Koncepcja zachowañ strategicznych na lokalnym rynku surowcowym w modelu gry n-osobowej zarys problemu

GOSPODARKA SUROWCAMI MINERALNYMI Tom 28 2012 Zeszyt 2 DOI 10.2478/v10269-012-0013-3 MARIUSZ KRZAK* Koncepcja zachowañ strategcznych na lokalnym rynku surowcowym w modelu gry n-osobowej zarys problemu Wprowadzene Rynek surowcowy rozpatrywany jest w ujêcu ro nych jego cech. Bor¹c pod uwagê kontekst modelu, w jakm funkcjonuje, sektor surowcowy charakteryzuj¹ w wêkszoœc przypadków take same cechy jak sektory nnych dóbr. Przewa aj¹ tu rynk konkurencyjne, choæ neobce s¹ rynk o charakterze olgopolu, nekedy monopolu. W wêkszoœc przypadków zw³aszcza dla surowców skalnych ceny kszta³towane s¹ przez prawa wolnego rynku, jakkolwek ceny nektórych grup surowców strategcznych, np. energetycznych, mog¹ byæ nadal regulowane przez rz¹dy pañstw. Przyjmuj¹c za kryterum zasêg geografczny dostaw (odleg³oœæ mejsc wydobyca przetwórstwa kopalny do mejsc jej konsumpcj) wyró nane s¹ rynk: lokalne, regonalne, krajowe oraz mêdzynarodowe. W wymanach mêdzynarodowych berze udza³ blsko 90 grup surowców mneralnych, a najwêksza skala obrotów cechuje surowce energetyczne. Znaczny jest udza³ surowców metalcznych, a spoœród nemetalcznych w obrotach mêdzynarodowych uczestncz¹ lczne surowce chemczne ceramczne oraz kamene jublerske (szlachetne ozdobne), na mnejsz¹ skalê surowce nnych dza³ów technk. Zdecydowana wêkszoœæ kopaln skalnych, ze wzglêdu na pospolte wystêpowane wysoke koszty transportu w stosunku do nskej ceny surowca z nch pozyskwanego, ma ogranczony terytoralne zasêg wymany, a ch przetwórstwo odbywa sê zwykle tu obok zak³adu górnczego. Ich znaczene ograncza sê zwykle do rynku lokalnego, a znaczna loœæ z³ó kopaln, producentów odborców, przewa ne prywatnych, czyn ten rynek stosunkowo stablnym. * Dr n., AGH Akadema Górnczo-Hutncza, Kraków; e-mal: krzak@agh.edu.pl

68 Dwe najstotnejsze formy zachowañ wyró nane mêdzy poszczególnym uczestnkam rynku to konkurencja kooperacja. Przyjmuje sê, oba pojêca s¹ wzajemne antagonstyczne. Konkurencja jest procesem, w którym podmoty rynkowe tej samej bran y wspó³zawodncz¹ ze sob¹ w zaweranu transakcj rynkowych, poprzez przedstawane korzystnejszej od nnych podmotów oferty. Celem tej dza³alnoœc jest realzacja w³asnych nteresów, a przyjmuj¹c, e zamerzenem podmotu gospodarczego jest maksymalzacja zysku mus on zaoferowaæ dobro lepsze n konkurenc. Konkurencja to ne tylko rywalzacja na tym samym rynku danego dobra, lecz tak e z dalszym (stnej¹cym lub potencjalnym) uczestnkam rynku, tj.: producentam dóbr substytucyjnych, dostawcam, odborcam, przewoÿnkam nnym podmotam tworz¹cym otoczene konkurencyjne. Warto dodaæ, konkurencja dotyczy ne tylko producentów, lecz tak e konsumentów. W zale noœc od struktury rynku, na którym zachodz proces konkurencj, wyró nane s¹ ró ne jej modele: doskona³a, monopolstyczna, olgopol oraz monopol. Konkurencja doskona³a to taka, w której wszystke przedsêborstwa konsumenc uznaj¹, e ch dza³ana ne wp³ywaj¹ na wysokoœæ ceny oferowanego dobra, gdy struktura ta obejmuje bardzo welu nabywców bardzo welu sprzedawców. Nedoskona³oœæ konkurencj polega na tak du ym udzale jednego producenta czy sprzedawcy w poda y, e jej zwêkszene lub obn ene wywo³uje zmany cen. W krañcowym przypadku na rynku funkcjonuje jeden tylko producent monopolsta. Kooperacja jest natomast takm dza³anem, które w¹ e sê ze wzajemn¹ wspó³prac¹. Partnerstwo pomêdzy podmotam zmerza do wspólnej realzacj celu. Kooperacja jest czêsto wynkem nekorzystnych warunków otoczena gospodarczego. W kontekœce kompleksowej strateg przedsêborstw, kooperacja najczêœcej jest sk³adow¹ wynkaj¹c¹ z realnej pozycj frmy na rynku oraz prawdopodobnych korzyœc wynkaj¹cych z po³¹czena s³. Obe formy zachowañ, zarówno konkurencja jak kooperacja, jako sk³adowe elementy strateg funkcjonowana przedsêborstwa mog¹ meæ zarówno negatywny jak pozytywny wp³yw na relacje dla otoczena zewnêtrznego. Wydaje sê pommo ogromnej ró norodnoœc szerokej specyfk przedstawonych form zachowañ, które ne bêd¹ tu szczegó³owo rozwa ane e koncepcja obecnych zachowañ w bznese opera sê na kooperacj, jakkolwek kooperacja ta dze w parze z konkurencj¹. 1. Zarys ogólnej teor ger oraz ger n-osobowych Teora ger jest dza³em matematyk, który w ujêcu formalnym analzuje sytuacje dotycz¹ce konflktu wspó³pracy pomêdzy weloma podmotam. Bada tym samym sposobnoœc optymalnego zachowana, gdze konsekwencje dza³añ (sukcesów b¹dÿ pora ek) uczestnków gry zale ¹ od wzajemnych decyzj. Dwe podstawowe przes³ank, wyró naj¹ce teorê ger spoœród nnych narzêdz decyzyjnych, dotycz¹ zachowañ decydentów, którzy: defnuj¹ mo lwy do os¹gnêca cel (postêpuj¹ racjonalne), korzystaj¹ ze swojej wedzy (nformacj) oraz/lub uwzglêdnaj¹ przewdywane zachowana pozosta³ych graczy (postêpuj¹ strategczne).

Zasadnczym termnem w teor ger jest gra, a na jej ops sk³adaj¹ sê: gracze, ruchy (posunêca), wyp³aty oraz nformacja. Przybl aj¹c pokrótce, graczem jest ka dy uczestnk gry, ruchem (w skoñczonej lub neskoñczonej lczbe) mo lwe postêpowane gracza, wyp³at¹ wartoœæ wynku gry, a nformacj¹ zaœ zasób wedzy w grze o grze. Krótkego wyjaœnena wymagaj¹ pojêca wyp³aty nformacj. Wyp³aty (u ywanym w teor ger synonmam s¹ wygrana lub u ytecznoœæ) okreœlaj¹ wartoœæ wynku gry dla graczy, czyl s¹ korzyœcam, jake gracze uzyskaj¹ przy tym e wynku. Przyjmuj¹c za³o- ene o racjonalnoœc postêpowana graczy d¹ ¹ on do maksymalzacj wyp³at, a zatem wy sza wyp³ata odpowada bardzej preferowanemu wynkow gry. W realnych zagadnenach wyp³atam mog¹ byæ zarówno korzyœc merzone kategoram penê nym, ale tak e newymerne fnansowo nne jednostk u ytecznoœc, jak: satysfakcja, prest, dostêp do po ywena tp. Informacja w grach jest modelowana zwykle z wykorzystanem koncepcj zborów nformacyjnych, które obejmuj¹ zbór werzcho³ków drzewa decyzyjnego gry, których gracz podejmuj¹cy decyzje ne jest w stane od sebe odró næ. W grach z doskona³¹ (pe³n¹) nformacj¹ zbór nformacyjny jest pojedynczy. W przecwnym raze gra jest jednym z typów gry o nedoskona³ej (nepe³nej) nformacj. Stwerdzaj¹c najbardzej ogólne, gracze dysponuj¹ zazwyczaj ró nym zakresem nformacj. W grach z pe³n¹ nformacj¹ znane s¹ graczom wszystke wczeœnejsze decyzje nnych graczy wynk dotychczasowych posunêæ losowych. W grach z nepe³n¹ nformacj¹ jeden lub wêcej graczy ne zna, b¹dÿ ne jest pewen funkcj wyp³at /lub zborów strateg. Newedza mo e te obejmowaæ neznajomoœæ preferencj, to samoœc lub lczby graczy b¹dÿ kolejnoœc decyzj. Dalsza konkretyzacja opsu ger rodz ró norake, szczegó³owe klasy, które ne bêd¹ tutaj bl ej omawane. Dla póÿnejszych analz dywagacj, stotne bêd¹ klasy ger wyró none wed³ug kryterum mo lwoœc komunkowana sê oraz lczby graczy. Perwsze z nch defnuje gry kooperacyjne oraz nekooperacyjne, druge zaœ wydzela gry dwuosobowe oraz n-osobowe. Pojêca gry kooperacyjnej lub nekooperacyjnej zosta³y zaproponowane przez von Neumanna Morgensterna (1944). Gr¹ kooperacyjn¹ jest gra, w której gracze mog¹ poczynæ w¹ ¹ce zobow¹zana, w przecweñstwe do nekooperacyjnych, w których poczynene takch zobow¹zañ ne jest mo lwe. W grze kooperacyjnej opsane s¹ wyp³aty wszystkch potencjalnych grup (koalcj), jake mog¹ byæ uzyskane w wynku wspó³pracy pomêdzy uczestnkam gry, a gracze podejmuj¹ wspó³dza³ane maj¹c na celu maksymalzacjê (lub mnmalzacjê) wyp³at. W grach takch mo lwe s¹ wzajemne rekompensaty, czasem groÿby b¹dÿ szanta, jak te nne czynnk wspó³dza³ana. W grze nekooperacyjnej ka dy gracz d¹ y do zaspokojena tylko w³asnych nteresów. Teora ger nekooperacyjnych skupa sê na analze wyborów strategcznych, w których moment kolejnoœæ podejmowana decyzj przez gracza jest kluczowa. Gry kooperacyjne/nekooperacyjne s¹ szczególne przydatne w modelowanu procesów zjawsk w poltyce, probleme przetargów tp. Druge z kryterów (lczebnoœc graczy) oznacza, gry mog¹ przebegaæ pomêdzy dwoma b¹dÿ wêksz¹ lczb¹ uczestnków. Najczêœcej operuje sê gram dwuosobowym, co wynka w du ej merze z wygody prezentacj, nemnej warunk tworzena koalcj bywaj¹ 69

70 tutaj ogranczone zagadnene ulega znacznemu zawê enu. Gra powy ej dwóch uczestnków (n 3) okreœlana jest manem gry n-osobowej w postac normalnej opsywana jest trójk¹ (N, S, ), w której (Leyton-Brown, Shoham 2008): N to skoñczony zbór n graczy, S S1S2... S n to skoñczony zbór wszystkch posunêæ S dostêpnych graczow, gdze ka dy wektor s( s1s2 sn ) S jest proflem strateg, ( 1, 2,..., n ) to zbór funkcj wyp³at o wartoœcach rzeczywstych, gdze (s 1, s 2,,s n ) jest wyp³at¹ dla gracza -tego, gdy gracz 1 u ywa strateg s 1, gracz 2 strateg s 2,,agraczn strateg s n. Postaæ normalna (macerzowa), fundamentalna w teor ger, jest zwêz³¹ reprezentacj¹ gry. Gracze podejmuj¹c decyzje równoczeœne dochodz¹ do wyp³at przedstawanych w macerzy (tabel zysków), której komórk odpowadaj¹ ka dej kombnacj strateg (proflow strateg). Egzemplfkacj¹ takego zapsu (za Straffn 2004) dla trzyosobowej gry o sume zerowej jest macerz (1). gracz 3 ( 1 ) gracz 3 ( 2 ) gracz 2 gracz 2 gracz 1 1 2 1 2 1 2, 2, 4 3, 2, 1 gracz 1 1 6, 4, 2 4, 4, 8 2 3, 6, 3 6, 4, 10 2 2, 2, 4 4, 7, 3 (1) W grze tej ka dy z graczy dysponuje dwoma posunêcam, a przyk³adowe wyp³aty (wygrane) graczy dla proflu 1 2 2 wynosz¹: gracz 1 4 jednostk u ytecznoœc, gracz 2 4 jednostk u ytecznoœc, gracz 3 8 jednostek u ytecznoœc. Innym, wygodnym zapsem ger n-osobowych jest przejœce do opsu ger w postac funkcj charakterystycznej. Gra w postac funkcj charakterystycznej opsywana jest przez zbór N = {1, 2,, n) graczy funkcjê, która ka demu podzborow S (koalcj) S N przypsuje lczbê (S). Pozostal gracze, ne wchodz¹cy do koalcj, traktowan s¹ jako antykoalcja (N S). Welkoœæ (S) to wartoœæ wygranej, któr¹ ³¹czne os¹gn¹ gracze nale ¹cy do S, je el zawr¹ koalcjê, bez wzglêdu na posunêca pozosta³ych uczestnków gry (Luce, Raffa 1989; Thomas 2003). Wymagane jest jej wylczene dla ka dej mo lwej koalcj, czyl ka dego mo lwego podzboru graczy. Ta forma prezentacj zostane przed³o ona na baze przyk³adów w dalszej czêœc artyku³u. Wraz ze wzrostem grona uczestnków gry zwêksza sê zakres mo lwych koalcj to zarówno pod wzglêdem sk³adu jak lczby koalcjantów. Generuje to stotne trudnoœc analtyczne unemo lwa znalezene unwersalnych algorytmów postêpowana. Rodz¹ sê tu kluczowe pytana: która z mo lwych koalcj zostane zawarta? w jak sposób zostane dokonany podza³ wyp³at pomêdzy cz³onków koalcj?

Wydaje sê, e druge zapytane ma podstawowe znaczene. Wyp³ata pojedynczego gracza jest dla nego spraw¹ o wêkszym cê arze gatunkowym n sam fakt powstana koalcj. D¹ ¹c do realzacj pewnych celów zapewnena sobe okreœlonego pozomu wyp³at samo powstane koalcj jest tylko ( a ) œrodkem ch realzacj. Ponadto kwesta podza³u wyp³at w koalcj odgrywa stotny wp³yw na preferencje, do której koalcj gracz zechce przynale eæ. Zatem analza ger weloosobowych rozpoczynaæ sê wnna materalstyczne od ewentualnego zapytana o podza³ wyp³at pomêdzy uczestnków gry. W teor ger n-osobowych zaproponowano, by w mejsce poszukwana rezultatów rzeczywstych zachowañ koalcyjnych wskazywaæ jeden podza³ wyp³at mputacjê daj¹c¹ mo lwoœæ sprawedlwego (w jakœ sposób) rozdza³u, aczkolwek taka mputacja jako efekt konkurencj pomêdzy koalcjam mo e sê ngdy ne pojawæ. W¹tplwoœc te wymus³y wypracowane szeregu metod s³u ¹cych poszukwanu pojedynczych rozw¹zañ dla ger n-osobowych, a nektóre z nch zosta³y przybl one w dalszej czêœc artyku³u. Zastosowana teor ger n-osobowych w aspekce rynków surowcowych ne s¹ obfte. Najczêœcej t³em analz bywa³a kwesta przetargów na dzer awê praw do zasobów z³ó (Pelto 1971; Hendrcks, Porter, Tan 1993; Hendrcks, Porter, Wlson 1994; Porter 1995), b¹dÿ zagadnene podza³u dóbr surowcowych (Thomas 1986). Kooperacj w ramach jont venture dotyczy³ artyku³ Boyce a (1997). W polskm pœmennctwe w¹tek ger n-osobowych w ogólnych zastosowanach górnczych porusza Kowalk (2007). 71 2. Wykorzystane teor ger n-osobowych w modelowanu zachowañ strategcznych producentów surowców Uogólnony przyk³ad wykorzystana teor ger n-osobowych dotycz¹cy nterakcj konsumentów na rynku ropy naftowej (Ol Market Game) znany jest w lteraturze ze wzmankowanej powy ej pozycj Thomasa (1986). Ilustrowana jest tam e propozycja strategcznego postêpowana, wynkaj¹ca z faktu posadana okreœlonego zasobu surowcowego. Gwol przypomnena, tudze zaznajomena Czytelnka ze sposobem prezentacj gry w forme funkcj charakterystycznej, zostane on pokrótce omówony. Pewen kraj 1 posada zasoby ropy naftowej, któr¹ wykorzystuje do utrzymana systemu transportu z korzyœc¹ a z bary³k. Kraj 2 ne posadaj¹c zasobu chce zakupæ ropê od kraju 1, by zu ytkowaæ j¹ w przemyœle cê km, gdze bary³ka ropy zapewn mu po ytek w wysokoœc b, podczas gdy kraj 3, równe pozbawony zasobu ropy, po ¹da jej dla potrzeb przemys³u spo ywczego. Oczekwana korzyœæ ze zu yca ropy ocenana jest tam e na c z bary³k. Korzyœc pañstw z zastosowana jednej bary³k spe³naj¹ relacjê a < b c. Funkcja charakterystyczna tak opsanej gry jest jak w tabel 1. Funkcja charakterystyczna jest u yteczn¹ form¹ zapsu ger n-osobowych, zwêÿle opsuj¹c¹ wzglêdn¹ s³ê ró nych koalcj. Komentuj¹c poszczególne welkoœc w tabel: () = 0, jest wartoœc¹ pustej koalcj, do której nkt ne przyst¹p³,

72 Funkcja charakterystyczna gry Ol Market Game Characterstc functon of the Ol Market Game TABELA 1 TABLE 1 Koalcja S {k.1} {k.2} {k.3} {k.1 2} {k.1 3} {k.2 3} {k.1, 2, 3} (S) 0 a 0 0 b c 0 c (k.1) = a, koalcja krajów 2 3 ne jest w stane zmusæ kraju 1 do sprzeda y ropy, st¹d pozostaj¹ca u nego ropa warta jest dlañ a, (k.2) = (k.3) = (k.2, k.3) = 0, pojedynczo an w adnej koalcj potencjaln nabywcy ne mog¹ sprawæ, by sprzedano m ropê, (k.1, k.2) = b, kraje 1 2 mog¹ u ytkowaæ surowec z korzyœc¹ b (za tak¹ cenê nast¹p sprzeda ropy krajow 2), kraj 3 musa³by zap³acæ co najmnej b, eby móc go otrzymaæ, (k.1, k.3) = (k.1, k.2, k.3) = c, albowem kraj 1 kraj 3 mog¹ u ytkowaæ posadan¹ przez kraj 1 ropê z korzyœc¹ wynosz¹c¹ c za bary³kê. Rozw¹zana tej gry z wykorzystanem tzw. rdzena oraz wartoœc Shapleya przytacza Thomas (1986) konkluduj¹c, nale y oczekwaæ naw¹zana wspó³pracy pomêdzy krajem1 krajem 3. Kraj1 odsprzeda odborcy 3 surowec, za który ten zap³ac x. Welkoœæ ta mus byæ co najmnej równa b, w przecwnym raze kraj 1 by³by w lepszej sytuacj sprzedaj¹c surowec krajow 2. Oczywœce cena sprzeda y ropy ne mo e byæ wy sza n c, gdy kraj 3 ne zap³ac wêcej, n jest to dla nego warte. Kolejna propozycja aplkacj teor ger n-osobowych dotyczy zastosowana na lokalnym rynku surowcowym producentów kruszyw. Rozwa ana oparto na blskm rzeczywstoœc przyk³adze, w którym z konecznoœc przyjêto klka za³o eñ upraszczaj¹cych, jednak e nemaj¹cych wp³ywu na sposób strategcznego postêpowana graczy. Przed przedstawenem sposobów rozw¹zana gry scharakteryzowano t³o rynkowe oraz sytuacjê ekonomczno-technologczn¹ wrown bor¹cych weñ udza³. Trzy wrowne, zlokalzowane we wzajemnej blskoœc w obrêbe tej samej dolny rzecznej, dostarczaj¹ pewn¹ gamê surowców zaopatruj¹c lokalny rynek. Przedmotem ch eksploatacj jest rozleg³e z³o e pasków, pospó³k mejscam g³azowsk. Poszczególne zak³ady górncze dysponuj¹c ró nej welkoœc kapta³em zdecydowa³y sê na uruchomene ln produkcyjnych zró ncowanej jakoœc surowców okruchowych. wrowna 1 pozyskuje sprzedaje kruszywo bezpoœredno ze z³o a, wrowna 2 dysponuje ln¹ technologczn¹ wyposa on¹ w klasyfkacjê stow¹, która umo lwa oddzelene grubszych frakcj kruszywa, a w etapach poœrednch wydzelene gotowych produktów. Podstawowym surowcem przezeñ oferowanym jest kruszywo naturalne frakcj 0 31,5 mm. wrowna 3 jest zak³adem najbardzej nnowacyjnym nowoczesnym. Uk³ad technologczny operaj¹cy sê na rozdrabnanu, p³ukanu, kruszenu, usuwanu zaneczyszczeñ organcznych obcych umo - lwa pozyskane kruszyw kruszonych frakcj 0 31,5 oraz 16 63 mm, a tak e produkcj t³uczna 31 63 mm.

Kondycja ekonomczna ka dej wrown z osobna jest odmenna z³o ona. wrowna 1 ne dysponuje œrodkam na realzacjê wyposa ene ln przeróbczej, zatem jej potencjalne przychody s¹ uszczuplane z racj sprzeda y tylko nesortu. Zasoby kopalny w z³o u wrown 3, umo lwaj¹ce dotychczas produkcjê t³uczna s¹ wyczerpane, a pozostaj¹ca baza zasobowa umo lwa pozyskane jedyne kruszyw kruszonych frakcj 0 31,5 mm. Tak e wrowna 2, ne zamerzaj¹ca modernzowaæ swojej ln technologcznej, pozostaje przy obecne oferowanym asortymence surowcowym. Górncze zdolnoœc produkcyjne zak³adów szacowane s¹ na 10 000 ton/mes¹c w wrown 1 oraz po 8000 ton/mes¹c w wrownach 2 3. Przeróbka kopalny w¹ e sê ze stratam w wysokoœc 5% w wrown 2 oraz 10% w wrown 3. Zró ncowana struktura kosztów w zak³adach oraz odmenne ceny surowców okruchowych wyznaczaj¹ ró ne pozomy przychodów potencjalnych zysków (tab. 2). 73 Welkoœc mesêcznych przep³ywów fnansowych wrown Rate of the monthly gravel-pts cash flow TABELA 2 TABLE 2 Cena surowca [z³/t] Przychody [z³] górncze Koszty [z³/t] przeróbcze ¹czne zysk [z³] Zysk jednostkowy [z³/t] w. 1 16 160 000 14,0 0,0 20 000 2,0 w. 2 26 197 600 13,0 7,0 37 600 4,9 w. 3 32 230 400 13,0 10,0 46 400 6,4 Przychody zak³adów bêd¹ce loczynem ceny surowca tona u produkcj uwzglêdnaj¹ wysokoœæ strat. ¹czne zysk s¹ ró nc¹ pomêdzy przychodem a ³¹cznym kosztam górnczym przeróbczym, podczas gdy zysk jednostkowy odnos sê do korzyœc ze sprzeda y jednostk surowca. Kopalne mog¹, jak do tej pory, funkcjonowaæ nezale ne, nemnej na rynku obserwowany jest wzmo ony popyt na surowec wy szej jakoœc, st¹d analza pozycj strategcznych wrown mo lwych korzyœc wskazuje na przypuszczalne kooperacyjne porozumene. Incjatorem takej wspó³pracy mo e byæ wrowna 1, której kopalna pozwala na wytwarzane dobrych jakoœcowo surowców. Mast sprzeda y surowego kruszywa mo e go kerowaæ do wzbogacena z wykorzystanem ln technologcznych s¹sednch wrown. Moce przerobowe wrown 2 s¹ w pe³n wykorzystywane, natomast zdolnoœc przerobowe zak³adu przeróbczego wrown 3 s¹ ocenane na 12 000 ton/mes¹c s¹ w stane przyj¹æ dodatkowy strumeñ urobku. Generowane wtedy dodatkowe koszty operacyjne zw¹zane z transportem mog¹ byæ rekompensowane przez zbyt dro szego surowca, jak ewentualne zmnejszene tona u produkcj kopalny ze z³ó wrown 2 3, skutkuj¹ce obn enem zmennych górnczych kosztów produkcj tam e. W tej sytuacj poszczególne wrowne

74 mog¹ dza³aæ b¹dÿ to samodzelne b¹dÿ tworzyæ ró nolczne porozumena, a mo lwych jest tu pêæ warantów uk³adów: 1) wrowne ne kooperuj¹ ze sob¹, 2) wrowne 1 2 kooperuj¹, 3) wrowne 1 3 kooperuj¹, 4) wrowne 2 3 kooperuj¹, 5) wszystke wrowne kooperuj¹. Wspó³praca wrown 1 2 umo lwa uzyskane kruszywa grubego frakcj 16 63 mm w cene 42 z³/t. Umowa wrown 1 oraz 3 daje szansê pozyskane kruszywa grubego kruszonego w cene 56 z³/t. Porozumene wrown 2 oraz 3 pozwala uzyskaæ wêkszy tona kruszyw kruszonych frakcj 0 31,5 mm. Ewentualna wspó³praca wszystkch wrown umo lwa pozyskane t³uczna 31 63 mm w cene 75 z³/t. Dodatkowo przed zawarcem przypuszczalnych porozumeñ przeprowadzona analza zapotrzebowana surowcowego w regone wskaza³a na oczekwany zbyt t³uczna oraz kruszywa kruszonego frakcj 16 63 mm na pozome po 3 000 ton/mes¹c na ka dy z surowców, podczas gdy kruszywa grubego frakcj 16 63 mm w loœc 5 000 t/mes¹c. W ocene wrown popyt na pozosta³e, gorsze jakoœcowo gatunk kruszyw przewy sza poda, jak¹ mog¹ zapewnæ. Generowane w ró nych uk³adach odmenne przychody zmen¹ obraz dotychczasowych wyp³at. Kooperacja wrown 1 oraz 2, stosowne do spodzewanych warunków rynkowych jak zdolnoœc produkcyjnych przewduje, e wrowna 2 przes¹dz o przyjêcu strumena urobku w wysokoœc 5000 ton. Oczekwane wówczas przep³ywy fnansowe zestawa tabela 3. Ujêto weñ, jak w dalszych tabelach charakteryzuj¹cych przep³ywy, zmany kosztów przeróbk wynkaj¹ce z dodatkowego obc¹ ena transportem b¹dÿ zwêkszena pozomu produkcj, jak równe spadk kosztów górnczych bêd¹ce pochodn¹ zmnejszonego pozomu wydobyca. Welkoœc mesêcznych przep³ywów fnansowych kooperuj¹cych wrown 1 2 Rate of the monthly cash flow of the cooperatng gravel-pts 1 and 2 TABELA 3 TABLE 3 w. 12 Surowec/tona [t] Cena surowca [z³/t] Przychody [z³] górncze Koszty [z³/t] przeróbcze nesort/5 000 16 80 000 14,0 0,0 krusz. frakcj 0 31,5 mm/2 850 kr. gr. frakcj 16 63 mm/4 750 26 74 100 5,0 7,5 42 199 500 14,0 7,5 ¹czne zysk [z³] Zysk jednostkowy [z³/t] 138 600 11,0 Dla alansu wrown 1 oraz 3 przyjêto, e 30% urobku wrown 1 kerowane bêdze do ln technologcznej wrown 3, a wrowna 3 zmnejszy w³asn¹ produkcjê górncz¹ do

pozomu 5 000 t/mes¹c.tak uk³ad przek³ada sê na przep³ywy fnansowe zagregowane w tabel 4. 75 Welkoœc mesêcznych przep³ywów fnansowych kooperuj¹cych wrown 1 3 Rate of the monthly cash flow of the cooperatng gravel-pts 1 and 3 TABELA 4 TABLE 4 w. 13 Surowec/tona (t) Cena surowca [z³/t] Przychody [z³] górncze Koszty [z³/t] przeróbcze nesort/7 000 16 112 000 14,0 0,0 krusz. kruszone frakcj 0 31,5 mm/4 500 krusz. kruszone frakcj 16 63 mm/2 700 32 144 000 8,0 11,5 56 151 200 14,0 11,5 ¹czne zysk [z³] Zysk jednostkowy [z³/t] 135 200 9,5 Partnerstwo wrown 2 3 w¹ e sê z ogranczenem produkcj górnczej w wrown 2 do pozomu 4000 t skerowanem ca³oœc urobku do zak³adu przeróbczego wrown 3. wrowna 2 zanecha tym samym sprzeda y kruszywa naturalnego frakcj 0 31,5 mm. Umowa ta wygeneruje kolejny, odmenny stan przep³ywów (tab. 5). Welkoœc mesêcznych przep³ywów fnansowych kooperuj¹cych wrown 2 3 Rate of the monthly cash flow of the cooperatng gravel-pts 2 and 3 TABELA 5 TABLE 5 Surowec/tona [t] Cena surowca [z³/t] Przychody [z³] górncze Koszty [z³/t] przeróbcze ¹czne zysk [z³] Zysk jednostkowy [z³/t] w. 23 krusz. kruszone frakcj 0 31,5 mm/3 600 krusz. kruszone frakcj 0 31,5 mm/7 200 32 115 200 6,5 1,0 32 230 400 13,0 11,0 123 600 11,4 Porozumene wszystkch wrown, uwzglêdnaj¹ce przewdywany prognozam pozom konsumpcj kruszyw, umo lwa ustalene asortymentu surowcowego tona u produkcj w naw¹zanu do w³asnych zdolnoœc górnczych przeróbczych. Wachlarz ten obejmuje: produkcjê górncz¹ wrown 1 na pozome 10 000 t/mes¹c, brak produkcj górnczej w wrown 2, produkcjê górncz¹ wrown 3 na pozome 6 000 t/mes¹c, produkcjê nesortu w wysokoœc 2 000 t/mes¹c, przeznaczene urobku do produkcj kruszywa kruszonego frakcj 0 31,5 mm w wymarze 6 000 t/mes¹c,

76 przeznaczene urobku do produkcj kruszywa grubego frakcj 16 63 mm w wymarze 2 000 t/mes¹c, przeznaczene urobku do produkcj kruszywa kruszonego frakcj 16 63 mm w wymarze 3 000 t/mes¹c, przeznaczene urobku do produkcj t³uczna frakcj 16 63 mm w wymarze 3 000 t/mes¹c. Alans trzech wrown po raz kolejny modyfkuje mo lwe do os¹gneca wyp³aty defnowane zyskem jednostkowym. Przep³ywy fnansowe dla tej umowy ujêto w tabel 6. TABELA 6 Welkoœc mesêcznych przep³ywów fnansowych dla wspó³pracy wszystkch wrown TABLE 6 Rate of the monthly cash flow of all cooperatng gravel-pts w. 1, 2, 3 Surowec/tona [t] Cena surowca [z³/t] Przychody [z³] górncze Koszty [z³/t] przeróbcze nesort/2 000 16 32 000 14,0 0,0 krusz. kruszone frakcj 0 31,5mm/5 400 krusz. grube frakcj 16 63 mm/1 900 krusz. kruszone frakcj 16 63 mm/2 700 t³uczeñ frakcj 16 63 mm/2 700 32 172 800 13,0 14,0 42 79 800 4,0 7,5 56 151 200 14,0 14,0 75 202 500 14,0 14,0 ¹czne zysk [z³] Zysk jednostkowy [z³/t] 257 300 17,5 Tak zebrany zarysowany uk³ad wzajemnych zale noœc producentów mo na potraktowaæ jako trzyosobow¹ grê, w której wrowne pownny optymalzowaæ swoje strategczne zachowana.wyp³atam s¹ tutaj jednostkowe zysk, jake zak³ady mog¹ otrzymaæ w ró nych konfguracjach. Wydaje sê, e wszystke strony s¹ zanteresowane wspó³prac¹, a zasadncze pytane odnos sê do sposobu podza³u zysków pomêdzy poszczególnych uczestnków rozgrywk. Dla opsanych kombnacj wyznaczono wobec tego stosown¹ funkcjê charakterystyczn¹ (tab. 7). Funkcja charakterystyczna gry wrown Characterstc functon of the gravel-pts game TABELA 7 TABLE 7 Koalcja S {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} (S) 0 2,0 4,9 6,4 11,0 9,5 11,4 17,5

Welkoœc (S) s¹ oczekwanym pozomam zysku, który ³¹czne os¹gn¹ wrowne zaweraj¹ce porozumene (w jêzyku teor ger zwykle u ywa sê tu termnu koalcja, nemnej pojêce to nezbyt harmonzuje sê z prezentowanym tu opsem sytuacj rynkowej). Gry przedstawane w postac funkcj charakterystycznej (N, ) musz¹ spe³naæ dwe wa ne relacje (Luce, Raffa 1957): wartoœæ pustej koalcj, do której nkt ne przyst¹p³ wynos 0, czyl () =0, je el dla ka dej pary roz³¹cznych koalcj R S zachodz warunek( RS ) ( R) ( S ), jeœl RS { }to spe³naj¹ca go funkcja charakterystyczna nazywana jest superaddytywn¹. Warunek superaddytywnoœc oznacza, e jeœl dwe roz³¹czne koalcje R S zdecyduj¹ sê na po³¹czene utworzene koalcj ( R S ) to zawsze mog¹ sobe zapewnæ co najmnej ( R) ( S ), postêpuj¹c tak samo jak przed po³¹czenem. Koordynacja jednak e czêsto prowadz do podwy szena wyp³at, a sytuacja ta ma mejsce w grze wrown. Gra powy sza jest ponadto tzw. gr¹ stotn¹, w której ca³kowta wyp³ata porozumena wszystkch wrown jest wy sza od sumy wyp³at poszczególnych wrown ndywdualne, co mo na zapsaæ jako (Luce, Raffa 1957): 77 n vn ( ) v({}) 1 (2) Aby wskazaæ nale yte postêpowane graczy nale y powrócæ do sformu³owanych wczeœnej zapytañ o to, która koalcja powstane oraz w jak sposób podzelone zostan¹ wyp³aty. Z obrazu funkcj charakterystycznej wadomo, e welka koalcja (umowa zawarta pomêdzy wszystkm wrownam) jest maksymaln¹ wyp³at¹ przysparza najwy szych zysków jednostkowych. Jeœl x oznacza wyp³atê -tego gracza, to zbór wyp³at wszystkch graczy stanow wektor n lczb rzeczywstych (x 1, x 2,,x n ), a wektor ten pozostaj¹c satysfakcjonuj¹cym dla ka dej ze wrown pownen zadoœæ czynæ dwóm zasadnczym warunkom (Luce, Raffa 1989; Straffn 2004): 1) racjonalnoœc ndywdualnej: x N ({}) (3) 2) racjonalnoœc zborowej (optymalnoœc w sense Pareto): x ( N) (4) N Funkcja charakterystyczna () oznacza wyp³atê gracza, jak¹ gwarantuje sobe bez kooperacj z nnym uczestnkam gry. Neracjonalnym by³oby wk³ane sê w koalcjê, gdyby wyp³aty ma³yby byæ wtedy n sze. By ostateczne poszukaæ rozw¹zana gry wrown konecznym pozostaje omówene sygnalzowanego ju pojêca mputacj. Imputacj¹ (podza³em) wyp³at w grze w postac

78 funkcj charakterystycznej jest n-wymarowy wektor spe³naj¹cy krytera ndywdualnej zborowej racjonalnoœc. Ostatecznym rozstrzygnêcem gry n-osobowej jest zaœ znalezene pojedynczej mputacj lub zboru mputacj, które mog¹ stanowæ akceptowaln¹ dla graczy propozycjê podza³u zysków. Zadane to nestety ne jest proste, gdy gra jest stotna, w której to lczba mputacj jest neskoñczona. W sytuacj, gdy zbór mputacj jest tak lczny nale y d¹ yæ do zawê ena mputacj gry. Von Neumann Morgenstern (1944) sugerowal poszukwane zboru mputacj stablnych, jako pewnego zawê ena mputacj. Koncepcja zborów stablnych okaza³a sê jednak zbyt ogólna by byæ dostateczne u yteczna (Owen 1975). Innym sposobem jest pos³u ene sê tzw. rdzenem gry (ang. core) zdefnowanym przez Gllesa (1959 fde Thomas 1986). Rdzenem gry w postac funkcj charakterystycznej jest zbór wszystkch nezdomnowanych mputacj (x 1, x 2,,x n ), a wêc pewnym zawê- enem ca³ego zboru mputacj takm, e (Thomas 1986): x S N S ( S ) (5) Warunek ten jest pewnym rozszerzenem warunków racjonalnoœc ndywdualnej zborowej bywa nazywany warunkem racjonalnoœc koalcyjnej (Straffn 2004) dla koalcj lcz¹cych od 1 do n cz³onków. Ustalona mputacja nale y do rdzena, gdy cz³onkowe wszystkch koalcj S otrzymuj¹ ³¹czne wyp³atê co najmnej tak¹, jak¹ S mo e sobe zagwarantowaæ. Rdzeñ gry jest domknêtym zborem wypuk³ym, a ka da mputacja nale ¹ca do nego jest stablna w tym sense, e ne stneje koalcja, która jednoczeœne chca³aby mog³aby zmenæ wynk gry. Bywa jednakowo, e rdzeñ gry jest zborem pustym, a sytuacja ta zachodz dla ger stotnych o sta³ej sume. Zbór mputacj w grze wrown ne bêdze zborem pustym, ponewa zawsze jest spe³nona nerównoœæ ({}) ( N), zaœ mputacja (x 1, x 2, x 3 ) nale y do rdzena gry, je el: N x 1 (1), x 2 (2), x 3 (3), x 1 + x 2 (1, 2), x 1 + x 3 (1, 3), x 2 + x 3 (2, 3). Uwzglêdnaj¹c konkretne welkoœc lczbowe pamêtaj¹c o warunku racjonalnoœc grupowej uzyskwane jest: x1 x2 1164, x3 65,, x1 x3 95, 49, x2 8, x2 x3 114, 2 x1 61,. Rdzeñ gry ne jest pusty (rys. 1). Ca³y obszar trójk¹ta to mo lwe mputacje gry, a gracze preferuj¹ jako rozw¹zane te mputacje, które le ¹ najbl ej ch werzcho³ków. Zaczernony trapez odzwercedlaj¹cy rdzeñ znacz¹co obn a loœæ dostêpnych rozw¹zañ, nemnej wybór satysfakcjonuj¹cej wszystkch uczestnków mputacj nadal ne jest kla-

rowny ne zapewna precyzyjnego rozw¹zana. Dla gry polczono w tej sytuacj dodatkowe, wybrane, pojedyncze rozw¹zana bazuj¹ce na: wartoœc Shapleya, nukleoluse, punkce Gately ego oraz rozw¹zanu K. 79 Rys. 1. Rdzeñ gry wrown Fg. 1. Core of the gravel-pts game Wartoœæ Shapleya (1953 fde Luce, Raffa 1957) jest najwa nejsz¹ najczêœcej stosowan¹ metod¹ sprawedlwego podza³u w teor ger. Ma ona ogromne zalety, z których najstotnejsz¹ jest to, e przypsuje grze tylko jedno rozw¹zane oraz uwzglêdna w nm krytera racjonalnoœc s³ê poszczególnych graczy, wynkaj¹c¹ z funkcj charakterystycznej. Wartoœæ ta ma jednak e du o mnejsze zastosowane w grach, w których du ¹ rolê odgrywaj¹ czynnk psychologczne, ndywdualne cechy graczy (np. umejêtnoœc targowana sê n.). Teora Shapleya wymaga ponadto slnych za³o eñ o u ytecznoœc, które musz¹ byæ take same zarówno dla pojedynczych graczy jak pozosta³ych, w ka dej z mo lwych koalcj. St¹d wszyscy gracze wszystke koalcje przypsuj¹ przyrostom wyp³at (wynkaj¹cym z w³¹czena gracza do koalcj) te same u ytecznoœc. W przyk³adze, u ytecznoœcam wrown s¹ zysk otrzymywane ze zbytu ró norodnego jakoœcowo surowca, spe³naj¹ zatem postawone warunk. Ka dy g³êbej przetworzony surowec podnos jego wartoœæ, a ta z kole aktywuje wy szy pozom zysku, który mo e byæ podzelony pomêdzy zak³ady górncze. Imputacja Shapleya wyznaczana jest na podstawe ogólnego wzoru: 1 ( ) ( s1)! ( ns)! [ ( S ) ( S {})] n! S (6)

80 Zbór wartoœc ( )dla wszystkch graczy nazywany wektorem gry Shapleya obrazuje pewn¹ propozycjê podza³u wyp³at w grze koalcyjnej. Ze wzglêdu na sposób jego konstrukcj nterpretowany jest jako œredn oczekwany podza³ w grze przy rozegranu du ej loœc part. W grze wrown wektor ten (stosowne, czysto schematyczne oblczena pomnêto) wynos x 1 = 4,23 z³/t; x 2 = 6,63 z³/t; x 3 = 6,63 z³/t. Wektor ne nale y do rdzena jest perwsz¹ z mo lwych do zaakceptowana propozycj podza³u zysków ze sprzeda y kruszywowego asortymentu surowcowego pomêdzy wrownam. Wartoœæ ta dla wrown obrazuje œredn¹ wartoœæ, jak¹ wnos do tworzonego porozumena pomêdzy wszystkm zak³adam, przy za³o enu, e ka da z mo lwych kolejnoœc powstana koalcj jest dentyczne prawdopodobna. Kolejna koncepcja poszukwana pojedynczego rozw¹zana gry wrown mo e byæ zrealzowana w odnesenu do pojêca przetargu znanego pod nazw¹ nukleolusa (Schmedler 1969). Sposób ten dotyczy zarówno ger z pustym jak nepustym rdzenem. W perwszym przypadku poszukwana jest taka mputacja, która jest najbl ej spe³nena warunku dla rdzena. Jest n¹ np. mputacja, dla której najwêksze przekroczena warunku dla rdzena s¹, spoœród wszystkch mputacj, najmnejsze. Przekroczenem (ró nc¹) dla ka dej mputacj ka dej koalcj (Thomas 2003; Straffn 2004) jest: e ( x) ( S ) x (7) x S N S S Przekroczene e S (x) jest ró nc¹ pomêdzy tym, co cz³onkowe umowy moglby sobe zapewnæ, decyduj¹c sê na wspó³dza³ane, a tym, co przewduje dla nch ³¹czne mputacja x. Dla ger posadaj¹cych rdzeñ wszystke przekroczena s¹ ujemne lub co najwy ej równe 0. Wyznaczana jest zatem taka mputacja, dla której wartoœæ bezwzglêdna przekroczena jest jak najwêksza. Geometryczne jest to punkt le ¹cy najdalej od brzegów fgury wyznaczaj¹cej rdzeñ (rys. 1). Z rysunku wadomo, e wartoœæ wyp³aty dla wrown 3 wynos 6,45 z³/t. Przyjmuj¹c wobec tego dowoln¹ mputacjê np.: x 1 = 5,00; x 2 = 6,05; x 3 =6,45 stosowne przekroczena wynosz¹: e {1} (x) = 3, e {2} (x) = 1,15, e {3} (x) = 0,05, e {1,2} (x) = 0,05, e {1,3} (x) = 1,95, e {2,3} (x) = 1,1, e {1,2,3} (x) =0. Ne jest mo lwym obn ene przekroczena porozumena z³o onego ze wszystkch wrown, jak równe przekroczena e {3} (x). Mast tego mo na obn yæ wyp³atê wrown 1 przekazaæ j¹ wrown 2 d¹ ¹c przy okazj do zrównana tych przekroczeñ. Ne ulegne wtedy zmane przekroczene e {1,2} (x). Uzyskwane wtedy jest: 2 x 1 =4,9 x 2,st¹d x 1 = 4,08, zaœ x 2 = 6,97. Imputacja x 1 = 4,08 z³/t; x 2 = 6,97 z³/t; x 3 = 6,45 z³/t jest poszukwanym nukleolusem gry.

Punkt Gately ego (1974 fde Straffn 2004), jako nastêpna dea rozw¹zana w grze wrown opera sê na nastêpuj¹cym rozumowanu. Jeœl w grze zaproponowano propozycjê podza³u wyp³at w postac mputacj x =(x, x 2, x 3 ) wrowna 1 jest nezbêdna do powstana uk³adu z³o onego ze wszystkch zak³adówto zdarzene zw¹zane z jej neprzyst¹penem do porozumena spowoduje, e wrowne 2 3 strac¹ ³¹czne x 2 + x 3 (2, 3), czyl ró ncê pomêdzy tym, co wynka z mputacj a tym, co zyskaj¹ podejmuj¹c kooperacjê dwuosobow¹ mêdzy sob¹. Oczywste jest, e wrowna 1 te ponese stratê wynosz¹c¹ x 1 (1). Stosunek tych dwóch wartoœc zosta³ zdefnowany przez Gately ego jako sk³onnoœæ do zerwana umowy wszystkch graczy przez gracza 1 (Straffn 2004): 81 d ( x) j j x x ( N ) () (8) Przy wysokm wskaÿnku d(x) gracz mo e stwerdzæ, e zrywa koalcjê, trac¹c na tym, jednak e pozostal gracze trac¹ wtedy wêcej. W grze wrown stosowne sk³onnoœc dla wyjœcowej mputacj x 1 = 5,00; x 2 = 6,05; x 3 = 6,45 wynosz¹: d 1 (x) = 0,37, d 2 (x) = 1,69, d 3 (x) =1. W grze z tak¹ propozycj¹ wyp³at sk³onnoœæ do opuszczena porozumena jest najwy sza u wrown 2. Ponos wtedy stratê w wysokoœc 1,15 z³/t, lecz pozostal zw³aszcza wrowna 1 trac wêcej. Motywacj¹ wrown 2 do neopuszczana porozumena jest poprawa mputacj poprzez podwy szene jego wyp³at kosztem pozosta³ych wrown, lub przynajmnej jednej z nch. Mnmalzacja maksymalnej sk³onnoœc do zerwana umowy wszystkch zak³adów przez pojedyncze wrowne zachodzæ bêdze wtedy, gdy wspó³czynnk sk³onnoœc bêd¹ sobe równe. W nastêpstwe tego za³o ena dla znormalzowanej wzglêdem 0 1 (procedurê normalzacj szczegó³owo opsuje np. Kowalk (2007)) funkcj charakterystycznej gry wrown wylczono punkt Gatel yego wed³ug formu³y (Straffn 2004): d ( x) x ( N ) ( N) x ( N ) ( N ) ( N ) (9) 1 x () x x j j Jako e w przypadku mputacj zachodz z defncj x N = (N) to aby wszystke d (x) by³y równe wszystke x musz¹ byæ do sebe w takej samej proporcj jak poszczególne wartoœc do sebe. Opuszczaj¹c detale rachunkowe sposobna mputacja jaw sê nastêpuj¹co: x 1 = 4,36 z³/t; x 2 = 6,68 z³/t; x 3 = 6,46 z³/t; dla nej wspó³czynnk sk³onnoœc graczy do zerwana porozumena s¹ sobe równe wynosz¹ 0,74.

82 Kowalk (2007), jako rozw¹zane K gry n-osobowej, proponuje nastêpuj¹c¹ mputacjê: x =(x 1, x 2,,x n )=(({1}) + k 1, ({2}) + k 2,,({n}) + k n ), czyl: x = ({}) + k (10) Zale noœæ ta gwarantuje ka demu z graczy wyp³atê wy sz¹, jeœl wst¹p do koalcj z³o onej ze wszystkch graczy, n gdyby rozgrywa³ grê samodzelne. Suma dodatków k jest ró nc¹ pomêdzy wyp³at¹ dla welkej koalcj a sum¹ wyp³at ndywdualnych dla graczy, co w matematycznym zapse ma postaæ: n k ( N ) ({}) 1 n 1 (11) Powy sza propozycja rozw¹zana mo e byæ stosowana zarówno do ger z rdzenem jak ger, gdze rdzeñ ów ne wystêpuje. Dodatkowe wyp³aty k wynkaj¹ ze œrednch wygranych przypadaj¹cych na gracza w ka dej koalcj, gdze t oznacza lczebnoœæ koalcj. Suma œrednch wyp³at dla gracza ze wszystkch mo lwych koalcj jest ujmowana wspó³czynnkem: ( S ) t S : S (12) Welkoœæ rozdzelana jest pomêdzy poszczególne dodatk k proporcjonalne do wspó³czynnków : k n j1 (13) Realzuj¹c oblczena dla gry wrownu zyskano nastêpuj¹ce dodatkowe wyp³aty wspó³czynnk: =4,2, 1 = 18,08, 2 = 21,93, 3 = 22,68, k 1 = 1,21, k 2 = 1,47, k 3 = 1,52. Adekwatna mputacja wynos x 1 = 3,21 z³/t; x 2 = 6,37 z³/t; x 3 = 7,92 z³/t.

83 Wnosk Nemal zawsze decyzje podejmowane przez uczestnków dowolnego rynku musz¹ uwzglêdnaæ stnene nnych podmotów dostarczaj¹cych podobnych dóbr. Postêpowane strategczne opera sê na programowanu zachowana zaanga owana posadanych zasobów w okreœlonej jednostce czasu. Konsekwencj¹ tego wnno byæ podnesene konkurencyjnoœc zak³adu, które w¹ e sê zazwyczaj z stotnym zmanam strukturalnym w zakrese zarzadzana jak oferowanego towaru. W rozpatrywanych na ³amach artyku³u przyk³adach producenc mogl zaanga owaæ sê (b¹dÿ ne) w okreœlone uk³ady, które by³y w stane przysparzaæ dodatkowych proftów. W grze wrown kooperacyjna umowa producentów kruszyw ³¹czy³a sê z jednej strony z modyfkacj¹ asortymentu surowcowego oraz zman¹ struktury kosztów produkcj, z drugej zaœ skutkowa³a podwy szenem mo lwych do os¹gneca zysków. Ka dy z mo lwych uk³adów by³ korzystny dla wszystkch podmotów. Nektóre z uk³adów generowa³y znacz¹ce podwy k zysku jednostkowego, choæby porozumene wrown 1 2, podwy szaj¹ce go ³¹czne o 4,1 z³/t. Najmnej prawdopodobna wydawa³a sê umowa wrown 2 3, gdy przyrost zysku by³ okreœlany tam e na pozome 0,1 z³/t, tudze wspó³praca wszystkch zak³adów pozwala³a wygenerowaæ mo lw¹ podwy kê zysku rzêdu 4,2 z³/t. Bazuj¹c na teor ger n-osobowych zaproponowano w takej sytuacj rozw¹zana, które wnny satysfakcjonowaæ wszystkch zanteresowanych. Wskazano w tym celu klka mputacj, które zestawono w tabel 8. Proponowane podza³y wyp³at [z³/t] w grze wrown Suggested dvsons of payoffs [PLN/t] n the gravel-pts game TABELA 8 TABLE 8 Kryterum podza³u wrowna 1 wrowna 2 wrowna 3 Shapleya 4,23 6,63 6,63 nukleolus 4,08 6,97 6,45 Gately ego 4,36 6,68 6,46 K 3,21 6,37 7,92 Perwsze trzy mputacje oferuj¹ bardzo zbl one rozw¹zana gry. Przyjmuj¹c jedno z nch za ostateczne rozw¹zane, new¹tplwe najbardzej skorzysta nañ wrowna 1. Porozumene wszystkch wrown przysporzy jej ponad dwukrotnego pomno ena zysków. Za uznanem np. nukleolusa, jako rozw¹zana gry przemawa fakt, e zapewna on pewn¹ stablnoœæ w grze (Straffn 2004). Dalszym plusem na korzyœæ nukleolusa jest to, w sytuacjach, gdy rdzeñ gry ne jest pusty zawsze do nego nale y, w przecweñstwe np. do wartoœc Shapleya (w przyk³adze wartoœæ ta jest poza rdzenem gry). Tak e rozw¹zane K znajduje sê poza rdzenem wydaje sê, e wrowna 1 mo e ne byæ sk³onna

84 przystaæ na proponowany przezeñ podza³ wyp³at. Najwêkszy przyrost wygranych w stosunku do uk³adu, gdy zak³ady ne tworz¹ porozumena dza³aj¹ na w³asn¹ rêkê, obserwowany jest dla wrown 1, co zdradza s³ê pozycj przetargowej tego gracza. Wszak to wrowna 1 dysponuje najwy szej jakoœc kopaln¹ dostarcza jej do produkcj najwy - szych gatunkowo najdro szych cenowo kruszyw kruszonych oraz t³uczna. wrowna 3, zwêkszaj¹ca do maksmum zdolnoœc przeróbcze, zapewne preferowa³aby podza³ wyp³at wynkaj¹cy z rozw¹zana K. Ne bez znaczena pozostaje te fakt, w stosunku do perwotnego pu³apu eksploatacj górnczej zak³adów (26 000 t/mes¹c), wolumen ten obn a sê do pozomu 16 000 t/mes¹c, co zapewna d³u sz¹ wystarczalnoœæ zasobów jak wpsuje sê w nurt ch ochrony. W sytuacj, gdy pomêdzy graczam ne s¹ obserwowane sk³onnoœc do zawarca koalcj w analze ger n-osobowych uwzglêdnane s¹ tzw. wyp³aty uboczne (Luce, Raffa 1957; Straffn 2004). Wyp³ata uboczna to pewna welkoœæ wyp³at jednego z graczy przekazywana nnemu, gdy ten zechce zaw¹zaæ z nm koalcjê. Przekazywane wyp³at ubocznych mo e sê odbywaæ pomêdzy wszystkm graczam, jednak e przy zasadnczym za³o enu, e wyp³aty te musz¹ byæ transferowalne pomêdzy graczam oraz meæ porównywaln¹ wartoœæ dla graczy dokonuj¹cych przenesena. Przekazywane wyp³at ubocznych jest z regu³y nelegalne, a taka równowaga, ustalona dla kooperacj bywa nazywana zmow¹ producentów czêsto jest prawne zakazana. Prezentowana analza zachowañ podmotów ogranczona jest tu tylko do opcj wynkaj¹cych z model teor ger n-osobowych. Oczywstym jest, e w rzeczywstoœc mo - lwych jest wele nnych scenaruszy, a przedstawony tu beg spraw jest jednym z mo - lwych, aczkolwek ca³kem prawdopodobnych przybl eñ. Praca wykonana w ramach badañ statutowych AGH nr 11.11.140.560. Nezmerne m³ym obow¹zkem autora jest z³o ene szczerych podzêkowañ anonmowym Recenzentom, których wys³ek, wnklwoœæ oraz skrupulatne merytoryczne uwag prze³o y³y sê na gruntowne sprecyzowane treœc artyku³u, jak wydobyce kwntesencj przekazu w stosunku do wersj perwotnej. LITERATURA B o y c e G., 1997 The Western Mnng Corporaton-Hanna/Homestake Jont Venture: Game Theory and Inter-organzatonal Cooperaton, Australan Economc Hstory Revew vol. 37, no. 3, s. 202 221. H e n d r c k s K., P o r t e r R.H., T a n G., 1993 Optmal Sellng Strateges for Ol and Gas Leases wth an Informed Buyer. The Amercan Economc Revew vol. 83, no. 2, s. 234 239. H e n d r c k s K., P o r t e r R.H., W l s o n Ch. 1994 Auctons for Ol and Gas Leases wth an Informed Bdder and a Random Reservaton Prce, Econometrca vol. 62, no. 6, s. 1415 1444. K o w a l k S., 2007 Teora ger z zastosowanam górnczym. Wyd. Poltechnk Œl¹skej, Glwce. Leyton-Brown K., Shoham Y., 2008 Essentals of Game Theory: A Concse, Multdscplnary Introducton. e-book, Morgan & Claypool Publsher. L u c e R.D., R a f f a H., 1989 Games and Decsons.Introducton and Crtcal Survey. Unabrdged and unaltered republcaton of the frst work publshed n 1957. Dover Publcatons, Inc. New York.

85 O w e n G., 1975 Teora ger. PWN, Warszawa. P e l t o R., 1971 The Statstcal Structure of Bddng for Ol and Mneral Rghts. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, vol. 66, no. 335, s. 456 460. P o r t e r R.H., 1995 The Role of Informaton n U.S. Offshore Ol and Gas Lease Aucton. Econometrca, vol. 63, no.1,p.1 27. S c h m e d l e r D., 1969 The Nucleolus of a Characterstc Functon Game. SIAM Journal on Appled Mathematcs, vol. 17, no. 6, s. 1163 1170. S t r a f f n P.D., 2004 Teora ger. Wydawnctwo Naukowe Scholar,Warszawa. T h o m a s L.C., 2003 Games, Theory and Applcatons. Slghtly corrected, unabrdged republcaton of the 1986 edton. Dover Publcatons, Inc. New York. V o n N e u m a n n J., M o r g e n s t e r n O., 2007 Theory of Games and Economc Behavor. Fourth prntng, and frst paperback prntng, of Sxteth Annversary Edton. Prnceton Unversty Press. KONCEPCJA ZACHOWAÑ STRATEGICZNYCH NA LOKALNYM RYNKU SUROWCOWYM W MODELU GRY n-osobowej ZARYS PROBLEMU S³owa kluczowe Rynek surowcowy, kooperacja, gry n-osobowe, mputacja, stratega Streszczene Rynk surowcowe, pommo welu zazwyczaj wspólnych cech z nnym rynkam, s¹ rynkam osoblwym, a ch funkcjonowane odbega nekedy od prawde³ wolnego rynku. Wynka to ze specyfk pozyskana dobra bêd¹cego przedmotem obrotu handlowego. Zmany poda y welu strategcznych surowców mneralnych s¹ na ogó³ znaczne wczeœnej sygnalzowane (weloletn cykl nwestycyjny od rozpoznana z³o a do udostêpnena górnczego), rozwjaj¹ sê wolno neelastyczne. Zapotrzebowane na surowce pospolte ma czêsto wyraÿny, konunkturalny charakter. Wspóln¹ cech¹ dla rynków surowcowych, jak rynków pozosta³ych dóbr jest jednak e fakt, s¹ one mejscem neustannej rozgrywk, a zachowane poszczególnych podmotów mo na na ogó³ sprowadzæ do dwóch typów strateg: konkurencj lub kooperacj. W artykule przypomnano znany z lteratury model gry zw¹zany z rynkem ropy naftowej. Operaj¹c sê na trzypodmotowym rynku producentów kruszyw podjêto próbê modelowana zachowañ przedsêborców. W analze wykorzystano za³o ena teor ger n-osobowych, które umo lwaj¹ ocenê zasadnoœæ tworzena ró norodnych koalcj. Pokazano mo lwe stratege dza³ana, wynkaj¹ce zarówno ze wspó³pracy zak³adów jak jej zanechana. Dla ewentualnych alansów oszacowano mo lwe do os¹gnêca wyp³aty zaproponowano ch podza³ pomêdzy uczestnków tworz¹cych koalcjê. CONCEPTION OF STRATEGIC BEHAVIOURS ON THE LOCAL MINERAL MARKET IN THE n-person GAME MODEL ISSUE OUTLINE Key words Mneral market, cooperaton, n-person games, mputaton, strategy Abstract Mneral markets, n spte of many common features wth other goods markets, are dstnctve. Ther functonng sometmes devates from the rules of the free market. Ths feature results from the specfcty of acqurng the good beng an object of trade. In general, changes n the supply of strategc raw materals are

86 ndcated earler (characterzed by a lengthy nvestment cycle from depost reconnassance to mnng development), develop slowly, andare nelastc. Demand for common mneral raw materals often has a clear and economc character. However, mneral markets as well as markets of other goods have a common feature the fact that both are a place where an ncessant game s beng played. In general, two types of strategc behavours are dstngushed: competton or cooperaton. Ths paper recalls an exstng model known as the ol market game. Based on a three-entty market of aggregate producers, an attempt has been made to model entrepreneurs behavour. The analyss apples n-person game theory. Game theory enables the evaluaton of dverse potental coaltons formng. Possble strateges of actvty comng from the prospect of cooperaton (or ts omsson) are presented. Expected payoffs are estmatedfor possble allances. Proposals forthe dvson of the payoffsamong the partcpants formng the coalton are also suggested.