Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Podobne dokumenty
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

1 Całki funkcji wymiernych

5. Całka nieoznaczona

Pochodna funkcji odwrotnej

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

6. Całka nieoznaczona

1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Podstawy analizy matematycznej II

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Rozwiązywanie równań nieliniowych

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Rachunek Różniczkowy

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

CIĄGI wiadomości podstawowe

Wykład z równań różnicowych

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Przykładowe zadania z teorii liczb

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Ciągłość funkcji f : R R

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Zbiory, relacje i funkcje

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.

III. Funkcje rzeczywiste

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

0.1 Pierścienie wielomianów

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Ciągi liczbowe wykład 3

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY)

Zajęcia nr. 3 notatki

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Transkrypt:

Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15

Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora pochodnej jest operator różnicowy, zdefiniowany dla dowolnej funkcji rzeczywistej f jako Operator ten będziemy jednak rozważać tylko dla funkcji określonych na zbiorze liczb naturalnych (czyli dla ciągów). Rozważając funkcję liczb naturalnych nie mamy możliwości badać granicy występującej w definicji pochodnej; w zamian za to rozważamy stosowny iloraz przy najmniejszej możliwej wartości przyrostu x, czyli wartości 1.

Przykłady działania operatora różnicowego Dla funkcji mamy Niech f(x) = (x!) 2 dla x N (Δf)(x) = Δ(x!) 2 = [(x+1)!] 2 (x!) 2 = (x!) 2 ((x+1) 2 1)) = (x!) 2 (x 2 +2x) Niech f(x) = a x dla x N Δa x = a x+1 a x = a x (a 1) Niech f(x) = x 3 dla x N Δ x 3 = (x+1) 3 x 3 = 3x 2 + 3x + 1

Operator nazywamy n tą iteracją operatora różnicowego, gdzie Przykład Dla funkcji mamy:, (Δ 2 f)(x) = (Δf)(x+1) (Δf)(x) = (x+2) 2 (x+1) 2 = 2x+3, (Δ 3 f)(x) = (Δ 2 f)(x+1) (Δ 2 f)(x) = 2(x+1)+3 2x 3 = 2,.

Przykład obliczania wartości różnic dla funkcji dla dwóch wartości dziedziny (dla 0 i dla 1) i dla czterech iteracji:

Twierdzenie Operator różnicowy jest operatorem liniowym, tzn.: Przykład Weźmy wcześniej rozważaną funkcję. (Δf)(x) = Δ(x 2 4x + 1) = Δ(x 2 ) 4Δ(x) + Δ(10) = = (x+1) 2 x 2 4 + 0 = 2x + 1 4 = 2x 3

Różniczkowanie jednomianów, czyli wielomianów typu, jest bardzo proste: dla dowolnego. Własność ta nie przenosi się jednak na operator :

Dla operatora różnicowego odpowiednikiem wielomianu jest m ta dolna silnia x (m ta potęga ubywająca, m ta potęga krocząca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako oraz m ta górna silnia x (m ta potęga przybywająca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako dla dla Dodatkowo przyjmujemy, że. Zauważmy, że w odróżnieniu od zwykłego potęgowania mamy tu

Twierdzenie Dla zachodzi Policzmy: Dla m=0 mamy Δ(x 0 ) = (x+1) 0 x 0 = 1 1 = 0 = 0 x 1. Dla m<0 wyprowadzimy ten wzór później. Wniosek Δ ( a m x m ) = a m Δ x m = a m m x m 1 m=1 k m=1 k m=1 k

Przykłady Δ2 x = 2 x+1 2 x = 2 x (2 1) = 2 x f(x)=h x (funkcja harmoniczna) ΔH x = H x+1 H x = ( 1 / k ) ( 1 / k ) = 1 / (x+1) =... k=1..x+1 x 2 = x(x 1) x 1 = x x 0 = 1 x 1 = 1 / (x+1) x 2 = 1 / (x+1) (x+2) k=1..x x m = 1 / (x+1) (x+2) (x+m) = x 1.

Twierdzenie o przekształceniu wielomianu Dowolny wielomian k tego stopnia p(x) można jednoznacznie przedstawić w postaci, gdzie,, i ogólnie Twierdzenie to jest analogią Twierdzenia Taylora dla wielomianów. Dowód pomijamy w tym wykładzie. Korzysta on z faktu, iż ciąg dolnych silni jest bazą przestrzeni liniowej wielomianów. Wykorzystując powyższe twierdzenie możemy szybko różnicować dowolny wielomian p(x) licząc jedynie kolejne różnice.

To z kolei dla wielomianu stopnia k sprowadza się do policzenia wartości początkowych. Przykład Aby policzyć najpierw wyrażamy nasz wielomian jako kombinacje dolnych silni. Do tego potrzebujemy współczynników: Teraz korzystamy z twierdzenia o przekształceniu wielomianu:

by dostać

Twierdzenie o różnicowaniu iloczynu ciągów Δ(f g) = f Δg + g Δf gdzie g(x)=g(x+1) zwana operatorem przesunięcia Z uwagi na przemienność mnożenia jest również: Δ(f g) = g Δf + f Δg. Przykład Δ (3 x (x 2 +1)) = (x 2 +1) Δ3 x + 3 x+1 Δ(x 2 +1) = = (x 2 +1) (3 x+1 3 x ) + 3 x+1 ((x+1) 2 +1 (x 2 +1)) = = (x(x 1)+1) 3 x (3 1) + 3 3 x ((x+1)x+1 (x(x 1)+1)) = = 2(x 2 x+1) 3 x + 3 3 x (x 2 +x+1 (x 2 x+1)) = = 3 x 2 (x 2 x+1) + 3 x 3 (2x) = = 3 x (2x 2 +4x+2)

Zadanie Jak to jest możliwe, że Δ(f g) = f Δg + g Δf, Δ(g f) = g Δf + f Δg oraz Δ(f g) = Δ(g f). Sprawdźmy: f Δg + g Δf = g Δf + f Δg f Δg + g(x+1) Δf = g Δf + f(x+1) Δg (g(x+1) g(x)) Δf = (f(x+1) f(x)) Δg Δg Δf = Δf Δg L=P

Sumy nieoznaczone i oznaczone W rachunku różniczkowym operatorem odwrotnym do pochodnej jest całka: wtedy i tylko wtedy, gdy W rachunku różnicowym operatorem takim jest suma nieoznaczona: wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie C jest stałą rachunku różnicowego, czyli funkcją taką, że C(x+1)=C(x). W dziedzinie rzeczywistej jest to funkcja okresowa, a w dziedzinie całkowitej jest to funkcja stała.

Zauważmy, że wychodząc od funkcji i definiując poprzez mamy. Moglibyśmy więc zdefiniować sumę nieoznaczoną jako. Ponieważ dla dowolnej stałej, to podobnie jak w przypadku całki nieoznaczonej suma nieoznaczona zdefiniowana jest tylko z dokładnością do stałej addytywnej. Tak więc jest klasą funkcji których różnica równa jest.

Następujące własności sumy nieoznaczonej wynikają wprost z własności operatora różnicy : Dla funkcji oraz zachodzi:,, dla.,

Suma oznaczona funkcji o parametrach to dla funkcji z klasy, tzn. takiej, że, czyli. Zauważmy, ze definicja ta jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru funkcji, jako że stała, o którą dwie takie funkcje się różnią, zniesie się przy odejmowaniu. Nie będzie to bardzo zaskakujące po udowodnieniu poniższych własności sumy oznaczonej, które są analogiami własności całki oznaczonej.

Dla dowolnych całkowitych a, b, c zachodzi:,,,,, o ile tylko.

Rachunek różnicowy w liczeniu sum skończonych Wracamy teraz do rozważań o sumach skończonych. Zobaczymy, jak rachunek różnicowy może być pomocny w ich obliczaniu. Widzieliśmy już, że suma to dokładnie, gdzie jest sumą nieoznaczoną funkcji, tzn.. Wystarczy więc wyliczyć sumę nieoznaczoną. A proces ten jest bardzo podobny jak liczenie całek nieoznaczonych. W kolejnych przykładach zobaczymy, jak to można zrobić w praktyce.

Przykład Dla policzenia sumy dolnych silni odnotujmy najpierw, że skoro, to. Teraz już oczywiście. Podobnie przy liczeniu, gdzie, wykorzystujemy fakt, iż i dostajemy.

Przykład Dla policzenia sumy sześcianów potrzebujemy najpierw znaleźć sumę nieoznaczoną. W tym celu wykorzystujemy najpierw twierdzenie o przekształcaniu wielomianów do przedstawienia wielomianu jako kombinacji liniowej dolnych silni, dla których znamy już sumy nieoznaczone. Liczymy więc współczynniki typu : skąd a zatem

Uwalniając się teraz od dolnych silni dostajemy, że to ostatnie wyrażenie wynosi

Rozszerzymy teraz pojęcie dolnej silni na ujemne wykładniki kładąc : Prawa dla dolnej silni, które odnotowaliśmy dla wykładników naturalnych są zachowane. W szczególności mamy dla dowolnych :,, Δ x m = (x+1) m x m = = 1 / [(x+2) (x+3) (x+1 m)] 1 / [(x+1) (x+2) (x m)] = = (x+1 x 1+m) / [(x+1) (x+2) (x m+1)] = m x m 1 dla

, dla. Zajmiemy się teraz przypadkiem, którego nie potrafimy jeszcze sumować, tzn. wyrażeniem. Oczywiście to. Widzieliśmy, że suma postaci to sza liczba harmoniczna oraz zachowuje się podobnie do logarytmu: Z rachunku całkowego wiemy natomiast, że. Następna obserwacja pokazuje, że podobieństwo to nie jest przypadkowe.

oraz. Mamy skąd natychmiast.

Z kolei dyskretnym odpowiednikiem funkcji wykładniczej zmienia się przy różniczkowaniu, jest funkcja :, która nie Dla liczby rzeczywistej mamy oraz. W szczególności oraz. Istotnie,, skąd (jeśli tylko ) dostajemy natychmiast.

Przykład Używając rachunku różnicowego policzymy teraz sumę skończonego ciągu geometrycznego z ilorazem.

Sumowanie przez części Poprzez analogię do rachunku różnicowego zastosujmy operator różnicowy do iloczynu funkcji Dostajemy stąd natychmiast następującą regułę sumowania przez części.

Przykład Dla policzenia sumy, wyznaczamy najpierw (przez części) sumę nieoznaczoną. Jest to łatwe, jako że, więc Teraz mamy już