Vztah funkce a grafu funkce

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Matej Drahovský Vztah funkce a grafu funkce Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc. Matematika Obecná matematika Praha 13

Týmto by som sa chcel pod akovat vedúcemu mojej práce prof. RNDr. Luděkovi Zajíčkovi, DrSc. za trpezlivé a poučné vedenie tejto práce a za jeho čas. Taktiež by som sa chcel pod akovat RNDr. Slávke Drahovskej za pomoc pri kontrole úpravy a gramatiky práce.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 11/ Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 6 odst. 1 autorského zákona. V...................... dne............. Podpis autora

Název práce: Vztah funkce a grafu funkce Autor: Matej Drahovský Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V předložené práci studujeme vztah funkce, respektive zobrazení mezi metrickými prostory, a jejího grafu, tedy podmnožiny kartézského součinu dvou metrických prostorů. Hlavní oblastí zájmu pro nás budou reálné funkce jedné reálné proměnné, no jestli to bude možné, budou tvrzení formulována i pro zobrazení mezi jinými prostory. V první kapitole studujeme funkce s uzavřeným grafem. Tito funkce nejdříve charakterizujeme pomocí jejich hromadných hodnot a poté, za určitých předpokladů, charakterizujeme množinu bodů nespojitosti funkce s uzavřeným grafem. Ve druhé kapitole zavedeme pojem Hausdorffovy vzdálenosti podmnožin metrického prostoru a ukážeme vztah mezi různými druhy konvergence funkcí a konvergencí Hausdorffovy vzdálenosti jejich grafů k nule. V poslední kapitole formulujeme Gibbsův jev z teorie Fourierových řad jako konvergenci Hausdorffovy vzdálenosti grafů částečných součtů Fourierovej řady od vhodně upraveného grafu aproximované funkce k nule. Klíčová slova: Graf funkce, Hausdorffova vzdálenost, Gibbsův jev Title: Relations of a function and its graph Author: Matej Drahovský Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: In presented work we study relation between a real function, or a map between two metric spaces, and its graph, a subset of Cartesian product of two metric spaces. Mainly, we will focus on real function of one real variable, but if possible theorems will be concerning maps between other metric spaces. In first chapter we study functions with closed graph. First we characterize these functions by their limit points and then, under some additional conditions, we characterize set of points of discontinuity of a function with closed graph. In second chapter, we introduce Hausdorff distance of subsets of metric space and we will show relations between different types of convergence of functions and convergence of Hausdorff distance of their graphs to zero. In the last chapter, we define Gibbs phenomenon from the theory of Fourier series as convergence of Hausdorff distance of graphs of partial sums of Fourier series from modified graph of approximated function to zero. Keywords: Graph of function, Hausdorff distance, Gibbs phenomenon

Názov práce: Vzt ah funkcie a grafu funkcie Autor: Matej Drahovský Katedra: Katedra matematické analýzy Vedúci bakalárskej práce: prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V predloženej práci študujeme vzt ah funkcie, respektíve zobrazenia medzi metrickými priestormi, a jej grafu, teda podmnožiny kartézkého súčinu dvoch metrických priestorov. Hlavnou oblast ou záujmu pre nás budú reálne funkcie jednej reálnej premennej, no ak to bude možné, budú tvrdenia formulované aj pre zobrazenia medzi inými priestormi. V prvej kapitole študujeme funkcie s uzavretým grafom. Tieto funkcie najskôr charakterizujeme pomocou ich hromadných hodnôt a potom, za určitých predpokladov, charakterizujeme množinu bodov nespojitosti funkcie s uzavretým grafom. V druhej kapitole zavedieme pojem Hausdorffovej vzdialenosti podmnožín metrického priestoru a ukážeme vzt ah medzi rôznymi druhmi konvergencie funkcií a konvergencii Hausdorffovej vzdialenosti ich grafov k nule. V poslednej kapitole formulujeme Gibbsov jav z teórie Fourierových rád ako konvergenciu Hausdorffovej vzdialenosti grafov čiastočných súčtov Fourierovej rady od vhodne upraveného grafu aproximovanej funkcie k nule. Kl účové slová: Graf funkcie, Hausdorffova vzdialenost, Gibbsov jav

Obsah 1 Funkcie s uzavretým grafom 3 Hausdorffova vzdialenost 5 3 Gibbsov jav 9 1

Úvod V následujúcej práci budeme vyšetrovat vzt ah medzi funkciou a jej grafom. Budeme sa zaoberat prevažne reálnymi funkciami jednej reálnej premennej, ale vo viacerých prípadoch sú tvrdenia formulované pre zobrazenia medzi metrickými priestormi. Grafom zobrazenia f : (X, ρ) (Y, σ) medzi metrickými priestormi (X, ρ) a (Y, σ) rozumieme množinu {(x, f (x)) X Y : x X}, ktorú budeme značit G f. Ide teda o podmnožinu kartézskeho súčinu množín X a Y. Aby sme mohli hovorit o väčšine z v tejto práci študovaných vlastností, musíme si na X Y zaviest metriku. Asi najprirodzenejšou vol bou metriky na X Y je takzvaná Euklidovská metrika, definovaná pre x 1, x X a y 1, y Y ako ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) = (ρ (x 1, x )) + (σ (y 1, y )). Dôkaz, že toto zobrazenie je na X Y metrikou, môžme nájst napríklad v [Čech(197)]. V tretej kapitole budeme viackrát používat ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) ρ (x 1, x )+σ (y 1, y ), čo dostaneme z nezápornosti metriky následujúcou úvahou: ρ (x 1, x ) σ (y 1, y ) ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y ) (ρ (x 1, x )) + ρ (x 1, x ) σ (y 1, y ) + (σ (y 1, y )) (ρ ((x 1, y 1 ), (x, y ))) (ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y )) ρ ((x 1, y 1 ), (x, y )) ρ (x 1, x ) + σ (y 1, y ). V prvej kapitole budeme charakterizovat zobrazenia, ktorých graf je uzavretá množina pomocou množiny hromadných hodnôt funkcie v danom bode. Pre zobrazenie f : (X, ρ) R z metrického priestoru (X, ρ) do reálnej priamky so štandardnou metrikou a bod x X, týmto myslíme množinu {y R : existuje postupnost x n X taká, že x n x a f (x n ) y}, a túto množinu budeme značit H f (x). Ďalej gul u v metrickom priestore (X, ρ) so stredom v bode x X a polomerom δ >, budeme značit B ρ (x, δ), a rozumieme tým množinu {y X : ρ (x, y) < δ}. Pre M X, uzáver M budeme značit M. Značením f 1 [K] rozumieme vzor množiny K v zobrazení f. Prvé dve kapitoly sú zhrnutím výsledkov, ku ktorým som došiel riešením príkladov z Témy v skriptách [Lukeš(198)] respektíve námetov vedúceho práce. Posledná kapitola je z námetov vedúceho práce a z [Jarník(1955)], kapitola XIII, 5, cvičenie 5.

Kapitola 1 Funkcie s uzavretým grafom Veta 1. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je l ubovol né zobrazenie. Potom f má uzavretý graf práve vtedy, ked pre každé x X je množina hromadných hodnôt funkcie f v tomto bode podmnožinou množiny {f (x), ± }. Dôkaz. Nech pre nejaké x X existuje postupnost x n, konvergujúca k x, pre ktorú platí: f (x n ) y f (x). Potom ρ ((x, y), G f ) ρ ((x, y), (x n, f (x n ))) + ρ ((x n, f (x n )), G f ) = ρ ((x, y), (x n, f (x n ))) a pravá strana konverguje k nule. Teda (x, y) G f. Ked že (x, y) / G f dostávame, že f nemá uzavretý graf. Nech pre každé x X je H f (x) {f (x), ± } a nech (x, y) G f. Potom existuje postupnost (x n, f (x n )) konvergujúca k (x, y). Ked že konvergencia v súčine metrických priestorov je ekvivalentná konvergencii po zložkách dostávame, že x n x a f (x n ) y. Z toho y H f (x) a teda y = f (x) a G f je uzavretá množina. Dôsledok. Nech (X, ρ) je metrický priestor a zobrazenie f : X R je spojité. Potom f má uzavretý graf. Dôkaz. Pre spojité zobrazenie platí v každom bode H f (x) = {f(x)}. Dôsledok. Nech f : R R je lokálne obmedzená. Potom f je spojitá práve vtedy, ked má uzavretý graf. Dôkaz. Podl a predošlého dôsledku má spojitá funkcia uzavretý graf. Ak je funkcia lokálne obmedzená, tak množina jej hromadných hodnôt je v každom bode obmedzená. Takže ak má lokálne obmedzená funkcia uzavretý graf, musí mat v každom bode len jedinú hromadnú hodnotu a táto je rovná hodnote funkcie v danom bode. Potom ale je funkcia spojitá. Veta. Nech (X, ρ) je metrický priestor a M X je riedka, uzavretá množina. Potom existuje zobrazenie f : X R, s uzavretým grafom, ktoré je nespojité práve na množine M. Dôkaz. Definujme f (x) = { 1 ρ(x,m), x / M, x M. Potom f je spojité na množine X\M, pretože ρ (x, M) je spojité pre x X a nenulové na X\M z uzavretosti množiny M. Ked že M je riedka, tak pre každé 3

( x M a každé n N existuje x n B ρ x, 1 n) X\M. Potom f (xn ) > n a teda f nie je spojitá v žiadnom bode množiny M. Zostáva dokázat, že f má uzavretý graf. Ak x X\M, tak f je spojitá v x a teda H f (x) = {f (x)}. Ak x M, tak pre y B ρ (x, δ) platí: f (y) {} ( 1, ). Takže hromadnými hodnotami δ funkcie f v bode x môže byt len, čo je hodnota f v tomto bode, alebo. Teda f má uzavretý graf podl a vety (1). Tvrdenie 3. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je zobrazenie s uzavretým grafom. Potom množina bodov nespojitosti f je uzavrená. Dôkaz. Označme množinu bodov nespojitosti funkcie f ako M a nech x M. Pre každé n N existuje bod y n M taký, že ρ (x, y) < 1. Ked že f nie je n ( spojitá v bode y n, existuje k nemu podl a vety (1) bod z n B ρ y, 1 n) taký, že f (z n ) > n. Potom ρ (x, z n ) < 1 a teda je hromadnou hodnotou funkcie f v n bode x. Takže x nie je bodom spojitosti a teda M je uzavretá množina. Tvrdenie. Nech (X, ρ) je metrický priestor a f : X R je zobrazenie s uzavretým grafom. Potom vzor každej kompaktnej podmnožiny R je uzavrená množina. Dôkaz. Nech K R je kompaktná a x f 1 [K]. Nech x n je postupnost bodov z f 1 [K], konvergujúca k x. Potom f (x n ) je postupnost bodov v kompakte a teda môžme vybrat konvergentnú podpostupnost f (x nk ). Označme limitu tejto postupnosti b K. Ked že x nk x dostávame, že (x, b) G f = G f. Takže b = f (x) K a teda f 1 [K] je uzavrená. Veta 5. Nech (X, ρ) je Bairov metrický priestor. Nech f : X R má uzavretý graf a označme M množinu bodov nespojitosti zobrazenia f. Potom M je riedka, uzavretá mnozina. Dôkaz. Už vieme, že M je uzavretá množina. Nech existuje a X a ε > také, že f nie je spojitá v žiadnom bode množiny B ρ (a, ε). Pre k Z definujme F k := f 1 [[k, k + 1]] B ρ (a, ε). Podl a predošlého tvrdenia sú F k uzavrené množiny a zjavne F k = B ρ (a, ε). Ak x F k pre nejaké k Z tak x je bodom nespojitosti f a teda podl a vety (1) pre každé δ > existuje y B ρ (x, δ) také, že f (y) > max { k, k + 1 }. Takže F k je pre každé k Z riedka množina v X a teda aj v B ρ (a, ε). Ked že (X, ρ) je Bairov, je aj B ρ (a, ε) Bairov a teda zjednotenie F k nemoze byt hustou podmnožinou B ρ (a, ε) čo je spor. Takže množina bodov spojitosti funkcie f je hustá, otvorená množina, z čoho M je riedka množina.

Kapitola Hausdorffova vzdialenost Nech (X, ρ) je metrický priestor. Pre neprázdne množiny A, B X definujme { } ρ H (A, B) := max sup ρ (x, B), sup ρ (x, A). x A x B Túto hodnotu budeme nazývat Hausdorffovou odchýlkou množín A a B. V tejto kapitole budeme skúmat vzt ah medzi konvergenciou funkcií a Hausdorffovou odchýlkou ich grafov. Veta 6. Nech (X, ρ) je metrický priestor. Označme K systém všetkých neprázdnych, kompaktných podmnožín X. Potom (K, ρ H ) je metrický priestor. Dôkaz. Jednoduchým dosadením do definície a z nezápornosti metriky dostávame pre A, B X neprázdne ρ H (A, B) = ρ H (B, A). Nech ρ H (A, B) =. Potom pre všetky x A je ρ (x, B) = a pre všetky x B je ρ (x, A) =. Takže A B a B A. Ked že A, B sú uzavreté, dostávame A B B A A a teda A = B. Nech A, B, C sú neprázdne podmnožiny (X, ρ) a nech a A, b B a c C potom z trojuholníkovej nerovnosti platí: ρ (a, c) ρ (a, b)+ρ (b, c). Ďalej z definície vzdialenosti bodu od množiny platí: ρ (a, C) ρ (a, c), čím dostávame ρ (a, C) ρ (a, b)+ρ (b, c), z čoho infimom cez c C dostávame ρ (a, C) ρ (a, b)+ρ (b, C) ρ (a, b) + ρ H (B, C), kde posledná nerovnost vyplýva z definície ρ H. Infimom cez b B a použitím ρ (a, B) ρ H (A, B) dostávame ρ (a, C) ρ H (A, B)+ρ H (B, C) pre každé a A, z čoho vyplýva sup a A ρ (a, C) ρ H (A, B) + ρ H (B, C). Analogickým postupom dokážeme, že sup c C ρ (c, A) ρ H (A, B) + ρ H (B, C) a získavame, že pre každé A, B, C X neprázdne platí: ρ H (A, C) ρ H (A, B) + ρ H (B, C). Zostáva dokázat, že na množine všetkých kompaktných podmnožín X je ρ H konečná. Ak A, B X sú neprázdne kompaktné množiny, potom existujú x X a n N také, že A, B B (x, n) a teda pre a A a b B platí ρ (a, b) n z čoho ρ H (A, B) n. Z dôkazu je zrejmé, že ρ H je metrikou na každom systéme neprázdnych, uzavrených podmnožín (X, ρ) na ktorom je konečná a tiež, že ak Hausdorffova vzdialenost dvoch množín je nula, tak každá z týchto množín je podmnožinou uzáveru tej druhej, teda môžeme hovorit aspoň čiastočne o konvergencii. 5

Veta 7. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory, nech f n, f : (X, ρ) (Y, σ) sú funkcie a nech f n f na (X, ρ). Potom ρ H (G fn, G f ). Dôkaz. Nech máme dané ε >. Z rovnomernej konvergencie funkcií nájdeme n N také, že pre každé n n a každé x X platí: σ (f n (x) f (x)) ε. Potom pre x X je ρ ((x, f n (x)), G f ) ρ ((x, f n (x)), (x, f (x))) < ε, z čoho vyplýva sup y Gfn ρ (y, G f ) ε. Podobne dostávame sup y G f ρ (y, G fn ) ε a teda ρ H (G fn, G f ) < ε pre každé n n. Obdobné tvrdenie všeobecne neplatí ak zameníme rovnomernú konvergenciu za lokálne rovnomernú, ako ukazuje následujúci príklad. Príklad. Za f n, f : (, 1) R zvol me funkcie f n (x) = x n a f ako identicky nulovú funkciu. Potom f n konvergujú lokálne rovnomerne k f a pritom pre každé n N platí ρ H (G fn, G f ) lim k ρ (( 1 1 k, ( 1 1 k) n ), Gf ) = 1. Existujú dve rôzne reálne funkcie, f, g, pre ktoré platí ρ H (G f, G g ) =. Túto vlastnost majú napríklad funkcie f (x) = g (x) = sin 1 pre x, f () = x, g () = 1. Pre toto nie je možné bez dodatočných predpokladov na funkcie f n a f implikáciu vo vete (7) obrátit (ak uvažujeme ϕ n (x) = f (x) a ϕ (x) = g (x) pre každé x R, tak zjavne ρ H (G ϕn, G ϕ ) a ϕ n ϕ takže nemôžu konvergovat ani rovnomerne). Následujúce tvrdenie ukazuje, že toto nenastáva, ak je f spojité zobrazenie. Tvrdenie 8. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory a nech f je spojité zobrazenie z X do Y. Potom pre každé g : X Y platí: ak ρ H (G f, G g ) = tak f = g na X. Dôkaz. Nech existuje g : X Y také, že ρ H (G f, G g ) = a pre x X platí f (x ) g (x ). Označme ε := σ (f (x ), h (x )). Ked že f je spojité, existuje δ > také, že pre všetky x B ρ (x, δ) je σ (f (x) f (x )) ε. Potom ρ ((x, g (x )), G f ) min { ε, δ} > čo je spor s ρ H (G f, G g ) =. Ako ukáže následujúci príklad, ani predpoklad spojitosti zobrazení f n a f nestačí na to aby sme mohli implikáciu vo vete 7 obrátit. Príklad. Nech f (x) = x a f n (x) = ( x n) 1 pre x ( R a n N. Potom pre každé n N a pre každé x R je ρ ((x, x ), G fn ) ρ (x, x ), ( x + 1, x)) = 1. n n Ďalej pre x R je ( ρ ((x, x 1 ) ) ) (, G f ρ ((x, x 1 ) ), n n (x 1n (, x 1 ) )) = 1 n n. Takže ρ H (G fn, G f ) 1 pre každé n N. Na druhej strane ale f n n nekonvergujú rovnomerne k f, pretože ak pre n N, a ε > zvolíme x > nε + 1, tak platí: n f n (x) f (x) = x x + 1 x n n = 1 1 x n n > ε. Následujúca veta ukazuje, že implkáciu môžeme otočit za predpokladu rovnomernej spojitosti limitnej funkcie. Veta 9. Nech (X, ρ), (Y, σ) sú metrické priestory, nech f n, f : (X, ρ) (Y, σ) sú funkcie a nech f je rovnomerne spojitá. Nech ρ H (G fn, G f ). Potom f n f. 6

Dôkaz. Nech máme dané ε >. Nájdeme δ > také, že pre x, y X, ρ (x, y) < δ platí: σ (f (x), f (y)) < ε a δ < ε. Ďalej nájdeme n N tak, aby pre n n platilo: ρ H (G fn, G f ) < δ. Zvol me n N a x X l ubovol né. Potom existuje y X také, že ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) ρ H (G fn, G f ) < δ < ε. Naviac platí ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) ρ (x, y), čo dáva σ (f (x), f (y)) < ε, a ε > ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) σ (f n (x), f (y)). To nám dáva σ (f n (x) f (x)) σ (f n (x), f (y)) + σ (f (y), f (x)) < ε a teda f n konvergujú rovnomerne k f. Veta 1. Nech a, b R, a < b. Pre neklesajúcu funkciu f : [a, b] R označme A (f) := { (x, y) R : x (a, b), f (x ) y f (x + ) } { (a, y) R : f (a) y f (a + ) } { (b, y) R : f (b ) y f (b) }. Nech f, f n : [a, b] R sú neklesajúce funkcie. Potom je ekvivalentné: 1. lim n f n (x) = f (x) ak x je bodom spojitosti f, alebo krajným bodom intervalu [a, b];. lim n f n (x) = f (x) pre všetky x z nejakej hustej množiny W [a, b], obsahujúcej a a b; 3. ρ H (A (f n ), A (f)). Dôkaz. 1. implikuje. pretože množina bodov spojitosti neklesajúcej funkcie je hustá. Nech platí:. a nech máme dané ε >. Pre x (a, b) nájdeme x l [ x ε, x) W, x r ( x, x + ] ε W a n (x) N také, že pre n n (x) je f n (x l ) f (x l ) < ε a f n (x r ) f (x r ) < ε. Označme δ x := min {x x l, x r x}. Pre a definujeme a l = a, nájdeme n (a) a definujeme δ a = a r a, pre b definujeme zasa b r := b a n (b) a δ b zvolíme obdobne ako pre a. Ked že [a, b] je kompakt a systém {B (x, δ x ) : x [a, b]} tvorí jeho otvorené pokrytie, existujú x 1, x,.., x k také, že k i=1 B (x i, δ xi ) = [a, b]. Položme n := max i {1,,...,k} {n (x i )}. Nech n n a (x, y ) A (f n ). Potom existuje i {1,,..., k} také, že x B (x i, δ xi ). Nech x l, x r sú príslušné vol be n (x i ) a δ xi. Potom z toho, že f n je neklesajúca a vol by x l, x r dostávame nerovnost f (x l ) ε f n (x l ) f n (x ) f n (x r ) f (x r ) + ε. (..1) Ked že x l x i δ xi < x i + δ xi x r, tak x [x l, x r ] a y [f n (x l ), f n (x r )]. Z definície A (f) je zjavné, že pre y [f (x l ), f (x r )] existuje x [x l, x r ] také, že (x, y) A (f) (stačí volit x také, že f (x ) y f (x + ), čo môžeme na základe toho, že funkcia neklesá). Takže z nerovnosti..1 k y existuje y [f (x l ), f (x r )] také, že y y < ε. Potom zjavne ρ ((x, y ), A (f)) ρ ((x, y ), (x, y)) x x + y y < ε pretože x, x [x l, x r ]. Nech n n a (x, y ) A (f). Nájdeme i, x l, x r ako v predošlom prípade. Tentokrát použijeme nerovnost f n (x l ) ε f (x l) f (x ) f (x r ) f n (x r ) + ε, 7

ktorá vznikla podobne ako predošlá nerovnost. Použitím rovnakej úvahy ako minule dostávame ρ ((x, y ), A (f n )) < ε, z čoho už vyplýva: ρ H (A (f), A (f n )) < ε pre všetky n n. Nech teraz platí podmienka 3. Nech x (a, b) je bodom spojitosti funkcie f a f n (x) nekonvergujú k f (x). Potom nájdeme ε > také, že pre každé n N existuje n n také, že f n (x) f (x) ε. Zo spojitosti funkcie f v x nájdeme δ > také, že ε > δ a pre y (x δ, x + δ) platí: f (x) f (y) < ε. Ked že ρ H (A (f n ), A (f)) konverguje k nule, nájdeme n N také, že pre všetky n n je ρ H (A (f n ), A (f)) < δ. Nájdeme n 1 > n také, že f n1 (x) f (x) ε. Potom A (f) [x δ, x + δ] R [x δ, x + δ] [ f (x) ε, f (x) + ε ], z čoho ρ ((x, f n1 (x)), A (f)) sa bud nadobúda v bode A (f) mimo [x δ, x + δ] R, alebo niekde v [x δ, x + δ] [ f (x) ε, f (x) + ε ]. Od oboch týchto množín je ale vzdialenost bodu (x, f n1 (x)) aspoň δ, z čoho ρ H (A (f n1 ), A (f)) ρ ((x, f n1 (x)), A (f)) δ, čo je spor s vol bou n. Takže (f n (x)) konverguje k f (x), ak x je bodom spojitosti funkcie f. Vyšetrujme teraz konvergenciu (f n (a)). Ak by množina {f n (a) : n N} nebola obmedzená, dostávame spor s ρ H (A (f n ), A (f)), pretože A (f) je obmedzená množina, a (a, f n (a)) A (f n ) by mali od tejto množiny l ubovol ne vel kú vzdialenost pre vhodné n N. Takže {f n (a) : n N} je obmedzená množina a môžeme z nej vybrat konvergentnú podpostupnost {f nk (a)} k N. Označme limitu tejto postupnosti ako c R. Z ρ H (A (f n ), A (f)) dostávame ρ ((a, c), A (f)) =, inak nájdeme k N také, že pre každé k k je f nk (a) c < δ a zároveň ρ H (A (f), A (f nk )) < δ. Potom ale z trojuholníkovej nerovnosti dostávame ρ ((a, f nk (a)), A (f)) ρ ((a, c), A (f)) ρ ((a, c), A (f)) δ a zároveň ρ ((a, f nk (a)), A (f)) ρ H (A (f), A (f nk )) < δ, čo je spor. Ked že A (f) je uzavretá množina (ide o doplnenie grafu funkcie f o zvislé usečky tam, kde je f nespojitá, podrobný dôkaz uzavretosti A (f) je podobný dôkazu uzavretosti množiny G z následujúcej vety, ktorý je uvedený v jednej z poznámok za touto vetou), dostávame (a, c) A (f), z čoho c [f (a), f (a + )]. Ak by c f (a) = δ > tak nájdeme k N také, že pre všetky k k je f nk (a) c < δ, teda f n k (a) f (a) δ, z čoho ρ H (A (f), A (f nk )) ρ ((a, f (a)), A (f nk )) δ pre všetky k k čo je spor s ρ H (A (f n ), A (f)). Takže c = f (a) je jediný hromadný bod obmedzenej množiny {f n (a) : n N} a teda aj limitou postupnosti f n (a). Pre postupnost f n (b) dostaneme požadovaný záver analogicky. V prvom príklade v tejto kapitole sme ukázali, že tvrdenie neplatí ak definičný obor funkcií je otvorený interval. Následujúci príklad ukáže, že tvrdenie všeobecne neplatí ani bez predpokladu monotónie. Príklad. Nech f je identicky nulová na [, 1] a nech f n : [, 1] R sú definované následovne, x 1 ; n f n (x) = nx, x [ 1 n, n] 1 ; nx, x [, 1 n]. Potom f, f n sú spojité na [, 1], takže A (f) = G f a A (f n ) = G fn. Ďalej pre každé x [, 1] f n (x) konverguje k f (x) a konečne ρ H (G f, G fn ) = 1 pre každé n N. 8

Kapitola 3 Gibbsov jav V tejto kapitole formulujeme Gibbsov jav ako približovanie sa grafov čiastočných súčtou Fourierovej rady k mierne pozmenenému grafu funkcie príslušnej tejto rade. Najprv ale pre zjednodušenie uvedieme tvrdenie, ktoré je trochu upravenou verziou vety 1. Veta 11. Nech M R a existuje ε > také, že pre x, y M rôzne, je x y > ε. Nech f : R R je taká funkcia, že pre každé ε > existuje δ > také, že pre každé x < y R spĺňajúce [x, y] M = platí: ak x y < δ, potom f(x) f(y) < ε a nech f nie je spojitá v bodoch množiny M. Nech f n : R R sú spojité. Nech pre každé c M sú a c, b c reálne čísla spĺňajúce a c min {f (c + ), f (c )} max {f (c + ), f (c )} b c. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné: 1. Pre množinu G := {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } platí: lim n ρ H (G, G fn ) =.. Pre každé ε > platí: (a) f n f na množine F ε := R\ c M (c ε, c + ε), (b) existuje δ > a n N také, že pre každé c M a n n a pre všetky x (c δ, c + δ) je a c ε < f n (x) < b c + ε, (c) pre každé δ > existuje n N také, že pre n n a c M existujú x, x (c δ, c + δ) také, že f n (x ) a c < ε, f n (x ) b c < ε. Poznámka. Prvý predpoklad na funkciu f môžme preformulovat napríklad následovne: f je na každej komponente priestoru R\M rovnomerne spojitá, a to dokonca rovnako (čiže δ z definície rovnomernej spojitosti je pre dané ε > rovnaké pre všetky komponenty). Poznámka. Nech c M a ε >. Nájdeme δ > také, že pre x, y z rovnakej komponenty R\M platí: ak x y < δ, tak f(x) f(y) < ε a (c δ, c) M =. Nech x n c. Nájdeme n N také, že x n c < δ pre n n. Potom x n, x m sú pre n, m n v rovnakej komponente R\M a teda f (x n ) f (x m ) < ε. Takže f (x n ) je Cauchyovská postupnost v úplnom priestore a teda konverguje k y R. Potom nájdeme n 1 N také, že n 1 n a f (x n1 ) y < ε. Pre x (c δ, c) potom platí: f (x) y f (x) f (x n1 ) + f (x n1 ) y < ε a teda f (c ) = y. Analogicky by sme dokázali, že f má v bode c aj druhú jednostrannú limitu a 9

teda predpoklady na a c a b c majú zmysel. Tiež to znamená, že funkcia f má v každom bode R vlastné jednostranné limity (pre body z R\M dostávame zo spojitosti) a špeciálne, že v bodoch množiny M má funkcia f nespojitosti typu skok (t.j. pravá a l avá jednostranná limita existuje, ale nerovnajú sa). Poznámka. Nech (x n, y n ) {(c, y) : c M, a c y b c } je konvergentná postupnost. Potom konverguje po zložkách, teda existujú x, y R také, že x n x a y n y. Ked že [x 1, x + 1] je kompaktná množina, je M [x 1, x + 1] konečná množina, a teda existuje δ > také, že M [x δ, x + δ] {x}. Ďalej existuje n N také, že pre n n je x n x < δ a teda x M a pre n n 1 je x n = x. Potom pre n n je y n [a x, b x ], co je uzavretá množina, teda y [a x, b x ]. Čiže (x, y) {(c, y) : c M, a c y b c } a táto množina je teda uzavretá. Nech (x, y) {(x, f (x)) : x R\M}. Nech x n je postupnost reálnych čísel spĺňajúca (x n, f (x n )) (x, y). Ak x / M, tak je bodom spojitosti a teda y = f (x) a (x, y) {(x, f (x)) : x R\M}. Nech x M. Potom od určitého n sú bud všetky x n väčšie ako x alebo sú všetky x n menšie ako x, inak dostávame spor s tým, že f (x n ) konverguje a f (x + ) f (x ). Potom z existencie jednostranných limít dostávame, že y je bud f (x + ) alebo f (x ). Takže z vol by a c, b c platí: {(x, f (x)) : x R\M} G. Takže G = {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } = {(x, f (x)) : x R\M} {(c, y) : c M, a c y b c } G kde sme pri druhej rovnosti použili M N = M N a uzavretost druhej množiny. Ked že z definície uzáveru platí: G G, dostávame G = G a teda G je uzavretá množina. Dôkaz. Ak M =, tak f je rovnomerne spojitá a tvrdenie platí podl a viet z predošlej kapitoly. Nech M. Nech platí (1) a nech máme dané ε >. Nech je dané η >. Z predpokladov na f nájdeme δ kladné, menšie ako ε také, že pre každé x, y F ε spĺňajúce x y < δ platí f (x) f (y) < η (z predpokladu ε > δ a x, y F ε platí: pre x < y, [x, y] M = ). Zvol me n N také, že ρ H (G, G fn ) < min { η, δ } pre n n. Pre l ubovolné x F ε a n n potom platí: δ ρ ((x, f n (x)), G). Ked že G je uzavretá množina, existuje bod (y, z) G taký, že ρ ((x, f n (x)), G) = ρ ((x, f n (x)), (y, z)) x y a teda y / M, z čoho dostávame, že z = f (y) a x, y sú v rovnakej komponente súvislosti množiny R\M, čo dáva f (x) f (y) < η. Zároveň platí: η ρ ((x, f n (x)), G), a teda η ρ ((x, f n (x)), (y, f (y))) f n (x) f (y). Dohromady dostávame: f n (x) f (x) f n (x) f (y) + f (y) f (x) < η pre každé x F ε a n n. Takže pre každé ε > platí: f n f na F ε. Zvol me δ > tak, aby pre x, y v rovnakej komponente R\M spĺňajúce x y < δ, platilo: f (x) f (y) < ε, δ < ε a δ < ε. Zvol me n N tak, aby pre každé n n platilo: ρ H (G, G fn ) δ. Nech máme c M, x (c δ, c + δ) a n n. Potom ρ ((x, f n (x)), G) < δ, a teda existuje bod (y, z) G taký, že ρ ((x, f n (x)), (y, z)) < δ < ε. Ak y = c, tak z [a c, b c ] a f n (x) z < ε, čiže a c ε < f n (x) < b c + ε. Nech y < c. Potom z = f (y) a pre každé w (y, c) je y w < δ, pretože w (y, c) (c δ, c) (c ε, c) R\M sú y, w v rovnakej komponente R\M a teda f (y) f (w) < ε. Nájdeme w (y, c) také, že f (c ) f (w) < ε a dostávame: f (y) f (c ) f (y) f (w) + 1

f (w) f (c ) < ε. Takže f n (x) f (c ) f n (x) f (y) + f (y) f (c ) < ε, kde sme použili f n (x) z < ε a f (y) = z. Ked že f (c ) [a c, b c ], dostávame a c ε < f n (x) < b c + ε. Pre y > dokážeme analogicky. Takže platí aj podmienka (b). Nech máme dané δ >. Nájdeme n N také, že pre každé n n platí: ρ H (G, G fn ) < min {δ, ε}. Nech c M a n n. Potom z ρ ((c, a c ), G fn ) < min {δ, ε} existuje bod x R taký, že ρ ((c, a c ), (x, f n (x))) < min {δ, ε} a teda x c < δ a f n (x) a c < ε. Takže x je hl adané x, x nájdeme analogicky z ρ ((c, b c ), G fn ) < min {δ, ε}. Takže sú splnené všetky tvrdenia v (). Nech platí druhá čast a nech máme dané ε >. Zvol me δ 1 > a n N také, že pre každé c M a n n a pre všetky x (c δ 1, c + δ 1 ) je a c ε < f n (x) < b c + ε. Zvol me δ > také, že pre x, y v rovnakej komponente R\M spĺňajúce x y < δ platí: f (x) f (y) < ε a nech δ < min { δ 1, δ, ε, ε 16 }. Ked že f n f na F δ, existuje n 1 n také, že pre n n 1 a x F δ je f (x) f n (x) < ε a teda aj a ρ ((x, f (x)), G fn ) ρ ((x, f (x)), (x, f n (x))) = f (x) f n (x) < ε ρ ((x, f n (x)), G) ρ ((x, f (x)), (x, f n (x))) = f (x) f n (x) < ε. Nech teraz x (c δ, c + δ) pre nejaké c M a n n 1. Potom z a c ε < f n (x) < b c + ε existuje z [a c, b c ] také, že f n (x) z < ε a teda ρ ((x, f n (x)), G) ρ ((x, f n (x)), (c, z)) x c + f n (x) z < 9 16 ε. Nech (x, y) G, x (c δ, c + δ) pre nejaké c M. Ak x < c, tak existuje x < y < c také, že f (y) f (c ) < ε potom, ked že x y δ a x, y sú v rovnakej komponente R\M, dostávame f (x) f (c ) f (x) f (y) + f (y) f (c ) < ε. Analogicky dostávame pre x > c nerovnost f (x) f (c + ) < ε. Takže, z f (c ), f (c + ) [a c, b c ] dostávame f (x) [ a c ε, b c + ] ε pre x (c δ, c + δ), x c. Ked že pre x = c je y [a c, b c ], máme y [ a c ε, b c + ] ε. Nech máme n n 1 také, že pre n n a c M existujú x, x (c δ, c + δ) také, že f n (x ) a c < ε a f n (x ) b c < ε. Nech máme n n a tomuto n príslušné x, x. Ked že f n je spojitá, musí nadobúdat medzi x a x všetky hodnoty z intervalu [ a c + ε, b [ c ] ε a teda k y nájdeme z ac + ε, b c ] ε také, že y z 3ε, k tomuto z nájdeme w (c δ, c + δ) také, že f n (w) = z. Potom ρ ((x, y), G fn ) ρ ((x, y), (w, z)) x z + y z < 7 8 ε. Spojením predchádzajúcich nerovností dostávame: sup (x,y) Gfn ρ ((x, y), G) 9 ε < ε a sup 16 (x,y) G ρ ((x, y), G fn ) 7ε < ε pre každé n n 8. Takže dostávame: ρ H (G fn, G). Nasledujúce tri tvrdenia sú dokázané napríklad v [Jarník(1955)] (postupne ide o vetu 181,18 a 185). Veta 1. (Rieman) Nech ϕ L (a, b) pre a < b. Potom pre a α b a a β b platí: lim µ β α β ϕ (x) cos (µx) dx = lim ϕ (x) sin (µx) dx =. µ α 11

Navyše konvergencia je rovnomerná vzhl adom k (α, β) [a, b]. Veta 13. Nech f P (π). Zvol me l ubovolné δ (, π ) a položme s m (x, δ) = 1 π δ (f (x + t) + f (x t)) sin [(m + 1) t] dt. sin t Potom lim m (s m (x) s m (x, δ)) = a to rovnomerne pre každé x R a pevné δ. Veta 1. (Dirichlet-Jordan) Nech f P (π) je reálna funkcia s konečnou variáciou na intervale [a, b]. Potom platí: 1. Pre každé x (a, b) je Fourierova rada funkcie f v bode x konvergentná a ma súčet 1 (f (x +) + f (x )).. Ak f je spojitá na [a, b], tak je jej Fourierova rada lokálne rovnomerne konvergentná na (a, b). Veta 15. Nech f P (π) je reálna funkcia s konečnou variáciou na [ π, π]. Nech množina bodov nespojitosti funkcie f je lokálne konečná. Nech s m : R R značí m-ty čiastočný súčet Fourierovej rady príslušnej funkcii f. Pre a, b R označme a, b uzavrený interval s krajnými bodmi a a b. Ďalej položme k := 1 π π sin x x G := dx, d x = (f (x + ) f (x )) a { f (x, y) R (x+ ) + f (x ) : y Potom platí: lim m ρ H (G, G sm ) =. + kd x, f (x +) + f (x ) kd x }. Poznámka. Množina G v tvrdení vety je špeciálnym prípadom množiny G vo vete 11 pretože ak x je bodom spojitosti f dostávame d x = a f(x +)+f(x ) = f(x). Za a c, b c pre c M potom položíme vhodnú z dvojice f(x +)+f(x ) +kd x, f(x +)+f(x ) kd x. Dôkaz. Ak M = tak f je spojitá funkcia a teda z toho, že je periodická a z Dirichletovej-Jordanovej vety platí: s m f na R. Ďalej G = G f a podl a vety v predošlej kapitole platí: lim m ρ H (G, G sm ) =. Nech d alej M. Ked že ani čiastočné súčty Fourierovej rady ani množina G sa nezmenia, ak zmeníme f na lokálne konečnej množine, môžeme predpokladat, že pre každé x R platí: f (x) = 1 (f (x +) + f (x )). Označme M množinu bodov nespojitosti funkcie f. Nech pre každé n N existujú x n, y n M rôzne také, že x y 1. Pre n N nájdeme k n n také, že < x n k n π < π. Potom π < y n k n π < π. Označme ẋ n := x n k n π a ẏ n := y n k n π. Potom z toho, že f je π-periodická sú ẋ n, y n M a ẋ n ẏ n < 1. Potom ale musí byt množina [ π, π] M nekonečná, pretože v nej existujú n body o l ubovolne malej vzdialenosti. To je spor s tým, že M je lokálne konečná. Takže množina M spĺňa predpoklady vety 11. Nech K je komponenta R\M potom K je otvorený a obmedzený interval (obmedzený, pretože ak x M tak x + π M a teda diam K π, interval pretože je to súvislá podmnožina R a otvorená je preto, lebo ak x K, tak 1

ρ (x, M) = δ >, teda (x δ, x + δ) K, pretože to je súvislá množina s bodom v komponente K). Ked že f má v každom bode R vlastné jednostranné limity, môžeme ju predefinovat tak, že f K je spojitá (stačí v krajných bodoch K položit f rovné príslušnej jednostrannej limite). Potom f K je rovnomerne spojitá, pretože K je kompaktná množina. Takže špeciálne f K je rovnomerne spojitá (ked že K je otvorený interval, tak f bola rovnomerne spojitá na K aj pred predefinovaním). Nech K 1,..., K n pre n N sú také komponenty R\M, že pre x [ π, π] R\M existuje i {1,,..., n}, že x K i (ked že M je lokálne konečná množina, je týchto komponent skutočne konečne vel a). Nech máme dané ε >. Z rovnomernej spojitosti f na K i pre i {1,,..., n} nájdeme δ i > také, že pre x, y K i, x y < δ i platí: f (x) f (y) < ε. Položme δ := min {δ i : i {1,,..., n}}. Nech x, y sú v rovnakej komponente R\M a x y < δ. Nájdeme k Z také, že x kπ [ π, π] a nech K i je komponenta obsahujúca x kπ. Potom y kπ K i, pretože aj komponenty sa periodicky opakujú. Ďalej x kπ (y kπ) = x y < δ δ i a teda ε > f (x kπ) f (y kπ) = f (x) f (y) a f spĺňa predpoklady vety 11. Funkcie s m sú spojité z definície (ide o konečný súčet spojitých funkcií) takže tiež spĺňajú predpoklady vety 11. Neskôr uvidíme, že k > 1, nech c M a f (c +) f (c ) >. Potom a a c = f (c +) + f (c ) b c = f (c +) + f (c ) kd c < f (c +) + f (c ) + kd c > f (c +) + f (c ) f (c +) f (c ) + f (c +) f (c ) = f (c ) = f (c + ). Podobne dostaneme pre f (c + ) f (c ) > nerovnosti a c < f (c ) a b c > f (c + ) (zachovávame a c < b c ), teda aj a c, b c spĺňajú predpoklady vety 11. Podla Dirichlet-Jourdanovej vety na každom uzavretom intervale, neobsahujúcom bod nespojitosti konvergujú čiastočné súčty Fourierovej rady k funkcii rovnomerne a z periodicity funkcie l ahko dostávame, že pre každé ε > platí: f n f na množine F ε := R\ c M (c ε, c + ε). Zostáva dokázat, že čiastočné súčty spĺňajú aj podmienky (b) a (c) z vety (11). Predtým ale ešte vyšetríme priebeh funkcii s m na okolí bodov nespojitosti funkcie f. Nech c M. Nech δ > je také, že f je spojitá na (c δ, c) (c, c + δ). Nech g je π-periodická funkcia spĺňajúca: 1 c π < x < c, g c (x) = x {c, c + π}, 1 c < x < c + π. Označme d := f (c + ) f (c ) a položme h c (x) := f (x) d c g c (x). Potom h c je spojitá funkcia na (c δ, c + δ), pretože lim h c (x) = f (c ) + d x c = f (c +) + f (c ) = f (c + ) d = lim x c + h c (x). 13

Pre ξ δ platí: ( s m c + ξ, δ ) = 1 π = d π = d π = d π Podl a vety (13) platí: ( lim m + 1 π δ δ δ δ +s hc m ξ s m (c + ξ) d π (f (c + ξ + t) + f (c + ξ t)) (g c (c + ξ + t) + g c (c + ξ t)) (h c (c + ξ + t) + h c (c + ξ t)) sin [(m + 1) t] dt sin t sin [(m + 1) t] dt + sin t sin [(m + 1) t] dt sin t 1 sin [(m + 1) t] (sign (ξ + t) + sign (ξ t)) dt sin t ( c + ξ, δ ) ( sin [(m + 1) t] dt + s hc m c + ξ, δ ). sin t ξ ( sin [(m + 1) t] dt s hc m c + ξ, δ sin t ) ) = a to rovnomerne pre ξ δ. Opätovným použitím tejto vety dostávame vzt ah ( ( lim s hc m (c + ξ) s hc m c + ξ, δ )) = m rovnomerne pre ξ δ, kde shc m (x) onačuje m-ty čiastočný súčet Forurierovej rady funkcie h c. Z Dirichletovej-Jordanovej vety vieme, že s hc m h c na [ c δ, c + δ ] a dohromady dostávame ( lim s m (c + ξ) d ) ξ sin [(m + 1) t] dt h c (c + ξ) = d (3..1) m π sin t rovnomerne pre ξ δ. Ked že 1 1 je obmedzená funkcia na [ π, ] π sin t t a δ < π dostávame z Riemanovej vety ξ ( d 1 lim m π sin t 1 ) sin [(m + 1) t] dt = t rovnomerne pre ξ δ. Ďalej substitúciou v = (m + 1) t dostávame ξ sin [(m + 1) t] mξ sin v dt = t v dv + (m+ 1 )ξ kde (m+ )ξ 1 sin v mξ dv pre ξ δ. Položme F (x) := x v (3..1) dostávame lim (s m (c + ξ) df (mξ) h (c + ξ)) =, m 1 mξ sin v v dv, sin vdv. Dosadením do v

a to rovnomerne pre ξ δ. Vyšetrime priebeh funkcie F. Použitím substitúcie v = t a nepárnosti funkcie sínus dostávame F ( x) = 1 π = 1 π x x sin t dt = 1 t π x sin ( v) dv = 1 v π sin t dt t x sin v dv = F (x), v takže F je nepárna funkcia, preto { nám ju stačí vyšetrovat pre x. Jej prvou sin x deriváciou je funkcia F, x x (x) =, jej druhá derivácia je v bodoch 1, x = x = kπ, k N, nenulová a teda F ma lokálne extrémy práve v bodoch x = kπ, k N. Z priebehu funkcie sin x zist ujeme, že F je rastúca na (kπ π, kπ) pre x k N nepárne a klesajúca na (kπ π, kπ) pre k N párne. Pre k N platí: kπ kπ π sin x x dx kπ = kπ π sin x kπ+π x dx > Rovnosti platia, pretože sin x x nekladná. Nerovnost dostávame zo vzt ahu kπ+π kπ+π sin x kπ x+π kπ+π sin x kπ x že kπ+π sin x kπ x kπ+π sin x kπ x kπ+π sin x kπ x dx sin x x dx = kπ+π kπ sin x x kπ+π dx = kπ sin x x dx. je na intervale [kπ, kπ + π] bud nezáporná alebo sin x kπ kπ x dx = kπ π sin(x+π) x+π dx = > sin x pre x. Nech k N je nepárne, potom máme: x+π sin x dx + kπ+π sin xdx < z predošlej nerovnosti a z toho, kπ x kπ+π x dx <. Pre k N {} párne z podobných dôvodov dostávame: dx = kπ+π sin x dx+ kπ+π sin x dx >. Ked že F (kπ + π) = F (kπ)+ kπ x kπ+π x dx dostávame z predošlých výsledkov F (π) > F (3π) > F (5π) >... a = F () < F (π) < F (π) <.... Ďalej platí: lim x F (x) = 1, ale výpočet tejto limity je pomerne zdĺhavý a preto ho nebudeme uvádzat (je to vypočítané napríklad v [Jarník(1955)], kapitola VIII, príklad 1). Takže F je v x = nulová, potom rastie až po x = π, kde nadobúda svojho globálneho maxima, potom F s postupným klesaním amplitúdy osciluje okolo hodnoty 1, ktorá je jej limitou. Pre x záporné dostávame priebeh F z toho, že ide o nepárnu funkciu. Nech máme dané ε >. Zvol me δ > tak, aby pre každé c M bola f spojitá na (c δ, c + δ) \ {c} a pre x (c δ, c) a y (c, c + δ) platilo: f (x) f (c ) < ε a f (y) f (c +) < ε (takéto δ existuje, pretože M je izolovaná množina a pre jednostranné limity nám z periodicity f stačí volit najmenšie z konečne vel a δ pre jednotlive limity). Nájdeme m N také, že pre každé c M a ξ δ je s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a m δ > π. Nech c M, m m a x ( c, c + ) δ. Nech ξ := x c a dc >, potom máme: d c F (mξ) + h c (c + ξ) ε < s m (c + ξ) < d c F (mξ) + h c (c + ξ) + ε použijeme F (π) = F ( π) F (mξ) F (π) a dostávame: d c F (π) + h c (c + ξ) ε < s m (c + ξ) < d c F (π) + h c (c + ξ) + ε. 15

Vieme: h c (c + ξ) = f (c + ξ) d c g c (c + ξ) = f (c + ξ) dc = f (c + ξ) f(c +) f(c ) a f (c + ) ε < f (c + ξ) < f (c +) + ε. Použitím týchto vzt ahov a k = F (π) dostávame: d c k + f (c +) + f (c ) ε < s m (c + ξ) < d c k + f (c +) + f (c ) Analogickým postupom dostávame podobné nerovnosti aj pre x ( c δ, c) a d c <. Takže s m spĺňajú aj predpoklad (b). Nech máme dané ε > a δ >. Nájdeme δ > také, že pre každé c M je f spojitá na (c δ, c + δ ) \ {c}, pre x (c δ, c) a y (c, c + δ) platí: f (x) f (c ) < ε a f (y) f (c +) < ε, a δ > δ. Nájdeme m N také, že pre každé c M a ξ δ je s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a δ m > π. Nech máme c M, m m a nech ξ > je také, že mξ = π. Chceme s m (c + ξ ) f (c) d c k < ε. Z predpokladov je f (c) = f(c +)+f(c ) a k = F (π) = F (mξ ). Dosadením a jednoduchou úpravou dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k = s m (c + ξ ) + f (c +) f (c ) f (c + ) d c F (π). + ε. Dosadíme za zlomok a použitím trojuholníkovej nerovnosti dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k s m (c + ξ ) + d c f (c + ξ ) d c F (π) + f (c + ξ ) f (c + ) Druhý člen môžeme odhadnút ε a 1 nahradíme g c (c + ξ ) a dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k < s m (c + ξ ) + d c g c (c + ξ ) f (c + ξ ) d c F (π) + ε. Posledným dosadením dostávame: s m (c + ξ ) f (c) d c k < s m (c + ξ ) h c (c + ξ ) d c F (π) + ε. Použijeme s m (c + ξ) d c F (mξ) h c (c + ξ) < ε a dostávame požadovanú nerovnost. Podobným postupom s využitím mξ = π a F ( π) = F (π) dostávame nerovnost s m (c ξ ) f (c) + d c k < ε. Takže hl adané x a x sú c + ξ a c ξ, a teda funkcie s m spĺňajú aj posledný predpoklad na to, aby sme mohli použit vetu 11. Použitím vety 11 dostávame ρ H (G, G sm ), čím je veta dokázaná. 16

Literatúra [Čech(197)] Čech, E. (197). Bodové množiny. Academia, Praha. [Jarník(1955)] Jarník, V. (1955). Integrální počet II. Academia, Praha. [Lukeš(198)] Lukeš, J. (198). Problémy z matematické analýzy. Univerzita Karlova, Praha. 17