Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera poniższa tabelka Czy możliwe jest ukończenie przedsięwzięcia w terminie? Jeśli tak, czy ewentualne opóźnienia w wykonaniu poszczególnych czynności jednakowo wpływają na ostateczny termin zakończenia budowy? Diagram Gantta
Metoda ścieżki krytycznej. Metoda CPM (critical path method) opracowana została z końcem lat 50-tych równolegle dla celów wojskowych i gospodarczych. Celem CPM/PERT jest optymalizacja organizacji dużych przedsięwzięć, na które składa się wiele czynności o złożonej strukturze zależności. Poszczególne czynności przedstawia się najczęściej jako krawędzie skierowanego grafu. Chwila rozpoczęcia czynności kojarzona jest z węzłem, z którego krawędź wychodzi, a chwila zakończenia z węzłem do którego krawędź wchodzi. Graf konstruowany jest tak, by odzwierciedlał zależności kolejnościowe: każda czynność może zostać rozpoczęta nie wcześniej nim zakończone zostaną wszystkie czynności kończące się w węźle, w którym czynność ta się rozpoczyna. Sam węzeł oznacza zdarzenie polegające na zakończeniu wszystkich czynności, które maja w nim swój koniec co umożliwia rozpoczęcie wszystkich czynności, które w tym węźle maja swój początek. Celem algorytmu jest ustalenie: czasów najwcześniejszego i najpóźniejszego wystąpienia (CNwW i CNpW) dla wszystkich węzłów, czasów najwcześniejszego rozpoczęcia (CNwR) i najpóźniejszego zakończenia (CNpZ) dla wszystkich czynności, rezerw czasowych dla wszystkich czynności oraz ścieżki krytycznej, t.j. wszystkich czynności z zerowa rezerwa czasowa. Algorytm ścieżki krytycznej. Cześć A - czasy najwcześniejsze 1. Węzłowi początkowemu przypisujemy CNwW=0. 2. Rozważamy wszystkie czynności wychodzące z węzłów z już wyznaczonym CNwW. Jeśli takich czynności nie ma, przechodzimy do części B. W przeciwnym razie każdej czynności przypisujemy CNwR równy CNwW węzła z którego wychodzi, a CNwZ równy sumie CNwR i czasu trwania czynności. 3. Każdemu węzłowi, dla którego ustalono CNwZ wszystkich czynności w nim się kończących przypisujemy CNwW równy maksimum CNwZ czynności w nim się kończących. 4. Wracamy do punktu 2.
Cześć B - czasy najpóźniejsze 1. Węzłowi końcowemu przypisujemy CNpW równy jego CNwW. 2. Rozważamy wszystkie czynności kończące się w węzłach z już wyznaczonym CNpW. Jeśli takich czynności nie ma, przechodzimy do części C. W przeciwnym razie każdej czynności przypisujemy CNpZ równy CNpW węzła w którym się kończy, a CNpR równy różnicy CNpZ i czasu trwania czynności. 3. Każdemu węzłowi, dla którego ustalono CNpR wszystkich czynności w nim się rozpoczynających przypisujemy CNpW równy minimum CNpR czynności w nim się kończących. 4. Wracamy do punktu 2. Cześć C - ścieżka krytyczna 1. Dla każdej czynności ustalamy jej rezerwę czasowa jako różnice pomiędzy jej CNpZ, a CNwZ (lub różnicę miedzy CNpR, a CNwR). 2. Oznaczamy czynności, których rezerwy czasowe wynoszą zero, jako leżące na ścieżce krytycznej.
PERT Program Evaluation and Review Technique PERT opiera się na 3 szacunkach czasu określonych dla każdej z czynności: Zmienna czasu (o) czas optymistyczny (m) czas najbardziej prawdopodobny (p) czas pesymistyczny Opis Czas potrzebny na ukończenie zadania w przypadku idealnych warunków Czas potrzebny na skończenie zadania w przypadku warunków normalnych Czas potrzebny na realizację zadania w sytuacji najgorszych oczekiwanych warunków Czas oczekiwany E: E = (o + 4m + p) / 6
PRZYKŁAD 2 Nazwa zadania Optymisty Najbardziej Pesymist. Oczek. czny prawdop. 1. Przygotowanie 10 30 40 22 menu 2. Zakupy 40 60 70 58 3. Przygotowanie 10 20 30 20 zastawy 4. Przygotowanie 10 20 30 20 stołu 5. gotowanie 80 90 100 90 6. Podanie kolacji 0 0 0 0 A 0 0 1 / 22 min B 22 22 2 / 58 min C 80 80 5 / 90 min F 170 170 3 / 20 min D 44 106 4 / 20 min 64 E 170 6 / 0 min Szacowanie prawdopodobieństwa terminu ukończenia Odchylenie standardowe dla każdego z zadań δ = (p o) / 6 Wariancja dla każdego z zadań δ 2 = [ (p o) / 6] 2
Tabela. Wariancja i odchylenie standardowe dla zadań projektu Nr O P δ 2 Δ Odchylenie Standardowe 1 10 40 25 5 min. 2 40 70 25 5 min. 3 10 30 (10/3) 2 ~ 3 min. 20 s. 4 10 30 (10/3) 2 ~ 3 min. 20 s. 5 80 100 (10/3) 2 ~ 3 min. 20 s. Szacowanie prawdopodobieństwa ukończenia projektu opiera się na statystycznych relacjach dotyczących krzywej rozkładu normalnego: przedział ± δ pokrywa 68 % obserwacji wartości rozkładu normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 68 %, przedział ± 2δ pokrywa 95 % obserwacji wartości rozkładu normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 95 %, przedział ± 3δ - pokrywa 99,74 % obserwacji wartości rozkładu normalnego, prawdopodobieństwo ukończenia projektu = 99,74 %,
68 % 95 % 99,74 % -3δ -2δ -δ ŚRED +δ +2δ +3δ Krzywa rozkładu normalnego Określenie prawdopodobieństwa ukończenia projektu: obliczyć wariancję, lub odchylenie standardowe dla każdego zadania na ścieżce krytycznej, sumować wyniki, δ 2 CP = δ 2 CP1 + δ 2 CP2 +... + δ 2 CPn, gdzie: δ 2 CP - wariancja ścieżki krytycznej, δ 2 CP1... n - wariancje poszczególnych zadań oblicz odchylenie standardowe ścieżki krytycznej: δ CP = pierwiastek (δ 2 CP ) Dla projektu przyjęcia: odchylenie standardowe projektu = ok. 8 min. czas trwania projektu = 170 ± 8 min. (prawdopodobieństwo 68%) czas trwania projektu = 170 ± 24 min. (prawdopodobieństwo 99,74% - tj. od 146 do 194)
Określenie prawdopodobieństwa ukończenia projektu w zadanym czasie: zdefiniowanie żądanego czasu ukończenia projektu, obliczenie wartości funkcji prawdopodobieństwa P(z): P (z) = (czas założony czas oczekiwany) / δ CP. argument z odpowiada prawdopodobieństwu ukończenia projektu w żądanym czasie. Jego wartość odczytuje się z tablic statystycznych (krzywa standaryzowana rozkładu normalnego). Tabela. Wartości prawdopodobieństwa ukończenia projektu dla różnych wartości czasu żądanego Czas żądany Wartość funkcji P(z) Prawdopodobieństwo ukończenia projektu 120 P(z) = (120-170) / 8 = (-50 / 8) - 0 % 6,25 160 P(z) = (160-170) / 8 = (-10 / 8) - 13 % 1,25 170 P(z) = (170-170) / 8 = (0 / 8) 0 50 % Zalety PERT Możliwość określenia prawdopodobieństwa ukończenia każdego zadania i całego projektu, Możliwość określenia prawdopodobieństwa ukończenia projektu w zadanym terminie, Wysoki poziom elastyczności w procesie szacowania czasów trwania (szczególnie zadań obarczonych ryzykiem), wykorzystanie trzech wartości czasu do określenia czasu oczekiwanego Metoda CPM jest specjalnym przypadkiem PERT, w którym czasy najbardziej prawdopodobny, optymistyczny i pesymistyczny są takie same