1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}} 3. Kartézský součin A B = {(x, y) x A, y B} 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A (x, y) R xry 5. Relace R na množině M je ekvivalence: x M : xrx (reflexivita) x, y M : xry yrx (symetrie) x, y, z M : xry yrz xrz (tranzitivita) 6. Relace na množině M je uspořádání: x M : x x (reflexivita) x, y M : x y y x y = x (antisymetrie) x, y, z M : x y y z x z (tranzitivita) 7. Zobrazení množiny A do B (f : A B) je relace f A B : x A!y B : xfy ( y = f(x)) 8. Zobrazení h : M A B je zúžení zobrazení f : A B na množinu M, když f(x) = g(x) pro x M A. Symbolicky zapisujeme h = f/ M 9. Definiční obor: D f = {x y : y = f(x)} Obor hodnot: H f = {y x : y = f(x)} 10. Obraz množiny M při zobrazení f : A B je množina: f(m) = {y B ( x M)(y = f(x))} Vzor množiny M při zobrazení f : A B : f 1 (M) = {x M ( y M)y = f(x)} 11. Složené zobrazení: jsou-li f : A B, g : B C zobrazení, potom můžeme definovat nové zobrazení h : A C předpisem h(x) = g(f(x)) = (g f)(x) 12. Zobrazení: injektivní (prosté): x, y A : (x y) (f(x) f(y)) (f(x) = f(y)) (x = y) surjektivní (na B): y B x A : f(x) = y bijektivní (vzájemně jednoznačné): jestliže f je injektivní a surjektivní identické: Id A : A A, Id A (x) = x konstantní: x, y A : f(x) = f(y) 13. Je-li f : A B prosté zobrazení, definujeme inverzní zobrazení k f vztahem: f 1 = {(y, x) (x, y) f} 14. Řekneme, že množina A je ekvivalentní s množinou B (mají stejnou mohutnost), když existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B. Symbolicky: A B. 1. A A 2. A B B A 3. A B B C A C 1
15. Množina: konečná: A = n N : A ˆn (n - počet prvků) spočetná: A N nejvýše spočetná: spočetná nebo konečná nespočetná: není konečná ani spočetná. 16. Reálná čísla: Axiomy tělesa: x, y, z R : komutativní zákon: x + y = y + x a xy = yx asociativní zákon: x + (y + z) = (x + y) + z a (xy)z = x(yz) distributivní zákon: x(y + z) = xy + xz existence nulového prvku: 0 R : x + 0 = x x R existence prvku opačného: x R x R : x + ( x) = 0 existence jedničky : 1 R, 1 0 : 1x = x x R existence převráceného prvku: x R, x 0, x 1 R : xx 1 = 1 Axiomy uspořádání: x, y, z R : možnost porovnávání prvků: x y nebo y x přičítání: x y x + z y + z násobení nezáporným číslem: (x y 0 z) xz xy axiom úplnosti: Pro každou neprázdnou shora omezenou množinu platí, že množina jejích horních závor má minimum. 17. uzavřený interval: a, b = {x R a x b} polouzavřený interval: a, b) nebo (a, b = {x R a < x b} otevřený interval: (a, b) = {x R a < x < b} { a a 0 18. Absolutní hodnota: a = a a < 0 trojúhelníková nerovnost: x + y x + y celá část: x 1 < [x] x 19. Elementární funkce: Polynom n-tého stupně: reálná funkce reálné proměnné f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 Racionální funkce: podíl dvou polynomů Mocninná funkce: f(x) = x α, α R konstanta Exponenciální: f(x) = a x, a R + {0} Logaritmus: inverzní k exponenciální, log a x goniometrické 20. Řekneme, že množina A R je omezená shora, když ( K R)( x A)(x K) Každé takové K nazýváme horní závora množiny A Řekneme, že číslo a A je maximum množiny A (a = max A) : ( x A)(x a) 21. Zdola omezená množina: ( H R)( x A)(H x) H = dolní závora Číslo a je minimum množiny A (a = min A) : ( x A)(a x) 22. Řekneme, že množina A R je Množina omezená, když je omezená zdola i shora. 23. Množina opačná: A = { x x A} pak K = dolní závora, H = horní závora 24. Supremum: Necht A R. Pak 1 β R tak, že: 1. ( x A)(x β) (tj. β je horní závorou) 2. ( β R, β < β)( x A)(β < x) (tj.nic menšího už není horní závorou) 2
25. Infimum:Necht A R. Pak 1 α R tak, že: 1. ( x A)(x α) (tj. α je dolní závorou) 2. ( α R, α > α)( x A)(α > x) (tj.nic většího už není dolní závorou) 26. Rozšířená množina reálných čísel: R = R {, + }: 1. < + 2. ( x R)( < x < + ) 27. Supremum shora neomezené množiny A : sup A = + infimum zdola neomezené množiny A : inf A = sup a inf prázdné množiny: inf = + a sup = 28. Komplexní čísla: uspořádané dvojice reálných čísel z = (x, y) C reálná část - x, imaginární část - y, x =Rez, y =Imz sčítání: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) násobení: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) i = (0, 1), i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1 29. Komplexní (Gaussova) rovina : Komplexní čísla geometricky znázorňujeme pomocí bodů v rovině: číslu (x, y) odpovídá bod roviny o souřadnicích x, y. 30. Komplexně sdružené číslo: z = x + iy z = x iy : z + w = z + w, zw = zw, z = z 31. Absolutní hodnota komplexního čísla: z = zz = x 2 + y 2 otevřený kruh: K(z, r) = {w C w z < r} uzavřený kruh: K(z, r) = {w C w z r} 32. Trojúhelníková nerovnost: z + w z + w 33. Necht A C. Řekneme, že množina A je omezená, když: ( r R, r > 0)( z A)( z r) 34. Rozšíření množiny C: C = C { }, R C 35. ε-okolí bodu a v R: a, ε R : H a (ε) = (a ε, a + ε) ε-okolí bodu a v C: a, ε C, ε > 0 : H a (ε) = {z C z a < ε} 36. Pravé, levé ε-okolí reálného čísla v R (jednostranné okolí): a, ε R, ε > 0 : H a+ (ε) = (a, a + ε), H a (ε) = (a ε, a) 37. α-okolí bodu + v R: α R, α > 0 : H + = (α, + ) α-okolí bodu v R: α R, α > 0 : H = (, α) α-okolí bodu v C: α R, α > 0 : H = {z C z > α} 38. Posloupnost: zobrazení množiny N do nějaké neprázdné množiny A, (a n ) + n=1 reálnou posloupnost (a n ) n N nazýváme: číselná: A = R nebo C reálná: A = R komplexní: A = C konstantní: ( m, n N)(a m = a n ) prostá: ( n, m N)(n m a m a n ) shora omezená: ( K R)( n N)(a n K) zdola omezená: ( H R)( n N)(a n H) omezená: obor hodnot {a n } n N je množina omezená, tj. ( r R, r > 0)( n N)( a n r) rostoucí: ( n N)(a n a n+1 ) klesající: ( n N)(a n a n+1 ) 3
monotónní: když je rostoucí nebo klesající ostře rostoucí: ( n N)(a n < a n+1 ) ostře klesající: ( n N)(a n > a n+1 ) ryze monotónní: když je ostře rostoucí nebo ostře klesající 39. Necht (a n ) je libovolná posloupnoust a (k n ) necht je ostře rostoucí poslopnost přirozených čísel. Pak posloupnost (a kn ) nazýváme posloupnost vybraná z posloupnosti (a n ). 40. Limita posloupnosti: lim n + a n = a R ( H a R)( n 0 R)( n N, n > n 0 )(a n H a ) ( ε R, ε > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )( a n a < ε) 41. Posloupnost: konvergentní: lim a n = a R divergentní: posloupnost, která není konvergentní podstatně divergentní: posloupnost, která má limitu ± oscilující: posloupnost, která nemá limitu. 42. Výrazy s nekonečnem: Pro a R definujeme: a + (+ ) = (+ ) + a = + je-li a > a + ( ) = ( ) + a = je-li a < + a(+ ) = (+ )a = + je-li a > 0 a(+ ) = (+ )a = je-li a < 0 a( ) = ( )a = je-li a > 0 a( ) = ( )a = + je-li a < 0 1 + = 1 = 0 + 1 < x + 0 1 < x + x + = x 0 0 < x < 1 = + 0 < x < 1 (+ ) x = + pro 0 < x + (+ ) x = 0 pro x < 0 Nedefinováno: ± ± (± ), ± +( ), 0(± ), ±, a 0 pro a R (+ )0 0 0 1 ± 43. Důležité limity lim n n = 1 lim n a = 1 lim n n! = + 0 x ( 1, 0) (0, 1) lim a n = 1 x = 1 + x (1, + ) 44. Hromadná hodnota posloupnosti: a R, pro které existuje z ní vybraná posloupnost (a kn ) : lim(a kn ) = a 45. Limes superior, Limes inferior: Každá reálná posloupnost (a n ) má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Množina všech hromadných hodnot má maximum a minimum (mohou to být i hodnoty ± ). Největší hromadnou hodnotu nazýváme limes superior, značíme lim sup a n, nejmenší limes inferior, značíme lim inf a n α = lim inf a n 1.( α R, α < α)( n 0 )( n N, n > n 0 )(a n > α ) 2.( α R, α > α)( n N)(a n < α ) β = lim sup a n 1.( β R, β > β)( n 0 )( n N, n > n 0 )(a n < β ) 2.( β R, β < β)( n N)(a n > β ) 4
46. Reálná funkce reálné proměnné: speciální případ zobrazení: f : (R) R funkce f : (R) R nazýváme: omezená shora: pokud je její obor hodnot H f množina omezená shora omezená zdola: pokud je její obor hodnot H f množina omezená zdola omezená: pokud je její obor hodnot H f množina omezená rostoucí: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 )) klesající: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 )) monotónní: když je rostoucí nebo klesající ostře rostoucí: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) < f(x 2 )) ostře klesající: ( x 1, x 2 D f, x 1 < x 2 )(f(x 1 ) > f(x 2 )) ryze monotónní: když je ostře rostoucí nebo ostře klesající sudá, pokud ( x D f )(f(x) = f( x)) lichá, pokud ( x D f )(f(x) = f( x)) periodická s periodou l > 0 : ( x D f )(f(x) = f(x ± l)) 47. Funkce: { 1 x je racionální číslo Dirichletova: 0 x je iracionální číslo { 0 x je iracionální číslo Riemannova: 1 q x = p q, kde p, q jsou nesoudělná. 1 x < 0 signum: 0 x = 0 1 x > 0 48. Hromadný bod definičního oboru: v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů izolovaný bod: bod, který nepatří mezi hromadné body. 49. Limita funkce v bodě: Bud a hromadným bodem definičního oboru funkce f, tj. a D f. Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu c R, pokud: ( ε > 0)( δ > 0)( x D f H a (δ) {a})(f(x) H c (ε)) lim x a f(x) = c. 50. Jednostranné limity funkce v bodě: Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu c vzhledem k množině A, pokud zúžení f/ A má v bodě a limitu c. Značíme lim a,a f Řekneme, že funkce f má v bodě a limitu zleva (zprava) rovnu c, pokud zúžení f/ (,a) (f/ (a,+ ) ) má v bodě a limitu c. Značíme lim a f(lim a+ f). 51. Spojitost funkce v bodě a: ( H f(a) )( H a )( x D f H a )(f(x) H f(a) ) 52. Jednostranná spojitost: podobně jako u limit: f je spojitá v bodě a zprava, pokud f/ a,+ ) je spojitá v bodě a. f je spojitá v bodě a zleva, pokud f/ (,a je spojitá v bodě a. 53. Bod nespojitosti: odstranitelná: f(a) lim a f R nebo a D f bod skoku: existují navzájem různé konečné lim a+ f a lim a f druhého druhu: když se nejedná ani o odstanitelnou nespojitost, ani o skok. 54. funkce je spojitá na množině M, pokud zúžení f/ M je spojité v každém bodě M. 55. Říkáme, že f je na množině M stejnoměrně spojitá: ( ε > 0)( δ > 0)( x 1, x 2 M, x 1 x 2 < δ)( f(x 1 ) f(x 2 ) < ε). f(x) f(a) 56. Derivace v bodě: lim x a x a = f (a). Pokud f (a) R - vlastní derivace, f (a) = ± - nevlastní derivace 5
57. Řekneme, že funkce má v bodě a: lokální maximum, pokud ( H a )( x H a )(f(x) f(a)) lokální minimum, pokud ( H a )( x H a )(f(x) f(a)) ostré lokální maximum, pokud ( H a )( x H a {a})(f(x) < f(a)) ostré lokální minimum, pokud ( H a )( x H a {a})(f(x) > f(a)) Jedná se o lokální extrém. 58. Řekneme, že f má v bodě a tečnu o rovnici x = a, je-li f spojitá v bodě a a f (a) = ± y = f(a) + f (a)(x a), je-li f diferencovatelná v bodě a. Bodu (a, f(a)) říkáme bod dotyku 59. Řekneme, že funkce f je na intervalu I (ostře) konkávní, pokud ( x 1, x 2, x 3 I, x 1 < x 2 < x 3 )(f(x 2 ) ( f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 (x 2 x 1 ) + f(x 1 )) 60. Řekneme, že funkce f je na intervalu I (ostře) konvexní, pokud ( x 1, x 2, x 3 I, x 1 < x 2 < x 3 )(f(x 2 ) ( f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 (x 2 x 1 ) + f(x 1 )) 61. Říkáme, že funkce f má v bodě a tzv. inflexi (inflexní bod) je diferencovatelná v bodě a a platí: (( ) ( < > ( H a )( x H a ) x < a f(x) f(a) + f > (a)(x a) x > a f(x) f(a) + f < (a)(x a) 62. Asymptota v bodě: přímka o rovnici x = a svislá asymptota v bodě a, pokud existuje jedna z limit lim a+ f či lim a f rovna ± v nekonečnu: y = kx + q 6
2 Věty 1. O spočetnosti nekonečných podmnožin přirozených čísel a všech jiných spočetných množin: Každá nekonečná podmnožina množiny přirozených čísel je spočetná. Důsledek: Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny je spočetná. 2. O sjednocení spočetných množin: Necht pro každé i N je A i spočetná množina. Pak sjednocení i N A i je spočetná množina. 3. O existenci maxima: Má-li množina A maximum, pak max A = sup A. 4. O existenci n-té odmocniny: Necht a R a n N, n 2. 1. Pro a 0 a n sudé, existuje jediné b 0 takové, že b n = a. 2. Pro a R a n lidé existuje jediné b R : b n = a. 5. O existenci právě jednoho suprema a infima pro každou množinu z R: Necht A R. Pak: 1. existuje právě jedno β R takové, že splňuje 1. a 2. vlastnost suprema. 2. existuje právě jedno α R takové, že splňuje 1. a 2. vlastnost infima. 6. O počtu limit číselných posloupností: Každá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. 7. O limitě vybrané posloupnosti: Necht posloupnost (a n ) má limitu a. Pak každý posloupnost vybraná z (a n ) má limitu a. Lze-li vybrat z posloupnosti (a n ) dvě vybrané posloupnosti mající různé limity, pak posloupnost (a n ) limitu nemá. 8. O limitě skorovybrané posloupnosti: Necht (a n ) je číselná poslounost s limitou c a (k n ) je posloupnost přirozených čísel s limitou +. Pak lim a kn = c 9. O vztahu omezenosti posloupností a jejich limit:1. Má-li posloupnost konečnou limitu, je omezená 2. lim a n = + (a n ) je omezená zdola, není omezená shora 3. lim a n = (a n ) je omezená shora, není omezená zdola 10. O vlivu konečného počtu prvních členů posloupnosti na její vlastnosti a limitu: Necht (a n ) je číselná posloupnost a p N je libovolné pevně zvolené číslo. Pak platí: 1. lim(a n ) = a lim(a n+p ) = a 2. (a n ) je omezená (a n+p ) je omezená. Je-li (a n ) reálná posloupnost, pak 3. (a n ) je omezená zdola (a n+p ) je omezená zdola 4. (a n ) je omezená shora (a n+p ) je omezená shora 11. Přidáním, ubráním, či modifikací konečně (!) mnoha členů posloupnosti se nezmění její omezenost (celková, shora, zdola) ani existence/neexistence její limity ani hodnota její limity (pokud limita existuje). 12. O limitě monotónních a/nebo omezených posloupností: Každá reálná monotonní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená. 13. O nahrazení komplexní posloupnosti reálnými posloupnostmi: Komplexní posloupnost (a n ), kde a n = α n +iβ n a α n, β n R, je konvergentní právě tehdy, pokud jsou konvergentní reálné posloupnosti (α n ) a (β n ). Pokud je tato podmínka splněna, platí lim a n = lim α n + i lim β n. 14. O limitě posloupnosti absolutních hodnot: Platí: lim a n = a lim a n = a. Pokud a = 0 nebo a = +, platí zde dokonce ekvivalence, tj. směr. 7
15. O součtu, rozdílu, součinu a podílu limit (Aritmetika limit): Platí vzorce: lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n lim(a n b n ) = lim a n lim b n Pokud výrazy na pravé stráně mají smysl!! lim an lim an b n = lim b n 16. O limitě k-té odmocniny: Bud k N, a n 0 pro všechna n. Platí: lim k a n = k lim a n, pokud výraz na pravé straně má smysl. 17. O nerovnosti limit: Platí: lim a n < lim b n ( n 0 )( n > n 0 )(a n < b n ) 18. O nerovnosti posledních členů dvou posloupností: Necht existují limity posloupností (a n ), (b n ). Pak platí: ( n)(a n b n ) lim a n lim b n. 19. Věta o limitě sevřené posloupnosti: Necht lim a n = lim b n. Pak platí ( n)(a n b n c n ) lim c n = lim a n = lim b n 20. Druhá věta o limitě sevřené posloupnosti v nekonečnu: Necht lim a n = +. Pak platí: ( n)(a n b n ) lim b n = lim a n = + 21. Lemma součin nulové limity s omezenou: Necht lim a n = 0 a poslupnost (b n ) je omezená. Pak lim(a n b n ) = 0. 22. O limitě posloupnosti n k=0 1 k! : e = lim(1 + 1 n )n = lim(1 + 1 n )n+1 = lim n k=0 1 k! 23. O číslu e: Označíme-li pro všechna n N a n = (1+ 1 n )n, b n = (1+ 1 n )n+1, c n = n k=0 1 k!, pak posloupnosti (a n ), (c n ) jsou ostře rostoucí, (b n ) ostře klesající, pro všechna n platí a n c n b n a všechny tři posloupnosti mají společnou limitu - iracionální číslo z intervalu (2, 3), které značíme e. 24. Bud (p n ) reálná posloupnost splňující lim p n = +. Pak platí lim(1 + 1 p n ) pn = e. 25. O vztahu limsup, liminf a limity posloupnosti: lim a n = a lim sup a n = lim inf a n = a 26. O hledání limsup a liminf: Necht vybrané posloupnosti (a k (1) n a (1),..., a (m) pokrývají původní reálnou posloupnost (a n ). Pak platí: lim sup a n = max{a (1),..., a (m) }, lim inf a n = min{a (1),..., a (m) } ), (a k (2) n ),..., (a (m) k ) s limitami n 27. Stolzův vzorec: Necht (b n ) je ostře rostoucí, lim b n = a existuje limita lim a n+1 a n b n+1 b n : lim a n b n = lim a n+1 a n b n+1 b n 28. Cauchyův vzorec: Necht (a n ) je posloupnost kladných čísel, existuje lim a n+1 a n : lim n a n = lim a n+1 a n 29. Z každé (reálné či komplexní) omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která konverguje. 30. Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselné posloupnosti: Posloupnost (a n ) je konvergentní je tzv. cauchyovská, tj. ( ε > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )( p N)( a n+p a n < ε) 31. AG nerovnost: Bud n N, α j 0 pro j = 1,..., n. Pak: n α 1 α 2...α n α 1+...+α n n. 8
32. Bernoulliho nerovnost: Pro x > 2 a n N : (1 + x) n 1 + nx. 33. exponenciála: Existuje právě jedna funkce f : R R tak, že pro všechna x, y R : f(x + y) = f(x)f(y), f(x) 1 + x. 34. Heineova věta: Necht a D f. Pak: lim x a f(x) = c lim n + f(x n ) = c pro každou posloupnost (x n ), pro kterou platí ( n N)(x n D f {a}) a lim n + x n = a 35. O vztahu limity v bodě a limity zleva a zprava v témže bodě: Bud a hromadným bodem D f (, a) a D f (a, + ). Pak funkce f má v bodě a limitu c právě tehdy, když limita f zleva i zprava v bodě a je rovna c. 36. Necht existuje H + a tak, že a je hromadným bodem D f H + a a f je na tomto intervalu monotónní. Pak existuje limita v bodě a zprava. 37. O limitě absolutní hodnoty: Platí: lim a f = c lim a f = c. Pokud c = 0, platí zde ekvivalence. 38. O limitě k-té odmocniny: Bud k N, f nezáporná. Platí: lim a k f = k lim a f, pokud výraz na pravé straně má smysl. 39. O limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí (Aritmetika limit): Platí vzorce: lim a (f ± g) = lim a f ± lim a g lim a (fg) = lim a f lim a g Pokud výrazy na pravé stráně mají smysl!! f lim a g = lima f lim a g 40. O limitě složené funkce: Necht a D f g, necht dále lim a g = b, lim b f = c a konečně necht platí podmínka: ( H a )( x H a D g {a})(g(x) b) f(b) = c b D f (podmínka je splněna, když je g na H a prosté) Pak lim a f g = c. 41. O nerovnosti limit: Platí lim a f < lim a g ( H a )( x D f D g H a {a})(f(x) < g(x)). Necht existují lim a f, lim a g, H a tak, že H a D f {a} = H a D h {a}. Potom: ( x H a D f {a})(f(x) g(x)) lim a f lim a g 42. O limitě sevřené funkce: Necht lim a f = lim a g = c. Necht existuje H a tak, že H a D f {a} = H a D g {a} = H a D h {a}. Pak platí ( x H a D f {a})(f(x) h(x) g(c)) lim a h = c. 43. Bolzanovo-Cauchyho kriterium konvergence pro limitu reálné funkce reálné proměnné: Necht a D f. Pak existuje konečná lim a f právě tehdy, když ( ε > 0)( H a )( x, y D f H a {a})( f(x) f(y) < ε) 44. O vztahu spojitosti a limity: Necht a D f D f. Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim a f = f(a). 45. O spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu spojitých funkcí: Necht f a g jsou spojité funkce v bodě a. Pak funkce f, f ± g, fg, f g (pokud g(a) 0) jsou spojité v bodě a. 46. O spojitosti funkce složené ze spojitých funkcí: Necht g je spojitá v bodě a, f v bodě g(a). Pak f g je spojitá v bodě a. 47. Elementární funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. 9
48. O průsečíku s osou: Bud f spojitá na a, b a f(a)f(b) < 0. Pak existuje c a, b tak, že f(c) = 0. 49. O oboru hodnot spojitého intervalu: Necht f je spojitá na intervalu I. Pak obraz f(i) je interval nebo jednoprvková množina. 50. O omezenosti na spojitém intervalu: Necht f je spojitá na a, b. Pak f je na a, b omezená. 51. O funkci spojité na intervalu: Necht f je spojitá na a, b. Pak f nabývá na a, b hodnot sup a,b f a inf a,b f. 52. O funkci spojité a prosté na intervalu: Bud f na intervalu I spojitá a prostá. Pak je na něm ryze monotónní a f/ 1 I je spojitá a ryze monotónní na f(i). 53. Cantorova věta: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm spojitá stejnoměrně. 54. O spojitosti a diferencevatelnosti: Funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá. 55. O derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí (Aritemetika derivací): Necht f, g jsou diferencovatelné v bodě a a necht a D f±g D f±g resp. D fg D fg resp. D f D f. Pak platí: g g (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a) ( f g ) (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g 2 (a) 56. O derivaci složené funkce: Necht g je diferencovatelná v bodě a, f v bodě g(a). Pak f g je diferencovatelná v bodě a a platí: (f g) (a) = f (g(a))g (a). 57. O derivaci funkce inverzní: Necht f je spojitá a prostá v otevřeném intervalu I, x 0 I, f (x 0 ) 0. Pak platí: f/ 1 I (f(x 0 )) = 1 f (x 0 ) 58. Leibnizův vzorec pro derivace vyšších řádů: (fg) (n) = n ( n ) k=0 k f (k) g (n k) 59. Rolleova věta: Je-li funkce f spojitá na a, b, f(a) = f(b) a existuje derivace f v každém bodě (a, b), pak existuje bod c (a, b) : f (c) = 0. 60. Langrangeova věta o přírustku funkce: Necht f je spojitá na a, b a v každém bodě (a, b) má derivaci. Pak existuje c (a, b) : f (c) = f(b) f(a) b a (tj. v bodě c tečna rovnoběřná s přímkou ab) 61. Cauchyova věta (zobecněné věta o přírůstku funkce): Necht f, g jsou spojité na a, b a v každém bodě (a, b) mají derivaci, necht derivace g je na (a, b) konečná, nenulová. Pak existuje c (a, b) tak, že f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). 62. Lokální extrém-nutná podmínka: Necht f má v bodě a lokální extrém. Pak f (a) = 0 nebo f (a) neexistuje. 63. Lokální extrém-postačující podmínka: Necht funkce f je spojitá v bodě a a H a ± tak, že f rostoucí klesající je (ostře) v Ha klesající f je (ostře) v H a rostoucí +. maximum Pak f má v bodě a (ostré) lokální minimum. 64. Lokální extrém: Necht existuje H a tak, že f je na H a diferencovatelná. Necht f (a) = 0 a > minimum f (a) 0. Pak f má v bodě a ostré lokální. < maximum 10
65. O znaménku derivace a typu monotonie: Necht f je spojitá na intervalu I, necht f má derivaci v každém bodě I 0. Pak: ( x I 0 )(f (x) 0) f je na I rostoucí ( x I 0 )(f (x) 0) f je na I klesající ( x I 0 )(f (x) = 0) f je na I konstantní ( x I 0 )(f (x) > 0) f je na I ostře rostoucí ( x I 0 )(f (x) < 0) f je na I ostře klesající 66. O vztahu první derivace a konvexnosti/konkávnosti: Necht f je spojitá na intervalu I, necht f je diferencovatelná na I 0. Pak: rostoucí konvexní Je-li f (ostře) na I klesající 0, je f (ryze) na I. konkávní 67. Důsledek: ( Necht f je spojitá ) na intervalu I. Pak: (>) ( x I 0 ) f (x) 0 f je na I (ryze) (<) konvexní konkávní 68. Inflexe: Necht f má inflexi v bodě a. Necht na nějakém okolí H a je f diferencovatelná. Pak f (a) = 0 nebo f (a) neexistuje. Necht existuje H a tak, že f je konečná na H a. Necht f (a) = 0af (a) 0. Pak f má v bodě a inflexní bod. 69. O výpočtu asymptoty: f má v bodě + asymptotu o rovnici y = kx + q lim x + f(x) x = k R lim x + (f(x) kx) = q R. 70. Darbouxova věta: Necht f je spojitá v bodě a zprava a f je diferencovatelná na nějakém H + a. Pak platí: f +(a) = lim x a+ f (x), pokud limita vpravo existuje.. 11