Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Mateusz Błażej Nr albumu: 308521 Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Projekt zaliczeniowy z przedmiotu: Analiza Szeregów Czasowych Praca wykonana pod kierunkiem dr. Pawła Strawińskiego z Katedry Statystyki i Ekonometrii WNE UW Warszawa, czerwiec 2013
ś ą Ś ś ś ż ś ł ś ó ą ą ś ż ó Ę ńą ą ą ą Ę
SPIS TREŚCI WSTĘP... 3 ROZDZIAŁ I. Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 1988 r. marzec 2013 r... 4 1.1. Opis danych... 4 1.2. Dekompozycja... 5 1.3. Modele ekstrapolacyjne... 6 1.3.1. Model podwójnego wygładzania wykładniczego... 6 1.3.2. Model sezonowy Holta-Wintersa... 8 1.4. Model SARIMA... 9 1.4.1. Oszacowanie modelu... 14 1.4.2. Prognoza... 19 ROZDZIAŁ II. Inflacja w Danii w okresie styczeń 1998 r. marzec 2013 r.... 21 2.1. Opis danych... 21 2.2. Dekompozycja... 22 2.3. Modele ekstrapolacyjne... 23 2.3.1. Model podwójnego wygładzania wykładniczego... 23 2.3.2. Model sezonowy Holta-Wintersa... 25 1.4. Model ARIMA... 26 1.4.1. Oszacowanie modelu... 29 1.4.2. Prognoza... 34 ZAKOŃCZENIE... 36 ZESTAWIENIE SPISÓW... 37 2
WSTĘP Celem pracy jest przeanalizowanie dwóch szeregów czasowych jednego sezonowego oraz drugiego niesezonowego. Przeprowadzono dekompozycję szeregów czasowych, dopasowano do nich odpowiednie modele z klas ARIMA/SARIMA oraz dokonano prognoz z modeli klas ARIMA, SARIMA oraz za pomocą modeli ekstrapolacyjnych. 3
ROZDZIAŁ I Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 1988 r. marzec 2013 r. 1.1. Opis danych Pierwszym analizowanym szeregiem jest bezrobocie w Danii w okresie od stycznia 1983 r. do marca 2013 r. włącznie. Dane zostały opublikowane na stronie Europejskiego Banku Centralnego, gdzie uaktualniane są ostatniego dnia każdego miesiąca (ostatnia dostępna statystyka pochodzi z marca 2013 r.), jednak dla zachowania ciągłości okresów rocznych zakończono zbiór danych na ostatnim miesiącu 2012 r. Są to statystyki miesięczne, gdzie pierwszym okresem jest styczeń 1983 r., a ostatnim marzec 2013 r., stąd przeprowadzona praca opiera się na 363 obserwacjach (3 ostatnie obserwacje wykorzystywane zostaną tylko do porównania prognoz). Na rysunku 1 przedstawiony został wykres zjawiska. Rys. 1. Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 1988 r. grudzień 2012 r. 4
Po analizie wykresu można stwierdzić, że bezrobocie nie wykazuje trendu, w początkowych okresach rosło, następnie mało, dalej wielokrotnie różnił się kierunek zmian wartości. Na rysunku 2 przedstawiony został wykres bezrobocia od stycznia 2007 r. Rys. 2. Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 2007 r. grudzień 2012 r. Rysunek 2 potwierdza występującą sezonowość zauważalną również na rysunku 1 odzwierciedlającym cały okres badanego zjawiska. Typowo dla bezrobocia spadek następuje w miesiącach letnich, ponieważ wzrasta podaż pracy w turystyce oraz rolnictwie. 1.2. Dekompozycja Eliminacja czynnika sezonowego z szeregu bezrobocia nastąpiła z użyciem filtru Baxtera- Kinga. Jest to filtr pasmowy wpływający jedynie na amplitudę wahań. W procesie filtracji eliminuje zarówno wahania krótkookresowe, jak i wahania długookresowe (trend). Na rysunku 3 przedstawione zostały przebiegi trzech szeregów: oryginalnego bezrobocia, wygładzonego bezrobocia po użyciu filtru Baxtera-Kinga oraz wyodrębnionego czynnika 5
sezonowego. Zakres jest krótszy o rok od okresu dla danych dla bezrobocia z racji użycia metody średniej ruchomej dla 12 miesięcy przez ten filtr. Rys. 3. Dekompozycja bezrobocia 1.3. Modele ekstrapolacyjne Przeprowadzono prognozy za pomocą dwóch modeli: podwójnego wygładzania wykładniczego oraz sezonowego Holta-Wintersa. Ze względu na brak występowania trendu, jest możliwe, że model podwójnego wygładzania wykładniczego okaże się najlepszy. Prognozy wykonane są na 3 pierwsze miesiące 2013 r. Następnie porównane były z faktycznymi danymi, które zostały już opublikowane, po czym oszacowano błędy prognoz i wybrano najlepszy model. 1.3.1. Model podwójnego wygładzania wykładniczego W szeregu występują zarówno wahania sezonowe, jak i przypadkowe, stąd prognoza za pomocą podwójnego modelu wykładniczego nie jest idealna. Na rysunku 4 przedstawiony jest 6
wykres faktycznego bezrobocia oraz oszacowanego za pomocą modelu podwójnego wygładzania wykładniczego wraz z prognozą na pierwsze 3 miesiące 2013 r. Rys. 4. Bezrobocie model podwójnego wygładzania wykładniczego Prognoza jest słaba. Potwierdza to między innymi oszacowany średni absolutny błąd procentowy, który wynosi 9,61%. Dokładne miary jakości prognozy przedstawione zostały w tabeli 1. Tabela. 1. Bezrobocie miary jakości prognozy modelu podwójnego wygładzania wykładniczego Błąd Model Podwójnego wygładzania wykładniczego MSE 0,61 MAE 0,76 MAPE 9,61% AMAPE 5,06% 7
1.3.2. Model sezonowy Holta-Wintersa Wybrana została addytywna wersja modelu Holta-Wintersa. Nie występuje jednoznaczny trend, jednak oprócz wahań sezonowych pojawiają się również wahania przypadkowe, co sugeruje wybór właśnie tego wariantu. Próby oszacowania parametrów przez oprogramowanie Stata okazały się nieskuteczne, stąd zdecydowano się na próby ręcznego ustawienia optymalnych wartości w celu jak najlepszego wyboru modelu na podstawie jak najmniejszych miar błędów. Po kilkudziesięciu próbach zdecydowano się na prognozę z parametrami kolejno 0,1, 0,3 i 0,65. Dla pewności zdecydowano się na oszacowanie modelu w wersji multiplikatywnej, jednak jego oszacowania były mniej dokładne od wersji addytywnej (szczegóły w do-file). Na rysunku 5 przedstawiony jest wykres faktycznego bezrobocia oraz oszacowanego za pomocą modelu sezonowego Holta-Wintersa w wersji addytywnej z parametrami kolejno 0.1, 0.3 i 0.65 wraz z prognozą na pierwsze 3 miesiące 2013 r. Rys. 5. Bezrobocie model sezonowy Holta-Wintersa w wersji addytywnej Jakość prognozy za pomocą modelu sezonowego modelu Holta-Wintersa w wersji addytywnej jest zdecydowanie lepsza niż z użyciem modelu podwójnego wykładniczego. 8
Potwierdzają to miary jakości prognoz. Precyzyjnie porównanie oszacowanych wartości przedstawione zostało w tabeli 2. Tabela. 2. Bezrobocie porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego i sezonowego Holta-Wintersa Błąd Model Podwójnego wygładzania wykładniczego Sezonowy Holta-Wintersa MSE 0,61 0,02 MAE 0,76 0,09 MAPE 9,61% 1,12% AMAPE 5,06% 0,55% 1.4. Model SARIMA Celem jest dopasowanie modelu SARIMA do badanego szeregu czasowego. Posłużono się procedurą Boxa-Jenkinsa. Konieczne jest, by analizowana zmienna była w postaci stacjonarnej. W celu usunięcia sezonowości zróżnicowano szereg. Wykres zróżnicowanego sezonowo bezrobocia przedstawia rysunek 6. 9
Rys. 6. Bezrobocie zróżnicowane sezonowo Po analizie rysunku 6 można przypuszczać, że szereg nie jest stacjonarny. Przed przystąpieniem do weryfikacji testowej, sprawdzono autokorelację reszt. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 87.970 1 0.0000 2 93.009 2 0.0000 3 95.581 3 0.0000 4 97.854 4 0.0000 5 98.406 5 0.0000 6 101.043 6 0.0000 7 105.256 7 0.0000 8 105.358 8 0.0000 9 109.124 9 0.0000 10 113.386 10 0.0000 11 117.672 11 0.0000 12 138.268 12 0.0000 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation 10
Dla pierwszych dwunastu opóźnień odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji reszt, stąd występuje autokorelacja reszt. Za pomocą rozszerzonego testu Dickeya-Fullera uwzględniającego jedno opóźnienie sprawdzono stacjonarność szeregu. Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 346 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -3.257-3.452-2.876-2.570 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0169 Na poziomie istotności 5% odrzucono hipotezę zerową o niestacjonarności szeregu. Postanowiono sprawdzić dodatkowo stacjonarność za pomocą testu KPSS. 11
KPSS test for bezrobocie_niesezonowe Maxlag = 16 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: bezrobocie_niesezonowe is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0.999 1.505 2.341 3.26 4.212 5.18 6.158 7.141 8.128 9.118 10.11 11.104 12.0985 13.0942 14.0905 15.0874 16.0848 Statystyka testowa dla sześciu opóźnień jest większa od statystyki krytycznej 0.146 (na 5% poziomie ufności), a więc odrzucono hipotezę zerową o stacjonarności szeregu. Biorąc pod uwagę test KPSS oraz przebieg wykresu na rysunku 6, zróżnicowano szereg. Na rysunku 7 przedstawiony jest wykres pierwszej różnicy zróżnicowanego wcześniej sezonowo szeregu bezrobocia. 12
Rys. 7. Bezrobocie pierwsza różnica zróżnicowanego sezonowo szeregu Na podstawie rysunku 7 można przypuszczać, że już pierwsza różnica doprowadziła szereg do postaci stacjonarnej. W celu weryfikacji przeprowadzono rozszerzony test Dickeya- Fullera uwzględniający jedno opóźnienie. Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 345 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -8.401-3.452-2.876-2.570 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0000 Na dowolnie przyjętym istotności odrzucono hipotezę zerową o niestacjonarności szeregu. Postanowiono sprawdzić dodatkowo stacjonarność za pomocą testu KPSS. 13
KPSS test for bezrobocie_roznicowane Maxlag = 16 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: bezrobocie_roznicowane is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0.0775 1.0521 2.0416 3.037 4.0342 5.0325 6.031 7.0296 8.0285 9.0274 10.0267 11.0264 12.0267 13.0274 14.0283 15.0293 16.0304 Statystyka testowa dla szesnastu opóźnień jest mniejsza od statystyki krytycznej 0.146 (na 5% poziomie ufności), a więc brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o stacjonarności szeregu. 1.4.1. Oszacowanie modelu Kolejnym krokiem jest wybór odpowiednich rzędów sezonowych (P, Q) w modelu SARIMA. Pomocne mogą okazać się wykresy funkcji autokorelacji oraz cząstkowej autokorelacji przedstawione na rysunkach 8 i 9. 14
Rys. 8. Bezrobocie autokorelacja Rys. 9. Bezrobocie cząstkowa autokorelacja 15
Wykresy ACF i PACF wskazują na istotność czternastu i dwunastu opóźnień, stąd rząd sezonowy będzie wynosił jeden. Porównano różne kombinacje rzędów sezonowych procesów. Ostatecznie wybrano AR i MA kolejno 0 i 1. Następnie ustalone zostały rzędy regularnych procesów AR i MA. Porównano wiele modeli, gdyż, ze względu na niewzorcowy charakter przebiegu wykresów ACF i PACF oraz brak możliwości wygenerowania rozszerzonej funkcji autokorelacji przez oprogramowanie Stata, określenie rzędów regularnych procesów AR i MA było utrudnione. Ostatecznie dokonano wyboru między trzema porównywalnymi modelami przedstawionymi w tabeli 3. Tabela. 3. Bezrobocie początkowe porównanie modeli SARIMA Model df ll AIC BIC arima(1,1,0) sarima(0,1,1,12) 4 136,25-264,50-249,11 arima(0,1,2) sarima(0,1,1,12) 5 136,50-263,00-243,75 arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) 5 138,26-266,53-247,28 Wszystkie parametry oprócz stałej okazały się istotne statystycznie. Na podstawie tabeli 2 dokonano wyboru modelu arima(1,1,0) sarima(0,1,1,12) ze względu na najmniejszą liczbę parametrów oraz najmniejsze bayesowskie kryterium informacyjne. Przy użyciu testu Portmanteau sprawdzono, czy reszty są białym szumem. Portmanteau test for white noise --------------------------------------- Portmanteau (Q) statistic = 55.9028 Prob > chi2(40) = 0.0487 Na poziomie istotności 5% odrzucono hipotezę zerową, że reszty są białym szumem. Odrzucono więc wcześniej wybrany model i na podstawie tabeli 4 dokonano kolejnego wyboru. 16
Tabela. 4. Bezrobocie końcowe porównanie modeli SARIMA Model df ll AIC BIC arima(2,0,0) sarima(0,1,1,12) 5 137,81-265,63-246,37 arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) 5 138,26-266,53-247,28 W obydwu modelach reszty okazują się białym szumem. Jednak korzystniejsza statystyka testowa wychodzi w przypadku modelu arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12), co obok lepszych wszystkich statystyk decyduje o wyborze jako docelowego. Poniżej przedstawione zostały dokładne statystyki. Sample: 1984m2-2012m12 Number of obs = 347 Wald chi2(3) = 223.07 Log likelihood = 138.2634 Prob > chi2 = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ DS12. OPG bezrobocie Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- bezrobocie _cons.0015213.0096664 0.16 0.875 -.0174245.0204672 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA ar L1..3954011.0507887 7.79 0.000.2958572.494945 L2..107245.0513514 2.09 0.037.0065981.2078919 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA12 ma L1. -.4630039.0427554-10.83 0.000 -.5468028 -.3792049 -------------+---------------------------------------------------------------- /sigma.1617161.0052191 30.99 0.000.1514868.1719453 ------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------- Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+---------------------------------------------------------------. 347. 138.2634 5-266.5267-247.2801 ----------------------------------------------------------------------------- 17
Korelogramy reszt dla modelu wyglądają następująco. -1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] ------------------------------------------------------------------------------- 1 0.0061 0.0061.01304 0.9091 2 0.0178 0.0179.12474 0.9395 3-0.0497-0.0500.99258 0.8030 4-0.0407-0.0411 1.5766 0.8130 5 0.0130 0.0153 1.6364 0.8968 6 0.0617 0.0625 2.9901 0.8101 7 0.1094 0.1084 7.2511 0.4032 8-0.0184-0.0211 7.3718 0.4971 9 0.1600 0.1695 16.549 0.0563 - - 10-0.0107 0.0053 16.59 0.0839 11-0.0456-0.0484 17.341 0.0982 12-0.0125-0.0094 17.397 0.1353 13-0.0928-0.1031 20.519 0.0830 14-0.1242-0.1592 26.129 0.0249-15 0.0314 0.0122 26.49 0.0332 16-0.0712-0.1275 28.344 0.0288-17 0.0603 0.0674 29.68 0.0287 18 0.0163 0.0006 29.777 0.0397 19 0.0329 0.0626 30.178 0.0496 20-0.0652-0.0086 31.751 0.0460 21 0.0105 0.0617 31.792 0.0614 22 0.0105 0.0502 31.833 0.0803 23-0.0324 0.0279 32.226 0.0955 24 0.0365 0.0000 32.724 0.1100 25-0.0354-0.0272 33.196 0.1262 26-0.0446-0.0959 33.946 0.1364 27-0.0565-0.1249 35.153 0.1350 28 0.1016 0.0898 39.07 0.0798 29 0.0209-0.0070 39.237 0.0972 30-0.0094-0.0421 39.27 0.1198 31-0.0763-0.0941 41.504 0.0985 32-0.0901-0.0633 44.624 0.0682 33-0.0137 0.0157 44.697 0.0841 34-0.0146-0.0227 44.78 0.1022 35 0.0585 0.0942 46.108 0.0991 36-0.0362-0.0287 46.619 0.1107 37 0.0285 0.0466 46.937 0.1268 38-0.0526-0.0406 48.019 0.1279 39-0.0735-0.0774 50.144 0.1089 40 0.0139 0.0020 50.22 0.1291 18
Dodatkowo przedstawione zostało potwierdzenie, że na podstawie testu Portmanteau reszty są białym szumem. Portmanteau test for white noise --------------------------------------- Portmanteau (Q) statistic = 50.2195 Prob > chi2(40) = 0.1291 Na poziomie istotności 5% brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a więc reszty są białym szumem. 1.4.2. Prognoza Wykonano dwunastomiesięczną prognozę dynamiczną dla 2012 r., na następnie porównano wyniki z rzeczywistymi wartościami bezrobocia tego roku. Rysunek 10 przedstawia rzeczywiste wartości oraz prognozę. Rys. 10. Bezrobocie model arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) 19
Prognoza za pomocą modelu arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) nie wydaje się być dokładna. Potwierdzają to miary jakości prognoz. Precyzyjnie porównanie oszacowanych wartości przedstawione zostało w tabeli 5. Tabela. 5. Bezrobocie porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego, sezonowego Holta-Wintersa oraz arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) Błąd Model Podwójnego wygładzania wykładniczego Sezonowy Holta-Wintersa arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) MSE 0,61 0,02 0,24 MAE 0,76 0,09 0,38 MAPE 9,61% 1,12% 5,26% AMAPE 5,06% 0,55% 2,52% Model arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12) okazuje się lepszy od modelu podwójnego wygładzania wykładniczego, gorszy natomiast od sezonowego Holta-Wintersa. Jednak ten ostatni miał narzucone parametry, tak by zminimalizować błędy prognozy, co sugeruje wybór modelu arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12), jako docelowego, do szacowania wartości bezrobocia w kolejnych okresach. 20
ROZDZIAŁ II Inflacja w Danii w okresie styczeń 1998 r. marzec 2013 r. 1.5. Opis danych Drugim analizowanym szeregiem jest inflacja w Danii w okresie od stycznia 1998 r. do marca 2013 r. włącznie. Jako inflację należy rozumieć zharmonizowane wskaźniki cen konsumpcyjnych (HICP) obliczane są według ujednoliconej metodologii Unii Europejskiej przez kraje członkowskie. Wybrano wariant - zmiana cen (w %) - 12-miesięczna średnia ruchoma. Dane zostały opublikowane na stronie Europejskiego Banku Centralnego, gdzie uaktualniane są ostatniego dnia każdego miesiąca (ostatnia dostępna statystyka pochodzi z marca 2013 r.), jednak dla zachowania ciągłości okresów rocznych zakończono zbiór danych na ostatnim miesiącu 2012 r. Są to statystyki miesięczne, gdzie pierwszym okresem jest styczeń 1998 r., a ostatnim marzec 2013 r., stąd przeprowadzona praca opiera się na 183 obserwacjach (3 ostatnie obserwacje wykorzystywane zostaną tylko do porównania prognoz). Na rysunku 11 przedstawiony został wykres zjawiska. Rys. 11. Inflacja w Danii w okresie styczeń 1998 r. grudzień 2012 r. 21
Po analizie wykresu można stwierdzić, że inflacja nie wykazuje trendu, wielokrotnie różnił się kierunek zmian wartości. Na rysunku 12 przedstawiony został wykres inflacji od stycznia 2007 r. Rys. 12. Inflacja w Danii w okresie styczeń 2007 r. grudzień 2012 r. Rysunek 12 potwierdza brak występowania sezonowości, które jest niezauważalne również na rysunku 11 odzwierciedlającym cały okres badanego zjawiska. 1.6. Dekompozycja Eliminacja czynnika sezonowego z szeregu inflacji nastąpiła z użyciem filtru Hodricka- Prescotta. Jest on standardową procedurą, której celem jest określenie długookresowych tendencji w makroekonomicznych szeregach czasowych. Na rysunku 13 przedstawione zostały przebiegi trzech szeregów: oryginalnego inflacji, wygładzonej inflacji po użyciu filtru Hodricka-Prescotta oraz wyodrębnionych wahań. 22
Rys. 13. Dekompozycja inflacji 1.7. Modele ekstrapolacyjne Przeprowadzono prognozy za pomocą dwóch modeli: podwójnego wygładzania wykładniczego oraz Holta-Wintersa. Ze względu na brak występowania trendu, jest możliwe, że model podwójnego wygładzania wykładniczego okaże się najlepszy. Prognozy wykonane są na 3 pierwsze miesiące 2013 r. Następnie porównane były z faktycznymi danymi, które zostały już opublikowane, po czym oszacowano błędy prognoz i wybrano najlepszy model. 1.7.1. Model podwójnego wygładzania wykładniczego Prognoza za pomocą modelu wykładniczego nie jest dobra. Na rysunku 14 przedstawiony jest wykres faktycznej inflacji oraz oszacowanej za pomocą modelu podwójnego wygładzania wykładniczego wraz z prognozą na pierwsze 3 miesiące 2013 r. 23
Rys. 14. Inflacja model podwójnego wygładzania wykładniczego Prognoza jest słaba. Potwierdza to między innymi oszacowany średni absolutny błąd procentowy, który wynosi 15,57%. Dokładne miary jakości prognozy przedstawione zostały w tabeli 6. Tabela. 6. Inflacja miary jakości prognozy modelu podwójnego wygładzania wykładniczego Błąd Model Podwójnego wygładzania wykładniczego MSE 0,11 MAE 0,31 MAPE 15,57% AMAPE 7,13% 24
1.7.2. Model sezonowy Holta-Wintersa Nie zaobserwowano wahań sezonowych. Wybrana została multiplikatywna wersja modelu Holta-Wintersa. Próby ustalenia parametrów przez oprogramowanie Stata okazały się skuteczne, stąd oszacowano prognozę z parametrami alpha = 0,8406 i beta = 0,7859. Na rysunku 15 przedstawiony jest wykres faktycznej inflacji oraz oszacowanej za pomocą modelu Holta-Wintersa w wersji multiplikatywnej z parametrami kolejno 0,8406 i 0,7859 wraz z prognozą na pierwsze 3 miesiące 2013 r. Rys. 15. Inflacja model Holta-Wintersa w wersji multiplikatywnej Prognoza za pomocą modelu Holta-Wintersa jest minimalnie lepsza niż z użyciem modelu podwójnego wykładniczego, jednak obydwie nie są satysfakcjonujące. Potwierdzają to miary jakości prognoz. Precyzyjnie porównanie oszacowanych wartości przedstawione zostało w tabeli 7. 25
Tabela. 7. Inflacja porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego i Holta-Wintersa Podwójnego Model wygładzania Błąd wykładniczego Holta-Wintersa MSE 0,11 0,11 MAE 0,31 0,31 MAPE 15,57% 15,53% AMAPE 7,13% 7,11% Przyczyną tak słabej jakość prognoz jest gwałtowny spadek wartości inflacji w trzech pierwszych miesiącach 2013 r. Gdyby oszacowano prognozę przykładowo dla trzech ostatnich miesięcy 2012 r. miary jakości prognoz byłyby dużo lepsze. 1.8. Model ARIMA Celem jest dopasowanie modelu ARIMA do badanego szeregu czasowego. Posłużono się procedurą Boxa-Jenkinsa. Konieczne jest, by analizowana zmienna była w postaci stacjonarnej. Przed przystąpieniem do weryfikacji testowej, sprawdzono autokorelację reszt. Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 95.261 1 0.0000 2 112.760 2 0.0000 3 112.869 3 0.0000 4 114.756 4 0.0000 5 114.786 5 0.0000 6 115.192 6 0.0000 7 116.128 7 0.0000 8 116.229 8 0.0000 9 116.705 9 0.0000 10 116.727 10 0.0000 11 116.876 11 0.0000 12 121.716 12 0.0000 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation 26
Dla pierwszych dwunastu opóźnień odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji reszt, stąd występuje autokorelacja reszt. Za pomocą rozszerzonego testu Dickeya-Fullera uwzględniającego jedno opóźnienie sprawdzono stacjonarność szeregu. Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 178 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -2.923-3.484-2.885-2.575 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0427 Na poziomie istotności 5% odrzucono hipotezę zerową o niestacjonarności szeregu. Postanowiono sprawdzić dodatkowo stacjonarność za pomocą testu KPSS. KPSS test for inflacja Maxlag = 13 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: inflacja is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0.782 1.394 2.266 3.202 4.165 5.141 6.124 7.112 8.103 9.0959 10.0907 11.0868 12.0838 13.0815 27
Statystyka testowa dla czterech opóźnień jest większa od statystyki krytycznej 0.146 (na 5% poziomie ufności), a więc odrzucono hipotezę zerową o stacjonarności szeregu. Biorąc pod uwagę test KPSS, zróżnicowano szereg. Na rysunku 16 przedstawiony jest wykres pierwszej różnicy inflacji. Rys. 16. Inflacja pierwsza różnica szeregu Na podstawie rysunku 16 można przypuszczać, że już pierwsza różnica doprowadziła szereg do postaci stacjonarnej. W celu weryfikacji przeprowadzono rozszerzony test Dickeya- Fullera uwzględniający jedno opóźnienie. Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 177 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -3.320-3.484-2.885-2.575 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0140 28
Na poziomie istotności 5% odrzucono hipotezę zerową o niestacjonarności szeregu. Postanowiono sprawdzić dodatkowo stacjonarność za pomocą testu KPSS. KPSS test for inflacja_roznicowana Maxlag = 13 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: inflacja_roznicowana is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0.171 1.0999 2.0707 3.0561 4.0471 5.0413 6.0374 7.0347 8.0329 9.0318 10.0311 11.031 12.0313 13.0319 Statystyka testowa dla trzynastu opóźnień jest mniejsza od statystyki krytycznej 0.146 (na 5% poziomie ufności), a więc brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o stacjonarności szeregu. 1.8.1. Oszacowanie modelu Kolejnym krokiem jest wyznaczenie rzędów części autoregresyjnej (AR) oraz średniej ruchomej (MA) modelu ARIMA. Do tego celu wykorzystane mogą być wykresy funkcji autokorelacji oraz cząstkowej autokorelacji przedstawione na rysunkach 17 i 18. 29
Rys. 17. Inflacja autokorelacja Rys. 18. Inflacja cząstkowa autokorelacja 30
Sinusoidalny kształt autokorelacji i istotność dwóch pierwszych wypustek na wykresie PACF sugerowałaby wybór drugiego rzędu regularnego procesu AR. Jednak istotne są również późniejsze wypustki na wykresie PACF, stąd porównano wiele modeli, gdyż, ze względu na niewzorcowy charakter przebiegu wykresów ACF i PACF oraz brak możliwości wygenerowania rozszerzonej funkcji autokorelacji przez oprogramowanie Stata, określenie rzędów regularnych procesów AR i MA było utrudnione. Ostatecznie dokonano wyboru między dwoma porównywalnymi modelami przedstawionymi w tabeli 8. Pozostałe modele zostały odrzucone ze względu na nieistotność niektórych parametrów lub zauważalny brak wystąpienia białego szumu reszt (szczegóły w dofile). Tabela. 8. Inflacja początkowe porównanie modeli ARIMA Model df ll AIC BIC arima(1,1,2) 5 219,74-429,47-413,54 arima(2,1,0) 4 220,47-432,94-420,19 Przypuszczenia odnośnie drugiego rzędu regularnego procesu AR okazały się prawdziwe. Każde kryterium jest korzystniejsze od występującego w konkurencyjnym modelu. Wszystkie parametry oprócz stałej okazały się istotne statystycznie. Na podstawie tabeli 8 dokonano wyboru modelu arima(2,1,0) ze względu na najmniejszą liczbę parametrów, najmniejsze kryteria informacyjne oraz najwyższy logarytm wskaźnika wiarygodności. Przy użyciu testu Portmanteau sprawdzono, czy reszty są białym szumem. Portmanteau test for white noise --------------------------------------- Portmanteau (Q) statistic = 72.5692 Prob > chi2(40) = 0.0012 Na poziomie istotności 5% odrzucono hipotezę zerową, że reszty są białym szumem. Odrzucono więc wcześniej wybrany model i na podstawie tabeli 7 wybrano model arima(1,1,2). Okazało się, że i w tym przypadku reszty nie są białym szumem. Postanowiono sprawdzić wszystkie kombinacje rzędów regularnych procesów AR i MA. Korzystny wydawał się model arima(2,1,4), jednak jeden parametr oprócz stałej okazał się nieistotny statystycznie - reszty były białym szumem. Poniżej przedstawione zostały dokładne statystyki. 31
Sample: 1998m2-2012m12 Number of obs = 179 Wald chi2(6) = 13791.27 Log likelihood = 237.8626 Prob > chi2 = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ OPG D.inflacja Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- inflacja _cons.0035632.0202665 0.18 0.860 -.0361583.0432848 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA ar L1. 1.764505.0516982 34.13 0.000 1.663179 1.865832 L2. -.8474885.0492457-17.21 0.000 -.9440084 -.7509687 ma L1. -1.477465.0901657-16.39 0.000-1.654186-1.300743 L2..7549661.1515314 4.98 0.000.45797 1.051962 L3. -.2250358.1406645-1.60 0.110 -.5007331.0506616 L4..2854836.0826956 3.45 0.001.1234031.447564 -------------+---------------------------------------------------------------- /sigma.0630684.0040167 15.70 0.000.0551959.0709409 ------------------------------------------------------------------------------ Zdecydowano się na wybór modelu z jeszcze większą ilością parametrów. Model arima(3,1,5) miał najmniejsze kryteria informacyjne oraz najwyższy logarytm wskaźnika wiarygodności. Dodatkowo reszty okazały się białym szumem. Tabela 9 przedstawia porównanie modeli arima(2,1,4) i arima(3,1,5). Tabela. 9. Inflacja końcowe porównanie modeli ARIMA Model df ll AIC BIC arima(2,1,4) 8 237,86-459,73-434,23 arima(3,1,5) 9 242,28-466,56-437,88 Korelogramy reszt dla wybranego modelu wyglądają następująco. 32
-1 0 1-1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] ------------------------------------------------------------------------------- 1-0.0082-0.0082.01215 0.9122 2 0.0185 0.0187.07507 0.9632 3-0.0042-0.0042.07832 0.9943 4 0.0727 0.0739 1.0568 0.9011 5-0.0778-0.0810 2.1835 0.8232 6-0.0178-0.0243 2.2427 0.8961 7-0.0293-0.0216 2.4049 0.9341 8 0.0601 0.0614 3.0899 0.9286 9-0.0302-0.0212 3.2634 0.9529 10 0.1248 0.1254 6.2508 0.7938-11 0.0547 0.0610 6.8268 0.8129 12-0.2324-0.2846 17.308 0.1384 - -- 13-0.0624-0.0594 18.068 0.1550 14-0.0469-0.0492 18.499 0.1850 15 0.0765 0.1284 19.654 0.1856-16 0.0294 0.0941 19.825 0.2282 17-0.0102-0.0434 19.846 0.2822 18 0.1370 0.1232 23.625 0.1677-19 -0.0232-0.0843 23.734 0.2066 20-0.0674-0.0947 24.659 0.2148 21 0.0593 0.0574 25.38 0.2311 22-0.0637 0.0157 26.218 0.2425 23-0.1275-0.0710 29.592 0.1615-24 -0.0117-0.0738 29.621 0.1976 25 0.0346-0.0112 29.874 0.2291 26 0.0691 0.0154 30.884 0.2326 27-0.0327 0.0157 31.112 0.2666 28-0.0118-0.0065 31.142 0.3108 29-0.0078-0.0309 31.155 0.3581 30-0.0715 0.0020 32.267 0.3552 31 0.0136-0.0003 32.307 0.4020 32 0.0446 0.0512 32.745 0.4303 33 0.0412 0.1147 33.121 0.4613 34-0.0109-0.0540 33.148 0.5092 35 0.0200-0.0504 33.238 0.5534 36 0.0664-0.0116 34.235 0.5527 37-0.0308-0.0657 34.452 0.5891 38-0.0590 0.0275 35.253 0.5972 39 0.0245 0.1031 35.392 0.6352 40-0.0051 0.0097 35.398 0.6773 33
szumem. Sprawdzono za pomocą testu Portmanteau czy w przypadku tego modelu reszty są białym Portmanteau test for white noise --------------------------------------- Portmanteau (Q) statistic = 35.3983 Prob > chi2(40) = 0.6773 Na poziomie istotności 5% brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a więc reszty są białym szumem. 1.8.2. Prognoza Wykonano krótkookresową prognozę dynamiczną dla pierwszych trzech miesięcy 2013 r., na następnie porównano wyniki z rzeczywistymi wartościami bezrobocia odnotowanego w tych miesiącach. Rysunek 19 przedstawia rzeczywiste wartości oraz prognozę. Rys. 19. Inflacja model arima(3,1,5) 34
Prognoza za pomocą modelu arima(3,1,5) nie wydaje się być dokładna. Potwierdzają to miary jakości prognoz. Precyzyjnie porównanie oszacowanych wartości przedstawione zostało w tabeli 10. Tabela. 10. Inflacja porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego, Holta-Wintersa oraz arima(3,1,5) Błąd Model Podwójnego wygładzania wykładniczego Holta-Wintersa arima(3,1,5) MSE 0,11 0,11 0,13 MAE 0,31 0,31 0,34 MAPE 15,57% 15,53% 16,94% AMAPE 7,13% 7,11% 7,71% Model arima(3,1,5) okazał się gorszy zarówno od modelu podwójnego wygładzania wykładniczego, jak i Holta-Wintersa. Gwałtowny spadek inflacji w pierwszych trzech miesiącach 2013 r. sprawia, że bardzo trudny jest wybór optymalnego modelu. 35
ZAKOŃCZENIE Celem pracy było przeanalizowanie dwóch szeregów czasowych sezonowego bezrobocia oraz niesezonowej inflacji. Dla każdego z szeregów dopasowany trzy modele: podwójnego wygładzania wykładniczego, (sezonowego) Holta-Wintersa oraz (S)ARIMA. Przeprowadzono prognozy krótkookresowe dla modeli podwójnego wygładzania wykładniczego oraz (sezonowego) Holta-Wintersa. Dla inflacji oszacowano również prognozę trzymiesięczną ARIMA, w przypadku bezrobocia była to roczna SARIMA. Oszacowane miary błędów prognoz dla inflacji nie dają jednoznacznej odpowiedzi, który model najlepiej wybrać do oszacowania wartości dla kolejnych okresów. W przypadku bezrobocia najbardziej efektywne powinno być skorzystanie z modelu SARIMA lub sezonowego Holta-Wintersa. 36
ZESTAWIENIE SPISÓW Spis tabel Tabela 1. Tabela 2. Bezrobocie miary jakości prognozy modelu podwójnego wygładzania wykładniczego... 7 Bezrobocie porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego i sezonowego Holta-Wintersa... 9 Tabela 3. Bezrobocie początkowe porównanie modeli SARIMA... 16 Tabela 4. Bezrobocie końcowe porównanie modeli SARIMA... 17 Tabela 5. Tabela 6. Tabela 7. Bezrobocie porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego, sezonowego Holta-Wintersa oraz arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12)... 20 Inflacja miary jakości prognozy modelu podwójnego wygładzania wykładniczego... 24 Inflacja porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego i Holta-Wintersa... 26 Tabela 8. Inflacja początkowe porównanie modeli ARIMA... 31 Tabela 9. Inflacja końcowe porównanie modeli ARIMA... 32 Tabela 10. Inflacja porównanie miar jakości prognoz modeli podwójnego wygładzania wykładniczego, Holta-Wintersa oraz arima(3,1,5)... 35 Spis rysunków Rys. 1. Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 1988 r. grudzień 2012 r.... 4 Rys. 2. Bezrobocie w Danii w okresie styczeń 2007 r. grudzień 2012 r.... 5 Rys. 3. Dekompozycja bezrobocia... 6 Rys. 4. Bezrobocie model podwójnego wygładzania wykładniczego... 7 Rys. 5. Bezrobocie model sezonowy Holta-Wintersa w wersji addytywnej... 8 Rys. 6. Bezrobocie zróżnicowane sezonowo... 10 Rys. 7. Bezrobocie pierwsza różnica zróżnicowanego sezonowo szeregu... 13 37
Rys. 8. Bezrobocie autokorelacja... 15 Rys. 9. Bezrobocie cząstkowa autokorelacja... 15 Rys. 10. Bezrobocie model arima(2,1,0) sarima(0,1,1,12)... 19 Rys. 11. Inflacja w Danii w okresie styczeń 1998 r. grudzień 2012 r.... 21 Rys. 12. Inflacja w Danii w okresie styczeń 2007 r. grudzień 2012 r.... 22 Rys. 13. Dekompozycja inflacji... 23 Rys. 14. Inflacja model podwójnego wygładzania wykładniczego... 24 Rys. 15. Inflacja model Holta-Wintersa w wersji multiplikatywnej... 25 Rys. 16. Inflacja pierwsza różnica szeregu... 28 Rys. 17. Inflacja autokorelacja... 30 Rys. 18. Inflacja cząstkowa autokorelacja... 30 Rys. 19. Inflacja model arima(3,1,5)... 34 38