Wykłady z Analizy Matematycznej III

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej III Marek Jarnicki (Wersja z 5 września 2010

Spis treści Rozdział 1. Wstęp............................................................................. 1 1.1. Przestrzenie topologiczne.............................................................. 1 1.2. Przestrzenie metryczne................................................................ 5 1.3. Funkcje półciągłe..................................................................... 12 1.4. Przestrzenie unormowane I............................................................ 14 1.5. Rodziny sumowalne................................................................... 23 1.6. * Twierdzenie Lévy ego Steinitza...................................................... 29 1.7. Szeregi potęgowe...................................................................... 33 1.8. Operator odwracania w algebrach Banacha............................................ 33 1.9. Twierdzenie aproksymacyjne Stone a Weierstrassa.................................... 35 Rozdział 2. Różniczkowanie odwzorowań....................................................... 41 2.1. Różniczkowanie odwzorowań zmiennej rzeczywistej o wartościach w przestrzeni unormowanej................................................................... 41 2.2. Wzór Taylora......................................................................... 50 2.3. Szereg Taylora........................................................................ 53 2.4. Funkcje analityczne................................................................... 54 2.5. Pochodne kierunkowe................................................................. 56 2.6. Różniczkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni unormowanej................ 60 2.7. Druga pochodna...................................................................... 68 2.8. Przestrzenie unormowane II........................................................... 73 2.9. Pochodne wyższych rzędów........................................................... 77 2.10. Wzór Taylora......................................................................... 81 2.11. Szereg Taylora........................................................................ 83 2.12. Ekstrema lokalne...................................................................... 85 2.13. Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym i twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym.... 87 2.14. Odwzorowania analityczne............................................................ 95 2.15. Twierdzenie o rzędzie................................................................. 98 2.16. Podrozmaitości....................................................................... 100 2.17. Ekstrema warunkowe................................................................. 106 Rozdział 3. Całka Riemanna.................................................................. 111 3.1. Całka Riemanna na kostce............................................................ 111 3.2. Całka Riemanna na zbiorze regularnym............................................... 120 3.3. Własności całki Riemanna............................................................ 121 3.4. Całki krzywoliniowe. Wzór Greena.................................................... 124 Rozdział 4. Całka Lebesgue a.................................................................. 133 4.1. Repetytorium z teorii miary i całki.................................................... 133 4.2. Całka Riemanna a całka Lebesgue a................................................... 144 4.3. Zasada Cavalieriego................................................................... 145 4.4. Twierdzenie Tonellego................................................................. 147 4.5. Twierdzenie Fubiniego................................................................ 148 4.6. Twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Lebesgue a.................................. 149 4.7. Funkcje dane całką.................................................................... 152 4.8. Splot................................................................................. 154 iii

iv Spis treści 4.9. Regularyzacja......................................................................... 157 4.10. Rozkład jedności...................................................................... 158 4.11. Miara i całka Lebesgue a na podrozmaitościach w R n.................................. 160 Rozdział 5. Twierdzenie Stokesa............................................................... 163 5.1. Orientacja............................................................................ 163 5.2. Formy różniczkowe.................................................................... 168 5.3. Twierdzenie Stokesa................................................................... 180 Rozdział 6. Wybrane rozdziały analizy matematycznej......................................... 189 6.1. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa............................................. 189 6.2. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta............................................ 192 6.3. Szeregi Fouriera. Kryteria zbieżności. Twierdzenie Fejéra.............................. 193 6.4. Równość miary Hausdorffa i Lebesgue a w R n......................................... 200 6.5. Transformacja Fouriera............................................................... 205 Rozdział Oznaczenia........................................................................ 211 Rozdział Literatura cytowana............................................................... 219 Rozdział Indeks nazwisk.................................................................... 221 Rozdział Indeks............................................................................. 223

ROZDZIAŁ 1 Wstęp Streszczenie. Pierwsze dwa podrozdziały będą poświęcone przypomnieniu podstawowych pojęć dotyczących przestrzeni topologicznych i metrycznych. Nie będzie to systematyczny wykład, ale raczej spis najważniejszych definicji, oznaczeń i twierdzeń. Wszystkie cytowane wyniki można znaleźć np. w monografii [Eng 1968]. Odnotujmy, że prawie cały dalszy wykład można ograniczyć do przestrzeni unormowanych (czy też nawet przestrzeni Banacha. Z tego punktu widzenia nie ma potrzeby specjalnego koncentrowania się na ogólnych przestrzeniach metrycznych, czy też topologicznych. Z drugiej jednak strony Czytelnik powinien wyrabiać sobie od samego początku umiejętność dostrzegania istotnych elementów poznawanych twierdzeń, np. istotnych założeń. W szczególności, powinien rozróżniać własności topologiczne, metryczne, własności typowe dla przestrzeni unormowanych, czy też wreszcie własności typowe dla R n. W Podrozdziale 1.3 przedstawimy krótko najważniejsze własności funkcji półciągłych. Podrozdział ten ma dać Czytelnikowi pewien dystans w spojrzeniu na funkcje ciągłe dystans pozwalający na rozróżnienie, które własności funkcji ciągłych są konsekwencjami ich półciągłości (z góry lub z dołu, a które wymagają istotnie ciągłości. Podrozdział 1.4 zawiera przypomnienie podstawowych własności ciągłych odwzorowań liniowych i dwuliniowych w przestrzeniach unormowanych. W szczególności, w podrozdziale tym ustalimy wiele oznaczeń istotnych dla zrozumienia dalszej części wykładu. Kolejny Podrozdział 1.5 jest poświęcony krótkiemu wprowadzeniu do teorii rodzin sumowalnych, będących naturalnym uogólnieniem pojęcia szeregu. Rozdział kończą: krótkie Podrozdziały 1.7 i 1.8 przedstawiające odpowiednio szeregi potęgowe w przestrzeniach Banacha i własności operatora odwracania w algebrach Banacha (wyniki te zostaną wykorzystane w Podrozdziale 2.13 oraz Podrozdział 1.9, w których dowodzimy ważnego twierdzenia aproksymacyjnego Stone a Weierstrassa. 1.1. Przestrzenie topologiczne Definicja 1.1.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X, T, gdzie T P (X ( 1, nazywamy przestrzenią topologiczną, jeżeli:, X T, N N : U 1,..., U N T = U 1 U N T ( ( 2 3, I : (U i i I T = U i T. i I Rodzinę T nazywamy topologią na X. Elementy rodziny T nazywamy zbiorami otwartymi. Topologię T := {, X} nazywamy antydyskretną. Topologię T := P (X nazywamy dyskretną; w topologii dyskretnej każdy zbiór jest otwarty. Z reguły będziemy pisać X zamiast (X, T, o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką topologię chodzi; w tej też sytuacji topologię przestrzeni X będziemy oznaczać top X. Przykład 1.1.2. (a Zbiór liczb rzeczywistych R, jako przestrzeń topologiczną, będziemy zawsze rozważać z topologią euklidesową top R := {U R : a U r>0 : (a r, a + r U}. (b Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R := { } R {+ } rozważamy z topologią a = = r R : [, r U top R := U R : a U a R = r>0 : (a r, a + r U. a = + = r R : (r, + ] U 1.1.3 (Domkniętość. Mówimy, że zbiór F X jest domknięty, jeżeli X \ F T. Rodzina F wszystkich zbiorów domkniętych ma następujące własności: ( 1 P (X oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X. ( 2 N = zbiór liczb naturalnych, 0 N, N0 := N {0}, N k := {n N : n k}. ( 3 Oczywiście, warunek ten wystarczy sprawdzić dla N = 2. 1

2 1. Wstęp, X F, N N : F 1,..., F N F = F 1 F N F, I : (F i i I F = F i F. i I 1.1.4 (Wnętrze, domknięcie, brzeg. Dla A X definiujemy: A = int A = int X A := U = wnętrze zbioru A; U T, U A A = cl A = cl X A := F = domknięcie zbioru A; F F, A F A = X A := A \ A = brzeg zbioru A ( 4. Odnotujmy, że: A T A = int A, A F A = A. 1.1.5 (Gęstość. Jeżeli A = X, to mówimy, że A jest gęsty w X. 1.1.6 (Otoczenie punktu. Jeżeli a int A, to A nazywamy otoczeniem punktu a ( 5. Zbiór wszystkich otoczeń punktu a będziemy czasem oznaczać przez U(a = U X (a. 1.1.7 (Aksjomaty oddzielania. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest: T 0, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b X istnieje zbiór otwarty, do którego należy tylko jeden z nich. T 1, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b X istnieje zbiór otwarty U taki, że a U, b / U. T 2 (Hausdorffa ( 6, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b X istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a U, b V. T 2 1 2 (Urysohna ( 7, jeżeli dla dowolnych różnych punktów a, b X istnieją rozłączne zbiory domknięte U, V takie, że a int U, b int V. T 3 (regularna, jeżeli X T 1 oraz dla dowolnego punktu a X i zbioru domkniętego B takiego, że a / B, istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że a U, B V. T 3 1 2 (Tichonowa ( 8, jeżeli X T 1 oraz dla dowolnego punktu a X i zbioru domkniętego B takiego, że a / B, istnieje funkcja ciągła f : X [0, 1] (zob. (1.1.13 taka, że f(a = 0 oraz f = 1 na B. T 4 (normalna, jeżeli X T 1 oraz dla dowolnych rozłącznych zbiorów domkniętych A, B istnieją rozłączne zbiory otwarte U, V takie, że A U, B V. Wiadomo, że T j T i dla i < j. 1.1.8 (Ciąg zbieżny. Mówiąc o ciągu elementów zbioru X będziemy pisać (x ν ν=1 X lub (x ν ν N X. W przestrzeni topologicznej możemy zdefiniować pojęcie ciągu zbieżnego. Powiemy, że ciąg (x ν ν=1 T X jest zbieżny do elementu x 0 X (w topologii T (krótko: x ν x 0, jeżeli: U U(x0 ν0 N ν ν0 : x ν U. Odnotujmy, że jeżeli X T 2, to ciąg może mieć co najwyżej jedną granicę. ( 9 1.1.9 (Punkt skupienia. Niech A X. Punkt a X nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli dla dowolnego U U(a mamy (U \ {a} A, tzn. istnieje punkt b U A, b a. Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A. Punkty zbioru A\A = nazywamy punktami izolowanymi zbioru A. Zauważmy, że A = A A. ( 4 Można też spotkać oznaczenia ba, czy też FrA. ( 5 Uwaga: Otoczenie punktu nie musi być otwarte. ( 6 Felix Hausdorff (1868 1942 matematyk niemiecki. ( 7 Paweł Samujłowicz Urysohn (1898 1924 matematyk rosyjski. ( 8 Andrej Nikołajewicz Tichonow (1906 1993 matematyk rosyjski. ( 9 Pojęciem ciągu zbieżnego będziemy się posługiwać wyłącznie w przestrzeniach Hausdorffa.

1.1. Przestrzenie topologiczne 3 1.1.10 (Topologia indukowana. Jeżeli Y X, to rodzina T Y := {U Y : U T } jest topologią na Y ; nazywamy ją topologią indukowaną, zaś (Y, T Y nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni (X, T. Odnotujmy, że: X T 2 = Y T 2, top R R = top R, zbiór A Y jest domknięty w Y wtedy i tylko wtedy, gdy A = F Y, gdzie F jest domknięty w X. 1.1.11 (Topologia iloczynu kartezjańskiego. Jeżeli (X 1, T 1,..., (X N, T N są przestrzeniami topologicznymi, to na X := X 1 X N definiujemy topologię iloczynu kartezjańskiego T := {U X : a U U1 T 1,...,U N T N : a U 1 U N U}. W ten sposób definiujemy np. top R n. 1.1.12 (Ciągłość w punkcie. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X Y. Mówimy, że odwzorowanie f jest ciągłe w punkcie a X (f C(X, Y ; a, jeżeli f 1 (V U(a dla dowolnego V U(f(a. Odnotujmy, że: f C(X, Y ; a, a Z X = f Z C(Z, Y ; a. Dla f : X Z Y mamy: f C(X, Y ; a f C(X, Z; a. f C(X, Y ; a, g C(Y, Z; f(a = g f C(X, Z; a. Dla f = (f 1,..., f N : X Y 1 Y N, przy czym Y 1,..., Y N, mamy: f C(X, Y 1 Y N ; a f j C(X, Y j ; a, j = 1,..., N. 1.1.13 (Ciągłość. Odwzorowanie f : X Y nazywamy ciągłym (f C(X, Y, jeżeli f C(X, Y ; a dla dowolnego a X. Niech C(X := C(X, R. Następujące warunki są równoważne: f C(X, Y ; f 1 (V top X dla dowolnego V top Y ; f 1 (L jest domknięty w X dla dowolnego L Y domkniętego w Y. Odnotujmy następujące własności: f C(X, Y, Z X = f Z C(Z, Y. Dla f : X Z Y mamy: f C(X, Y f C(X, Z. f C(X, Y, g C(Y, Z = g f C(X, Z. Dla f = (f 1,..., f N : X Y 1 Y N, przy czym Y 1,..., Y N, mamy: f C(X, Y 1 Y N f j C(X, Y j, j = 1,..., N, projekcje X 1 X N X j, j = 1,..., N, są ciągłe. 1.1.14. Odwzorowanie f : X Y nazywamy homeomorfizmem, jeżeli jest bijektywne, ciągłe i f 1 jest ciągłe ( 10. 1.1.15 (Zwartość. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest zwarta (X jest kompaktem, jeżeli X T 2 oraz dla dowolnego pokrycia otwartego zbioru X istnieje podpokrycie skończone, tzn. dla dowolnej rodziny (U i i I top X takiej, że U i = X, istnieje N N oraz i 1,..., i N I, dla których U i1 U in = X. i I Jeżeli X T 2, to mówimy, że zbiór K X jest zwarty (jest kompaktem, jeżeli K z topologią indukowaną jest przestrzenią zwartą, tzn. dla dowolnego pokrycia otwartego K U i istnieje podpokrycie skończone takie, że K U i1 U in. Zbiór A X nazywamy relatywnie zwartym (krótko: A X, jeżeli A jest zbiorem zwartym. Odnotujmy, że: Jeżeli X T 2 i K X jest zwarty, to K jest domknięty. Jeżeli X jest przestrzenią zwartą i K X jest domknięty, to K jest zwarty. Jeżeli f C(X, Y, X jest zwarta, Y T 2, to f(x jest zbiorem zwartym (twierdzenie o zachowaniu zwartości. ( 10 Bijektywność i ciągłość f nie implikują ciągłości f 1 Ćwiczenie; tu i dalej Ćwiczenie oznacza element (np. dowód/przykład pozostawiony do samodzielnego wykonania/znalezienia i stanowiący niezbywalny element wykładu. i I

4 1. Wstęp Jeżeli f : X Y jest ciągłą bijekcją pomiędzy przestrzeniami zwartymi, to f jest homeomorfizmem. Dla X 1,..., X N mamy: X 1,..., X N są przestrzeniami zwartymi X 1 X N jest przestrzenią zwartą. 1.1.16. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej Hausdorffa X niech C 0 (X oznacza zbiór tych wszystkich funkcji f C(X, dla których istnieje zbiór zwarty K = K(f X taki, że f = 0 poza K ( 11 ; C 0 (X jest podprzestrzenią C(X. 1.1.17 (Przestrzenie lokalnie zwarte. Rozkład jedności. Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, tzn. każdy punkt x X ma otoczenie U takie, że U jest przestrzenią zwartą. Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest T 3 1 2. (a Dla dowolnego zbioru zwartego K X i dla dowolnego zbioru otwartego U X takiego, że K U istnieje f C 0 (U, [0, 1] taka, że f = 1 na K. (b Twierdzenie o rozkładzie jedności: Dla dowolnego zbioru zwartego K X i dla dowolnego jego pokrycia otwartego U 1,..., U N istnieją funkcje f j C 0 (U j, [0, 1], j = 1,..., N, takie, że f 1 + + f N 1 na X oraz f 1 + + f N = 1 na K. Dowód. Dla dowolnego x K ustalmy j(x {1,..., N} tak, że x U j(x i niech V x będzie relatywnie ( zwartym otoczeniem punktu x takim, że V x U 12 j(x. Wobec zwartości K istnieje skończona liczba punktów x 1,..., x k K takich, że K V x1 V xk. Niech L j := V xi, j = 1,..., N. i {1,...,k}: j(x i=j Na podstawie (a istnieją funkcje g j C 0 (U j, [0, 1], g j = 1 na L j. j = 1,..., N. Zdefiniujmy f 1 := g 1, f 2 := (1 g 1 g 2,..., f N := (1 g 1... (1 g N 1 g N. Oczywiście f j C 0 (U j, [0, 1], j = 1,..., N. Ponadto, f 1 + + f N = 1 (1 g 1... (1 g N. Ponieważ K L 1 L N, zatem f 1 + + f N = 1 na K. 1.1.18 (Spójność. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest spójna, jeżeli nie istnieją zbiory otwarte U, V X takie, że ( U, V, X = U V, U V =. 13 Mówimy, że zbiór A X jest spójny, jeżeli jest spójny w topologii indukowanej, tzn. nie istnieją zbiory otwarte U, V X takie, że U A, V A, A U V, U V A =. Jeżeli f C(X, Y i X jest przestrzenią spójną, to f(x jest zbiorem spójnym (twierdzenie o zachowaniu spójności. Zbiór A R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem. Jeżeli f C(X, R i X jest przestrzenią spójną, to f(x jest przedziałem (własność Darboux ( 14. Dla X 1,..., X N mamy: X 1,..., X N są przestrzeniami spójnymi X 1 X N jest przestrzenią spójną. 1.1.19 (Przestrzenie Lindelöfa ( 15. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią Lindelöfa, jeżeli X T 3 oraz z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie przeliczalne. Dla nas będzie wyłącznie istotny fakt, iż każdy podzbiór R n jest przestrzenią Lindelöfa. ( 11 Czasami używa się też symbolu Cc(X. ( 12 Ponieważ X T3, zatem istnieją rozłączne zbiory otwarte V x, Q takie, że x V x, X \ U j(x Q. Wobec lokalnej zwartości, możemy założyć, że V x jest zbiorem zwartym. Oczywiście, V x X \ Q = X \ Q U j(x. ( 13 Takie zbiory, o ile istnieją, nazywamy rozspojeniem X. Odnotujmy, że są one równocześnie otwarte i domknięte w X. (14 Jean Darboux (1842 1917 matematyk francuski. ( 15 Ernst Lindelöf (1870 1946 matematyk fiński.

1.2. Przestrzenie metryczne 5 1.1.20 (Krzywe. Każde odwzorowanie ciągłe γ : [a, b] X nazywamy krzywą. Zbiór γ := γ([a, b] nazywamy obrazem geometrycznym krzywej γ. γ jest zbiorem spójnym. Jeżeli X T 2, to γ jest zbiorem zwartym. W przyszłości będziemy zawsze utożsamiać krzywą γ : [a, b] X z dowolną krzywą γ σ : [c, d] X, gdzie σ : [c, d] [a, b] jest bijekcją rosnącą (zwaną zmianą parametryzacji. Oczywiście, zmiana parametryzacji nie zmienia obrazu geometrycznego krzywej. W szczególności, można się zawsze ograniczyć do krzywych sparametryzowanych w przedziale [0, 1]. Jeżeli γ : [a, b] X jest krzywą, to: γ(a nazywamy początkiem krzywej, γ(b nazywamy końcem krzywej, jeżeli γ(a = γ(b, to mówimy, że γ jest zamknięta, jeżeli γ jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest łukiem Jordana ( 16 (wtedy, jeżeli X T 2, to γ : [a, b] γ jest homeomorfizmem, jeżeli γ jest zamknięta oraz γ [a,b jest odwzorowaniem injektywnym, to mówimy, że γ jest krzywą Jordana, jeżeli γ : [0, 1] X jest krzywą Jordana, to funkcja σ : T X, gdzie T oznacza okrąg jednostkowy na płaszczyżnie, dana wzorem σ(cos 2πt, sin 2πt := γ(t, t [0, 1], jest ciągłą bijekcją T na γ (jeżeli ponadto X T 2, to σ : T γ jest homeomorfizmem. Dla krzywej γ : [a, b] X definiujemy krzywą przeciwną γ : [a, b] X, γ(t := γ(a + b t. Widać, że ( γ = γ. Dla krzywych γ j : [0, 1] X, j = 1, 2, takich, że γ 1 (1 = γ 2 (0 definiujemy ich sumę { γ 1 (2t dla 0 t 1 γ 1 γ 2 : [0, 1] X, (γ 1 γ 2 (t := 2 γ 2 (2t 1 dla 1 ; 2 t 1 jest to oczywiście krzywa i (γ 1 γ 2 = γ1 γ2. ( 17 1.1.21 (Łukowa spójność. Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeżeli dla dowolnych x, y X istnieje krzywa γ : [a, b] X taka, że γ(a = x, γ(b = y. Każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna (ale nie odwrotnie Ćwiczenie. Dla X 1,..., X N mamy: X 1,..., X N są przestrzeniami łukowo spójnymi X 1 X N jest przestrzenią łukowo spójną. 1.2. Przestrzenie metryczne Definicja 1.2.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Parę (X, ρ, gdzie ρ jest funkcją X X R + (18, nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli spełnione są następujące trzy warunki: x,y X : ρ(x, y = 0 x = y, x,y X : ρ(x, y = ρ(y, x (symetria, x,y,z X : ρ(x, y ρ(x, z + ρ(z, y (nierówność trójkąta. Funkcję ρ nazywamy metryką. Zwykle będziemy pisać X zamiast (X, ρ (o ile z kontekstu będzie wynikać, o jaką metrykę chodzi. Przykład 1.2.2. (a X = R, ρ(x, y := x y. (b X = R, ρ(x, y := arctg x arctg y ( 19. { 1 gdy x y (c X dowolny zbiór, ρ(x, y := = metryka dyskretna. 0 gdy x = y ( 16 Camille Jordan (1838 1922 matematyk francuski. ( 17 Oznaczenia i mają charakter roboczy i nie musimy się do nich zbyt przywiązywać. ( 18 Dla A R definiujemy A+ := {x A : x 0}, A >0 := {x A : x > 0}, np. R + = [0, +. ( 19 arctg(± = ± π 2.

6 1. Wstęp 1.2.3 (Kule. W przestrzeniach metrycznych możemy zdefiniować pojęcia kuli otwartej i kuli domkniętej: B(a, r = B ρ (a, r := {x X : ρ(x, a < r} = kula otwarta o środku w punkcie a X i promieniu r (0, + ] ( 20. B(a, r = B ρ (a, r := {x X : ρ(x, a r} = kula domknięta o środku w punkcie a X i promieniu r 0 ( 21. 1.2.4 (Topologia generowana przez metrykę. Niech (X, ρ będzie przestrzenią metryczną. Topologia generowana przez metrykę ρ, to topologia dana przepisem: top ρ := {U X : a U r>0 : B(a, r U}. Odnotujmy, że: Metryka dyskretna generuje topologię dyskretną. Topologia generowana przez metrykę jest Hausdorffa. Kule otwarte są otwarte. Kule domknięte są domknięte. Na ogół mamy B(a, r B(a, r Ćwiczenie. Kule nie muszą być spójne Ćwiczenie. 1.2.5. Jeżeli X x ν top ρ x 0 X, to dla uproszczenia będziemy pisać x ν ρ x 0 lub jeszcze krócej x ν x 0. Zauważmy, że x ν top ρ x 0 ρ(x ν, x 0 0. Zbiór F X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x ν ν=1 F, jeżeli x ν x 0, to x 0 F. Jeżeli (X, ρ jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru Y X, para (Y, ρ Y Y jest przestrzenią metryczną (ρ Y Y nazywamy metryką indukowaną oraz top(ρ Y Y = (top ρ Y. 1.2.6. Jeżeli ϕ : R + R + jest funkcją niemalejącą, wklęsłą (zob. Ćwiczenie 2.1.15 i taką, że ϕ(ξ = 0 ξ = 0, to ϕ ρ jest metryką dla dowolnej metryki ρ Ćwiczenie ( 22. Dla przykładu, jeżeli ρ jest metryką, to min{ρ, 1} jest metryką. 1.2.7 (Równoważność metryk. Mówimy, że dwie metryki ρ 1, ρ 2 : X X R + są równoważne (ρ 1 ρ 2, jeżeli top ρ 1 = top ρ 2. Jest to relacja równoważności. ( 23 Łatwo widać, że: ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 (xν ν=0 X : (x ν x0 x ν x0. Własności niezmiennicze względem metryk równoważnych (np. zbieżność, ciągłość nazywamy własnościami topologicznymi przestrzeni metrycznej (X, ρ. 1.2.8 (Porównywalność metryk. Mówimy, że dwie metryki ρ 1, ρ 2 : X X R + są porównywalne, jeżeli ρ 1 c 1 ρ α1 2 i ρ 2 c 2 ρ α2 1 dla pewnych stałych c 1, c 2, α 1, α 2 > 0. Porównywalność metryk jest również relacją równoważnościową. Metryki porównywalne są równoważne (ale nie odwrotnie np. ρ min{ρ, 1}, ale metryki te nie muszą być porównywalne Ćwiczenie. Własności niezmiennicze względem metryk porównywalnych nazywamy własnościami metrycznymi przestrzeni (X, ρ. 1.2.9 (Ograniczoność. Zbiór A X jest ograniczony, jeżeli sup ρ(a A < +. Jest to własność metryczna, ale nie topologiczna ( 24. Łatwo widać, że: A jest ograniczony a X r>0 : A B(a, r a X r>0 : A B(a, r. Liczbę diam A := sup ρ(a A nazywamy średnicą zbioru A (w metryce ρ. 1.2.10 (Ciągłość. Jeżeli (X, ρ, (Y, d są przestrzeniami metrycznymi, to dla f : X Y i a X następujące warunki są równoważne: (i f C(X, Y ; a; ( 20 B(a, + = X. ( 21 B(a, 0 = {a}. ( 22 Cała trudność leży w zauważeniu, że ϕ(ξ + η ϕ(ξ + ϕ(η dla dowolnych ξ, η R+. ( 23 Czy metryki ρ i ϕ ρ z punktu 1.2.6 muszą być równoważne? Ćwiczenie. ( 24 Przypomnijmy sobie, że metryka min{ρ, 1} jest globalnie ograniczona.

1.2. Przestrzenie metryczne 7 (ii (Definicja ciągowa Heinego ( 25 (xν ν=1 X : (x ν (iii (Definicja ε δ Cauchy ego ( 26 ρ d a = (f(x ν f(a; ε>0 δ>0 : f(b ρ (a, δ B d (f(a, ε. ( 27 1.2.11 (Jednostajna ciągłość. Mówimy, że odwzorowanie f : X Y jest jednostajnie ciągłe, jeżeli ( ε>0 δ>0 a X : f(b ρ (a, δ B d (f(a, ε. 28 Jednostajna ciągłość jest własnością metryczną ( 29. Odwzorowania jednostajnie ciągłe są ciągłe, ale nie odwrotnie Ćwiczenie. Złożenie odwzorowań jednostajnie ciągłych jest jednostajnie ciągłe. 1.2.12 (Warunki Höldera i Lipschitza. Mówimy, że f : X Y spełnia warunek Höldera z wykładnikiem α > 0 ( 30, jeżeli istnieje stała C > 0 (stała Höldera taka, że d(f(x, f(x Cρ α (x, x, x, x X. Dla α = 1 warunek Höldera nosi nazwę warunku Lipschitza ( 31, a stała stałej Lipschitza. Odwzorowania spełniające warunek Höldera są jednostajnie ciągłe, ale nie odwrotnie Ćwiczenie. Złożenie odwzorowań spełniających warunek Höldera (Lipschitza spełnia warunek Höldera (Lipschitza. Czy jeżeli f : X Y jest homeomorfizmem spełniającym warunek Höldera, to f 1 spełnia również warunek Höldera (być może z innym wykładnikiem? Ćwiczenie. 1.2.13. Przestrzeń metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (x ν ν=1 X można wybrać podciąg zbieżny. Podzbiór K przestrzeń metrycznej X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z dowolnego ciągu (x ν ν=1 K można wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu zbioru K. Zbiór K R n jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony. R jest przestrzenią zwartą. Jeżeli f C(X, R i X jest przestrzenią topologiczną zwartą, to f osiąga kresy na X (twierdzenie Weierstrassa ( 32. Jeżeli f C(X, Y, gdzie (Y, d jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnego zbioru zwartego K X spełniony jest następujący warunek: ε>0 δ>0 a K : f(b ρ (a, δ B d (f(a, ε. W szczególności, jeżeli X jest przestrzenią zwartą, to f jest jednostajnie ciągłe. Dowód. Ponieważ f jest ciągła, zatem dla dowolnego a K istnieje r(a > 0 takie, że f(b ρ (a, r(a B d (f(a, 1 2 ε. Wobec zwartości zbioru K, istnieje skończona liczba punktów a 1,..., a N K takich, że K N i=1 B ρ(a i, 1 2 r(a i. Niech δ := 1 2 min{r(a 1,..., r(a N }. Weźmy dowolny punkt a K, a B ρ (a i0, 1 2 r(a i 0, i niech x B ρ (a, δ. Mamy ρ(x, a i0 ρ(x, a+ρ(a, a i0 δ + 1 2 r(a i 0 r(a i0. Wynika stąd, że d(f(x, f(a i0 1 2 ε i ostatecznie d(f(x, f(a d(f(x, f(a i 0 + d(f(a, f(a i0 ε. 1.2.14. Niech (X 1, ρ 1,..., (X N, ρ N będą przestrzeniami metrycznymi i niech funkcja ϕ : R N + R + (33 będzie taka, że: ϕ(ξ = 0 ξ = 0, ξ η = ϕ(ξ ϕ(η, ( 34 ( 25 Eduard Heine (1821 1881 matematyk niemiecki. ( 26 Augustin Cauchy (1789 1857 matematyk i fizyk francuski. ( 27 Czyli: x X : ρ(x, a δ = d(f(x, f(a ε. ( 28 Czyli: x,x X : ρ(x, x δ = d(f(x, f(x ε. ( 29 Czy jest to własność topologiczna Ćwiczenie. ( 30 Otto Hölder (1859 1937 matematyk niemiecki. ( 31 Rudolf Lipschitz (1832 1903 matematyk niemiecki. ( 32 Karl Weierstrass (1815 1897 matematyk niemiecki. ( 33 R N + := (R + N. ( 34 (ξ1,..., ξ N (η 1,..., η N : ξ j η j, j = 1,..., N.

8 1. Wstęp ϕ(ξ + η ϕ(ξ + ϕ(η, ξ, η R N +. Zdefiniujmy d(x, y := ϕ(ρ 1 (x 1, y 1,..., ρ N (x N, y N, x = (x 1,..., x N, y = (y 1,..., y N X 1 X N. Wtedy d jest metryką Ćwiczenie (por. (1.2.6. W szczególności, jeżeli (X 1, ρ 1,..., (X N, ρ N są przestrzeniami metrycznymi, to każda z poniższych funkcji (X 1 X N 2 R + jest metryką (Ćwiczenie: ( N 1/p d p (x, y : = ρ p j (x j, y j = metryka l p, p 1, ( 35 d (x, y : = max{ρ 1 (x 1, y 1,..., ρ N (x N, y N } = metryka maksimum. W szczególności, metrykami są funkcje: N d 1 (x, y = ρ j (x j, y j = metryka suma, ( N 1/2 d 2 (x, y = ρ 2 j(x j, y j = metryka euklidesowa. Są to metryki porównywalne zadające topologię iloczynu kartezjańskiego ( 36 ; dla dowolnego ciągu (x ν ν=0 X 1 X N, x ν = (x ν,1,..., x ν,n, ν Z +, mamy: x ν x 0 x ν,j x 0,j, j = 1,..., N. 1.2.15. Dla dowolnej metryki ρ : X X R + zachodzi: ρ(x, y ρ(x, y ρ(x, x + ρ(y, y = d 1 ((x, y, (x, y, (x, y, (x, y X X. W szczególności, ρ : X X R + jest funkcją ciągłą. Dla dowolnego zbioru A X definiujemy Wtedy Ponadto, x A ρ(x, A = 0. ρ(x, A := inf{ρ(x, a : a A}, x X. ρ(x, A ρ(y, A ρ(x, y, x, y X. 1.2.16 (Ciągi Cauchy ego. Ciąg (x ν ν=1 X nazywamy ciągiem Cauchy ego w X, jeżeli ε>0 ν0 N ν,µ ν0 : ρ(x ν, x µ ε. To, że dany ciąg jest ciągiem Cauchy ego jest własnością metryczną, ale nie topologiczną. Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy ego. Jeżeli ciąg Cauchy ego zawiera podciąg zbieżny, to cały jest zbieżny. Ciąg (x ν ν=1 X 1 X N jest ciągiem Cauchy ego wtedy i tylko wtedy, gdy (x ν,j ν=1 jest ciągiem Cauchy ego w X j, j =1,..., N. ( 35 Cała trudność w sprawdzeniu, że dp jest metryką leży w wykazaniu nierówności ϕ(ξ + η ϕ(ξ + ϕ(η, gdzie ϕ(ξ := ( ξ 1 p + + ξ N p 1/p, ξ = (ξ 1,..., ξ N R N +, tzn. w wykazaniu nierówności Minkowskiego ( N (ξ j + η j p 1/p ( N ξ p 1/p ( N 1/p, j + η p j ξ, η R N +, p 1. Dowód tej nierówności opiera się na nierówności Höldera N ( N ξ j η j ξ p 1/p ( N 1/q, j η q j ξ, η R N +, p, q 1, 1 p + 1 q = 1. ( 36 d d p N 1/p d Ćwiczenie.

1.2. Przestrzenie metryczne 9 1.2.17 (Zupełność. Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy ego jest zbieżny nazywamy przestrzenią zupełną. Zbiór F X nazywamy zupełnym, jeżeli jest przestrzenią zupełną w metryce indukowanej. R n jest przestrzenią zupełną. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną i F X jest zbiorem zupełnym, to F jest domknięty. Jeżeli X jest przestrzenią zupełną i F X jest zbiorem domkniętym, to F jest zbiorem zupełnym. Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna. Jeżeli f : X Y jest homeomorfizmem dwóch przestrzeni metrycznych (X, ρ i (Y, d, który spełnia warunek Höldera, to z zupełności przestrzeni (Y, d wynika zupełność przestrzeni (X, ρ (Ćwiczenie. W szczególności, wynika stąd, że zupełność jest własnością metryczną. Dla X 1,..., X N mamy: X 1,..., X N są przestrzeniami zupełnymi X 1 X N jest przestrzenią zupełną. 1.2.18 (Twierdzenie Baire a. Zbiór A X nazywamy nigdziegęstym, jeżeli int A = (równoważnie: zbiór X \A jest gęsty. Zbiory postaci A n, gdzie każdy zbiór A n jest nigdziegęsty, nazywamy zbiorami n=1 I kategorii Baire a ( 37. Zbiory nie będące zbiorami I kategorii Baire a noszą nazwę zbiorów II kategorii Baire a. (Twierdzenie Baire a Niech X będzie przestrzenią zupełną i niech Ω n X będzie zbiorem otwartym i gęstym, n N. Wtedy zbiór B := Ω n jest gęsty. Równoważnie: jeżeli A X jest zbiorem n N I kategorii Baire a, to int A =, w szczególności, A X (niepusta przestrzeń zupełna nie jest I kategorii Baire a. 1.2.19 (Granica w punkcie. Niech (X, ρ, (Y, d będą przestrzeniami metrycznymi, A X, a A, f : A \ {a} Y, b Y. Powiemy, że lim f(x = b (granica odwzorowania w punkcie, jeżeli odwzorowanie x a x a { f(x f : A {a} Y, f(x := b gdy x A \ {a}, gdy x = a jest ciągłe w punkcie a, tzn., jeżeli A \ {a} x ν a, to f(x ν b. W przyszłości dla uproszczenia zapisu, będziemy pisać lim f(x zamiast lim x a x a f(x; będziemy również pisać f(x dla podkreślenia roli zbioru A. x a Jeżeli a A, to: f C(A, Y ; a lim f(x = f(a. x a x a lim A x a Jeżeli lim f(x = b i g C(Y, Z; b (Z jest przestrzenią metryczną, to lim g f(x = g(b. x a x a Uwaga: Nie jest prawdą, że jeżeli ϕ C(Z, X; t 0 (Z jest przestrzenią metryczną, ϕ(t 0 = a, t 0 jest punktem skupienia zbioru ϕ 1 (A oraz x a lim f(x = b, to lim f ϕ(t = b Ćwiczenie. t t0 x a t t 0 1.2.20 (Granice górne i dolne. Dla A X, a A, f : A R, przyjmujemy: Oczywiście lim inf x a lim sup x a lim inf x a lim sup x a lim inf x a x a x a f(x := sup{lim sup f(x ν : (x ν ν=1 A, x ν a} R, ν + f(x := inf{lim inf f(x ν : (x ν ν=1 A, x ν a} R. ν + f(x = lim sup( f(x. Mamy: x a f(x = inf r>0 sup{f(x : x B(a, r}, f(x = sup r>0 inf{f(x : x B(a, r}. ( 37 René-Louis Baire (1874 1932 matematyk francuski.

10 1. Wstęp Jeżeli a / A, to granica lim f(x istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf f(x = lim sup f(x (i wtedy, x a x a x a lim inf f(x = lim sup f(x = lim f(x. x a x a x a 1.2.21. Niech X będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d przestrzenią metryczną. Dla ciągu odwzorowań f ν : X Y (ν Z + i zbioru A X wprowadzamy pojęcia: zbieżności punktowej na A: f ν f 0 punktowo na A, jeżeli dla dowolnego x A mamy f ν (x f 0 (x, zbieżności jednostajnej na A: f ν f 0 jednostajnie na A, jeżeli ε>0 ν0 ν ν0 x A : d(f ν (x, f 0 (x ε. Jeżeli Y jest przestrzenią zupełną, to f ν f 0 jednostajnie na A wtedy i tylko wtedy, gdy (f ν ν=1 spełnia na A jednostajny warunek Cauchy ego: ε>0 ν0 ν,µ ν0 x A : d(f ν (x, f µ (x ε. Jeżeli X ma strukturę przestrzeni topologicznej to wprowadzamy dodatkowo pojęcia: zbieżności lokalnie jednostajnej na X: f ν f 0 lokalnie jednostajnie na X, jeżeli dowolny punkt a X ma otoczenie U takie, że f ν f 0 jednostajnie na U, zbieżności niemal jednostajnej na X: f ν f 0 niemal jednostajnie na X, jeżeli dla dowolnego zbioru zwartego K X, f ν f 0 jednostajnie na K. Pojęcia zbieżności lokalnie jednostajnej na X i niemal jednostajnej na X są równoważne w przestrzeniach lokalnie zwartych (np. gdy X jest podprzestrzenią R n. Jeżeli f ν f 0 lokalnie jednostajnie na X oraz f ν C(X, Y ; a, ν N, to f 0 C(X, Y ; a. W szczególności, jeżeli X jest przestrzenią metryczną, f ν f 0 jednostajnie na A, a A \ A, lim f ν(x = b ν, ν N, A x a oraz b ν b 0, to lim f 0(x = b 0 ; innymi słowy: A x a lim ( lim f ν(x = lim ( lim f ν(x. A x a ν + ν + A x a Jeżeli f ν f 0 jednostajnie na X oraz każde odwzorowanie f ν jest jednostajnie ciągłe, to f 0 jest jednostajnie ciągłe. 1.2.22. Niech X będzie dowolnym zbiorem, zaś (Y, d przestrzenią metryczną. Zdefiniujmy B(X, Y := {f : X Y : zbiór f(x jest ograniczony}. W zbiorze B(X, Y wprowadzamy metrykę Czebyszewa ( 38 δ(f, g := sup{d(f(x, g(x : x X}. Zauważmy, że: δ f ν f 0 f ν f 0 jednostajnie na X. Przestrzeń B(X, Y jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Y jest zupełna. Jeżeli X ma ponadto strukturę przestrzeni topologicznej, to definiujemy CB(X, Y := C(X, Y B(X, Y. Zauważmy, że: CB(X, Y = C(X, Y, gdy X jest przestrzenią zwartą. CB(X, Y jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni B(X, Y. Przestrzeń CB(X, Y jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zupełna. 1.2.23 (Funkcje oddzielnie ciągłe. Niech (X, ρ będzie przestrzenią zupełną. Niech (f ν ν=1 C(X i niech f ν f (punktowo, tzn. f jest funkcją I klasy Baire a. Oznaczmy przez N(f zbiór punktów nieciągłości f. Wtedy N(f jest zbiorem I kategorii Baire a. ( 38 Pafnutij Czebyszew (1821 1894 matematyk i mechanik rosyjski.

1.2. Przestrzenie metryczne 11 Dowód. Niech A k,l := {x X : n l : f n (x f l (x 1/k}, k, l N. Zbiór A k,l jest domknięty, zbiór F k,l := A k,l \ int A k,l jest domknięty i nigdziegęsty. Wystarczy więc pokazać, że N(f F k,l. Ustalmy punkt x 0 N(f. Ponieważ (f ν (x 0 ν=1 jest ciągiem Cauchy ego, k,l N zatem dla dowolnego k N istnieje l(k takie, że x 0 A k,l(k. Gdyby x 0 int A k,l(k dla dowolnego k N, wtedy, dla dowolnego k N, istniałoby r k > 0 takie, że B(x 0, r k A k,l(k. Oznacza to, że f n (x f l(k (x 1/k dla x B(x 0, r k i n l(k. W szczególności, f(x f l(k (x 1/k dla x B(x 0, r k. Dla x B(x 0, r k mamy więc f(x f(x 0 f(x f l(k (x + f l(k (x f l(k (x 0 + f l(k (x 0 f(x 0 2/k + f l(k (x f l(k (x 0, co, wobec ciągłości f l(k, dawałoby ciągłość funkcji f w punkcie x 0. Tak więc x 0 F k,l(k dla pewnego k N. Dla dowolnej oddzielnie ciągłej funkcji f : R R n 1 R (tzn. f(x, C(R n 1 i f(, y C(R dla dowolnego (x, y R R n 1 istnieje ciąg (f ν ν=1 C(R n taki, że f ν f ( 39. Dowód. f ν (x, y := ( k+1 ν x 1 ν ( x k f( kν, y + ν 1 f( k+1 ν, y, k k+1 ν x ν, y Rn 1, k Z (1.2.1 ν (dla dowolnego y R n 1, f ν (, y jest funkcją afiniczną na każdym przedziale [ k ν, k+1 ν ]. Jest rzeczą widoczną, że funkcja f ν jest ciągła (bo jest ciągła na każdym pasie [ k ν, k+1 ν ] Rn 1. Ponadto, f ν (x, y f(x, y = ( k+1 ν max{ f( k ν x 1 ν (f( kν, y f(x, y + ( x k ( ν 1 ν f( k+1 ν k+1, y f(x, y, f( ν, y f(x, y }, k ν, y f(x, y x k+1 ν, y Rn 1, k Z. Teraz dla ustalonego punktu (x 0, y 0 R R n 1 oraz ε > 0, dobierzmy δ > 0 takie, że f(x, y 0 f(x 0, y 0 ε dla x x 0 δ. Niech ν 1/δ i niech k ν x 0 k+1 ν. Wtedy z poprzedniego oszacowania dostajemy f ν (x 0, y 0 f(x 0, y 0 ε, co dowodzi, że f ν f punktowo. Jako natychmiastowy wniosek, dostajemy stąd: Jeżeli f : R R n 1 R jest oddzielnie ciągła, to N(f jest zbiorem I kategorii Baire a. Pojawia się naturalne pytanie czy dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : R n1 R n k R (tzn. f(x 1,..., x j 1,, x j+1,..., x k C(R nj dla dowolnych x 1 R n1,..., x k R n k i j {1,..., k} jest I klasy Baire a? Prawdziwy jest następujący wynik: Niech f : R R R }{{} n l R będzie funkcją oddzielnie ciągłą (l 2. Wtedy f jest l tej l klasy Baire a, tzn. istnieje ciąg funkcji (l 1 szej klasy Baire a (f ν ν=1 taki, że f ν f punktowo. Dowód. Dla dowolnej funkcji g : R R n 1 R, zdefiniujmy ciąg (g ν ν=1 tak, jak w (1.2.1 i zauważmy, że: (a jeżeli funkcja g(, y jest ciągła dla dowolnego y R n 1, to g ν g punktowo, (b jeżeli R n 1 = R p R q R r (p, q, r Z +, y = (u, v, w, oraz funkcja g(x, u,, w jest ciągła dla dowolnych (x, u, w R R p R r, to każda z funkcji g ν (, u,, w jest ciągła dla dowolnych (u, w R p R r. Teraz postępujemy następująco: ( 39 Tzn. dowolna funkcja oddzielnie ciągła f : R R n 1 R jest I klasy Baire a.

12 1. Wstęp Stosujemy powyższą konstrukcję do g := f. Wobec (a, do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że każda z funkcji f 1 ν := g ν jest (l 1 szej klasy Baire a. Na podstawie (b, wiemy, że każda funkcja f 1 ν (, x 2,..., x j 1,, x j+1,..., x l, x l+1 jest ciągła dla dowolnych (x 2,..., x l, x l+1 R R R }{{} n l, j = 2,..., l + 1. (l 1 Powtarzamy konstrukcję dla g := fν 1 względem zmiennej x 2. Dostajemy kolejny ciąg aproksymujący (fν 2 ν=1 taki, że każda funkcja fν 2 (,, x 3,..., x j 1,, x j+1,..., x l, x l+1 jest ciągła dla dowolnych (x 3,..., x l, x l+1 R R R }{{} n l, j = 3,..., l + 1. (l 2 Powtarzamy powyższe rozumowanie l razy. Okazuje się, że dla l 2 wynik ten nie może być poprawiony, tzn. istnieją przykłady oddzielnie ciągłych funkcji f, które nie są (l 1 szej klasy Baire a zob. np. Henri Lebesque, Sur les fonctions représentables analytiquement, J. math. pures appliquées (1905, 139 215. 1.2.24 (Metryka Hausdorffa. Dla przestrzeni metrycznej X, niech K(X oznacza rodzinę wszystkich niepustych zwartych podzbiorów X. Dla dowolnego zbioru A K(X, niech Zdefiniujmy h(a, B := max K(A := {K K(X : K A}. { } sup{dist(x, B : x A}, sup{dist(y, A : y B}, A, B K(X. h jest metryką w zbiorze K(X (Ćwiczenie. Jest to tzw. metryka Hausdorffa. (K(A, h jest przestrzenią zwartą dla dowolnego A K(X (Ćwiczenie. h Jeżeli K(A K ν K 0, zaś Φ : A m R + jest dowolną funkcją ciągłą, to sup Φ(Kν m sup Φ(K0 m h (Ćwiczenie. W szczególności, jeżeli K(A K ν K 0, to diam(k ν diam(k 0. 1.3. Funkcje półciągłe Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Definicja 1.3.1. Powiemy, że funkcja u : X R jest półciągła z góry na X, jeżeli dla dowolnego t R zbiór {x X : u(x < t} jest otwarty. Zbiór wszystkich funkcji półciągłych z góry na X będziemy oznaczać przez C (X, R. Powiemy, że u jest półciągła z dołu na X (u C (X, R, jeżeli u C (X, R. Dla dowolnego przedziału R niech Podobnie definiujemy C (X,. C (X, := {u C (X, R : u(x }. Obserwacja 1.3.2. Jeżeli A X jest zbiorem domkniętym, to jego funkcja charakterystyczna { 1 gdy x A χ A,X (x = χ A (x := 0 gdy x X \ A jest półciągła z góry. Jeżeli A X jest zbiorem otwartym, to χ A C (X. Obserwacja 1.3.3. (a Funkcja u : X R jest półciągła z dołu na X, jeżeli dla dowolnego t R zbiór {x X : u(x > t} jest otwarty. (b Dla dowolnych przedziałów, R, dla dowolnej ściśle rosnącej bijekcji ϕ : i dla dowolnej funkcji u : X R mamy: u C (X, ϕ u C (X,. W szczególności, u C (X, R arctg u C (X, [ π 2, π 2 ]. Istotnie, zapiszmy R w postaci sumy trzech rozłącznych przedziałów R = L R,

1.3. Funkcje półciągłe 13 gdzie L jest przedziałem na lewo od, zaś R przedziałem na prawo od ; nie wykluczamy przypadków gdy L lub R jest pusty. Dla t R mamy {x X : u(x < ϕ 1 (t}, jeżeli t {x X : (ϕ u(x < t} =, jeżeli t L. X, jeżeli t R (c C(X, R = C (X, R C (X, R. Inkluzja jest oczywista. Dla dowodu inkluzji ustalmy u C (X, R C (X, R. Na podstawie (b możemy założyć, że u(x R. Weźmy a X. Korzystając z Definicji 1.3.1 oraz (a, wnioskujemy bez trudu, że dla dowolnego ε > 0 istnieje otoczenie otwarte U punktu a takie, że u(u (u(a ε, u(a + ε. (d Jeżeli f : Y X jest odwzorowaniem ciągłym, to u f C (Y, R dla dowolnej funkcji u C (X, R. Istotnie, {y Y : (u f(y < t} = f 1 ({x X : u(x < t}. (e R >0 C (X, R = C (X, R. (f Dla dowolnych u, v C (X, R, jeżeli u(x + v(x ma sens dla każdego x X, to u + v C (X, R. Istotnie, {u + v < t} = {u < θ} {v < t θ}. θ R (g Jeżeli u, v C (X, R, to max{u, v} C (X, R. Istotnie, {max{u, v} < t} = {u < t} {v < t}. (h Jeżeli (u α α A C (X, R, to u := inf{u α : α A} C (X, R. W szczególności, jeżeli C (X, R u ν u punktowo na X, to u C (X, R. Istotnie, {u < t} = {u α < t}. α A (i Jeżeli C (X, R u ν u jednostajnie na X, to u C (X, R. Istotnie, niech u(a < t 2ε < t i niech N N będzie takie, że u N u < ε na X. W szczególności, u N (a < t ε. Ponieważ funkcja u N jest półciągła z góry, zatem istnieje otoczenie U punktu a takie, że u N < t ε na U. W konsekwencji, u < t na U. Propozycja 1.3.4. Niech (X, ρ będzie przestrzenią metryczną i niech u : X R. Wtedy u C (X, R a X : lim sup u(x = u(a. x a Dowód. (= : Weźmy a X. Jeżeli u(a = +, to prawa strona jest oczywista. Niech więc u(a < +. Weźmy t > u(a i niech U będzie takim otoczeniem punktu a, że u < t w U. Niech teraz x ν a. Wtedy u(x ν < t dla ν 1 ( 40. Stąd lim sup u(x ν t, co wobec dowolności t, daje żądaną nierówność. ν + ( =: Niech u(a < t i przypuśćmy, że w dowolnym otoczeniu U punktu a istnieje punkt x taki, że u(x t. Wtedy, bez trudu, konstruujemy ciąg x ν a taki, że u(x ν t, ν N. W takim razie, lim sup u(x ν t > u(a; sprzeczność. ν + Propozycja 1.3.5 (Twierdzenie Weierstrassa. Niech (X, ρ będzie przestrzenią metryczną zwartą i niech f C (X, R. Wtedy istnieje punkt x 0 X taki, że f(x 0 = sup f(x. Dowód. Niech M := sup f(x i niech (x ν ν=1 X będzie taki, że f(x ν M. Wobec zwartości X możemy założyć, że x ν x 0 dla pewnego x 0 X. Wtedy, na podstawie Propozycji 1.3.4, mamy M f(x 0 lim sup f(x ν = M. ν + Ćwiczenie 1.3.6. Czy Twierdzenie 1.3.5 pozostaje prawdziwe dla dowolnej zwartej przestrzeni topologicznej? Propozycja 1.3.7 (Twierdzenie Baire a. Niech (X, ρ będzie przestrzenią metryczną. Wtedy dla dowolnej funkcji u C (X, R istnieje ciąg (u ν ν=1 C(X, R taki, że u ν u punktowo na X (por. Obserwacja 1.3.3(h. Ponadto, jeżeli u C (X, [, +, to ciąg (u ν ν=1 można wybrać w C(X, R ( 41. ( 40 Mówimy, że własność W (ν zachodzi dla ν 1, jeżeli istnieje ν0 takie, że W (ν zachodzi dla ν ν 0. ( 41 W szczególności, każda funkcja półciągła z góry (lub z dołu jest funkcją I klasy Baire a Ćwiczenie.

14 1. Wstęp Dowód. Zastępując u poprzez 2 π arctg u (por. Obserwacja 1.3.3(b, sprowadzamy problem do przypadku gdy u C (X, [ 1, 1] (odpowiednio, u C (X, [ 1, 1, a funkcji aproksymujących poszukujemy w C(X, [ 1, 1] (odpowiednio, C(X, ( 1, 1. Zdefiniujmy ϕ a,ν (x : = u(a νρ(x, a, a X, x X, u ν : = sup{ϕ a,ν : a X}, ν N. Na wstępie sprawdzimy, że u ν C(X, ν N. Mamy ϕ a,ν (x ϕ a,ν (x = ν ρ(x, a ρ(x, a νρ(x, x, x, x X, a stąd u ν (x u ν (x νρ(x, x, x, x X. W szczególności, u ν jest ciągła. Jest rzeczą widoczną, że ϕ a,ν+1 ϕ a,ν, skąd wynika, że u ν+1 u ν. Ponadto, ϕ x,ν (x = u(x, a zatem 1 u(x = ϕ x,ν (x u ν (x 1, x X. W szczególności, lim u ν u. ν + Ustalmy x 0 X oraz t > u(x 0 (jeżeli u(x 0 < 1, to dobieramy t tak, by u(x 0 < t < 1. Niech δ > 0 będzie takie, że u(x < t dla x B(x 0, δ. Wtedy ϕ a,ν (x 0 = u(a νρ(x 0, a max{t, 1 νδ}, a X, ν N. Wynika stąd, że u ν (x 0 max{t, 1 νδ}, ν N (jeżeli u(x 0 < 1, to u ν (x 0 < 1, ν N. Przechodząc do granicy dostajemy lim u ν(x 0 t, co dowodzi, że u ν (x 0 u(x 0. ν + W przypadku gdy u(x [ 1, 1, wystarczy jeszcze tylko zastąpić u ν przez max{u ν, 1 + 1 ν }, ν N. Obserwacja* 1.3.8. Można pokazać ( 42, że Propozycja 1.3.7 pozostaje prawdziwa dla przestrzeni topologicznej X wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią doskonale normalną, tzn. dla dowolnych rozłącznych zbiorów domkniętych A, B X istnieje funkcja ciągła f : X [0, 1] taka, że A = f 1 (0, B = f 1 (1 ( 43. 1.4. Przestrzenie unormowane I Definicja 1.4.1. Przestrzenią unormowaną nad ciałem K (K {R, C} nazywamy dowolną parę (E,, gdzie E jest przestrzenią wektorową nad K, zaś : E R + jest funkcją spełniającą następujące trzy warunki: (N1 x E : x = 0 x = 0, (N2 α K, x E : αx = α x, (N3 x,y E : x + y x + y. Funkcję nazywamy normą. Z reguły będziemy pisać E zamiast (E,. Obserwacja 1.4.2. (a (K, jest przestrzenią unormowaną. (b x y x y dla dowolnych x, y E. (c Zdefiniujmy ρ(x, y = ρ (x, y := x y, x, y E. Wtedy ρ : E E R + jest metryką (Ćwiczenie generowaną przez normę ( 44. Jest to metryka translatywna, tzn. ρ(x + z, y + z = ρ(x, y dla dowolnych x, y, z E ( 45. Oczywiście ρ x ν x 0 x ν x 0 0. ( 42 Zob. np. M. Katětov, On real-valued functions in topological spaces, Fund. Math. 38, (1951, 85 91; H. Tong, Some characterizations of normal and perfectly normal spaces, Duke Math. J. 19, (1952, 289 292. ( 43 W przypadku przestrzeni metrycznej (X, ρ wystarczy wziąć f(x := ρ(x, A ρ(x, A + ρ(x, B, x X (Ćwiczenie. ( 44 Zauważmy, że do dowodu, że ρ jest metryką wystarczy spełnianie warunków (N1, (N3 oraz warunku (N2 dla α = 1. ( 45 Odnotujmy, że istnieją oczywiście metryki nietranslatywne, np. ρ(x, y := arctg x arctg y, x, y R Ćwiczenie.

1.4. Przestrzenie unormowane I 15 Definicja 1.4.3. Przestrzeń unormowaną E nazywamy przestrzenią Banacha ( 46, jeżeli (E, ρ jest przestrzenią zupełną. Definicja 1.4.4. Mówimy, że normy 1, 2 : E R + są równoważne, jeżeli ρ 1 ρ 2. Piszemy wtedy 1 2. Obserwacja 1.4.5. (a Podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest przestrzenią unormowaną. Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha. (b (Por. (1.2.14 Jeżeli (E 1, 1,..., (E N, N są przestrzeniami unormowanymi i ϕ : R N + R + jest funkcją taką, że: ϕ(ξ = 0 ξ = 0, ξ η = ϕ(ξ ϕ(η, ϕ(ξ + η ϕ(ξ + ϕ(η, ϕ(tξ = tϕ(ξ dla t R +, to funkcja dana wzorem x := ϕ( x 1 1,..., x N N, x = (x 1,..., x N E 1 E N, jest normą na E 1 E N Ćwiczenie. Dla przykładu, jeżeli (E 1, 1,..., (E N, N są przestrzeniami unormowanymi, to w E 1 E N mamy następujące klasyczne normy (Ćwiczenie: ( N 1/p x p := x j p j = norma l p, p 1, W szczególności, normami są funkcje: x := max{ x 1 1,..., x N N } = norma maksimum. x 1 := x 1 1 + + x N N = norma suma, ( N 1/2 x 2 := x j j 2 = norma euklidesowa. Zauważmy, że metryki generowane przez te normy odpowiadają metrykom d p, d, d 1 i d 2 (utworzonym dla (E 1, ρ 1,... (E N, ρ N por. (1.2.14. W szczególności, są to normy równoważne, zadające topologię iloczynu kartezjańskiego. W szczególności, K n wraz z każdą z norm x p = ( x 1 p + + x n p 1/p, p 1, x = max{ x 1,..., x n }, x 1 = x 1 + + x n, x = x 2 = ( x 1 2 + + x n 2 1/2, x = (x 1,..., x n K n, jest przestrzenią unormowaną. (c Działania w przestrzeni unormowanej ( 47 są ciągłe. Istotnie, (d Dla a E, niech (x + y (x 0 + y 0 x x 0 + y y 0 = (x, y (x 0, y 0 1, αx α 0 x 0 α α 0 x 0 + α x x 0 max{ α, x 0 } (α, x (α 0, x 0 1. Wtedy B(a, r = B(a, r, r > 0. B(a, r := B ρ (a, r = {x E : x a < r}, B(a, r := B ρ (a, r = {x E : x a r}, B(r := B(0, r, ( 46 Stefan Banach (1892 1945 matematyk polski. ( 47 + : E E E, : K E E. B(r := B(0, r. 0 < r +, 0 r < +,

16 1. Wstęp Istotnie, wystarczy pokazać inkluzję. W tym celu zauważmy, że jeżeli x 0 B(a, r, to a + θ(x 0 a B(a, r dla dowolnego θ [0, 1. (e Niech A + B := {x + y : x A, y B}, A, B E, A B := {αx : α A, x B}, A K, B E. Ponadto przyjmujemy a + B := {a} + B, α B := {α} B ( 48. Mamy następującą własność translatywności kul: B(a, r = a + B(r, B(a, r = a + B(r. Ponadto, B(r = r B(1, B(r = r B(1. (f Dla dowolnych x, y E definiujemy odcinek (niezorientowany (segment o końcach x, y: [x, y] := {x + t(y x : t [0, 1]}. Odnotujmy, że [x, y] = [y, x] oraz [x, x] = {x}. Odcinek jest zbiorem spójnym. Zbiór A E nazywamy wypukłym, jeżeli [x, y] A dla dowolnych x, y A. Zauważmy, że: (i Dla dowolnej rodziny zbiorów wypukłych (A i i I E zbiór i I A i jest wypukły. W szczególności, dla dowolnego zbioru A E istnieje najmniejszy zbiór wypukły conv A = conv(a E zawierający A. (ii Jeżeli A, B E są wypukłe, to conv(a B = {ta + (1 tb : a A, b B, t [0, 1]} =: C. Istotnie, oczywiście C conv(a B. Pozostaje pokazać, że C jest wypukły. Dla a, a A, b, b B, oraz t, t [0, 1], u (0, 1, mamy x 0 := (1 u((1 t a + t b + u((1 t a + t b = (1 s((1 pa + pa + s((1 qb + qb, gdzie p := u(1 t (1 u(1 t + u(1 t, q := ut (1 ut + ut, s := (1 ut + ut (jeżeli (1 u(1 t + u(1 t = 0, to t = t = 1, x 0 = (1 ub + ub B; podobnie, jeżeli (1 ut + ut = 0, to t = t = 0, x 0 = (1 ua + ua A. Stad x 0 C. (iii A wypukły = A wypukły. Istotnie, jeżeli x ν x 0 i y ν y 0, to x ν + t(y ν x ν x 0 + t(y 0 x 0, t [0, 1]. (iv A wypukły = int A wypukły. Istotnie, jeżeli B(a, r, B(b, r A, to [a, b] + B(r = {(1 ta + tb + x : t [0, 1], x B(r} = {(1 t(a + x + t(b + x : t [0, 1], x B(r} conv(b(a, r B(b, r A, co dowodzi, że [a, b] int A. (v Jeżeli A jest wypukły i int A, to dla dowolnych a int A i b A mamy W szczególności, A int A. Istotnie, jeżeli B(a, r A, to [a, b := {(1 ta + tb : t [0, 1} int A. B((1 ta + tb, r(1 t conv(b(a, r {b} A, t [0, 1. (vi W przestrzeni unormowanej kule B(a, r i B(a, r są wypukłe. Istotnie, x + t(y x a = (1 t(x a + t(y a (1 t x a + t y a. (vii Obraz zbioru wypukłego poprzez odwzorowanie liniowe jest wypukły. ( 48 Oczywiście a + B = Ta(B, gdzie T a : E E oznacza translację x a + x.

1.4. Przestrzenie unormowane I 17 (g Dla dowolnych x 0,..., x N E definiujemy łamaną o wierzchołkach x 0,..., x N [x 0,..., x N ] := [x 0, x 1 ] [x N 1, x N ]. Zauważmy, że każda łamana jest zbiorem spójnym. Czasami odcinek [x, y] będziemy utożsamiać z krzywą [0, 1] t x + t(y x E. Podobnie łamaną [x 0,..., x N ] możemy utożsamiać z krzywą będącą sumą odcinków. (h Dla dowolnego zbioru otwartego D E mamy równoważność: D jest obszarem (tzn. zbiorem otwartym i spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y D istnieje łamana [x 0,..., x N ] D taka, że x 0 = x i x N = y (w szczególności, D jest łukowo spójny. Istotnie, dowodu wymaga jedynie implikacja (=. Ustalmy x 0 D i niech D 0 oznacza zbiór tych wszystkich x D, dla których istnieje łamana [x 0,..., x N ] D taka, że x N = x. Problem polega na pokazaniu, że D 0 = D o ile D jest obszarem. Wystarczy pokazać, że D 0 jest niepusty, otwarty i domknięty w D. Oczywiście D 0, bo x 0 D 0. Jeżeli a D 0 i B(a, r D (D jest otwarty, to B(a, r D 0, bo jeżeli [x 0,..., x N ] dochodzi do a, to [x 0,..., x N, x] dochodzi do x dla dowolnego x B(a, r. Jeżeli b jest punktem skupienia D 0 w D i B(b, r D, to bierzemy dowolny punkt a B(b, r D 0 i teraz, jeżeli [x 0,..., x N ] dochodzi do a, to [x 0,..., x N, b] dochodzi do b, czyli b D 0. (i ( Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech F będzie przestrzenią unormowaną. Wtedy B(X, F 50 z normą Czebyszewa ( 49 f X := sup{ f(x F : x X}, f B(X, F, ma naturalną strukturę przestrzeni unormowanej (Ćwiczenie; odnotujmy, że powyższa norma generuje metrykę Czebyszewa. Ponadto, F jest Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy B(X, F jest Banacha. Dla przestrzeni wektorowych E, F nad K niech Hom(E, F oznacza przestrzeń wszystkich odwzorowań K liniowych L : E F ; E := Hom(E, K. Jeżeli E i F są przestrzeniami unormowanymi, to przez L(E, F oznaczamy zbiór wszystkich odwzorowań liniowych i ciągłych L : E F. Widać, że L(E, F jest K przestrzenią wektorową. Zdefiniujmy E := L(E, K. Obserwacja 1.4.6. Odnotujmy, że na ogół (jeżeli E jest przestrzenią nieskończenie wymiarową E E. Na przykład, niech E oznacza przestrzeń wszystkich wielomianów rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, niech f := sup{ f(x : x [0, 1]}, f E, i niech L : E R, L(f := f(3. Oczywiście L E. Zauważmy, że ( x 2 k = ( 1 2 k 0. Z drugiej strony L(( x 2 k = ( 3 2 k. Oznacza to, że L / E. Obserwacja 1.4.7. (a Jeżeli F = F 1 F N, L : E F, L = (L 1,..., L N, to L L(E, F 1 F N L j L(E, F j, j = 1,..., N. (b Jeżeli E = E 1 E N, L : E F, L j : E j F, to L j (x j := L(0,..., 0, x }{{} j, 0,..., 0, j = 1,..., N, }{{} (j 1 (N j L L(E 1 E N, F L j L(E j, F, j = 1,..., N. Zauważmy, że L(x = L 1 (x 1 + + L N (x N dla x = (x 1,..., x N E 1 E N. ( 49 Wtedy, oczywiście, [x, y] [y, x]. ( 50 Odnotujmy, że B(X, F := {f : X F : R>0 : f(x B(R}.