METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6

METODY INTELIGENCJI OBLICZENIOWEJ wykład 6

2 ZBIORY ROZMYTE I WNIOSKOWANIE PRZYBLIŻONE

965 Lotfi A. Zadeh: : Fuzzy sets In almost every case you can build the same product without fuzzy logic, but fuzzy is faster and cheaper. Prof. Lotfi Zadeh, UC Berkeley, Inventor of Fuzzy Logic 3

Metoda reprezentacji wiedzy wyrażonej w języku naturalnym: Temperatura wynosi 29 o C informacja liczbowa - naturalna dla systemów komputerowych. Jest dość ciepło informacja opisowa - naturalna dla człowieka. Klasyczna teoria zbiorów: : dowolny element należy lub nie należy do danego zbioru. Teoria zbiorów rozmytych: element może częściowo należeć do pewnego zbioru. 4

Zamiast dwóch wartości logicznych (prawda i fałsz) nieskończenie wiele wartości [0,]. Np.: młody człowiek : A= młody μ 0.8 A= młody 0 30 klasycznie [lata] 0 30 sposób rozmyty [lata] Umożliwiają formalne określenie pojęć nieprecyzyjnych i wieloznacznych: - wysoki hałas, - duże zarobki, - niskie zużycie paliwa. 5

6 Obszar rozważań X (the nierozmyty the universe of discourse nierozmyty (np. płaca w UK i w Polsce). discourse) - zbiór Zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni (niepustej) X - zbiór par: {(, μ ( )); X} A= A μ A () funkcja przynależności zbioru rozmytego A. Funkcja przynależności przypisuje każdemu ele- mentowi X stopień jego przynależności do zbioru rozmytego A.

μ A ()) = pełna przynależność elementu do ZR A; μ A ()) = 0 brak przynależności do ZR A; 0 < μ A () < częściowa przynależność do ZR A. Stopień przynależności to nie jest prawdopodobieństwo: młody w 80% to nie 4 młodych na 5 Symboliczny zapis ZR o skończonej liczbie elementów: A μ ( ) μ ( ) μ ( ) μ ( ) n A A 2 A n A i = + +... + = 2 n i= i suma mnogościowa przyporządkowanie 7

Np. Ciepła woda na basenie : Obszar rozważań: X = [5, 2,..., 35] Zbiór rozmyty A (według osoby nr ): 0. 0.3 0.4 0.6 0.8 0.9 0.8 0.75 0.7 A = + + + + + + + + + 20 2 22 23 24 25 26 27 28 29 Według osoby nr 2: 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 A = + + + + + + + + 8 9 20 2 22 23 24 25 26 Jeśli X - przestrzeń o nieskończonej liczbie elementów, to zapis symboliczny: to zapis symboliczny: μ ( ) A A = 8

Np. Zbiór liczb bliskich liczbie 7 : 9 μ ( A ) = + ( 7) 2 μ ( ) A 2 + ( -7) = 0 - - 7 5 lub -7 jeżeli 4 0 μa( )= 3 0 w przeciwnym razie μ ( ) 0 0 7 4

0 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI μa ( ; ', a) = ep ' a 2 μ() 0.5 a=2 a=0.5 0 0 ' 0 środek; a określa szerokość krzywej

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s 0 dla a sabc ( ;,, ) 2 - a 2 dla b a c- a = 2 - c 2 dla b c c- a dla c b = a + c 2 μ ( ) 0.5 0 a b 0 0 c 2

3 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π (zdef.. poprzez klasę s) π ( bc ;, ) s( c ; - bc, - b/2, c) dla a = - s( cc ;, + b/2, c+ b) dla c μ ( ) 0.5 0 c-b c-b/2 c c+b/2 c+b 0 6

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ (alternatywa dla s) 0 dla a a γ ( ; ab, ) = dla a b b a dla b μ ( ) 0 a 0 0 b F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L dla a b- Lab ( ;, )= dla a b b- a 0 dla b 0 μ ( ) a b 0 0 4

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t (alternatywa dla π) μ ( ) 0.5 0 0 c-b c-b/2 c c+b/2 c+b 6 μ ( ) 0 dla a a dla a b b a tabc ( ;,, ) = c dla b c c b dla c 0 a b c 0 0 5

F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton ( ) ( - ')= jeżeli = ' μa = δ 0 jeżeli ' μ ( ) 0.5 0 ' 0 0 Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór r rozmyty. Funkcja ta jest wykorzystywana głównie g do operacji rozmywania w systemach wnioskujących. 6

Np.: prędkość samochodu: X: [0, ma ] Mała prędkość samochodu (A) typ L Średnia prędkość samochodu (B) typ Duża prędkość samochodu (C) typ typ t typ γ μ A () μ B () μ C () 0.5 40 60 80 ma =55 μ A ()) =0.25, = μ B ()=0.75, μ C ()=0 7

μ() α 0 Jądro α - przekrój Baza Nośnik (baza) zbioru rozmytego A: zbiór elementów ZR, dla których μ ()) >0 { X μ } supp A= ; ( ) > 0 Jądro zbioru rozmytego A: zb. elementów ZR, dla których μ()= core( A) = { X : μ ( ) = } A A α -przekrój zbioru rozmytego A: zbiór nierozmyty taki, że: A = : ( ) ( [0,] { } α X μa α α 8

Np.: 0. 0.3 0.7 0.6 0.3 A = + + + + 2 4 5 8 0 X={,..., 0} α -przekroje: A 0 = X = {,..., 0}, A 0. = {2, 4, 5, 8, 0}, A 0.3 = {4, 5, 8, 0}, A 0.6 = {5, 8}, A 0.7 = {5}. 9

Wysokość zbioru rozmytego A: ha ( ) = sup μ ( ) A A Zbiór normalny: ha= ( ) Normalizacja zbioru: μ A N ( ) μa( ) = ha ( ) X Np.: - przed normalizacją: 0.2 0.5 0.4 A = + + 3 5 7 - po normalizacji: 0.4.0 0.8 A N = + + 3 5 7 20

Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B): μ () μ B () μ A () ZR wypukły: μ () ZR niewypukły: μ () Równość dwu ZR A i B: μ ( ) = μ ( ) X A B 2

22 OPERACJE NA ZBIORACH ROZMYTYCH

PRZECIĘCIE W literaturze istnieje wiele definicji przecięcia (iloczynu) zbiorów rozmytych pod wspólną nazwą T-norm. μ ( ) T ( μ ( ), μ ( )) A B = A B Najczęściej stosowana definicja przecięcia zbiorów A i B: { } μ ( ) min μ ( ), μ ( ) A B = A B μ () μ A () μ B () μ A () μ B () 0 lub (iloczyn algebraiczny): μ A B( ) = μ A( ) μb( ) μ () μ A () μ B () μ A () μ B () 0 23

SUMA Definicje sumy zbiorów rozmytych mają nazwę S-norm. Np.: { } μ ( ) ma μ ( ), μ ( ) A B = A B μ () μ A () μ B () μ A () μ B () 0 DOPEŁNIENIE zbioru rozmytego: μ ˆ( ) = μ A( ) A μ () μ A () μ Â () 0 Dla ZR nie są spełnione prawa dopełnienia: A Aˆ X A Aˆ 24

25 Przykład: X = {,2,3,4,5,6,7} 0.8 0.7 A = + + 3 5 7 0.5 0.8 B = + + 3 5 6 Przecięcie: A 0.5 0.8 B = + 3 5 Suma: 0.8 0.7 A B = + + + 3 5 6 7

26 Przykład: X = { 2,3,4,5,6,7} 0.8 0.9 0.7 A = + + + 3 5 6 7 ˆ 0.2 0. 0.3 A = + + + + 2 3 4 6 7 Przecięcie: A ˆ 0.2 0. 0.3 A = + + 3 6 7 Suma: A ˆ 0.8 0.9 0.7 A = + + + + + X 2 3 4 5 6 7

27 LICZBY ROZMYTE

Liczby rozmyte to ZR zdefiniowane na osi liczb rzeczywistych. Wymagania: zbiór normalny: h(a)=; zbiór wypukły; funkcja przynależności przedziałami ciągła. np.: μ () 0 dodatnie μ () ujemne; ani dodatnie ani ujemne. 0 28

Dodawanie liczb rozmytych: { } μa+ B( ) = ma μa( y), μb( z) = y+ z μ μ A (y) μ B (z) μ A+B () 0 Mnożenie liczb rozmytych: { } μab ( ) = min μa( y), μb( z) = y z μ μ A (y) μ B (z) μ A B () 0 29

Trójkątne liczby rozmyte: Opis: - f. przynależności klasy t; - jako: A = ( a, a, a ) M 2 μ () Wyostrzanie trójkątnej () liczby rozmytej: y = am 0 a + a + a 3 y (2) M 2 y y = = a + 2a + a 4 (3) M 2 a + 4a + a = 6 (4) M 2 a a M a 2 30

Płaskie liczby rozmyte: 3 μ() 0

32 PRZYBLIŻONE WNIOSKOWANIE

33 Logika tradycyjna (dwuwartościowa): O prawdziwości zdań wnioskuje się na podstawie prawdziwości innych zdań. Schemat notowania: Nad kreską zdania, na podstawie których się wnioskuje; Pod kreską otrzymany wniosek. Jeśli prawdziwe są wszystkie zdania powyżej kreski to prawdziwy jest też wniosek. Teraz: A, B zdania.

A= A=0 = : logiczną wartością zdania A jest prawda; =0 : logiczną wartością zdania A jest fałsz. Funktory logiczne: Operacja logiczna Funktor Czyta się: negacja ~ lub nie jest prawdą, że... koniunkcja i, oraz alternatywa lub implikacja jeżeli... to... równoważność wtedy i tylko wtedy, gdy... tożsamość jest tożsame... kwantyfikator ogólny kwantyfikator szczególny dla każdego... istnieje takie... 34

Implikacja (wynikanie): Zdanie logiczne o strukturze jeśli p to q" " (p q)( p poprzednik implikacji; q następnik implikacji. Implikacja jest prawdziwa: gdy q jest prawdziwe; gdy p i q są fałszywe. 35

REGUŁY WNIOSKOWANIA MODUS PONENS Modus ponendo ponens sposób wnioskowania przez twierdzenie p do twierdzenia q. Przesłanka: Implikacja: Z prawdziwości przesłanki i implikacji wynika prawdziwość wniosku. Np.: Wniosek: A A B A= Jacek jest kierowcą B= Jacek ma prawo jazdy Jeśli A= to B= B 36

37 MODUS TOLLENS Modus tollendo tollens sposób wnioskowania prowadzący przez przeczenie do przeczenia. Przesłanka: Implikacja: ~B A B Wniosek: ~A Z prawdziwości przesłanki i implikacji również wynika prawdziwość wniosku. Np.: B=0 (~B( ~B=) Jacek nie ma prawa jazdy A=0 (~A=) Jacek nie jest kierowcą Jeśli B=0 to A=0

REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ 38 Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone są w języku zbiorów rozmytych. Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone są w języku nieprecyzyjnym. Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na konkretne wartości liczbowe. Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmy- tej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł.

Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.: IF a is A AND b is B THEN c is C IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2 gdzie: a, b, c zmienne lingwistyczne, A,,..., C2 zbiory rozmyte. Zmienne lingwistyczne: zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub zdania wypowiedziane w języku naturalnym. (również wartości liczbowe). 39

Różnice w porównaniu z klasycznymi regułami IF-THEN THEN: Wykorzystanie W zmiennych opisujących zbiory rozmyte; Występowanie mechanizmu określającego stopień przynależności elementu do zbioru; Wykorzystanie operacji na zbiorach rozmytych. Np.: Schemat wnioskowania, w którym przesłanka, implikacja i wniosek są nieprecyzyjne: Przesłank anka: a: Implikacja: Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędko dkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu asu jest wysoki Poziom hałasu jest średniowysoki 40

4 Przesłanka: Implikacja: Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędko dkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu asu jest wysoki Poziom hałasu jest średniowysoki Rozmyta reguła wnioskowania modus ponens : Przesłanka: Implikacja: Wniosek: jest A Jeśli jest A y jest B y jest B

42 Przesłanka: Implikacja: Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędko dkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu asu jest wysoki Poziom hałasu jest średniowysoki Zmienne lingwistyczne: prędkość samochodu y poziom hałasu Zbiór wartości zmiennych lingwistycznych: : : T={ mała mała, średnia średnia, duża duża, bardzo duża } y: : T2={ mały mały, średni średni, średniowysoki średniowysoki, wysoki wysoki }

Tu: A prędkość samochodu jest bardzo duża ; A prędkość samochodu jest duża ; B poziom hałasu jest wysoki ; B poziom hałasu jest średniowysoki. Do każdego elementu zbiorów T i T2 można przyporządkować zbiór rozmyty o założonej przez nas funkcji przynależności. Implikacja ma tą samą postać (A B) w regule rozmytej jak i w nierozmytej. W regule rozmytej jej przesłanka nie dotyczy zb. rozmytego A lecz A,, który może być zbliżony do A,, ale niekoniecznie A=A A. 43

44 Ponieważ A A A - wniosek jest inny niż byłby w przypadku reguły nierozmytej. Zbiór rozmyty B jest określony przez złożenie zbioru rozmytego A oraz implikacji A B: B' = A' ( A B) Rozmyta reguła wnioskowania modus tollens : Przesłanka: Implikacja: Wniosek: y jest B Jeśli jest A y jest B jest A

Wyznaczanie funkcji μ A B (,y) gdy μ A () oraz μ B (y) są znane:. Reguła Mamdaniego: 2. Reguła Larsena: 3. Reguła Łukasiewicza: 4. Reguła Zadeha:... μ ( y, ) min[ μ ( ), μ ( y)] A B = A B μa B(, y) = μa( ) μb( y) [ ] μa B( y, ) = min,- μa( ) + μb( y) { [ ] } μa B(, y) = ma min μa( ), μb( y), μa( ) 45

46 STEROWNIKI ROZMYTE

47 Zastosowania praktyczne: sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze); kamery (autofokus( autofokus); nadzór wentylacji w tunelach; sterowanie światłami na wjeździe na autostradę; klimatyzacja; automatyka przemysłowa; sterowanie robotów;...

Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego procesu (co często jest trudne); Należy jedynie sformułować zasady postępowania w postaci rozmytych reguł (IF( IF....THEN). Np.: Schemat układu klimatyzacji: STEROWNIK ROZMYTY pomieszczenie czujnik temperatury czujnik wilgotności KLIMATYZATOR 2, y zmierzone wartości wejściowe; sygnał sterujący (intensywność chłodzenia). 48

STEROWNIK ROZMYTY: 49 BAZA REGUŁ BLOK ROZMYWANIA A' X BLOK WNIOSKOWANIA B' BLOK WYOSTRZANIA y Baza reguł (model lingwistyczny): zbiór rozmytych reguł w postaci: R ( k ) : IF ( is A AND is A AND is A ) k k k 2 2 n n k THEN ( y is B AND y is B AND y is B ) k k 2 2 m m

Np. Sterowanie ogrzewaniem: 50 Cena Temperatura ogrzewania mróz zimno chłodno tanio mocno mocno średnio średnio mocno średnio słabo drogo średnio słabo wcale () R : IF ( is AND is Temperatura mróz Cena _ ogrz tanio) THEN ( Grzać is mocno) R (2) : IF ( Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is drogo) THEN ( Grzać is wcale)

ROZMYWANIE (fuzzyfikacja) Przejście od pomiarów (konkretna wartość ) do funkcji przynależności przez określenie stopni przyna- leżności zmiennych lingwistycznych do każdego ze zbiorów rozmytych. Np.: Temperatura: T =5 C Cena_ogrz: p =48zł/MBTU (3) R : IF ( Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is tanio) THEN ( Grzać is średnio) μ chłodno (T) μ tanio (p) 0.5 0.3 0 5 C T 0 48zł/MBtu p 5

52 μ chłodno (T)=0.5 μ tanio (p)=0.3 0.5 0.3 0 5 C T 0 48zł/MBtu p Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek: μ ( ) = min{ μ ( T), μ ( p)} całe chłodno tanio = min{0.5,0.3} = 03. poziom zapłonu reguły

53 WNIOSKOWANIE Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku: Wnioskowanie MIN: μ = wniosku min{ μ, μ } całe średnio μ średnio (h) μ całe =0.3 0 μ wniosku (h) h

54 AGREGACJA Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się. THEN Grzać is słabo THEN Grzaćis średnio THENGrzać is mocno μ wniosku słabo średnio mocno 0 h

55 WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja) Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa,, stosuje się jedną z metod wyostrzania: Metoda pierwszego maksimum: Metoda środka maksimum: Metoda środka ciężkości (COG):

Tu: μ wniosku słabo COG średnio mocno 0 57 h h = i i μ Ac i i i μ A A i powierzchnia zbioru i μ i stopień przynależności do zbioru i c i środek ciężkości zbioru i. i i 56

57

58 STEROWNIKI ROZMYTE TAKAGI-SUGENO

59 Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty tylko w częś ęści IF. W częś ęści THEN występuj pują zależno ności funkcyjne. Reguły Mamdaniego: : wynikiem jest zbiór r rozmyty B: IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = B Reguły Takagi-Sugeno Sugeno: : wynikiem jest funkcja Zwykle sąs to funkcje liniowe : funkcja f ( i ): IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = f (, 2,.. n ) f ( i ) = y = a 0 +a +a n n

Np.: R () : IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość R (2) : IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4 prędkość R (3) : IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8 prędkość μ niska średnia wysoka 0.8 0.3 0. 2 Prędkość R () : w = 0.3; r = 2 R (2) : w 2 = 0.8; r 2 = 4 2 R (3) : w 3 = 0.; r 3 = 8 2 w r i Hamowanie = = 7.2 i w i 60