Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie jest trywialne i nie ma wówczas potrzeby stosowania przybliżeń). Szukamy przybliżonej wartości pierwiastków tego równania, czyli inaczej przybliżonych wartości miejsc zerowych funkcji f. Zatem szukamy takich wartości x, żeby f (x) 0.
Przedział izolacji pierwiastka Niech x będzie rozwiązaniem równania nieliniowego f (x) = 0, takim że x a, b. Wówczas przedział a, b jest nazywany przedziałem izolacji pierwiastka x, jeżeli x jest jedynym pierwiastkiem równania należącym do tego przedziału. Jeśli równanie jest wielomianowe, to x może być pierwiastkiem o krotności większej niż 1. Zazwyczaj przedziały izolacji pierwiastków odczytuje się z uproszczonego wykresu funkcji f występującej w równaniu nieliniowym, a następnie stosuje się jedną z metod przybliżonego wyznaczania takich pierwiastków. Szacowanie dokładności wyników Załóżmy, że mamy dany ciąg {x n } n N kolejnych przybliżeń szukanej wartości pierwiastka rozpatrywanego równania f (x) = 0. Wówczas n N x n+1 x n określa różnicę pomiędzy dwoma kolejnymi przybliżeniami. Jeżeli dla pewnego n 0 różnica ta jest mniejsza od żądanej dokładności, to jako wynik przyjmujemy x n0 +1 (pamiętając, że jest to jedynie wynik przybliżony z żądaną dokładnością). Mamy zatem sposób na określenie momentu, w którym możemy przestać obliczać kolejne elementy ciągu {x n } n N.
Szacowanie dokładności wyników Można również badać różnicę pomiędzy wartościami funkcji f w dwóch kolejnych przybliżeniach: n N f (x n+1 ) f (x n ). Podobnie jak poprzednio jeśli po raz pierwszy dla pewnego n 0 różnica ta jest mniejsza od żądanej dokładności, to jako wynik przybliżony przyjmujemy x n0 +1. Uwaga. 1 Warunki x n+1 x n i f (x n+1 ) f (x n ) można ze sobą łączyć. 2 W praktyce często nakłada się również warunek n n max, gdzie n max jest ustaloną maksymalną liczbą iteracji. Założenia metody połowienia Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b, taki że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek badanego równania (ewentualnie dokładnie jeden pierwiastek nieparzystej krotności w przypadku funkcji wielomianowej). Ponadto załóżmy, że f C ( a, b ) oraz f (a) f (b) < 0. Są to założenia niezbędne dla poprawnego działania metody połowienia (inaczej bisekcji).
Opis metody połowienia W metodzie połowienia oznaczamy kolejne przybliżenia zaczynając od numeru 1. Określamy przybliżenie x 1 jako środek przedziału a, b, czyli kładziemy x 1 = a+b 2. Wtedy punkt x 1 dzieli wyjściowy przedział na dwa mniejsze: a, x 1 i x 1, b. Tylko jeden z tych przedziałów ponownie spełnia założenia metody połowienia, a konkretnie warunek z ujemnym iloczynem wartości funkcji na krańcach przedziału. Załóżmy na przykład, że jest to przedział a, x 1. Wówczas kładziemy x 2 = a+x 1 2 i całą procedurę powtarzamy rekurencyjnie aż do osiągnięcia żądanej dokładności. Interpretacja geometryczna metody połowienia
Oszacowanie błędu metody połowienia Ze sposobu konstruowania kolejnych przybliżeń wynika, że: x 2 x 1 = b a 2 2, x 3 x 2 = b a 2 3 i tak dalej. Zatem ogólnie mamy, że: x n x n 1 = b a 2 n. Załóżmy, że żądamy wyniku z dokładnością 10 r, przy czym r 1. Możemy wyznaczyć numer potrzebnego przybliżenia: b a 2 n min < 10 r, n min > log 2 b a 10 r. Stosowanie metody połowienia Zadanie 1. Zastosować metodę połowienia do wyznaczenia z dokładnością 10 2 pierwiastka równania położonego w przedziale 1, 2. x 3 + x 2 3x 3 = 0
Stosowanie metody połowienia Rozwiązanie. a = 1 f (x) = x 3 + x 2 3x 3 [ ] b a b = 2 n min = log 2 + 1 r = 2 n min = 7 10 r x 1 = 1.5 x 5 = 1.71875 x 2 = 1.75 x 6 = 1.734375 x 3 = 1.625 x 7 = 1.7265625 x 4 = 1.66875 x 1.73 Stosowanie metody połowienia Zadanie 2. Zbadać jak zmieni się liczba iteracji w zadaniu 1, jeżeli użyjemy warunku f (x n+1 ) f (x n ).
Założenia metody regula falsi Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b, taki że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek badanego równania (ewentualnie dokładnie jeden pierwiastek nieparzystej krotności w przypadku funkcji wielomianowej). Ponadto załóżmy, że f C 2 ( a, b ), f (a) f (b) < 0 oraz f i f mają stały znak na przedziale a, b. Są to założenia niezbędne dla poprawnego działania metody regula falsi (inaczej fałszywego założenia liniowości). Założenia te ściśle określają postać wykresu funkcji f. Założenia metody regula falsi
Założenia metody regula falsi Założenia metody regula falsi
Założenia metody regula falsi Wzory metody regula falsi W metodzie regula falsi wprowadzamy sztucznie przybliżenie początkowe x 0, co pozwala na zapisanie wzoru rekurencyjnego na kolejne przybliżenia. Niech będzie dany punkt C = (c, f (c)). Wzory na kolejne przybliżenie w metodzie regula falsi mogą być zapisane następująco: gdzie: x n+1 = x n f (x n ) f (c) f (x n ) (c x n), n = 0, 1, 2,..., 1 jeżeli f (x)f (x) < 0, to c = a i x 0 = b; 2 jeżeli f (x)f (x) > 0, to c = b i x 0 = a.
Interpretacja geometryczna metody regula falsi Stosowanie metody regula falsi Zadanie 3. Zastosować metodę regula falsi do wyznaczenia z dokładnością 10 2 pierwiastka równania x 3 + x 2 3x 3 = 0 położonego w przedziale 1, 2. Jaka jest minimalna wymagana liczba iteracji w zależności od warunku na dokładność przybliżenia?
Stosowanie metody regula falsi Rozwiązanie. f (x) f (x) < 0 c = 2 x 0 = 1 x 1 = 1.5714286 x 1 x 0 = 0.5714286 x 2 = 1.7054108 x 2 x 1 = 0.1339823 x 3 = 1.7278827 x 3 x 2 = 0.0224719 x 4 = 1.7314049 x 4 x 3 = 0.0035221 < 10 2 Założenia metody siecznych Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b, taki że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek badanego równania (ewentualnie dokładnie jeden pierwiastek nieparzystej krotności w przypadku funkcji wielomianowej). Ponadto załóżmy, że f C 2 ( a, b ), f (a) f (b) < 0 oraz f i f mają stały znak na przedziale a, b. Są to założenia niezbędne dla poprawnego działania metody siecznych. Analogicznie jak dla metody regula falsi założenia te ściśle określają postać wykresu funkcji f.
Opis metody siecznych jest ulepszeniem metody regula falsi. W metodzie tej wprowadzamy sztucznie dwa przybliżenia początkowe: x 1 i x 0. Pozwala to na zapisanie następującego wzoru rekurencyjnego na kolejne przybliżenia: gdzie: x n+1 = x n f (x n ) f (x n ) f (x n 1 ) (x n x n 1 ), n = 0, 1, 2,..., 1 jeżeli f (x)f (x) < 0, to x 1 = b i x 0 = a; 2 jeżeli f (x)f (x) > 0, to x 1 = a i x 0 = b. Interpretacja geometryczna metody siecznych
Stosowanie metody siecznych Zadanie 4. Zastosować metodę siecznych do wyznaczenia z dokładnością 10 2 pierwiastka równania x 3 + x 2 3x 3 = 0 położonego w przedziale 1, 2. Jaka jest minimalna wymagana liczba iteracji w zależności od warunku na dokładność przybliżenia? Stosowanie metody siecznych Rozwiązanie. f (x) f (x) < 0 x 1 = 1 x 0 = 2 x 0 x 1 = 1 x 1 = 1.5714286 x 1 x 0 = 0.4285714 x 2 = 1.7054108 x 2 x 1 = 0.1339823 x 3 = 1.7351358 x 3 x 2 = 0.0297249 x 4 = 1.7319964 x 4 x 3 = 0.0031394 < 10 2
Praca domowa Zadanie 5. Wyznaczyć przedziały izolacji wszystkich czterech pierwiastków równania sin 3x + cos 3x + 0.03x 3 0.5x 2 x 0.1 = 0, a następnie dowolnymi metodami przybliżonymi wyznaczyć wszystkie pierwiastki z dokładnością 10 2. Do badania dokładności przybliżenia wykorzystać jednocześnie warunki x n+1 x n i f (x n+1 ) f (x n ). Praca domowa
Praca domowa Praca domowa
Praca domowa Praca domowa