Modelowanie ryzyka kredytowego: Model Mertona - estymacja

Modelowanie ryzyka kredytowego: Model Mertona - estymacja Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2010 Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 1 / 18

Estymacja wartości aktywów i ich zmienności 1 Problem w zastosowaniu Modelu Mertona: Rzadko kiedy możemy obserwować wartość aktywów firmy V, o ich zmienności σ V już nie wspominając. 2 Pozostaje nam estymowanie obydwu wartosci z obserwowanych cen akcji firmy przy założeniu że znamy wartość nominalną długu. Zasadniczo wygląda to bardzo prosto: Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 2 / 18

W modelu Mertona mamy Stosując wzór Ito otrzymujemy S t = C(V t, L, σ v, r, T t) ds t = (...)dt + v C(V t, L, σ V, r, T t)σ V V t dw t Jaka jest zmienność cen akcji σ S (t)? otrzymujemy więc ds t = (...)dt + σ S (t)s t dw t = (...)dt + v C(V t, L, σ V, r, T t)σ V V t S t S t dw t σ S (t) = v C(V t, L, σ V, r, T t)σ V V t S t Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 3 / 18

Jeżeli obserwujemy S t i σ S (t) to mamy dwa równania z dwiema niewiadomymi V t i σ V S t = C(V t, L, σ v, r, T t) σ S (t) = v C(V t, L, σ V, r, T t)σ V V t S t Otrzymane nieliniowe równani można rozwiązać numerycznie i otrzymać V t i σ V, ale mamy PROBLEM σ S nie jest parametrem ale procesem stochastycznym!! 1 Jeżeli dźwignia L t := Vt S t jest mała to C (V t ) jest bardzo bliskie 1. 2 Wtedy σ S (t) σ V V t S t = σ V L t. 3 Jeżeli ponadto L t nie zmienia się bardzo przez obserwowany okres to S wygląda jak geometryczny ruch Brown a i można sprobować estymować jego parametry tak jak w modelu Black a Scholes a. Vassalou i Xing(2004) zaproponowali pewien schemat iteracyjny który działa dobrze nawet gdy zmiany L t w obserwowanym okresie są znaczące. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 4 / 18

Vassalou i Xing Załóżmy, że zaobserwowaliśmy szereg czasowy cen akcji S t0, S t1,..., S tn. W n-tym kroku otrzymujemy z estymacji zmienności σv n poprawioną estymację σv n+1. 1 Obliczyć V t0 (σv n ),..., V t N (σv n ) z S t 0,..., S tn odwracając funkcję C jako funkcję V. 2 Estymować σv n+1 tak jakby V t0 (σv n ),..., V t N (σv n ) było geometrycznym ruchem Browna tzn. gdzie σ n+1 V = ξ = 1 N t 1 N t N ln i=1 ( N ln i=1 ( Vti V ti 1 ) ( Vti V ti 1 ) ξ) 2, = 1 ( ) N t ln VtN. V t0 3 Korzystając z poprawionej estymacji σv n+1 wykonujemy podaną procedure ponownie wstawiając σv n+1 w miejsce σv n+1. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 5 / 18

Opisana procedura wymaga pewnej wartości początkowej σ 0 V i warunku zatrzymania. Jako warunek początkowy można wziąść np. trakując S jak w modelu Blacka Scholes a i stosując poprawkę z L t tzn. 1 Estymować zmienność akcji jak w modelu Blacka-Scholes a wtedy otrzymujemy pewne σ S. 2 Stosując wzór σ S (t) = L t σ V wyznaczyć σ V. Uwaga W praktyce okazuje się że ta procedura jest szybko zbieżna i wybór punktu startu nie jest bardzo ważny. Uwaga Zaletą tej metody jest to że można ją bardzo szybko zaimplementować!! Wynik numeryczne pokazują, że estymator jest nie identyczny ale bardzo bliski estymatorowi największej wiarogodności (MLE) którym się teraz zajmiemy. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 6 / 18

Estymacja MLE w modelu Mertona Przypomnimy elementarny wyniki z rachunku prawdopodobieństwa/statystyki. Niech X będzie zmienną losową o gęstości na R n danej funkcją f (x 1,..., x n ; θ), gdzie θ jest parametrem o wartościach w pewnym otwartym podzbiorze Θ R k. Niech T R n R n które zależy od θ, piszemy skrótowo y = T (x; θ) dla y = (T 1 (x; θ),..., T n (x; θ)). Załóżmy że T jest 1 na 1 i różniczkowalna w sposób ciągły dla każdego θ. Niech T 1 oznacza odwzorowanie do T odwrotne względem x przy ustalonym theta tzn. x = T 1 (y; θ) y = T (x; θ). Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 7 / 18

Niech J T oznacza Jakobian T który jest dany wzorem. x 1 T 1 (x; θ) x n T 1 (x; θ) J T (x) = det.. x 1 T n (x; θ) x n T n (x; θ) gęstość zmiennej losowej Y = T (X ; θ) jest dana wzorem g(y; θ) = f (T 1 (y; θ))j T 1(y; θ) = f (T 1 1 (y; θ)) J T (T 1 (y; θ)). Weźmy szczególne przekształcenie T takie że y 1 = T 1 (x 1 ; θ),..., y n = T 1 (x n ; θ), wtedy pochodne xi T j = 0 dla i j i otrzymujemy 1 n J T (T 1 (y; θ)) = i=1 1 xi T i (Ti 1 (y i ; θ); θ) Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 8 / 18

Przyjmując dla uproszczenia zapisu mamy x i (θ) = T 1 (y i ; θ) 1 n J T (T 1 (y; θ)) = i=1 1 xi T i (Ti 1 (y i ; θ); θ) W modelu Mertona proces aktywów firmy V jest rozwiązaniem SDE dv t = µv t dt + σv t dw t parametrami są więc µ i σ. Z postaci rozwiązani mamy że gęstość warunkowa V ti pod warunkiem V ti jest postaci φ(v i v i 1 ; µ, θ) [ 1 = σ 2π(t i t i 1 ) exp ln(v i /v i 1 ) (µ 1 2 σ2 )(t i t i 1 ) 2σ 2 (t i t i 1 ) ] 2 1 v i. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 9 / 18

Z własności markowa gęstość łączna V t1,..., V tn pod warunkiem V 0 = v 0 natomiast jest postaci n φ(v 1,..., v n v 0, µ, σ) = φ(v i v i 1 ; µ, θ) Gdybyśmy obserwowali V to moglibyśmy teraz przejść do wyprowadzenia estymatora MLE. Jednakże obserwujemy S -cenę akcji. Wiemy natomiast jaki jest związek między ceną akcji a wartością aktywów w modelu Mertona i=1 S ti = C(V ti ; σ, T t i ) korzystając z tego związku możemy napisać postać gęstości obserwowanych wielkości S t1,..., S tn i otrzymujemy n 1 L(s 1,..., s n s 0, σ, µ) = φ(v i (σ) v i 1 (σ); µ, θ) C i (v i(σ); σ) gdzie i=1 v i (σ) = C 1 (s i ; σ, T t i ), C i := v C(v i(σ), σ, T t i ), Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 10 / 18

Stąd zlogarytmowana funkcja wiarogodności jest log L(s 1,..., s n s 0, µ, σ) = 1 2 n log 2π n log σ 1 2 1 2σ 2 n i=1 n 1 n v i=1 i (σ) i=1 n log(t i t i 1 ) i=1 [ ln(v i (σ)/v i 1 (σ)) (µ 1 2 σ2 )(t i t i 1 ) log N(d 1 (σ)). t i t i 1 Dla ustalonego σ obserwowane S 0 daje nam ustaloną wartość V 0. Jednak ponieważ maksymalizujemy po σ to znajdujemy V 0 w procedurze estymacji. Kiedy ta wartość jest znana to otrzymujemy cały ciąg V t1 ( σ),..., V tn ( σ) które zgadzają się z prawdziwymi wartościami aktywów jeżeli σ jest równa prawdziwej wartości. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 11 / 18 ] 2

Eksperyment Przedstawiona metoda działa całkiem dobrze jeżeli spełnione są założenia modelu. Zilustruje to następujący przykład. Wykonaliśmy symulację symulację startując z V 0 = 100 na 50 tygodni do przodu obserwacji aktywów firmy o zmienności σ = 0.2 i µ = 0.1. Na koniec roku otrzymaliśmy V 1 = 103.48. Dla otrzymanych wyników symulacji zastosowaliśmy procedurę MLE i otrzymaliśmy dla długu o terminie wykupu 3 lata wyniki Uwaga Nominał V 1 σ SD σ µ SD µ 30 103.41 0.197 0.025 0.068 0.232 60 103.45 0.201 0.025 0.049 0.242 90 103.14 0.219 0.045 0.034 0.239 Błąd estymacji dryfu jest bardzo duży!! Stosowanie tej metody do wyznaczenia rzeczywistych prawdopodobieństw bankructwa jest obarczone dużym ryzykiem. Błąd nie dotyka V 1 ponieważ V 1 nie zależy od µ. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 12 / 18

Opisaną procedure można zastosować w innych modelach (np. Black-Cox), tutaj mogliśmy napisać bezpośrednią postać funkcji wiarogodności. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 13 / 18

KMV - model Mertona w praktyce W 1990 powstała firma KMV - (założyciele Kealhofer, McQuown i Vasicek) która wprowadziła bardzo popularna implementacje modelu Mertona (od 2002 Moody s KMV). Spójrzmy na model Mertona przy prawdopodobieństwie rzeczywistym. Mamy wtedy V T = V 0 e (µ σ2 /2)T +σ V W T Wtedy prawdopodobieństwo skończenia poniżej L ( ln V 0 L P(V T L) = 1 N + (µ ) σ2 /2)T =: EDF Merton σ V T nazywamy Oczekiwaną Częstością Defaultów (Expected-Default-Frequency), DD Merton := ln V 0 L + (µ σ2 /2)T σ V T = E P(ln V T ) ln L σ V T mierzy Odległość od Defaultu (Distance-to-Default) w modelu Mertona. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 14 / 18

Zauważmy, że 1 Jeżeli w T mamy V T = L to mamy DD Merton = 0. 2 W modelu Mertona DD Merton może być ujemna. Można wykorzystać wielkości do DD Merton do sprawdzenia czy model jest dobry do szacowania prawdopodobieństw bankructwa. Jak?? Można np sprawadzić jak dobrze DD Merton w historii przewidywało bankructwo. 1 Ustalić horyzont T = 1. 2 Podzielić DD na przedziały wystarczająco duże aby w każdym przedziale było wystarczająco dużo firm, i wystarczająco małe aby prawdopodobieństwo defualtów w przedziale było można uznać za stałe na tym przedziale. 3 Wyznaczyć empiryczne częstości bankructw dla danych przedziałów. 4 Wtedy częstość rzeczywistych bankructw w każdym przedziale można uznać za dobre przybliżenie prawdopodobieństwa bankructwa dla danego przedziału. Porównać empiryczne częstości z modelowymi. 5 W praktyce okazuje się, że empiryczne częstości defaultów znacznie różnią się od tych przewidywanych przez model Mertona Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 15 / 18

1 Pomimo tego DD może być dobrym sposobem mierzenia ryzyka kredytowego firm, dzielenia ich na różne klasy ryzyka. 2 Można liczyć DD i stosować empiryczne/historyczne dane do szacowania prawdopodobieństw defaultów. 3 Moody s KMV stosuje właśnie taką idee, biorąc nieco inną odległość od defaultu w horyzoncie T=1 rok DD KMV := 1 σ V V 0 L V 0, gdzie punkt defaultu L stosowany przez KMV jest zadany wzorem L := short-term debt + 0, 5 long-term debt. Taki wybór ma odzwierciedlać fakt, że dla długów krótkoterminowych nominał będzie wymagany do spłacenie szybciej, a w przypadku długu długoterminowego w horyzoncie 1 roku wymagane będą do spłacenia tylko kupony. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 16 / 18

1 Korzystając z bazy danych historycznych defaultów firma KMV dla ustalonego horyzontu T estymuje proporcje firm które zbankrutowały w danym horyzoncie czasu o DD KMV leżącym w ustalonym małym przedziale. 2 Ta proporcja jest empiryczną estymacją EDF. Jest to oczywiście malejąca funkcja DD KMV. 3 Gdzie tu jest ukryty model Mertona? 4 W estymacji wartości aktywów firmy V 0 i ich zmienności σ V. 5 Implicite KMV zakłada że firmy o tym samym DD KMV mają takie samo prawdopodobieństwo defaultu. 6 W DD KMV nie uwzględniamy dryfu który ma istotny wpływ na prawdopodobieństwo defaultu. 7 Jeżeli horyzont jest krotki np 1 rok to ma to jego wpływ jest mały. Co innego dla średnich i długich horyzontów. Jak widzieliśmy estymacja dryfu metodą największej wiarogodności jest obarczona dużym błędem więc można argumentować, że uwzględnianie jego w DD nie dodaje żadnej informacji. Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 17 / 18

Literatura Crosbie, P. i Bohn, J. Modeling default risk, Moodys KMV web page, 2003 Bohn, J. R. A survey of contingent-claims approaches to risky debt valuation, Journal of Risk Finance 1:1 18, 2000. Duan, J. Maximum likelihood estimation using price data of the derivatives contract, Mathematical Finance 4:155 167, 1994 (Correction: 2000 Mathematical Finance 10(4):461 462.) Ericsson, J. i J. Reneby. The valuation of corporate liabilities: theory and tests. Working paper, McGill University, Montreal. 2001. Ericsson, J. i J. Reneby. Estimating structural bond pricing models. Working paper, McGill University, Montreal. 2002 Hull J., Nelken I. i White A. Merton s Model, Credit Risk, and Volatility Skews Journal of Credit Risk Vol 1, No 1 (2004) 1-27 Niewęgłowski (MiNI PW) Model Mertona Warszawa 2010 18 / 18