TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila 1
?
Używamy pojęć i obserwujemy zjawiska w skali makroskopowej, które wyprowadza się z praw mikroskopowych (oddziaływań międzycząstkowych) gdzie te pojęcia i zjawiska nie mają, apriori sensu
Termodynamika oraz Fizyka Statystyczna zajmuje się zjawiskami emergentnymi 6
LITERATURA 2 1. Kopia wykładów ( http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/wp/?page_id=619 ) 2. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i fizyki statystycznej. 3. J. Werle, Termodynamika Fenomenologiczna. 4. A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki. 5. Kerson Huang, Mechanika Statystyczna. (4) 6. M. Toda, R. Kubo, N. Saitô Statistical Physics I, Statistical Physics II. 7. D.J. Amit and Y. Verbin, Statistical Physics, An Introductory Course 8. J. D. Walecka, Introduction to Statistical Mechanics Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 7
Cel wykładów: 3 Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będących uogólnieniem obserwacji empirycznych, a znanych jako zasady termodynamiki. I i II zasada jako podstawowe postulaty. 0 i III-cia zasada mają charakter techniczny (np. 0-wa zasada wynika z II). Tutaj ze względów dydaktycznych każda z zasad (od 0-wej do III) i ich konsekwencje będą omówione niezależnie. Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 8
Cel wykładów: 4 Omówienie podstaw fizyki statystycznej: pojęcie entropii Boltzmana oraz temperatury absolutnej; rozkłady używane w fizyce statystycznej, ich pochodzenie i własności; zastosowania do konkretnych układów kwantowych oraz klasycznych. Wstęp do teorii informacji (entropia informacyjna i jej własności). Hipoteza ergodyczna. Elementy termodynamiki nierównowagowej (produkcja entropii, relacje Onsagera). Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 9
Wykład 1 Elementy teorii rachunku prawdopodobieństwa Plan: 1. Definicja aksjomatyczna i `praktyczna` 2. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa 3. Funkcje rozkładu; rozkład Gaussa 4. Funkcje charakterystyczne; rozwinięcie kumulantów 5. Centralne twierdzenie graniczne. Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 10
Elementy teorii prawdopodobieństwa Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 11
Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa B A Ω 12
Ω A A 13
Praktyczna `definicja`: Zliczamy próby n(a) przy których zaszło zdarzenie A i dzielimy przez całkowitą liczbę wszystkich prób; Obowiązuje tutaj prawo wielkich liczb mówiące, że: PP nn(aa,nn) lim = PP(AA) = 1 NN NN 14
Prawdopodobieństwo warunkowe Ω B A Bardzo ważne pojęcie przy badaniu procesów stochastycznych; (będzie odgrywać rolę lokalnych prawdopodobieństw przejść) Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 15
Niezależność statystyczna Przykład: rzucanie uczciwą kostką = P(B), gdy B nie zależy od A Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 16
Ważne przy analizie tw. Bayesa B A 1 A 6 A 5 A 4 Ω A 2 A 3 Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 17
Twierdzenie Bayesa B A 1 A 6 A 5 A 4 Ω A 2 A 3 Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych; Równanie Master (które będziemy omawiać) jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 18
Perkolacja (Wolfram demo) Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 19
(podstawowy model agregacji: `EDEN model`) Ewolucja klastra odbiega kształtem od koła; brzeg ewoluującego obszaru jest nieregularny 20
Funkcje Rozkładu: Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 21
UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny; np. jeśli Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 22
( ) 23
Momenty rozkładu: < x > : pozycja ' środkamasy'rozkładu <x> 24
... Nomenklatura:a Rozkłady zawężone(brzegowe): ρρ xx = ρρ xx, yy dddd 25
26
Funkcja charakterystyczna rozkładu Transformata Fouriera (bądź Laplaca) f-cji rozkładu Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niż pierwszy mogą nieistnieć a mimo to f(k) będzie istnieć Przykład (rozkład Caychy ego znany także jako r. Breita-Wignera) 27
Własności f-cji charakterystycznej: W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie, natomiast nie znamy rozkładu Trywialne uogólnienie na przyp. wielowymiarowy : jeśli istnieje 28
29
Rozwinięcie Kumulantów (bardzo ważny wzór w fizyce statystycznej, wykorzystywany do r. perturbacyjnych) - Problem: znaleźć algorytm generujący kolejne kumulanty 30
Wyprowadzić wzór na czynnik normalizujący rozkład Gaussa 31
Rozkład sumy zmiennych losowych i Centralne Twierdzenie Graniczne: Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej: < v 1 2 + v 2 2 +... + v N 2 > : średniaprędkość < H 1 + H 2 +... + H N > : średnia energia nieoddziaływujących cząstek Pod średnią mamy sumę niezależnych zmiennych losowych. Można zapytać jaki rozkład prawdopodobieństwa ma suma (jeśli znamy rozkład pojedynczej zmiennej losowej wchodzącej do sumy) 32
33
Rozkład Gaussa w granicy dużych N Dyspersja rozkładu zachowuje się jak: 34
Zamiast dowodu ilustracja jak duże musi być N w praktyce: 1 1 X ρρ YYNN yy = 35
N=2 : ścisły (z) : przybliżony (cz) 36
N=3 : ścisły (z) : przybliżony (cz) 37
Jak dobrze pracuje CTG? (programy dostępne na stronie kursu) 38
Materiał do samodzielnych studiów (ćwiczenia) 39
Zamiana zmiennych w rozkładach 1 dim Z = f(x) Związek między zmiennymi Losowymi X z Z ( tr. współrzędnych z =f(x) ) 40
zadanie : uogólnićformułę z deltą Diraca 41
PRZYKŁADY: 42
Przykłady na f-cje charakterystyczne (a) Rozkład Levy ego Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać: 43
(0,1) θ 44
Funkcja charakterystyczna wyprowadzić 45
Centralne twierdzenie Graniczne vs funkcje charakterystyczne 47
Dalsze wykorzystanie funkcji charakterystycznej f(k): (badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych) 48
przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe) 49
50
51
Rozkłady stabilne (nieskończenie podzielne) 52
Są to ważne rozkłady w zastosowaniach, szczególnie w: Teorii procesów stochastycznych Teorii zjawisk krytycznych 53
Przykład: rozkład Gaussa Dla rozkładu Gaussa mamy więc znacznie ogólniejszą sytuację (pokazać) 54
I znowu podejście od strony funkcji charakterystycznych pozwala rozwiązać zagadnienie rozkładów stabilnych całkiem ogólnie: W.K.W. na to aby mieć r. stabilny: 55
Przykłady: (a) Rozkład Gaussa 56
Przykłady: (a) Rozkłady Levy ego 57
Dziękuję za uwagę 58