Projet Fizya wobec wyzwań XXI w. wpółinanowany przez Unię Europeją ze środów Europejieo Funduzu Społeczneo w raach Prorau Operacyjneo Kapitał Ludzi Zadania z olowiu 16.11.2009 (Fizya Medyczna i Neuroinoratya) 1. Przeunięcie dopplerowie w badaniu echoardiorae Werja A Głowica echoardiorau eituje inuoidalną alę ultradźwięową o czętotliwości 2,900 MHz). Fala ultradźwięowa, przechodzi przez tanę ięą prędością 1450/ i odbija od przepływającej w aorcie rwi. Krew w aorcie płynie u łowicy. Głowica echoardiorau zarejetrowała alę odbitą o czętotliwości 2,902 MHz. Jaa jet prędość przepływu rwi w aorcie? Jaa jet dłuość ali ultradźwięowej w tance? Rozwiązanie: Dłuość ali w tance. 0,5 10 2,9 1450 1 6 Czętotliwość widziana przez czoło truienia rwi Czętotliwość odbierana przez nieruchoą łowicę, dy źródło o prędości eituje alę o czętotliwości : W rezultacie dotajey: Pozuiwanie dy dana jet odbierana czętotliwość 2,902MHz wyaa przeztałcenia: Rezultat liczbowy w przybliżeniu ożna uzyać bardzo łatwo (bez alulatora) MHz Hz / 0,5 5,8 2 1450
Projet Fizya wobec wyzwań XXI w. jet wpierany przez Europeji Funduz Społeczny w raach Prorau Operacyjneo Kapitał Ludzi Werja B Głowica echoardiorau eituje inuoidalną alę ultradźwięową o czętotliwości 4,350 MHz). Fala ultradźwięowa, przechodzi przez tanę ięą z prędością 1450/ i odbija od przepływającej w aorcie rwi. Krew w aorcie płynie w ierunu od łowicy. Głowica echoardiorau zarejetrowała alę odbitą o czętotliwości 2,347 MHz. Jaa jet prędość przepływu rwi w aorcie? Jaa jet dłuość ali ultradźwięowej w tance? Rozwiązanie: Dłuość ali w tance. 0,33 10 4,35 1450 1 6 Czętotliwość widziana przez czoło truienia rwi Czętotliwość odbierana przez nieruchoą łowicę, dy oddalające ię źródło o prędości eituje alę o czętotliwości : W rezultacie dotajey: Pozuiwanie dy dana jet odbierana czętotliwość 2,902MHz wyaa przeztałcenia: Rezultat liczbowy w przybliżeniu ożna uzyać bardzo łatwo (bez alulatora) MHz Hz / 0,5 8,7 3 1450
Obydwa zadania ożna było rozwiązać różnyi etodai. Wzytie etody prowadzące do prawidłoweo wyniu były oceniane w ten a poób. Rozwiązanie, werji A. Zadanie to rozwiążey etodą tandardową znajdując najpierw równanie ruchu, a pote tor. Uład wpółrzędnych wiążey z aratą (chociaż ożna i z powierzchnią Ziei, nie zienia to rozwiązania). W przyjęty uładzie wpółrzędnych prędość V a dwie ładowe Równania ruchu opiujące ruch pociu wzdłuż oi x i y ą natępujące: 1 2 Aby znaleźć tor ruchu pociu, z druieo równania wyznaczay cza ruchu i wtawiay do pierwzeo równania: 1 2 co Pozuujey teraz taiej wpółrzędnej x (zaięu trzału), tórą dalej oznaczay jao l, dla tórej yh: 1 2 co 2 co 0 Znalezienie zaięu odpowiada zate znalezieniu pierwiatów powyżzeo równania wadratoweo. Obliczay: 2 co, 2 co co co 2 co
W rozważany przypadu intereuje rozwiązanie ze znaie : co 2 co in2 2 1 1 2 in Cza lotu pociu wyznaczyy orzytając z pierwzeo równania: Cza lotu na odlełość x l jet równy: in2 2 2 1 1 in 2 1 1 in Podtawy dane liczbowe, obliczy najpierw wyrażenie pod pierwiatie: 2 2 210 10 200 in 45 4200 40000 1 21 100 2 Reauując: 1 21 100 121 11 1,1 100 10 2 1 1 co 2,1 200 in 2 45 2 10/ 2,1 40000 20/ 2.1 4200 200 2 2 10/ 2,1 21 2
Werja B. Zadanie to rozwiążey etodą tandardową znajdując najpierw równanie ruchu, a pote tor. Uład wpółrzędnych wiążey z oździerze. W przyjęty uładzie wpółrzędnych prędość V a dwie ładowe: Równania ruchu opiujące ruch pociu wzdłuż oi x i y ą natępujące: 1 2 Aby znaleźć tor ruchu pociu, z druieo równania wyznaczay cza ruchu i wtawiay do pierwzeo równania: 1 2 co Pozuujey teraz taiej wpółrzędnej x (zaięu trzału), tórą dalej oznaczay jao l, dla tórej y d: 1 2 co 2 co 0 Znalezienie zaięu odpowiada zate znalezieniu pierwiatów powyżzeo równania wadratoweo. Obliczay: 2 co, 2 co co co 2 co
W rozważany przypadu intereuje rozwiązanie ze znaie : co 2 co in2 2 1 1 2 in Cza lotu pociu wyznaczyy orzytając z pierwzeo równania: Cza lotu na odlełość x l jet równy: in2 2 2 1 1 in 2 1 1 in Podtawy dane liczbowe, obliczy najpierw wyrażenie pod pierwiatie: Reauując: 2 in 100 2 10/ 2 9,9 10/ 100 1 2 1 99 2500 2401 49 2500 50 1 49 99 50 50 99 50 10000 20 198 99 5000 2500 99 990 50 100 2 2 10/ 99 9.9 2~10 2~14 50 Uwai do rozwiązań i puntacji. 1. Powyżej przedtawiono przyładowe rozwiązania. Przy ocenie rozwiązań były uwzlędniane taże inne etody, o ile były roządne, uzaadnione i prowadziły do poprawneo rozwiązania. 2. Główny popełniany błęde było zbyt wczene podtawienie danych liczbowych, do równań, w zczeólności do równania toru:
1 2 co co przy obliczaniu pierwiatów równania wadratoweo prowadziło do atronoicznych i zazwyczaj błędnych wyniów.
Zadanie 3A Na równi o ącie nachylenia α, znajduje ię loce o aie, tóreo wpółczynni tarcia poślizoweo o równię wynoi μ. Do loca jet przyocowana lina, tórą przewiezono przez nieważi i oący ię obracać bez tarcia bęben u zczytu równi, zaś na drui ońcu lini zawiezono drui loce o aie 2. Początowo nieruchoe loci pontanicznie zaczęły ię poruzać ta, że loce na równi jet podciąany do óry. Oreśl z jai przypiezenie poruza ię ażdy z loców oraz policz wartość liczbową przypiezenia, jeśli α 45, μ 0.1, zaś 10 / 2. Rozwiązanie Przyjujey, że oś łużąca do opiu ruchu loca leżąceo jet ierowana wzdłuż równi i zwrócona pod órę, zaś oś opiująca ruch loca wiząceo jet ierowana pionowo w dół. Nacią niti oznaczay przez T. Wtedy, w ytuacji tatycznej iła naciąu T 2 przeważa nad iłą zuwającą inα 0.71 i loce leżący zacznie być podciąany do óry, a równocześnie loce wizący zacznie ię opuzczać z przypiezenie o tej aej wartości, co przypiezenie loca leżąceo, ale ruch ten zotanie wzczęty, o ile tarcie tatyczne μ jet wytarczająco ałe (μ <(2-inα)/coα 1.83). Jeśli ruch ten ię rozpocznie, bilan ładowej iły ierowanej wzdłuż równi, działającej na loce leżący a potać: a T- inα - μ coα, zaś bilan pionowej ładowej iły działającej na loce wizący a orę natępującą: 2 a 2 T. Rozwiązując tę parę równań wzlęde a dotajey a (2-inα-μ coα)/3 4.07 / 2. Zadanie 3B Na równi o ącie nachylenia α, znajduje ię loce o aie 2, tóreo wpółczynni tarcia poślizoweo o równię wynoi μ. Do loca jet przyocowana lina, tórą przewiezono przez nieważi i oący ię obracać bez tarcia bęben u zczytu równi, zaś na drui ońcu lini zawiezono drui loce o aie. Początowo nieruchoe loci pontanicznie zaczęły ię poruzać ta, że loce na równi ię zuwa. Oreśl z jai przypiezenie poruza ię ażdy z loców oraz policz wartość liczbową przypiezenia, jeśli α 45, μ 0.1, zaś 10 / 2.
Rozwiązanie Przyjujey, że oś łużąca do opiu ruchu loca leżąceo jet ierowana wzdłuż równi i zwrócona pod órę, zaś oś opiująca ruch loca wiząceo jet ierowana pionowo w dół. Nacią niti oznaczay przez T. Wtedy, w ytuacji tatycznej iła zuwająca 2 inα 1.41 przeważa nad iłą naciąu T i loce leżący zacznie ię zuwać, a równocześnie loce wizący zacznie być podciąany do óry z przypiezenie o tej aej wartości, co przypiezenie loca leżąceo, ale ruch ten zotanie wzczęty, o ile tarcie tatyczne μ jet wytarczająco ałe (μ <(2inα-1)/(2coα) 0.29). Jeśli ruch ten ię rozpocznie, bilan ładowej iły ierowanej wzdłuż równi, działającej na loce leżący a potać: 2 a T-2 inα μ 2 coα, zaś bilan pionowej ładowej iły działającej na loce wizący a orę natępującą: a T. Rozwiązując tę parę równań wzlęde a dotajey a (1-2inα2μ coα)/3-0.91 / 2.