Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa [5 ] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer 1

Kapitalizacja prosta zgodna Zadanie 1 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu kapitalizacji prostej rocznej przy rocznej stopie procentowej 15%? Zadanie 2 Jaka kwota utworzy po pięciu latach kapitał o wartości 200 jp w modelu kapitalizacji prostej rocznej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 5%? Zadanie 3 Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast, to nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnać kredyt bankowy i skorzystać ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4% i bank stosuje kapitalizację miesięczną prostą? Zadanie 4 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena samochodu przed podwyżką? Zadanie 5 Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach w modelu kapitalizacji prostej przy rocznej stopie procentowej 12%, jeśli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 10 jp, po pięciu latach wpłacono 20 jp, po następnym roku wypłacono 15 jp. Zadanie 6 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej prostej kapitał 58 jp wygeneruje odsetki w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat? Zadanie 7 Po ilu latach kapitał 17 jp podwoi swoją wartość w modelu kapitalizacji prostej rocznej przy rocznej stopie procentowej 10%? Zadanie 8 Wyznaczyć wielkość rocznego współczynnika akumulacji w modelu kapitalizacji miesięcznej przy stopie 1, 5% w skali miesiąca. Zadanie 9 Jeżeli roczny współczynnik akumulacji wynosi 1, 06, to jakiej wielkości odsetki zostaną wygenerowane przez kapitał 100 jp po pół roku w modelu kapitalizacji miesięcznej. Zadanie 10 O ile zmniejszy się kapitał 400 jp skapitalizowany na pół roku przy miesięcznej stopie 2%, jeżeli zdyskontujemy go na dwa miesiące w modelu kapitalizacji miesięcznej. 2

Kapitalizacja złożona z dołu zgodna Zadanie 11 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 jp po 5 latach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu rocznej przy rocznej stopie 7%. Zadanie 12 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej złożonej z dołu kapitał P podwoi swoją wartość po 8 latach? Zadanie 13 Ile wynosi 1. półroczny 2. roczny czynnik akumulacji, jeżeli po pół roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp przy miesięcznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 14 Ustalić stan konta po 15 miesiącach, jeżeli dokonano następujących operacji: na początku wpłacono 100 jp, następnie po trzech miesiącach wpłacono 80 jp, po kolejnych pięciu miesiącach wypłacono 30 jp. Bank stosuje model oprocentowania miesięcznego przy stopie 0, 5%. Zadanie 15 Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 jp, złożoną w banku według rocznej stopy 12%. Jak należy podzielić spadek, aby w momencie osiągnięcia przez każde z dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka były takie same? Zadanie 16 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę 10000 jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy 20%. Zadanie 17 Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 jp po 4 latach oprocentowania rocznego przy rocznej stopie 6%? Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? Przy jakiej stopie łączna wartość 4-letnich odsetek byłaby większa o 58 jp? Zadanie 18 Po ilu latach oprocentowania rocznego złożonego przy stopie 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne 2 lata? Zadanie 19 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 20 Na początku każdego z czterech kolejnych lat wpłacano na konto kwoty odpowiednio: 20 jp, 40 jp, 15 jp, 10 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%. Ustalić stan oszczędności na koniec 6 roku, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji rocznej. Zadanie 21 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału przy oprocentowaniu rocznym o stopie: a) r = 2, 5%, b) r = 7, 5%. Zadanie 22 Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy oprocentowania rocznego, przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie: a) 7 lat, b) 10 lat. 3

Kapitalizacja złożona z góry zgodna. Porównanie kapitalizacji złożonych z dołu i z góry zgodnych. Zadanie 23 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po 4 latach w modelu kapitalizacji złożonej z góry rocznej przy rocznej stopie 7%? Zadanie 24 Obliczyć wartość 2-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli roczna stopa wynosi 8, 88% i kapitalizacja jest roczna złożona z góry. Zadanie 25 Ile wynosi 1. półroczny 2. roczny czynnik akumulacji, jeżeli po roku roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp w modelu kapitalizacji złożonej z góry a) miesięcznej? b) półrocznej? Zadanie 26 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej złożonej z góry przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej złożonej z góry przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej złożonej z góry przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 27 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 6%, czy roczna kapitalizacja złożona z góry przy rocznaj stopie 5%? Zadanie 28 W banku A obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznaj stopie procentowej 8, 5%. W banku B obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z góry przy rocznaj stopie procentowej r. Ile musi wynosić r aby wartości przyszłe kapitału P, otrzymane odpowiednio w banku A i B, po pięciu latach były identyczne? Czy wartości te będą identyczne również po 10 latach? Zadanie 29 Jaką wartość mają odsetki naliczone za 9 rok, jeśli kapitał 100 jp wygenerował odsetki w wysokości 15 jp po 5 latach oprocentowania złożonego z góry rocznego? Zadanie 30 Do banku wpłacono 20 jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy półrocznej stopie 5%, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona z góry przy kwartalnej stopie 2%. Wyznaczyć wartość przyszłą po pięciu latach. Zadanie 31 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z góry odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? 4

Kapitalizacja podokresowa Zadanie 32 Wyznaczyć wartość przyszłą 700 jp po dwóch latach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu 1. dwuletniej 2. rocznej 3. dziennej przy stopie nominalnej 7%. Zadanie 33 Wyznaczyć wartość przyszłą kwoty 1000 jp po dwóch latach w modelu oprocentowania złożonego z góry 1. przy rocznej kapitalizacji odsetek 2. przy miesięcznej kapitalizacji odsetek 3. przy tygodniowej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 7%. Zadanie 34 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? Zadanie 35 Porównując roczne czynniki akumulacji sprawdzić, która lokata jest korzystniejsza: 3-miesięczna przy kapitalizacji odsetek z góry i stopie nominalnej 5, 7%, czy 3-miesięczna przy kapitalizacji odsetek z dołu i stopie nominalnej 5, 9% Zadanie 36 Ile musi wynosić nominalna stopa r, aby wartość 5-letnich odsetek od kwoty 1000 jp wyniosła przynajmniej 500 jp w modelu kapitalizacji dziennej 1. prostej? 2. złożonej z dołu? 3. złożonej z góry? Zadanie 37 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji 1. czteroletniej 2. rocznej 3. miesięcznej złożonej z dołu przy nominalnej stopie 12%. Zadanie 38 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji 1. dwuletniej 5

2. rocznej 3. kwartalnej złożonej z góry przy nominalnej stopie 10%. Zadanie 39 Po ilu latach oprocentowania złożonego 1. z dołu 2. z góry przy nominalnej stopie 15% kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki a) I = 2500 jp. b) I = 3000 jp. Zadanie 40 Obliczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po trzech latach, jeśli bank stosuje kapitalizację złożoną 1. z dołu kwartalną 2. z góry półroczną oraz nominalną stopę 6%. Zadanie 41 Co jest korzystniejsze: miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy nominalnej stopie a) 12%? b) 11%? Zadanie 42 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po roku w modelu kapitalizacji złożonej z dołu 1. rocznej 2. miesięcznej 3. dziennej przy nominalnej stopie 7%? Zadanie 43 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się 1. po każdym półroczu. 2. po każdym miesiącu. Zadanie 44 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona z dołu przy nominalnej stopie 12%, czy półroczna kapitalizacja złożona z góry przy nominalnej stopie 11%? Zadanie 45 W banku A stosowany jest model kapitalizacji złożonej z dołu półrocznej przy nominalnej stopie r = 2, 7%, zaś w banku B model kapitalizacji złożonej z góry miesięcznej przy nominalnej stopie r. Ile musi wynosić r, aby roczne czynniki akumulacji w obu modelach kapitalizacji były identyczne? 6

Kapitalizacja ciągła Zadanie 46 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 10%? Zadanie 47 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 3%. Zadanie 48 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego P = 100 jp. Zadanie 49 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego P = 480 jp do kwoty F = 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej r = 6%? Zadanie 50 Jakiej wielkości kapitał początkowy po 9 latach wygeneruje odsetki I = 348 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie r = 6%? Zadanie 51 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w ciągu 4 lat przez kapitał P = 4000 jp przy nominalnej stopie 14, 5%. Zadanie 52 Ile zarobi, bądź straci właściciel kapitału 200 jp, jeśli po 9 miesiącach od dnia wpłaty bank z kapitalizacji dziennej złożonej a) z dołu, b) z góry, przeszedł na kapitalizację ciągłą przy nominalnej stopie procentowej r = 4%? Zadanie 53 Jaka będzie przyszła wartość F kapitału P = 5000 jp po 6 latach, jeśli bank przez pierwsze 2 lata stosował nominalną stopę 2% a następnie nominalną stopę 1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej? Zadanie 54 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 12% i ciągłej kapitalizacji odsetek? Zadanie 55 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 10%, czy półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 10%? 3. nominalnej stopie 8%? Zadanie 56 Oblicz przyszłą wartość kapitału 300 jp po 5 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 5%. Zadanie 57 Oblicz odsetki po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego P = 50 jp. 7

Zadanie 58 Po ilu latach kapitał 580 jp wygeneruje odsetki 200 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie procentowej r = 4%? Zadanie 59 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank przez pierwsze 3 lata stosował nominalną stopę 3% a następnie nominalną stopę 2, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej? Zadanie 60 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 11% i ciągłej kapitalizacji odsetek? 8

Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 61 Bank A stosuje kapitalizację półroczną złożoną z dołu przy rocznej stopie r A = 8%, zaś bank B kapitalizację kwartalną złożoną z góry przy rocznej stopie r B = 6%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne? Zadanie 62 W banku A obowiązuje kapitalizacja złożona z dołu półroczna przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kapitalizacji złożona z dołu kwartalna przy stopie nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 63 W banku A obowiązuje kapitalizacja złożona z góry kwartalna przy stopie nominalnej 14%, w banku B obowiązuje kapitalizacji złożona z góry roczna przy stopie nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 64 Mając nominalną stopę oprocentowania prostego rocznego 18% wyznaczyć równoważną stopę oprocentowania: 1. miesięcznego 2. tygodniowego 3. 2-letniego prostego. Zadanie 65 Mając półroczną stopę 6% wyznaczyć równoważną stopę kwartalną w modelu kapitalizacji prostej. Zadanie 66 Model kapitalizacji półrocznej złożonej z dołu ze stopą nominalną 23% zamienić na model kapitalizcji 1. kwartalnej złożonej z dołu 2. rocznej złożonej z dołu 3. miesięcznej złożonej z góry 4. ciągłej zachowując równoważność warunków oprocentowania. Zadanie 67 Mając nominalną stopę 19% w modelu oprocentowania złożonego z dołu dziennego wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania złożonego z dołu rocznego z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania. Zadanie 68 Obliczyć 1. tygodniową 2. miesięczną 9

3. roczną stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w kapitalizacji złożonej z dołu. Zadanie 69 Obliczyć 1. dzienną 2. półroczną 3. roczną stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w kapitalizacji złożonej z góry. Zadanie 70 Sprawdzić, czy równoważne są następujący stopy oprocentowania złożonego z dołu: kwartalna stopa 3% oraz półroczna stopa 6%. Zadanie 71 Zbadać równoważność warunków oprocentowania przy stopach nominalnych r = 12, 6% w kapitalizacji złożonej z dołu rocznej i r c = 12% w kapitalizacji ciągłej. Zadanie 72 Dla stopy r = 24% oprocentowania rocznego złożonego z dołu obliczyć równoważną stopę oprocentowania 1. półrocznego złożonego z dołu, 2. kwartalnego złożonego z góry, 3. miesięcznego prostego, 4. ciągłego, a następnie przy użyciu stopy równoważnej obliczyć dwuletnie odsetki od kapitału 1000 jp. Zadanie 73 Mając półroczną kapitalizację złożoną z góry przy nominalnej stopie r = 12% wyznaczyć kwartalną stopę równoważną stopie półrocznej. Zadanie 74 Jeśli nominalna stopa procentowa w modelu kaptalizacji ciągłej wynosi 10%, to jakie powinny być równoważne stopy procentowe dla kapitalizacji 1. miesięcznej z dołu? 2. półrocznej z góry? Zadanie 75 Model kapitalizacji półrocznej złożonej z góry ze stopą nominalną 18% zamienić na model kapitalizcji 1. rocznej złożonej z góry 2. rocznej złożonej z dołu 3. miesięcznej złożonej z góry 4. ciągłej zachowując równoważność warunków oprocentowania. Zadanie 76 Mając nominalną stopę 15% w modelu oprocentowania złożonego z góry tygodniowego wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania złożonego z góry rocznego z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania. 10

Zadanie 77 Bank zmienił oprocentowanie z 30% na 32%. Równocześnie bank wydłużył kapitalizację z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy sytuacji klientów banku, jeśli odsetki są kapitalizowane z dołu? Zadanie 78 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę 1000 jp. Bank A oferuje nominalną stopę r A = 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek z dołu, bank B oferuje nominalną stopę r B = 2, 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry, zaś bank C oferuje nominalną stopę r C = 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek z dołu. Wyznaczając stopę efektywną sprawdzić, który bank oferuje najkorzystniejsze warunki oprocentowania? Zadanie 79 Wyznaczyć wartość 100 jp po 10 latach kapitalizacji półrocznej złożonej a) z dołu, b) z góry, z nominalną stopą r = 24%. Zadanie 80 Pewien kapitał ulokowano na procent składany (model kapitalizacji złożonej z dołu). Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna? Zadanie 81 Efektywna stopa procentowa wynosi 14%. Obliczyć równoważną okresową i nominalną stopę oprocentowania złożonego z dołu przy kapitalizacji 1. co kwartał. 2. co 4 miesiące. 3. co 1,5 miesiąca. Zadanie 82 Wyznaczyć przyszłą wartość 100 jp po roku i 8 dniach w modelu kapitalizacji złożonej z góry dziennej przy nominalne stopie r = 8%. Zadanie 83 Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach i 2 tygodniach, jeśli bank stosuje kapitalizację złożoną z dołu tygodniową przy stopie nominalnej r = 9%. Zadanie 84 Kwotę 100 jp ulokowano na rachunku na okres 2 lat. Nominalna stopa procentowa w kolejnych latach kształtowała się następująco: 23% i 20%. Jaki będzie stan konta po tym okresie, jeśli kapitalizacja odsetek miała miejsce na początku każdego kwartału. Wyznacz efektywną stopę dla każdego roku. Zadanie 85 Firma zamierza sprzedać nieruchomość drogą przetargu. Otrzymała oferty od trzech nabywców. Pierwszy z nich chciałby ją kupić natychmiast regulując należność gotówką w wysokości 25000 jp, drugi proponuje sume 26000 jp przy uregulowaniu należności za rok, trzeci zaś gotów jest zapłacić 28000 jp, ale po upływie 3 lat. Którą ofertę powinna wybrać firma, jeśli istnieje możliwość ulokowania gotówki w banku, przy oprocentowaniu złożonym z dołu 35% w skali roku? Zadanie 86 Złożono w banku kapitał w wysokości 4000 jp. Po upływie 10 lat kwota kapitału wzrosła do 5000 jp. Jaka będzie kwota kapitału po upływie dalszych 4 lat? 11

Zadanie 87 Wyznacz wartość kapitału 1900 jp po 1, 5 roku przy oprocentowaniu ciągłym i stopie procentowej 13% w skali roku. Zadanie 88 Po jakim czasie kapitał 300 jp wygeneruje odsetki 28 jp przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie 19% w skali roku? Zadanie 89 Ulokowano w banku depozyt w wysokości 1200 jp na 14% w skali roku przy kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry. Czy warunki oprocentowania się pogorszą, jeśli stopa procentowa będzie obniżona o 2 pkt procentowe i kapitalizacja z góry zostanie zastąpiona kapitalizacją z dołu? Oblicz zysk bądź stratę właściciela depozytu. Zadanie 90 Bank A oferuje rachunek oszczędnościowy oprocentowany 5, 25% w skali roku przy dziennej kapitalizacji odsetek. Bank B oferuje lokatę terminową 3- miesięczną oprocentowaną 6% w skali roku. Która z ofert bankowych jest korzystniejsza, jeśli w ciągu roku nie planujemy żadnej wypłaty? Zadanie 91 Wyznacz wartość przyszłą kapitału 500 jp po 5 tygodniach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu miesięcznej przy stopie nominalnej 14%. Zadanie 92 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji złożonej z dołu miesięcznej, jeśli stopa efektywna wynosi 27%? Zadanie 93 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji złożonej z góry kwartalnej, jeśli stopa efektywna wynosi 24%? Zadanie 94 Jaka jest wartość kapitału 300 jp po roku i 2 miesiącach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu kwartalnej przy stopie nominalnej 11%? Zadanie 95 Jaka jest wartość kapitału 100 jp po 82 dniach w modelu kapitalizacji złożonej z góry miesięcznej przy stopie nominalnej 6, 7%? Zadanie 96 Wyznaczyć stopę efektywną dla nominalnej stopy procentowej 17% przy ciągłej kapitalizacji odsetek? Zadanie 97 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa wynosi 13%. Ile wynosi zgodna stopa procentowa, odpowiadająca tej efektywnej, a ile nominalna? 12

Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej Zadanie 98 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną 1. prostą. 2. złożoną z dołu. 3. złożoną z góry. Zadanie 99 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej półrocznej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną złożoną z góry. Zadanie 100 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację miesięczną złożoną z dołu. Zadanie 101 Odsetki od 2-letniej lokaty 1500 jp obliczono według zmiennej stopy procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio, 10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim na koniec roku. Obliczyć 1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty. 2. przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty. 3. odsetki należne na koniec drugiego roku. Zadanie 102 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa r c wyniesie 3% i będzie się zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z góry przy stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta. Zadanie 103 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta. Zadanie 104 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 jp podlega rocznemu oprocentowaniu z dołu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%, 3, 12%, 2, 9%. Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną rocznej oraz wartość przyszłą kapitału po pięciu latach. 13

Zadanie 105 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki kapitalizowano pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy stopie nominalnej 6, 5%, przez kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć 1. efektywną stopę procentową dla każdego roku. 2. przeciętną stopę kwartalną. 3. wartość kapitału 100 jp po dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe, stopy efektywne, stopy przeciętne. Zadanie 106 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając przeciętną roczną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu kapitalizacji 1. prostej. 2. miesięcznej złożonej z dołu. 3. kwartalnej złożonej z góry. Zadanie 107 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8, 1%, 8, 2%, 8%, 7, 8%, 7, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%, 7, 7%. Wyznaczając przeciętną 1. roczną 2. podokresową stopę procentową w czasie 5 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu kapitalizacji 1. prostej kwartalnej. 2. pólrocznej złożonej z dołu. 3. miesięcznej złożonej z góry. Zadanie 108 Nominalna stopa lokaty 3-miesięcznej zmieniała się co kwartał i wynosiła 6, 5%, 6, 4%, 6, 6%, 6, 7%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną i roczną stopę w czasie roku, jeśli bank stosował kapitalizację 1. prostą. 2. złożoną z dołu. 14

3. złożoną z góry. Zadanie 109 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną złożoną z dołu. Zadanie 110 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 5, 5%, 5, 7%, 5, 4%, 5%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną złożoną z dołu. Zadanie 111 Bank A oferuje lokatę 3-miesięczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 8%, zaś bank B lokatę półroczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 6%. W banku A w kolejnych kwartałach roku stop procentowa zmniejszała się o 0, 1 punktu procentowego, zaś w banku B po pół roku stopa procentowa zwiększyła się o 0, 2 punku procentowego. Która z lokat jest korzystniejsza w ciągu roku? 15

Dyskonto. Dyskontowanie Zadanie 112 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 jp ma postać dyskonta przy (rocznej) stopie dyskontowej d = 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania pożyczki? Zadanie 113 Bank A proponuje 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z dołu naliczanymi wg. stopy nominalnej r = 7%, zaś bank B 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z góry naliczanymi wg. stopy rocznej d = 5%. Która z lokat jest korzystniejsza? Zadanie 114 Kwotę 2800 jp spłacono po 3 miesiącach kwotą 2950 jp. Przyjmując, że opłatą za pożyczkę były: a) odsetki płatne z dołu, obliczyć r; b) odsetki płatne z góry, obliczyć d. Zadanie 115 Opłata za 6-miesięczny kredyt w wysokości 10000 jp ma postać dyskonta przy (rocznej) stopie dyskontowej d równoważnej stopie r = 12, 75% w okresie 6 miesięcy. Ile wynosi ta opłata? Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie większym o 5000 jp? Zadanie 116 Mając (roczną) stopę dyskontową d = 2, 5% i (roczną) stopę procentową r = 1, 5% zbadać czy istnieje czas,w którym te stopy są równoważne. Zadanie 117 W dniu 11.02.2007 pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 jp, podpisując weksel o nominale 10000 jp z terminem wykupu 9.06.2007. Obliczyć stopę d. Obliczyć stopę r oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 jp udzielonej na ten sam czas, równoważną stopie d. Zadanie 118 Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości 45600 jp. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy d = 11%? Zadanie 119 Jaką kwotę otrzymała firma X za weksel o wartości nominalnej 10000 jp z terminem wykupu za 96 dni zdyskontowany w banku przy rocznej stopie d = 7, 5%? O ile wyższa byłaby ta kwota, gdyby stopa dyskontowa była niższa o 1 punkt procentowy? Zadanie 120 Bank A, który był w posiadaniu weksla o wartości nominalnej 90000 jp z terminem wykupu 17.05.2002, złożył ten weksel do redyskonta w banku centralnym 4.03.2002. Obliczyć wysokość kredytu redyskontowego udzielonego przez bank centralny bankowi A, jeśli w tym dniu obowiązywała stopa redyskontowa d = 12% w skali roku. Zadanie 121 Firma C, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej 22000 jp w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do banku, który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003. Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli 22.12.2002 w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%? 16

Zadanie 122 Weksel o wartości nominalnej 70 jp i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wyosi 7%. Zadanie 123 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 jp i terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 jp i terminie płatności 30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 6, 5%. Zadanie 124 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2 jp. Zadanie 125 Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%. a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp? b) Przy jakiej stopie r warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp? Zadanie 126 10 lutego 2000 r. firma zdyskontowała w banku weksel o terminie wykupu 1 czerwca tego samego roku, otrzymując zań 28135, 76 PLN. Gdyby termin wykupu weksla był późniejszy o 30 dni, ta kwota byłaby mniejsza o 204, 71 PLN. a) Obliczyć stopę d, przy której zdyskontowano weksel. b) Jaka była wartość nominalna weksla? c) Jaki powinien być termin wykupu weksla, aby otrzymano za niego przynajmniej 28200 PLN? Zadanie rozwiązać uwzględniając dokładną liczbę dni i fakt, że rok 2000 był rokiem przestępnym. Zadanie 127 Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby osiągnąć rentowność tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej 10%? Zadanie 128 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych bonów skarbowych sprzedawanych po 9 588, 50 zł. Zadanie 129 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75zł. 17

Inflacja. Wartość realna kapitału w czasie Zadanie 130 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 5%, 4, 5%, 5, 5% i 6%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciątną kwartalną stopę inflacji. Zadanie 131 Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 8% a roczna stopa inflacj 3, 5%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa? Zadanie 132 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 jp miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku, b) roczną stopę inflacji, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zadanie 133 Stopa oprocentowania lokaty 12-miesięcznej wynosi 10%. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach wynosiła odpowiednio: 2, 8%, 3, 2%, 3%, 3, 5%. Zadanie 134 Jaki jest realny wzrost dotacji na badania naukowe w danym roku, jeśli jest ona wyższa od ubiegłorocznej o 18% i stopa inflacji wyniosła 4%? Zadanie 135 Przewidując roczną stopę inflacji na poziomie 5% ustalono, że spłata pożyczki 6500 jp po dwóch latach wyniesie 8000 jp. Obliczyć realną roczną stopę oprocentowania pożyczki, jeśli: a) poziom inflacji będzie zgodny z przewidywaniami, b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%. Zadanie 136 Oprocentowanie 6-miesięcznej lokaty bankowej o wartości 8000 jp wynosi 5, 05% w skali roku. Obliczyć nominalną i realną wartość lokaty oraz nominalną i realną wartość odsetek na koniec lokaty, jeśli stopa inflacji wyniosła w tym półroczu 1, 7%. Wyznaczyć d inf. Zadanie 137 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 jp po pół roku oraz nominalną i realną stopę jego wzrostu, jeśli kapitał ten został umieszczony na półrocznej lokacie przy półrocznej stopie 3, 5%. Półroczna stopa inflacji w tym czasie wynosi 1, 5%. 18

Aktualizacja wartości kapitału Zadanie 138 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu przy rocznej stopie 5%. Zadanie 139 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po siedmiu miesiącach przy stopie nominalnej r = 2% i kapitalizacji kwartalnej złożonej z dołu. Rachunki przeprowadzić na dwa sposoby. Zadanie 140 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację: a) prostą roczną, a) prostą półroczną i roczną stopę procentową r = 7%. Czy długość okresu kapitalizacji ma znaczenie? Zadanie 141 Kapitał P po 7 miesięcach przyjmie wartość 1320 jp. Jaka będzie wartość tego kapitału 2 miesiące wcześniej przy oprocentowaniu złożonym z dołu a) rocznym, b) półrocznym i nominalnej stopie 10%? Zadanie 142 Mając kapitał 200 jp wyznaczyć wartość tego kapitału na dwa miesiące wstecz, jeżeli podlegał on oprocentowaniu ciągłemu przy rocznej stopie 11% Zadanie 143 Kapitał 300 jp po czasie 3 miesięcy wygenerował odsetki wysokości 20 jp. Jakiej wysokości odsetki zostaną wygenerowane po kolejnych 3 miesiącach, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji złożonej z dołu rocznej? 19