Zadania z fizyki Wydział Elektroniki Ruch prostoliniowy Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale również obowiązkowe. Zad. (c). W eksperymencie ornitologicznym burzyk (gatunek ptaka) został przetransportowany ze swojego gniazda na odległość 55 km i natychmiast uwolniony. Ptak powrócił do gniazda 3,5 dnia po wypuszczeniu. Wybierzmy początek układu odniesienia w miejscu gniazda i skierujmy oś x w kierunku miejsca, w którym wypuszczono ptaka. Jaka była średnia prędkość ptaka (a) w locie powrotnym do gniazda; (b) w czasie całej podróży tam i z powrotem? (c) Jeśli transport do miejsca uwolnienia ptaka zajął 4 godziny, to jaka była średnia wartość bewzględna jego prędkości w czasie całej podróży? Zad.. Analiza trzęsienia ziemi. Trzęsienia ziemi generują różne rodzaje fal uderzeniowych. Najpowszechniej znane są fale P (od primary - główne lub pressure - ciśnienie, ewentualnie od podłużne ) i fale S (od secondary - drugorzędne lub shear - ścinające, poprzeczne). W skorupie ziemskiej prędkości fal P i S wynoszą odpowiednio około 6,5 km/s i 3,5 km/s (dokładne wartości zależą od lokalnego materiału). Odstęp czasu pomiędzy nadejściem tych dwóch fal do stacji sejsmologicznej niesie informację o odległości od miejsca wystąpienia trzęsienia ziemi. Jeśli ten odstęp czasu wynosi 33 s, jak daleko od stacji sejsmologicznej miało miejsce trzęsienie ziemi? Zad. 3(c). Samochód rusza po zapaleniu się zielonego światła i zaczyna poruszać się po prostej drodze w taki sposób, że jego odległość od świateł dana jest zależnością x(t) = bt ct 3, gdzie b =,4 m/s, a c =, m/s 3. (a) Oblicz średnią prędkość samochodu w przedziale czasu of t = do t =, s. (b) Oblicz chwilową prędkość samochodu w chwilach czasu t =, t = 5, s i t =, s. (c) Po jakim czasie samochód znowu znajdzie się w spoczynku? Zad. 4. Prędkość samochodu jako funkcja czasu jest opisana równaniem v x (t) = α + βt, gdzie α = 3, m/s, a β =, m/s 3. (a) Oblicz średnie przyspieszenie samochodu w przedziale czasu od t = do t = 5, s. (b) Oblicz przyspieszenie chwilowe w t = i t = 5, s. (c) Narysuj wykresy v x (t) i a x (t) dla ruchu tego samochodu w przedziale czasu od t = do t = 5, s. Zad. 5. Żółw pełznie po prostej, którą utożsamimy z osią x o kierunku dodatnim w prawo. Równanie opisujące położenie żółwia w funkcji czasu ma postać x(t) = 5, cm + (, cm/s)t (,65 cm/s )t. (a) Znajdź początkowe położenie, początkową prędkość i początkowe przyspieszenie żółwia. (b) W jakiej chwili czasu prędkość żółwia wynosi zero? (c) Po jakim czasie od chwili wyruszenia żółw powróci do swojego początkowego położenia? (d) W jakich chwilach czasu żółw znajduje się, cm od punktu startu? Jaka jest prędkość żółwia (wartość i zwrot) w każdej tych chwil? (e) Naszkicuj wykresy zależności x(t), v x (t) i a x (t) w przedziale czasu od t = do t = 4 s.
Zad. 6. Punkt materialny porusza się wzdłuż osi x zgodnie z równaniem x(t) = αt + βt, gdzie α = 3, m/s, β =,5 m/s. Znaleźć: (a) średnią prędkość w ciągu pierwszych,, 6, i s ruchu; (b) średnią wartość prędkości w ciągu pierwszych 5, s ruchu; Zad. 7*. Idąc na uczelnię, studentka przebyła połowę drogi z prędkością o wartości v. Pozostałe pół drogi przeszła, idąc przez połowę czasu z prędkością równą co do wartości v, a przez drugą połowę czasu z prędkością v. Znaleźć średnią wartość prędkości studentki na całej drodze. Zad. 8(c). Na rysunku obok przedstawiono zalezność x(t) dla ruchu prostoliniowego pewnego obiektu. Narysuj schematyczne diagramy a ilustrujące położenie, prędkość i przyspieszenie tego obiektu w chwilach czasu odpowiadajacych każdemu z zaznaczonych punktów. Dla przykładu przedstawiono diagram dla punktu A. a Patrz Young, Freedman, University Physics, rozdz.. x A B a x x A v x C D E x t Zad. 9(c). Na rysunku obok przedstawiono przykładowy wykres ruchu pewnego punktu dźwięczącej struny fortepianu. (a) W których okresach czasu prędkość punktu jest dodatnia, a w których ujemna? (b) W których chwilach prędkość punktu wynosi zero? (c) W jakich chwilach punkt porusza się z największą co do wartości prędkością, a w jakich z największym przyspieszeniem? (d) W których przedziałach czasu wartość prędkości rośnie, a w których maleje? Zad.. Punkt materialny porusza się po prostej w jednym kierunku. Na rysunku obok przedstawiono zależność jego drogi s od czasu t. Posługując się tym wykresem wyliczyć: (a) średnią prędkość w tym ruchu; (b) maksymalną prędkość; (c)* czas t, w którym prędkość chwilowa jest równa średniej prędkości w przedziale czasu od do t ; (d) średnie przyspieszenie w siągu pierwszych i 6 s ruchu. Zad. (c). Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości v pewnego obiektu poruszającego się wzdłuż osi x. W chwili początkowej (t = ) obiekt ten znajdował się w punkcie x =. Naszkicuj wykresy zależności przyspieszenia a, położenia x i przebytej drogi s od czasu. x [mm] x (m) v (m/s).5.5 -.5 - -.5 4 8 6 4 8 t [s] 3 - - 3 4 5 6 7 8
Zad.. Istnieją przyrządy umożliwiające zapis wykresów przedstawiających w funkcji czasu zmiany przyspieszenia poruszającego się wagonu. Przykład takiego wykresu pokazany jest na rysunku obok. (a) W jakich przedziałach czasu ruch opisany na wykresie odbywał się z przyspieszeniem dodatnim, w jakich z ujemnym, a w jakich był to ruch jednostajny (z zerowym przyspieszeniem)? (b) Sporządź przybliżony wykres prędkości odpowiadający temu wykresowi przyspieszenia. Co jeszcze trzeba wiedzieć, by to zrobić? Zad. 3*. Na rysunku obok przedstawiono wykres zależności przyspieszenia wagonu od przebytej drogi (po torze prostoliniowym). (a) Scharakteryzuj ruch na poszczególnych odcinkach (ruch jednostajny, przyspieszony); (b) Co można powiedzieć o początkowej i końcowej prędkości wagonu, jeśli pola A i B na wykresie są równe? a (m/s ) a (m/s ).6.4. -. 5 5. A B -. -.4 3 x (m) Zad. 4. Udowodnij zależności dla ruchu ze stałym przyspieszeniem w kierunku x v x = v x + a x (x x ) oraz x x = (v x + v x )t. Zad. 5(c). Antylopa biegnąca po prostej ze stałym przyspieszeniem przebywa odległość dzieląca dwa punkty odległe o 7, m w czasie 7, s. Jej prędkość w momencie mijania drugiego punktu wynosi 5, m/s. (a) Jaka była prędkość antylopy w pierwszym punkcie? (b) Jakie jest jej przyspieszenie? Zad. 6. Serwis w tenisie. W najszybszym zarejestrowanym serwisie tenisowym piłka opuściła rakietę z prędkością 73,4 m/s. W czasie zagrania serwisowego piłka jest w kontakcie z rakietą typowo przez ok. 3 ms i rozpoczyna swój ruch ze stanu spoczynku. Przyjmijmy, że przyspieszenie piłki jest stałe. (a) Jakie jest przyspieszenie piłki w czasie zagrania? (b) Jakie jest przemieszczenie piłki w czasie kontaktu z rakietą? Zad. 7. Poduszka powietrzna. Ludzkie ciało może przetrwać urazy wywołane przyspieszeniem (w przypadku nagłego zatrzymania) jeśli wartość przyspieszenia nie przekracza 5 m/s. Jeśli ulegniesz wypadkowi jadąc z prędkością 5 km/h i zostaniesz zatrzymany(a) przez poduszkę powietrzną, to na jakiej minimalnej drodze musi następować hamowanie ruchu ciała przez poduszkę, żebyś przeżył(a) tę kraksę? Zad. 8. Biegacz, biegnąc po prostej, przyspiesza jednostajnie od stanu spoczynku do prędkości v = 5 m/s w czasie t = s. Następnie biegnie jednostajnie z prędkością v przez czas t = s. Jakie jest przyspieszenie biegacza w pierwszej fazie biegu? Narysuj wykresy zależności przyspieszenia, prędkości oraz położenia biegacza od czasu w przedziale czasu t (, t + t ). 3
Zad. 9(c). Podrzucamy piłkę pionowo, stojąc na krawędzi wysokiego budynku. Początkowa prędkość piłki ma wartość 5, m/s. Spadając, piłka mija krawędź dachu. Znajdź: (a) położenie i prędkość piłki po, s i po 4, s lotu; (b) prędkość piłki, gdy znajduje się ona 5, m powyżej krawędzi dachu; (c) maksymalną osiągniętą przez piłkę wysokość oraz czas, po jakim to nastąpi; (d) przyspieszenie piłki w najwyższym punkcie toru; (e) czas, po jakim piłka znajdzie się 5, m poniżej krawędzi dachu. Wyjaśnij znaczenie drugiego, niefizycznego rozwiązania ostatniego zagadnienia. Zad.. Wystrzelona pionowo do góry rakieta podczas trwającego 5 s działania jej silnika ma stałe skierowane do góry przyspieszenie równe g. Po ustaniu pracy silnika porusza się ona z przyspieszeniem g skierowanym w dół. (a) Wykonaj wykres v z (t) dla całego lotu rakiety (oś z jest skierowana pionowo ze zwrotem w górę). (b) Oblicz maksymalną wysokość osiągniętą przez rakietę. (c) Oblicz, po jakim czasie od wystrzelenia rakieta powróci na ziemię. Zad.. Bomba wulkaniczna zostaje wyrzucona z wulkanu pionowo w górę z początkową prędkością 4, m/s. Można pominąć opór powietrza. (a) Po jakim czasie od chwili jej wyrzucenia bomba ma prędkość, m/s w górę? (b) Po jakim czasie ma ona prędkość, m/s w dół? (c) Kiedy jej przemieszczenie względem początkowego położenia wynosi zero? (d) Kiedy jej prędkość wynosi zero? (e) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia, kiedy bomba (i) porusza się w górę; (ii) porusza się w dół; (iii) znajduje się w najwyższym punkcie? (f) Naszkicuj wykresy z(t), v z (t) i a z (t) dla tego ruchu (oś z jest osią pionową i ma zwrot w górę). Zad.. Test na refleks. Metrowa linijka zwisa pionowo nad twoją dłonią w taki sposób, że jej koniec znajduje się pomiędzy twoim kciukiem a palcem wskazującym. Twoim zadaniem jest złapać linijkę w palce, gdy zacznie ona spadać. Możesz obliczyć czas swojej reakcji na podstawie przemieszczenia linijki, odczytanego bezpośrednio jako pozycja twoich palców na podziałce po złapaniu linijki. (a) Znajdź związek pomiędzy czasem reakcji a zmierzonym przemieszczeniem. (b) Jeśli przemieszczenie wynosi 7,6 cm, to jaki był czas reakcji? Zad. 3(c). Kierowca samochodu porusza się ze stałą prędkością 5 m/s w miejscu, gdzie dozwolona prędkość wynosi 3 km/h. W pewnym momencie mija policjanta stojącego na motorze w bocznej uliczce. Policjant natychmiast rozpoczyna pościg za samochodem ze stałym przyspieszeniem 3, m/s. (a) Ile czasu zajmie policjantowi dogonienie winowajcy? (b) Jaką będzie miał wtedy prędkość? Ruch samochodu i policjanta zilustruj na wykresie x(t) i v(t). Zad. 4*. W biegu na metrów dwaj zawodnicy: A i B dobiegają do mety równocześnie w czasie sekund. A potrzebuje s, a B 3 s na osiągnięcie maksymalnej prędkości, która potem się już nie zmienia do końca biegu. Podać: (a) maksymalne prędkości i przyspieszenia obu sprinterów; (b) ich maksymalną prędkość względną; (c) który z nich prowadzi po 6 sekundach biegu. Wykonać rysunek i podać graficzną interpretację odpowiedzi. Zad. 5*. Łódź motorowa płynąca w dół rzeki mija w punkcie A spływającą z prądem tratwę. Po 6 minutach łódź zawraca i i ponownie mija tę samą tratwę 6, km poniżej punktu A. Silnik łodzi przez cały czas pracuje jednakowo. Znaleźć prędkość prądu rzeki (przyjąć, że jest ona stała i wszędzie jednakowa). Wskazówka: zastanów się nad opisem tej sytuacji w układzie odniesienia związanym z tratwą (czyli poruszającym się z prądem rzeki). Zad. 6*. Pogoń za autobusem. Studentka, chcąc uniknąć spóźnienia na poranny wykład z fizyki, rusza w pogoń za autobusem stojącym na przystanku i biegnie z prędkością 5, m/s. Gdy do autobusu pozostaje jej jeszcze 4, m, rusza on z przystanku ze stałym przyspieszeniem 4
,7 m/s. (a) Jak długo studentka musi jeszcze biec z tą samą prędkością, nim dogoni autobus i jaką odległość przebiegnie w tym czasie? (b) Gdy dogania autobus, jaka jest jego prędkość? (c) Naszkicuj zależność x(t) dla autobusu i studentki. Przyjmij początkowe położenie studentki jako x =. (d) Równania użyte w punkcie (a) do znalezienia czasu mają jeszcze jedno rozwiązanie, odpowiadające późniejszej chwili, w której autobus i studentka znów znajdą się w jednym miejscu, jeśli będą się nadal poruszać tak, jak opisano wyżej. Wyjaśnij znaczenie tego drugiego rozwiązania. Jaka jest prędkość autobusu w tym momencie? (e) Gdyby studentka potrafiła biec jedynie z prędkością 3,5 m/s, to czy dogoniłaby autobus? (f) Jaka jest najmniejsza prędkość studentki umożliwiająca jej dogonienie autobusu? Ile trwa pogoń i jaką odległość przebiegnie studentka w tym przypadku? 5