect), zgodnie z którą 17

oczekiwany kurs waluty obcej jest zależny od aktualnego kursu spot, nominalnych stóp procentowych w dwóch krajach i horyzontu prognozy: (37) E(S) = S 0 N ( 1+ id T) N ( 1+ i T) f Zgodnie z teorią niepokrytego arbitrażu procentowego (ang. uncovered interest rate parity) prognozowany (oczekiwany) kurs spot waluty obcej jest równy kursowi forward: (38) E(S) = F Teoria bilansu płatniczego Kurs walutowy zależy od popytu na walutę obcą i podaży waluty obcej. Zwiększenie popytu na walutę obcą powoduje wzrost kursu (aprecjację) waluty obcej (ceny jednostki waluty obcej wyrażonej w walucie krajowej). Zwiększenie podaży waluty obcej powoduje obniżenie kursu (deprecjację) waluty obcej. Popyt i podaż na waluty obce zależą bezpośrednio od strumieni pieniężnych występujących w bilansie płatniczym kraju. Teorie monetarna Model Frenkela, Kouri i Mussy W teorii monetarnej mamy dwa modele. Pierwszy z nich, którego autorami są Frenkel, Kouri i Mussa, jest nazywany modelem elastycznych cen (ang. flexible price monetary model). Obniżenie (zwiększenie) stóp procentowych przez bank centralny powoduje zwiększenie (zmniejszenie) podaży pieniądza. Zwiększenie (zmniejszenie) podaży pieniądza przy założeniu sztywnego popytu powoduje wzrost (spadek) cen produktów. Wzrost (spadek) cen powoduje wzrost (spadek) kursu waluty obcej (zgodnie z teorią PPP). Bank centralny obniżając (podwyższając) stopy procentowe wpływa na wzrost (spadek) kursu waluty obcej. Wzrost (spadek) kursu waluty obcej oznacza deprecjację (aprecjację) waluty krajowej. Model Dornbusha Model, którego autorem jest Dornbusch, jest nazywany modelem sztywnych cen (ang. sticky price monetary model). Autor twierdzi, że ceny produktów są bardziej sztywne niż ceny na rynku kapitałowym. Ceny produktów nie reagują szybko na wzrost podaży pieniądza. Nominalne zwiększenie podaży pieniądza powoduje zatem realne zwiększenie podaży pieniądza i spadek krajowych stóp procentowych. 3. Stopa przychodu dla pozycji niezabezpieczonej Jeśli stopa przychodu od posiadanych aktywów zagranicznych wynosi r z, to stopa przychodu w walucie krajowej uwzględniająca stopę zmiany kursu waluty zagranicznej r d wynosi: (39) r = (1+ r )(1+ r ) 1 N z W przybliżeniu jest równa: (40) r N rz + rd d 18

Jeśli zastosujemy stopy kapitalizacji ciągłej, to mamy (41) ln(1+ rn ) = ln(1+ rz ) + ln(1+ rd ) bądź * * * (4) r = r + r N z d 3.3 Stopa przychodu dla pozycji zabezpieczonej Zabezpieczenie posiadanej pozycji długiej poprzez sprzedaż kontraktów forward, zapewnia osiągnięcie stopy przychodu równej: (43) r = r + h(r f) H N d Ujemna wartość współczynnika zabezpieczenia h (ang. hedge ratio) oznacza, że należy sprzedać kontrakty forward bądź futures 8. Aby zabezpieczyć przed ryzykiem zarówno kapitał (np. lokatę walutową w banku zagranicznym), jak i odsetki otrzymywane w walucie zagranicznej, współczynnik zabezpieczenia powinien wynosić h= -(1+r z *T). Przy pełnym zabezpieczeniu pozycji przed ryzykiem kursowym oraz dla T=1 powyższy wzór przyjmuje postać: (44) r = (1+ r )(1+ r ) 1 (1+ r )(r f) = (1+ r )(1+ f) 1 H Wyrażenie: z d z d St F (45) rd f = S0 jest różnicą pomiędzy stopą zmiany kursu waluty obcej a premią forward. Jest to tzw. stopa zwrotu kontraktu forward (ang. forward contract return) z punktu widzenia inwestora kupującego kontrakt forward, bądź też tzw. niespodzianka forward (ang. forward surprise). z Zabezpieczenie posiadanej pozycji długiej poprzez sprzedaż kontraktów forward, zapewnia osiągnięcie stopy przychodu równej: (46) rh = (1+ rz )(1+ rd ) 1+ h(rd f) rz + rd + h(rd f) r z - stopa przychodu od posiadanych aktywów zagranicznych, r d - stopa zmiany kursu waluty zagranicznej, h - współczynnik zabezpieczenia, f - premia forward. Współczynnik zabezpieczenia h można zastąpić wyrażeniem h=h-1. Współczynnik H jest nazywany współczynnikiem ekspozycji na ryzyko walutowe (ang. currency exposure ratio). Jeśli pozycja walutowa długa jest zabezpieczona, H przyjmuje wartość 0, jeśli jest niezabezpieczona H przyjmuje wartość 1. 8 W przypadku sprzedaży instrumentów pochodnych (w tym kontraktów forward bądź futures) współczynnik zabezpieczenia ma wartość ujemną, w przypadku zakupu ma wartość dodatnią. Jest to bardzo wygodna konwencja, która ma znaczenie przy złożonych z wielu instrumentów strategiach zabezpieczania pozycji przy wykorzystaniu instrumentów pochodnych. Znak współczynnika h informuje o tym, co powinniśmy zrobić: sprzedać czy kupić. 19

Stopa przychodu może być wyznaczona w przybliżeniu na podstawie wzoru: (47) r r + r + (H 1)(r f) = r + f + H(r f) H z d d z Dla H=1 (pozycja niezabezpieczona) stopa przychodu jest równa stopie przychodu od posiadanych aktywów zagranicznych powiększonej o (nie znaną z góry) stopę zmiany kursu waluty zagranicznej: (48) r N rz + rd Dla H=0 (pozycja zabezpieczona) stopa przychodu jest równa stopie przychodu od posiadanych aktywów zagranicznych powiększonej o premię forward (obie wielkości są znane z góry): (49) r r f H z + Zależności pomiędzy stopą zwrotu dla pozycji zabezpieczonej oraz stopą zwrotu dla pozycji niezabezpieczonej są przedstawione na poniższym rysunku. d Pozycja niezabezpieczona Stopa zwrotu forward Pozycja zabezpieczona N z d ( r d f ) r r + r r r f + ( r d f ) Rys. 5. Pozycja niezabezpieczona i zabezpieczona Źródło: Opracowanie własne. H z + 0

Przykład 5. Zabezpieczenie pozycji walutowej Bank ma otrzymać 10 mln USD za 1 rok (wykup bonów). Stopa zwrotu YTM= 5%. Kurs spot = 4,00 zł/usd, Stopa wolna od ryzyka w kraju wynosi 1%. Stopa wolna od ryzyka za granicą wynosi 5%. Polecenia: 1. Wyznaczyć stopę zwrotu w walucie krajowej, gdy kurs spot zmieni się o +- 10%, 0%, 30%?. Wyznaczyć stopę zwrotu w walucie krajowej, gdy pozycja jest zabezpieczona transakcją forward. Wyznaczyć kurs forward. Jakie są korzyści/straty w stosunku do pozycji niezabezpieczonej? Porównać stopę korzyści dla pozycji zabezpieczonej ze stopą wolną od ryzyka w kraju. 3. Wyznaczyć stopę zwrotu w walucie krajowej dla strategii covered call oraz strategii protective put. Kurs bazowy = 4,00 zł/usd, odchylenie standardowe 10%. 4. Jak zabezpieczyć się przed ryzykiem walutowym przy wykorzystaniu transakcji swap? Przedstawić strumienie pieniężne transakcji swap zawartej na 1 rok. Jakie transakcje na rynku kapitałowym replikują swap walutowy? Rozwiązanie Ad 1. Sytuacja w t=0 Ekspozycja netto w wal. zagr. Kurs spot Wartość w walucie krajowej 9,54 mln USD 4,00 zł/usd 38,095 mln zł Pozycja niezabezpieczona w t=1 Stopa zmiany kursu spot -30,0% -0,0% -10,0% 0,0% 10,0% 0,0% 30,0% Ekspozycja netto w wal. zagr. 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 Kurs spot,80 3,0 3,60 4,00 4,40 4,80 5,0 Wartość w walucie krajowej pozycji niezabezpieczonej 8,000 3,000 36,000 40,000 44,000 48,000 5,000 Stopa zwr. w walucie krajowej -6,5% -16,0% -5,5% 5,0% 15,5% 6,0% 36,5% Stopa przychodów za granicą r z 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% St. zmiany kursu waluty obcej r d -30,0% -0,0% -10,0% 0,0% 10,0% 0,0% 30,0% Stopa zwrotu w walucie krajowej (1+r z )(1+r d )-1-6,5% -16,0% -5,5% 5,0% 15,5% 6,0% 36,5% Stopa zwrotu w walucie krajowej w przybliżeniu r z +r d -5,0% -15,0% -5,0% 5,0% 15,0% 5,0% 35,0% 1