(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na K svého maxima a minima. 3. Necht G R n je otevřená, f : G R má v a G extrém a existuje parciální derivace f x i (a). Pak f x i (a) =. Definice. Necht f má na otevřené množině G R n parciální derivaci definujeme pro a G a j {1,..., n} druhou parciální derivaci 2 f (a) = ( f ) (a) pro i j a 2 f (a) = x j x i x j x i Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů. Přiklad: Spočtěte všechny derivace až do řadu 3 od f(x, y) = x 2 e x+y. x 2 i f x i, i {1,..., n}. ( f ) (a). x i x i Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R. Řekneme, že f C1 (G), pokud existují parciální derivace f x i, i = 1,..., n, na G a jsou to spojité funkce na G. Řekneme, že f Ck (G), k N, pokud existují všechny parciální derivace f až do řadu k včetně a jsou to spojité funkce na G. Důsledek: Necht G R n je otevřená. Z Věty 8.5 dostáváme, že je-li f C 1 (G), pak existuje totální diferenciál f ve všech bodech G. Věta T 1.1 (záměnnost parciálních derivací). Necht G R n je otevřená, a G a f C 2 (G, R). Pak 2 f (a) = 2 f (a). x j x i x i x j Přiklad: Necht Pak f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 pro [x, y] [, ], pro [x, y] = [, ]. 2 f x y (, ) 2 f (, ). y x Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Definujeme Hessovu matici f jako 2 f (a)... 2 f x 2 1 x 1 x n (a) D 2 f(a) =...... 2 f x n x 1 (a)... 2 f x (a) 2 n Podle předchozí věty je tato matice symetrická, a proto můžeme pracovat s následující kvadratickou formou D 2 f(a)(u, v) = u T D 2 f(a)v pro každé u, v R n. Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Pak definujeme Taylorův polynom f druhého řádu jako Konec 1. přednášky T f,a 2 (x) := f(a) + Df(a)(x a) + 1 2 D2 f(a)(x a, x a). Věta L 1.2 (Taylorova věta pro druhý řád - bez důkazu). Necht f : R n R je třídy C 2 na nějakém okolí bodu a R n. Pak f(x) T f,a 2 (x) lim x a x a 2 =. Poznámka: Lze definovat i Taylorovy polynomy řádu k pomocí k-tých parciálních derivací a pro f C k dobře aproximují f. Věta L 1.3 (o pozitivně definitní kvadratické formě). Necht Q : R n R je pozitivně definitní kvadratická forma. Potom ε > h R n : Q(h, h) ε h 2. 1 Pak

2 Věta T 1.4 (postačující podmínky pro lokální extrém). Necht G R n je otevřená množina, a G a necht f C 2 (G). Necht Df(a) = (tedy a je bod podezřelý na lokální extrém). (i) Je-li D 2 f(a) pozitivně definitní, pak a je bod lokálního minima. (ii) Je-li D 2 f(a) negativně definitní, pak a je bod lokálního maxima. (iii) Je-li D 2 f(a) indefinitní, pak v a není extrém. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 na R 2. Konec 2. přednášky 1.2. Implicitní funkce a vázané extrémy Věta T 1.5 (o implicitní funkci). Necht p N, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F ( x, ỹ) =, (iii) F ( x, ỹ). y Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F (x, y) =. Píšeme-li y = ϕ(x), pak ϕ C p (U) a platí F ϕ x (x) = j (x, ϕ(x)) pro všechna x U a j = 1,..., n. x F j y (x, ϕ(x)) Příklad: Necht M := { [x, y] R 2 : x 3 + y 3 2xy = }. Ukažte, že na jistém okolí [1, 1] lze M napsat jako graf ϕ(x). Spočtěte ϕ (1) a ϕ (1). Poznámka: Navíc platí, že je-li F C k, pak ϕ C k a derivace ϕ lze spočítat derivováním vztahu F (x, ϕ(x)) =. Konec 3. přednášky Věta T 1.6 (o implicitních funkcích). Necht n, m N, p N, G R n+m je otevřená množina, F j : G R, j = 1,..., m, x R n, ỹ R m, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F j C p (G) pro j = 1,..., m, (ii) F j ( x, ỹ) =, tedy F j ( x 1,..., x n, ỹ 1,..., ỹ m ) = pro j = 1,..., m, (iii) determinant m m matice parciálních derivací F j je nenulový, tedy F 1 F y 1 ( x, ỹ)... 1 y m ( x, ỹ)...... F m F y 1 ( x, ỹ)... m y m ( x, ỹ) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F j (x, y) = pro každé j = 1,..., m. Píšeme-li y j = ϕ j (x), pak ϕ j C p (U) pro j = 1..., m. Příklad: Dokažte, že existují funkce z(x, y), t(x, y), které jsou třídy C 2 na nějakém okolí bodu [1, 1] splňující z(1, 1) = 2, t(1, 1) = a Spočtěte druhé derivace z a t. x 2 + y 2 1 2 z2 t 3 =, x + y + z t 2 =. Věta T 1.7 (Lagrangeova věta o vázaných extrémech). Necht G R n je otevřená množina, m < n,f, g 1,..., g m C 1 (G) a mějme množinu M = { z R n : g 1 (z) =... = g s (z) = }. Je-li a M bodem lokálního extrému f vzhledem k M a vektory ( g1 g 1 (a), (a),..., g ) 1 (a) z 1 z 2 z n ( gm z 1 (a),. g m (a),..., g ) m (a) z 2 z n

3 jsou lineárně nezávislé, pak existují čísla λ 1,..., λ m tak, že neboli Df(a) + λ 1 Dg 1 (a) +... + λ m Dg m (a) = f z 1 (a) + λ 1 g 1 z 1 (a)+... + λ m g m z 1 (a) =,. f z n (a) + λ 1 g 1 z n (a)+... + λ m g m z n (a) =. Přiklad: 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy na M := {x 2 + y 2 1}. 2. Sněhulák. Poznámka: Předchozí věta nám říká, že pokud extrém existuje, tak ho umíme najít z nějaké rovnice. Věta ale nezaručuje existenci extrému! Konec 4. přednášky 1.3. Regulární zobrazení Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je difeomorfismus na G, jestliže je f prostá na G, U = f(g) je otevřená množina v R n, f C 1 (G) a f 1 C 1 (U). Věta T 1.8 (o lokálním difeomorfismu). Necht G R n je otevřená a f : G R n je třídy C 1. Necht pro a G platí J f (a). Pak existuje U G okolí a takové, že f U je difeomorfismus na U. Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je regulární zobrazení, jestliže f C 1 (G) a pro každé a G platí J f (a). 11. Hilbertovy prostory Poznámka: Většina vět této sekce i s důkazy se dá najít v knize W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru. 11.1. Základní definice Definice. Necht H je reálný vektorový prostor. Řekneme, že H je prostor se skalárním součinem, jestliže existuje zobrazení, : H 2 R takové, že (i) x, y = y, x pro všechna x, y H, (ii) x + y, z = x, z + y, z pro všechna x, y, z H, (iii) αx, y = α x, y pro všechna x, y H a α R, (iv) x, x pro všechna x, y H, (v) x, x = jenom tehdy, když x =. Definujme x = x, x. Řekneme, že prvek x H je ortogonální k y H, pokud x, y =. Věta L 11.1 (Schwarzova nerovnost). Pro každé x, y H platí x, y x y. Věta L 11.2 (trojúhelníková nerovnost). Pro každé x, y H platí x + y x + y. Specielně (H, ) tvoří metrický prostor (ϱ(x, y) = x y ). Definice. Necht H prostor se skalárním součinem. metrický prostor (H, ) úplný. Příklady: (1) (R n, ϱ e ) je Hilbertův prostor (2) l 2 := { {a n } : a n R, a2 n < } se skalárním součinem {a n }, {b n } = a n b n Řekneme, že H je Hilbertův prostor, pokud je je Hilbertův prostor. (3) L 2 (, 1) := {f : (, 1) R : (L) 1 f(x) 2 dx < } se skalárním součinem f(x), g(x) = 1 f(x)g(x) dx

4 je Hilbertův prostor. Konec 5. přednášky Věta L 11.3 (spojitost skalárního součinu). Necht H je Hilbertův prostor, potom jsou zobrazení x x, y, x y, x, x x spojitá na H. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a E H. Řekneme, že E je konvexní, jestliže pro všechna x, y E a t [, 1] platí tx + (1 t)y E. Věta L 11.4 (o existenci prvku z nejmenší normou). Necht H je Hilbertův prostor a E H je konvexní a uzavřená. Potom existuje právě jeden prvek v E s nejmenší normou. Definice. Necht M H je lineární podprostor Hilbertova prostoru H. podprostor M = {y H : x, y = pro všechna x M}. Definujeme ortogonální Věta T 11.5 (o projekci na podprostor). Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H. (i) Každý prvek x H má jednoznačný rozklad x = P (x) + Q(x) tak, že P (x) M a Q(x) M. (ii) P (x) je bod z M nejbližší k x, Q(x) je bod z M nejbližší k x. (iii) Zobrazení P : H M a Q : H M jsou lineární. (iv) x 2 = P (x) 2 + Q(x) 2. Důsledek: Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a M H. Pak existuje y M, y. Příklad: Metoda nejmenších čtverců. Konec 6. přednášky Příklad: 1) Necht M je konečnědimenzionální podprostor Hilbertova prostoru H. Pak M je uzavřený. 2) Spojité funkce C([, 1]) tvoří lineární podprostor L 2 (, 1), který není uzavřený. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je lineární podprostor l 2, který není uzavřený. Věta L 11.6 (o reprezentaci lineárního funkcionálu). Necht H je Hilbertův prostor L : H R je spojité lineární zobrazení. Pak existuje právě jedno y H tak, že L(x) = x, y. 11.2. Rozklad do Schauderovy báze Definice. Necht H je Hilbertův prostor a A je indexová množina. α A, se nazývá ortogonální, pokud u α, u β = pro všechna α, β A. Množina prvků u α H, kde Ortogonální množina {u α } α A se nazývá ortonormální, pokud navíc u α = 1 pro všechna α A. Jestliže {u α } α A je ortonormální množina, pak pro každé x H definujeme Fourierovy koeficienty x vzhledem k u α jako ˆx(α) = x, u α. Věta L 11.7 (o konečné ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor, {u α } α A je ortonormální množina a F A je konečná množina. Označme M F lineární obal {u α : α F }. (i) Necht ϕ : A R je mimo F. Pro vektor y = α F ϕ(α)u α platí ŷ(α) = ϕ(α) pro každé α A a y 2 = α F ϕ(α) 2. (ii) Je-li x H a s F (x) = ˆx(α)u α, pak s F (x) = P (x), kde P je projekce na M F. α F Navíc platí ˆx(α) 2 x 2. α F Definice. Necht (X, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A X je hustá, pokud A = X.

5 Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je hustá v l 2. 4) Jsou spojité funkce C([, 1]) husté v L 2 (, 1)? Konec 7. přednášky Lemma 11.8. Necht X, Y jsou metrické prostory, X je úplný a f : X Y je spojité. Necht X je hustá podmnožina X, na které je f izometrie, a necht f(x ) je hustá podmnožina Y. Potom f je izometrie X na Y. Věta L 11.9 (Riesz-Fischerova věta). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Necht P je prostor všech konečných lineárních kombinací vektorů u i. Potom pro každé x H platí nerovnost ˆx i 2 x 2. Zobrazení x ˆx je spojité lineární zobrazení H na l 2, jehož restrikce na uzávěr P je izometrie P na l 2. Důsledek: L 2 (, 1) je izometricky izomorfní l 2. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a h i H, i N. Řekneme, že řada h i konverguje k s H, pokud n lim s h i =. n Věta T 11.1 (o maximální ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) {u i } je maximální ortonormální množina v H. (ii) Množina P všech konečných lineárních kombinací prvků z {u i } je hustá v H. (iii) Pro každé x H platí x 2 = ˆx i 2. (iv) Je-li x, y H, potom x, y = (v) Pro každé x H platí x = ˆx i ŷ i. ˆx i u i. Poznámka: Analogie této věty platí i pro Hilbertův prostor s nespočetnou bází. Jen je potřeba správně zadefinovat výrazy jako α A ˆx(α) 2 a α A ˆx(α) u α. Konec 8. přednášky Definice. Necht f L 2 (, 2π). Potom čísla a k = 1 π 11.3. Trigonometrické řady 2π 2π f(x) cos(kx) dx pro k N a b k = 1 f(x) sin(kx) dx pro k N. π nazýváme Fourierovy koeficienty funkce f. Trigonometrickou řadu F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) nazýváme Fourierovou řadou funkce f. Věta L 11.11 (o ortogonalitě trigonometrických funkcí). Necht n, m N, pak { 2π pro m n sin(nx) sin(mx) dx = π pro m = n { 2π pro m n cos(nx) cos(mx) dx = π pro m = n k=1

6 2π sin(nx) cos(mx) dx =. Věta T 11.12 (o maximalitě trigonometrických funkcí). Systém trigonometrických funkcí { 1 } { 1 } 1 π sin(nx), π cos(nx) a 2π tvoří maximální ortonormální množinu v L 2 (, 2π). Tedy jediné f L 2 (, 2π) takové, že 2π je identicky nulová funkce. f(x) sin(nx) dx = n N a 2π f(x) cos(nx) dx = n N Z Věty 11.1 dostáváme: Důsledek: Pro každé f L 2 (, 2π) a a k, b k jsou Fourierovy koeficienty f. Pak platí f(x) = F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) ve smyslu rovnosti rovnosti L 2 funkcí. Tedy v příslušném metrickém prostoru platí f(x) = a n 2 + lim (a k cos kx + b k sin kx). n Navíc platí Parsevalova rovnost 2π k=1 k=1 f(x) 2 dx = π a2 2 + π (a 2 k + b 2 k). Specielně tedy dostáváme, že trigonometrické polynomy jsou husté v L 2, a tedy spojité funkce C([, 2π]) jsou husté v L 2 (, 2π). Aplikace: 1) mp3 2) jpeg 3) Existují i jiné báze vhodnější pro práci s obrázky - například Rademacherova báze 12. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí 12.1. Bodová a stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice. Necht J R je interval a necht máme funkce f : J R a f n : J R pro n N. Řekneme, že posloupnost funkcí {f n }: konverguje bodově k f na J, pokud pro každé x J platí lim n f n (x) = f(x), neboli k=1 x J ε > n N n n : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f na J. konverguje stenoměrně k f na J, pokud ε > n N n n x J : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f na J. konverguje lokálně stejnoměrně, pokud pro každý omezený uzavřený interval [a, b] J platí: loc f n f na [a, b]. Značíme f n f na J. Příklady: 1) f n (x) = 2) f n (x) = x n na [, 1]. Konec 9. přednášky sin nx 2 n na [, 1]. Věta L 12.1 (kritérium stejnoměrné konvergence). Necht f, f n : J R. Pak f n f na J lim n sup{ f n(x) f(x) ; x J} =. Poznámka: Necht f n, f : J R jsou navíc spojité. Pak předchozí věta říká, že Příklady: 1) f n (x) = x n na [, 1]. 2) f n (x) = x n x 2n na [, 1]. 3) f n (x) = x n x n+1 na [, 1]. f n f f n f v metrickém prostoru C(J).

7 Věta L 12.2 (Bolzano-Cauchyho podmínka pro stejnoměrnou konvergenci). Necht f, f n : J R. Pak f n f na J ε > n m, n n x J : f n (x) f m (x) < ε. Věta L 12.3 (Moore-Osgood). Necht x je krajní bod intervalu J (může být i ± ). Necht f, f n : J R splňují (i) f n f na J, (ii) existuje lim f n (x) = a n R pro všechna n N. x x Pak existují lim n a n a lim x x f(x) a jsou si rovny, neboli lim lim f n (x) = lim n x x x x lim f n(x). n Důsledek: Necht f n f na I a necht f n jsou spojité na I. Pak f je spojitá na I. Poznámka: Necht A R n. Analogicky lze definovat stejnoměrnou konvergenci i pro funkce f n : A R a platí, že stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá funkce. Příklad: 1) f n (x) = x n na [, 1]. Konec 1. přednášky Věta L 12.4 (o záměně limity a integrálu). Necht funkce f n f na [a, b] a necht f n L([a, b]). Pak f L([a, b]) a (L) b a b f(x) dx = lim (L) f n (x) dx. n Věta T 12.5 (o záměně limity a derivace). Necht funkce f n, n N, mají vlastní derivaci na intervalu (a, b) a necht (i) existuje x (a, b) tak, že {f n (x )} konverguje, (ii) pro derivace f n platí f n a loc na (a, b). loc Potom existuje funkce f tak, že f n f na (a, b), f má vlastní derivaci a platí f n loc f na (a, b). Příklady: 1) f n (x) = n na [, 1], bez (i) věta neplatí. 2) f n (x) = 1 n x na R. Dostaneme pouze f n(x) loc a ne f n (x). Konec 11. přednášky 11.2. Stejnoměrná konvergence řady funkcí Definice. Řekneme, že řada funkcí k=1 u k(x) konverguje stejnoměrně (popřípadě lokálně stejnoměrně) na intervalu J, pokud posloupnost částečných součtů s n (x) = n k=1 u k(x) konverguje stejnoměrně (popřípadě lokálně stejnoměrně) na J. Věta L 12.6 (nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady). Necht u n(x) je řada funkcí definovaná na intervalu J. Pokud u n na J, pak posloupnost funkcí u n (x) na J. Příklad: Řada není stejnoměrně konvergentní na (, 1). x n Věta L 12.7 (Weirstrassovo kritérium). Necht u n(x) je řada funkcí definovaná na intervalu J. Pokud pro σ n := sup{ u n (x) : x J} platí, že číselná řada σ n konverguje, pak u n na J. Příklad: Necht α > 1. Řada je stejnoměrně konvergentní na R. sin nx n α

8 Věta L 12.8 (o spojitosti a derivování řad funkcí). Necht u n(x) je řada funkcí definovaná na intervalu (a, b). a) Necht u n jsou spojité na (a, b) a necht u n(x) loc na (a, b). Pak F (x) = u n(x) je spojitá na (a, b). b) Necht funkce u n, n N, mají vlastní derivaci na intervalu (a, b) a necht (i) existuje x (a, b) tak, že u n (x ) konverguje, (ii) pro derivace u n platí u n(x) loc na (a, b). Potom je funkce F (x) = u n(x) dobře definovaná a diferencovatelná a navíc u n(x) loc F (x) a u n(x) loc F (x) na (a, b). Příklad: Je funkce F (x) = Konec 12. přednášky x n 3 +x 3 spojitá a diferencovatelná na (, )? Věta T 12.9 (Abel-Dirichletovo kritérium pro stejnoměrnou konvergenci). Necht {a n (x)} n N je posloupnost funkcí definovaných na intervalu J a necht {b n (x)} je posloupnost funkcí na J taková, že b 1 (x) b 2 (x).... Jestliže je některá z následujících podmínek splněna, pak je a n(x)b n (x) na J. (A) a n (x) na J a b 1 je omezená, (D) b n na J a a n (x) má omezené častečné součty, tedy K > m N x J : s m (x) = m a i (x) < K. Příklady: 1) Je funkce F (x) = ( 1)n x n 2 +x spojitá na [, )? 2 2)Necht α (, 1]. Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci řady funkcí na R sin nx n α. 13. Metrické prostory II Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P. Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Opakování: K R n je kompaktní, prvě tehdy, když je omezená a uzavřená. Spojitá funkce na kompaktu nabývá maxima a minima. 13.1. Více o kompaktních a úplných prostorech Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Necht ε > a H P. Řekneme, že H je ε-sít prostoru P, pokud P B(x, ε). x H Řekneme, že P je totálně omezený, pokud pro každé ε > existuje konečná ε-sít prostoru P. Příklady: 1. ([, 1],. ) a ((, 1),. ) jsou totálně omezené. 2. ([, 1] 2,. ) je totálně omezená. Věta L 13.1 (omezenost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je totálně omezený metrický prostor. Potom je P omezený. Konec 13. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. kompaktní množina v (P, ϱ). Řekneme, že P je kompaktní metrický prostor, je-li P Věta L 13.2 (kompaktnost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je kompaktní metrický prostor. Potom je P totálně omezený.

9 Věta T 13.3 (kompaktnost a otevřené pokrytí). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. Tedy platí P G α pro libovolnou indexovou množinu A, G α otevřené α A existuje konečná A A tak, že P α A G α. Důsledek (Borel): Necht a, b R, a < b, a {I α } α A je systém otevřených intervalů. Pak [a, b] I α existuje konečná A A tak, že [a, b] I α. α A α A Důsledek: Lokálně stejnoměrnou konvergenci f n loc f na (a, b) můžeme ekvivaletně definovat jako x (a, b) r > tak, že f n f na [x r, x + r]. Důsledek: Každá spojitá funkce na [a, b] je stejnoměrně spojitá. Konec 14. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } je posloupnost bodů z P. splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (případně, že je cauchyovská), jestliže platí ε > n N m, n N, m, n n : ϱ(x n, x m ) < ε. Poznámka: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Řekneme, že x n Definice. Řekneme, že metrický prostor (P, ϱ) je úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost bodů z P je konvergentní. Příklad: Metrický prostor l 2 := { {a n } : a n R, a2 n < } s metrikou ϱ({a n }, {b n } ) = (a n b n ) 2 je úplný. Věta L 13.4 (Cantorova věta o vnořených množinách). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor a F n je posloupnost neprázdných uzavřených množin v P takových, že F n+1 F n a lim n diam F n =. Pak F n je jednobodová množina. Dotazy: Platí tato věta bez předpokladu a) úplnosti P, b) uzavřenosti F n, c) podmínky lim n diam F n =? Věta T 13.5 (o totální omezenosti a úplnosti). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když je totálně omezený a úplný. Věta L 13.6 (o zúplnění metrického prostoru). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak existuje úplný metrický prostor ( P, ϱ) tak, že P P a pro všechna x, y P platí ϱ(x, y) = ϱ(x, y). Konec 15. přednášky 13.2. Husté a řídké množiny Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je hustá, pokud A = P. Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) polynomy jsou husté v C([, 1]). 4) Může být průnik dvou hustých množin prázdná množina? Věta L 13.7 (charakterizace hustých množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom je A P je hustá právě tehdy, když pro každou otevřenou neprázdnou množinu G P platí G A. Důsledek: Necht G 1, G 2 P jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak G 1 G 2 je otevřená a hustá v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je řídká, jestliže P \ A je hustá. Příklady: 1) N je řídká v R. 2) Q není řídká v R. 3) R {} je řídká v R 2 4) Cantorovo diskontinuum je řídké v [, 1].

1 Věta L 13.8 (vlastnosti řídkých množin). Nech (P, ϱ) je metrický prostor a necht A, B P. Potom (a) Je-li A řídká v P a B A, pak je také B řídká v P, (b) Jsou-li A a B řídké v P, pak A B je řídká v P (c) A je řídká v P právě tehdy, když A je řídká v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je 1. kategorie, jestliže existují řídké množiny A n tak, že A = A n. Řekneme, že C P je 2. kategorie, jestliže C není první kategorie v P. Příklady: 1) Q je 1. kategorie v R. 2) Q R je 1. kategorie v R 2. 3) R \ Q je 2. kategorie v R. Konec 16. přednášky Věta T 13.9 (Baire). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor. Necht G n, n N, jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak G n je hustá v (P, ϱ). Důsledek: Úplný metrický prostore není první kategorie sám v sobě. Příklad: Existují A N = [, 1] tak, že A je 1. kategorie a N má nulovou míru? Věta T 13.1 (o nediferencovatelné funkci). Existuje spojitá funkce f : [, 1] R, která nemá derivaci v žádném bodě z (, 1). Konec 17. přednášky 14. Obyčejné diferenciální rovnice Motivace: 1. Volný pád s odporem vzduchu. Pozice v čase t je y(t): d 2 y(t) dt 2 = g + α( dy(t) ) 2. dt 2. Růst populace dn(t) = kn(t)(m n(t)). dt 3. kyvadlo délky l, x(t) je úhel kyvadla v čase t: d 2 x(t) dt 2 = g sin x(t). l Spousta jevů ve fyzice, chemii, biologii, nebo ekonomii je popsána pomocí diferenciálních rovnic. 14.1. Řešení, existence a jednoznačnost Definice. Necht Φ : Ω R n+2 R. Obyčejnou diferenciální rovnicí (ve zkratce ODR) n-tého řádu nazveme (14.1) Φ ( x, y(x), y (x),..., y (n) (x) ) =. Definice. Řešení ODR na intervalu I R je funkce y(x) splňující Řešení je dvojice (y, I). (i) existuje y (k) (x) vlastní pro k = 1,..., n v I a všechna x I, (ii) (14.1) platí pro všechna x I. Definice. Řekneme, že (ỹ, Ĩ) je rozšířením (y, I), pokud (i) ỹ je řešení (14.1) na Ĩ, (ii) I Ĩ, (iii) y = ỹ na I. Řekneme, že (y, I) je maximální řešení, pokud nemá rozšíření. Cíle studia ODR: sestavit rovnici existují řešení a kolik jich je? najít všechna maximální řešení diskuse o jednoznačnosti a kvalitě řešení případná fyzikální interpretace

11 Věta T 14.1 (Peano s y (n) - bez důkazu). Necht Ω R n+1 je otevřená, f : Ω R je spojitá a (x, y,..., y n 1 ) Ω. Pak existuje U(x ) okolí x a funkce y(x) definovaná na U(x ) tak, že y(x) splňuje ODR y (n) (x) = f(x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x)) x U(x ) a počáteční podmínku y(x ) = y, y (x ) = y 1,..., y (n 1) (x ) = y n 1. Věta L 14.2 (o převedení na integrální tvar). Necht I R je otevřený interval, x I, f : I R R spojitá a y : I R je spojitá. Pak y je řešení ODR právě tehdy, když y (x) = f(x, y(x)) na I splňující počáteční podmínku y(x ) = y x y(x) = y + f(s, y(s)) ds pro všechna x I. x Definice. Necht Ω R 2 je oteřená. Řekneme, že funkce f : Ω R je lokálně lipschitzovská vůči y, pokud pro všechna U Ω omezené, existuje K R tak, že Poznámka: Necht je f y f(x, y) f(x, ỹ) K y ỹ pro všechna [x, y] U a [x, ỹ] U. spojitá. Pak je f lokálně lipschitzovská vůči y. Věta T 14.3 (Picard). Necht Ω R 2 je otevřená a (x, y ) Ω. Necht f : Ω R je spojitá a lokálně lipschitzovská vůči y. Pak existuje U(x ) okolí x a funkce y(x) definovaná na U(x ) tak, že y(x) splňuje ODR y (x) = f(x, y(x)) pro x U(x ) s počáteční podmínkou y(x ) = y. Navíc y je jediné řešení na U(x ). Konec 18. přednášky 14.2. Rovnice prvního řádu Necht Ω R 2 je otevřená a f : Ω R je spojitá. V této kapitole studujeme pouze rovnice typu Speciální tvary: (i) y = f(x) (ii) y = g(y) (iii) y = g(y)h(x) (separované proměnné) y (x) = f(x, y(x)). (iv) y = h( y x ) (homogenní rovnice) - substitucí z = y převedeme na (iii) x (v) y = a(x)y + b(x) (lineární rovnice 1. řádu) (vi) y = a(x)y + b(x)y α, (Bernouliho rovnice)- substitucí z = y 1 α převedeme na (v) Věta L 14.4 (o lepení řešení). Necht δ >, γ >, Ω R 2 je otevřená a f : Ω R spojitá. Necht y l je řešení diferenciální rovnice y = f(x, y) na intervalu (a δ, a) a y r je řešení této diferenciální rovnice na intervalu (a, a + γ). Necht navíc existují limity Potom funkce lim y l(x) = lim y r(x) = A. x a x a+ y(x) = y l (x) pro x (a δ, a) A pro x = a y r (x) pro x (a, a + γ) je řešení této diferenciální rovnice na intervalu (a δ, a + γ). Věta T 14.5 (o existenci řešení separované rovnice - bez důkazu). Necht h : (a, b) R je spojitá, g : (c, d) R je spojitá a nenulová. Potom každým bodem [x, y ] Ω := (a, b) (c, d) prochází právě jedno řešení rovnice y = g(y)h(x).

12 Postup pro řešení rovnice y = h(x)g(y) se separovanými proměnnými: (1) Určime maximální intervaly I v D h. (2) Najdeme body, kde g(c) =. Pak y(x) c je řešení. Určime maximální intervaly J, kde je g nenulová. (3) Pro x I hledáme řešení s hodnotami v J rovnice Integrováním dostaneme y (x) g(y(x)) = h(x). G(y(x)) = H(x) + c, kde H je primitivní k h na I a G je primitivní k 1 g na J. (4) Zafixujeme c a hledáme řešení Toto je řešení na y(x) = G 1 (H(x) + c). {x I : H(x) + c G(J)}. (5) Z řešení z (4) a konstantních řešení z (2) slepíme všechna maximální řešení. Příklady: 1. y = y 2 2. y = x 2 y 3. y = 1 y 2. Konec 19. přednášky Postup pro řešení rovnice y = a(x)y + b(x): a) Vyřešíme rovnici y = a(x)y (separované proměnné). Vyjde y(x) = Ke A(x) pro K R, kde A(x) je primitivní k a(x). b) Hledáme jedno partikulární řešení ve tvaru Dosazením do rovnice vyjde y(x) = K (x)e A(x). y (x) = (K (x)e A(x) ) = K (x)e A(x) + K (x)e A(x) a(x) K (x)e A(x) + K (x)e A(x) a(x) = y (x) = a(x)y(x) + b(x) = a(x)k (x)e A(x). Odtud K (x) = e A(x) b(x), a tedy K spocteme jako primitivni funkci k e A(x) b(x). c) Řešení je celkově partikulární řešení z b) plus obecné řešení homogenní rovnice z a) Příklady: 1. y + xy = x 2. šnek na gumě y(x) = K (x)e A(x) + ce A(x). 14.3. Systémy lineárních ODR a lineární rovnice řádu n Definice. Necht I R je interval a mějme funkce a, a 1,..., a n 1, b : I R. Lineární ODR řádu n nazvu rovnici y (n) +... + a 1 (x)y + a (x)y = b(x) pro x I. Je-li b na I, pak se rovnice nazývá homogenní. Definice. Necht I R je interval, mějme funkce b, y : I R n a mějme maticovou funkci A : I R n2. Systémem ODR prvního řádu nazveme systém rovnic neboli v maticovém zápisu y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 +... + a 1,n y n + b 1 y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 +... + a 2,n y n + b 2. y n = a n1 y 1 + a n2 y 2 +... + a n,n y n + b n y = Ay + b. Je-li b na I, pak se rovnice nazývá homogenní.

13 Konec 2. přednášky Poznámka: Řešení jedné rovnice řádu n lze převést na řešení systému n rovnic řádu 1: Necht y řeší s počáteční podmínkou Pak n funkcí řeší soustavu y (n) (x) +... + a 1 (x)y (x) + a (x)y(x) = b(x) y(x ) = y, y (x ) = y 1,..., y (n 1) (x ) = y n 1. u 1 (x) = y(x), u 2 (x) = y (x),..., u n (x) = y (n 1) (x) u 1 = u 2 s počáteční podmínkou u 2 = u 3. u n 1 = u n u n = b(x) a n 1 (x)u n (x)... a (x)u 1 (x) u 1 (x ) = y, u 2 (x ) = y 1,..., u n (x ) = y n 1. V dalším si tedy vyslovíme věty pro soustavy n rovnic řádu 1, které mají okamžitě analogické důsledky pro jednu rovnici řádu n. Naopak řešení systému n rovnic řádu 1 lze občas, ale ne vždy, převést na jednu rovnici řádu n. Věta T 14.6 (o existenci řešení systému ODR 1. řádu). Necht I R je interval a mějme spojité funkce b j, a ij : I R pro i, j {1,..., n}. Necht x I, y R n a A = (a ij ) n i,j=1 je spojitá maticová funkce. Pak existuje právě jedno řešení rovnice definované na celém I. Konec 21. přednášky y = Ay + b s počáteční podmínkou y(x ) = y Věta L 14.7 (prostor řešení systému ODR 1. řádu). Necht I R je interval a mějme spojité funkce b j, a ij : I R pro i, j {1,..., n}. Označme L(y) = y Ay a H = Ker L = {y C 1 (I, R n ) : L(y) = na I}. Pak H je vektorový prostor dimenze n. Označme M množinu všech řešení nehomogenního systému rovnic Ly = b a necht y je jedno pevné řešení L(y ) = b. Pak M = y + Ker L. Definice. Libovolnou bázi {y 1,..., y n } prostoru H = Ker(y Ay) (tedy libovolných n lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice y = Ay) nazýváme fundamentálním systémem řešení FSŘ homogenní rovnice y = Ay. 14.4. Rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty Definice. Necht a, a 1,..., a n 1 R. Pak nazveme charakteristickým polynomem rovnice λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ + a = y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a y =. Věta T 14.8 (FSŘ pro rovnici n-tého řadu s konstantními koeficienty). Mějme zadány a, a 1,..., a n 1 R a necht λ 1,..., λ k jsou kořeny charakteristiského polynomu násobnosti s 1,..., s k (tedy s 1 +...+s k = n). Pak funkce e λ1x, xe λ1x,..., x s1 1 e λ1x,..., e λ kx,..., x s k 1 e λ kx tvoří fundamentální systém řešení Konec 22. přednášky y (n) +... + a 1 y + a y = na R.

14 Věta T 14.9 (o speciální pravé straně pro rovnici n-tého řadu - bez důkazu). Mějme zadány a, a 1,..., a n 1 R, necht P m (x) je polynom m-tého stupně a (α + iβ) je k-násobný kořen charakteristického polynomu (lze i k =, α = nebo β = ). Pak rovnice má na R řešení ve tvaru y (n) +... + a 1 y + a y = P n (x)e αx cos βx kde Q m a R m jsou polynomy stupně m. ( popřípadě P n (x)e αx sin βx) y (x) = x k Q m (x)e αx cos βx + x k R m (x)e αx sin βx, Poznámka: Není-li pravá strana rovnice ve tvaru kvazipolynomu, pak lze řešení nehomogenní rovnice najít metodou variace konstant ve tvaru n y(x) = c i (x)y i (x), kde {y 1,..., y n } tvoří FSŘ rovnice y(n) +... + a 1 y + a y =. Příklady: 1. y y = e x + e 2x 2. y + y = sin ax, a R 3. y + 3y + 2y = 1 e x +1 Konec 23. přednášky 14.5. Systémy rovnic s konstantními koeficienty Věta L 14.1 (FSŘ pro soustavu rovnic s konstantními koeficienty). Necht má matice A všechna vlastní čísla λ 1,..., λ n různá a necht v 1,..., v n jsou příslušné vlastní vektory. Pak vektorové funkce tvoří fundamentální systém řešení v 1 e λ1x,..., v n e λnx y = Ay na R. Poznámka: Nemá-li matice A všechna vlastní čísla různá, pak lze fundamentální systém také algoritmicky sestrojit. Necht λ je k-násobné vlastní číslo matice A. a) Pokud existuje k lineárně nezávislých vlastních vektorů v 1, v 2,..., v k pak do FSŘ dáme funkce v 1 e λx, v 2 e αx,..., v n e αx. b) Pokud existuje pouze jeden vlasní vektor v 1, tak nalezneme řetězec vektorů v 2,..., v k, aby a do FSŘ dáme funkce (A λe)v 1 =, (A λe)v 2 = v 1,..., (A λe)v k = v k 1 v 1 e λx, v 1 xe λx + v 2 e λx x 2, v 1 2 eλx + v 2 xe λx + v 2 e λx x k,..., v 1 k! eλx +... + v k e λx. c) Pokud existuje více vlastních vektorů, ale ne k tak provedeme něco mezi. Záleží to na Jordanově tvaru matice A = R 1 JR, kde R je matice rotace. Je-li napřiklad λ 1 J = λ, λ pak existují dva lineárně nezávislé vlastní vektory (jeden pro druhý v 1 a jeden pro třetí řádek v 2 ). Pro ten první vlastní vektor nalezneme příslušný řetězec délky 2 ((A λe)u = v 1 ) a do FSŘ dáme v 1 e λx, v 1 xe λx + ue λx, v 2 e αx. Obecně pro každou Jordanovu buňku velikosti m m nalezneme řetězec délky m a příslušné funkce jako v b) dáme do FSŘ. Odůvodnění: Počítání s exponencielou matice. ( ) ( ) 3 2 1 1 Příklady: 1. y = y s počáteční podmínkou y() = (3, ). 2. y 1 2 = y 2 3 2 2 9 2 1 1 2 8 6 3. y = 2 2 y 4. y = 2 1 2 y 5. y = 4 1 6 y 2 1 6 1 1 2 4 8 4

15 Definice. Necht y 1, y 2,..., y n tvoří fundamentální systém řešení rovnice y = Ay. Pak matici y1(x) 1... y1 n (x) ϕ(x) =..... yn(x) 1... yn(x) n nazveme fundamentální maticí soustavy y = Ay. Lemma. Necht ϕ je fundamentální matice soustavy y = Ay na intervalu I. Pak ϕ(x) je regulární pro každé x I. Věta L 14.11 (tvar řešení pro soustavu ODR). Necht I R je interval, A : I R n n a b : I R n jsou spojité funkce, x I a y R n. Pak maximální řešení rovnice y = Ay + b s počáteční podmínkou y(x ) = y má tvar kde ϕ je fundamentální matice soustavy. y(x) = ϕ(x)ϕ 1 (x )y + ϕ(x) x x ϕ 1 (t)b(t) dt, Jako důsledek tohoto tvrzení lze odvodit Větu 14.9 i následující: Věta T 14.12 (o speciální pravé straně pro soustavu n-tého řadu - bez důkazu). Necht A R n n je matice a p, q jsou n 1 vektory polynomů. Pak soustava y = Ay + p(x)e ax cos bx + q(x)e ax sin bx má řešení ve tvaru y(x) = p(x)e ax cos bx + q(x)e ax sin bx, kde p, q jsou vektory polynomů a Příklad: 1. y = max{st p, st q} = max{st p, st q} + násobnost (a + ib) jako vlastního čísla A. ( 2 1 1 2 ) ( 2e x y + 2 sin x ) Poznámka: Není-li pravá strana rovnice ve tvaru kvazipolynomu, pak lze řešení nehomogenní rovnice najít metodou variace konstant ve tvaru n y(x) = c i (x)y i (x), kde {y 1,..., y n } tvoří FSŘ rovnice y = Ay. Konec 24. přednášky 14.6. Důkaz Peanovy věty Věta T 14.13 (Arzela-Ascoli). Necht A C([, 1]). Pak A je kompaktní právě tehdy, když jsou funkce z A stejně omezené a stejně stejnoměrně spojité. Tedy pokud existuje K > tak, že a Konec 25. přednášky f A, x [, 1] : f(x) K ε >, δ >, x, y [, 1], f A : x y < δ f(x) f(y) < ε. Věta T 14.14 (Peano). Necht Ω R 2 je otevřená, f : Ω R je spojitá a (x, y ) Ω. Pak existuje U(x ) okolí x a funkce y(x) definovaná na U(x ) tak, že y(x) splňuje ODR a počáteční podmínku y(x ) = y. Konec 26. přednášky y (x) = f(x, y(x)) x U(x )