Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej w punkcie P 1 3 P =,, y = x + Odp: ( ) 5 Zad : Znajdź równanie krzywej będącej zbiorem środków tych wszystkich cięciw paraboli y = x, dla których naleŝy punkt M = (0,3) Odp: y = x + 3 Zad 3: Dla jakich wartości parametru m prosta y = x + 1 dzieli trójkąt o wierzchołkach (3, 1), (5, ) i (3, m) na dwie figury o równych polach? 15 + 97 Odp: m = Zad : a) Punkty B = (, ) i C = (3,1) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD Podstawy AB i CD są prostopadłe do prostej o równaniu y = x +, a punkt D leŝy na tej prostej Oblicz współrzędne wierzchołków A i D trapezu *b) Podstawy trapezu mają długości a i b (a > b) PrzedłuŜenia ramion trapezu przecinają się w punkcie, przez który poprowadzono prostą równoległą do podstaw Znajdź długość odcinka tej prostej, ograniczonego przedłuŝeniami przekątnych trapezu Odp: a) A = (,) lub A = (0,0), D = (1,3); b) ab a + b Zad 5: (profil matematyczno-fizyczny) Z punktu A = ( 1, 3) poprowadzono styczne do paraboli y = x x Styczne te mają z parabolą punkty wspólne B i C Oblicz, w jakim stosunku łuk paraboli dzieli pole trójkąta ABC Odp: : 1 (B = ( 1, 3), C = (,0)) Zad 6: (profil matematyczno-fizyczny) Proste o równaniach 3x y + = 0 i x y + = 0 zawierają dwa boki pewnego trójkąta, a prosta o równaniu x y 1 = 0 zawiera jedną z jego środkowych Znajdź równanie prostej zawierającej trzeci bok trójkąta Odp: 5x 3y = 0 lub x = Zad 7: (profil matematyczno-fizyczny) W trójkącie ostrokątnym ABC dane są: A = (, ), B = (5,10), BC = 5 5 i sin ABC = 5 Znajdź współrzędne wierzchołka C Odp: C = (10,0) lub C = ( 6,8) Zad 8: (profil matematyczno-fizyczny) Jeden z wierzchołków rombu ma współrzędne (, 3), a jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu x y = 0 Przekątne rombu przecinają się w punkcie (1,1) Znajdź pozo- 111

stałe wierzchołki i pole tego rombu Odp: ( 3, 1 ), (,5), ( 1, 5 ) ; P = 5 Zad 9*: (profil matematyczno-fizyczny) Napisz równanie krzywej utworzonej przez środki tych cięciw paraboli o równaniu y = x, które przechodzą przez punkt (0,0) Oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą oraz krzywą o równaniu y = x + 1 Odp: y = x ; P = π 3 Zad 10: Punkty A = (0,1) i B = (1, ) są wierzchołkami trójkąta ABC a) Napisz równanie symetralnej boku AB b) Znajdź współrzędne wierzchołka C leŝącego na dodatniej części osi x, wiedząc, Ŝe pole trójkąta ABC wynosi c) Oblicz obwód trójkąta ABC oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C 1 Odp: a) y = x wysokości wynosi 10 5 3 3 ; b) C = (3,0); c) Obwód trójkąta jest równy ( 1 5) +, a długość Zad 11: a) Dany jest punkt A = (3, ) i prosta k o równaniu x + y + 5 = 0 Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie punkt B jest obrazem punktu A w symetrii względem prostej k, a punkt C jest obrazem punktu A w translacji o wektor w = [, 6] *b) Znajdź algebraicznie i graficznie zbiór punktów D, dla których pole trójkąta ABD jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC Odp: a) P = 0 (B = (7, ), C = (5,10)); b) Szukany zbiór to para prostych o równaniach y = x 10 i y = x + 30 Zad 1: Punkty A = (,1), B = (, 0) i C = (, 5) są wierzchołkami trójkąta Oblicz: a) długości boków tego trójkąta; b) współrzędne punktu, w którym przecinają się wysokości trójkąta; c) cosinus i sinus kąta przy wierzchołku C Odp: a) AB = 17, AC =, BC = 5; b) (1,1); c) cos ACB = sin ACB = Zad 13: Punkty ( 3,1) i (5, 7) są przeciwległymi wierzchołkami rombu, którego pole jest równe 100 Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków rombu Odp: ( 5, 1) i (7, ) Zad 1: Dane są punkty: A = (1,1), B = (9, 5), C = (5, 8) a) Znajdź współrzędne takiego punktu D, aby czworokąt ABCD był trapezem, w którym kąt przy wierzchołku A jest prosty Oblicz cosinus kąta przy wierzchołku B tego trapezu b) Znajdź współrzędne takiego punktu K, aby trapez ABCK (AB CK) był równoramienny 11

Odp: a) D = (1, 5), cos ABC = 5 5 ; b) K = (1, 6) lub K = ( 3, ) Zad 15: Prosta o równaniu x y + 6 = 0 przecina parabolę o równaniu y = x x + 3 w punktach A i B a) WykaŜ, Ŝe trójkąt ABC, gdzie C jest wierzchołkiem danej paraboli, jest prostokątny b) Oblicz pole trójkąta ABC Odp: b) P = 5 Zad 16: Prosta x + y + 3 = 0 przecina parabolę y = x + x 3 w punktach A i B Oblicz miarę kąta AWB i pole trójkąta AWB, gdzie W jest wierzchołkiem danej paraboli Odp: AWB = 5, P = 15 Zad 17: a) Równanie postaci y = mx + 6m + opisuje pewne styczne do krzywej xy = Znajdź współrzędne punktu przecięcia tych stycznych *b) WykaŜ, Ŝe wszystkie trójkąty ograniczone osiami układu współrzędnych i dowolną styczną do krzywej xy = a, gdzie a 0, mają równe pola 3, Odp: a) ( ) Zad 18: 1 Prosta x y 1 = 0 przecina parabolę y = x + x + w punktach A i B a) WykaŜ, Ŝe trójkąt ABC gdzie C jest wierzchołkiem paraboli, jest prostokątny b) Znajdź równanie okręgu opisanego na tym trójkącie c) Przedstaw ilustrację graficzną zadania 1 Odp: a) ABC = 90 ; b) ( x ) ( y ) + 1 + = 0 Zad 19*: Figura F 1 jest opisana warunkiem y x + x + 1, a figura F jest opisana warunkiem 1 y x + a) Narysuj figurę F = F 1 F i oblicz jej pole b) Zbadaj, czy w figurę F moŝna wpisać okrąg Odp: a) P = 7; b) W figurę F nie moŝna wpisać okręgu Zad 0: Dana jest prosta o równaniu x + 7y = 50 i punkt A = (,3) a) Znajdź na danej prostej takie punkty M i N, aby AM = NA = 5 b) Znajdź na osi odciętych taki punkt C (o ile istnieje), aby CA CM Odp: a) M = (1,7), N = (8,6) lub M = (8,6), N = (1,7); b) Takie punkt nie istnieje Zad 1: Punkty A = (1, ), D = (, ) są wierzchołkami trapezu ABCD Podstawa AB tego trapezu zawiera się w prostej x y = 0, a prosta x + y 7 = 0 jest osią symetrii tego trapezu Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków i oblicz pole trapezu Odp: B = (5, 6), C = (0, 6), P = 30 113

Zad : Punkt S = (0, 0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD Wiedząc, Ŝe AB = [ 3] BC = [ 6, ], oblicz: a) współrzędne wierzchołków tego równoległoboku; b) pole równoległoboku; c) miarę kąta ostrego (rozwartego) równoległoboku Odp: a) A = ( 3, 1), B = (1, ), C = (7, ), D = (3,1); b) P = 10; c) sinα = 10 10 0,316, α 18 6 (α 161 3 ) Zad 3: (profil matematyczno-fizyczny) Zaznacz w układzie współrzędnych figurę F = ( x, y) : x, y R i log 1 ( 8 + 8x x y y) log 1 ( y + 8x x ) Oblicz pole figury F Odp: P = 18 3 Zad : (profil matematyczno-fizyczny) Krzywa f jest zbiorem wszystkich punktów jednakowo odległych od prostej o równaniu y 3 = 0 i punktu A = (0, 0) a) Znajdź równanie krzywej f i narysuj ją *b) Oblicz objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu wokół osi x figury ograniczonej krzywą f i prostą o równaniu x 3y + 3 = 0 1 3 Odp: a) y = 6 x + ; b) V = 8 135 Zad 5*: (profil matematyczno-fizyczny) 8 Krzywa l ma równanie y = Krzywa k jest zbiorem środków tych cięciw paraboli o x + 3 równaniu y = x 1, które przechodzą przez początek układu współrzędnych a) Napisz równanie krzywej k b) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi k i l c) Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu krzywej l dookoła osi x dla x 0;1 ( π + ) Odp: a) y = x 8 3π 1 8π 3 9 ; b) P = ; c) V = 9 7 Zad 6: a) Funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + 16 osiąga dla x = 3 wartość najmniejszą równą Prosta x y + = 0 przecina wykres funkcji f w punktach A i B Oblicz pole trójkąta ABW, gdzie W jest wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji f *b) Określ liczbę pierwiastków równania f(x) 5 = m w zaleŝności od wartości parametru m Naszkicuj wykres funkcji, która kaŝdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania Odp: a) P = 30 (A = (1, 6), B = (6,16), W = (3, )); b) Równanie f(x) 5 = m nie ma pierwiastków dla m ( ; 5), ma dwa pierwiastki dla m { 5} ( 3; + ), ma trzy pierwiastki dla m = 3, ma cztery pierwiastki dla m ( 5; 3), i 11

Zad 7: Do krzywej opisanej równaniem (x 1)y = 1 poprowadzono styczne o współczynnikach kierunkowych m, spełniających warunek m = 1 a) Znajdź współrzędne punktów styczności b) Znajdź równania stycznych c) Oblicz pole czworokąta o wierzchołkach w punktach styczności Odp: a) (, 1), (,1), (0,1), (0, 1); b) y = x 3, y = x + 3, y = x + 1, y = x 1; c) P = Zad 8: W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC wierzchołek A kąta ostrego ma współrzędne (3, 1) Przyprostokątna BC zawiera się w prostej x y + 1 = 0 Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki trójkąta Odp: x + y = 0, y = 1 lub x + y = 0, x = 3 Zad 9: Boki trójkąta zawierają się w prostych y =, x y + 10 = 0, x + 3y = 0 Oblicz współrzędne obrazów wierzchołków tego trójkąta w jednokładności o środku (0, 0) i skali Oblicz pole trójkąta i jego obrazu w tej jednokładności Odp: Wierzchołki trójkąta mają współrzędne A = (, ), B = ( 3, ), C = ( 3, ), a ich obrazy mają współrzędne A = (8, ), B = (3, ), C = (6, 8) P ABC = 5, P A B C = 10 Zad 30: Dane są trzy wierzchołki kwadratu ABCD: A = (1, 3), B = (7, 1), C = (5, 5) Punkt E jest środkiem boku BC a) Znajdź równanie prostej l przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do prostej AE b) Oblicz odległość punktu E od prostej l c) Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie BED Odp: a) x + y = 0 (D = ( 1, 3), E = (6, )); b) 3 ; c) (x ) + (y + 1) = 5 Zad 31: Punkty A = (1,1), B = (5, ) są wierzchołkami równoległoboku ABCD Długość boku AD jest równa 10, a jedna z przekątnych jest zawarta w prostej o równaniu x + 3y 16 = 0 Oblicz współrzędne wierzchołków C i D oraz sinusy kątów równoległoboku, wiedząc, Ŝe współrzędne punktu D są liczbami całkowitymi Odp: C = (6, 5), D = (, ), sinusy wszystkich kątów równoległoboku są równe Zad 3: 1 Punkt A = ( 3, ) jest jednym z wierzchołków rombu ABCD Prosta AC jest równoległa do prostej 3x + y = 0, a prosta 11x y + 16 = 0 zawiera jeden z boków rombu Oblicz współrzędne wierzchołków i pole tego rombu Odp: B = (, 5), C = ( 1, 5 ), D = (, 3) lub B = (, 3), C = ( 1, 5 ), D = (, 5); P = 5 Zad 33: Dane są punkty A = (3, 5) i B = (, 3) oraz prosta p o równaniu y = 3 11 170 115

Odp: a) (, ) ; b) ( ) 3 5 61 5 + 61,,,,, 0,,0 ) a) Oblicz współrzędne punktu C leŝącego na prostej p, jednakowo odległego od punktów A i B b) Oblicz współrzędne punktu K leŝącego na prostej p, wiedząc, ze K jest wierzchołkiem trapezu ABOK, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych c) Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia okręgu o średnicy AB z osiami układu współrzędnych C = 7 K = 3 8, 3 ; c) P = 610 (wierzchołki czworokąta mają współrzędne ( 0 1+ 10) ( 0 1 10) Zad 3: a) Trójkąt, którego boki zawierają się w prostych o równaniach x + y 18 = 0, x y = 0, x + y 9 = 0, obraca się wokół najdłuŝszego boku Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły *b) Boki trójkąta mają długości a, b, c, kąty leŝące naprzeciw tych boków mają miary odpowiednio α, β, γ WykaŜ, Ŝe a b c Odp: a) V = 8 5π, P = 108π ( α β) sin = sin γ 116