Co to jest model Isinga?

Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego. Makroskopowe pole magnetyczne obserwowane jest dla T < T c (temperatura Curie) Dla T = T c występuje ciągłe przejście fazowe Co byłoby gdybyśmy z poziomu makro przeszli na mikro, tzn. zajrzeli wgłąb układu? Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 / 35

Co to jest model Isinga? Model - idea Lenza z 920 roku Kryształ złożony z N jonów o spinie s = /2 i wewnętrznym momencie magnetycznym µ 0. Jony są zlokalizowane w węzłach sieci krystalicznej i działa na nie zewnętrzne pole magnetyczne h. Moment magnetyczny każdego atomu może być skierowany albo do góry (tzn. równolegle do kierunku pola zewnętrznego) lub w dół (antyrównolegle do pola). Oddziaływania między cząstkami zadane są następującym hamiltonianem: H = J σ i σ j h σ i, () <i,j> i gdzie < i, j > oznacza sumowanie po parach najbliższych sąsiadów. Jak widać łatwo w przypadku bez pola h = 0 dla J > 0 hamiltonian opisuje ferromagnetyk, a w przypadku J < 0 antyferromagnetyk Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 2 / 35

Co to jest model Isinga? Schemat postępowania Zaczynamy od znalezienia sumy stanów Z. Korzystając ze związku pomiędzy fizyką statystyczną a termodynamiką wyznaczamy energię swobodną: F = k B T log Z (2) Mając F wyznaczamy pozostałe wielkości termodynamiczne, np. magnetyzację, ciepło właściwe, podatność magnetyczną Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 3 / 35

Model Isinga bez pola Suma stanów - Model Isinga bez pola H = J N i= Suma stanów w rozkładzie kanonicznym ma postać: Z = {σ i ±} σ i σ i+ (3) e βh (4) gdzie {σ i ± } {σ = ±,..., σ N = ±}. Wprowadźmy oznaczenie: Z N = σ =± σ 2 =±... σ N =± exp { βj N i= σ i σ i+ } (5) dla sumy statystycznej układu N cząstek. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 4 / 35

Model Isinga bez pola Można pokazać, że: Z N = 2 cosh βjz N. (6) i ostatecznie: Z N = (2 cosh βj) N 2 Z 2, (7) Ostatecznie otrzymujemy: Z 2 = 4 cosh(βj). (8) Z N = 2(2 cosh βj) N. (9) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 5 / 35

Model Isinga bez pola Wobec tego energia swobodna: F = k B T ln Z N = k B T [ln 2 + (N ) ln(2 cosh βj)]. (0) Jeżeli chcielibyśmy otrzymać wielkość niezależną od rozmiaru układu wówczas wprowadzamy energię swobodną na cząstkę: f = F N = k BT N W granicy termodynamicznej: [ln 2 + (N ) ln(2 cosh βj)]. () lim f = k BT ln(2 cosh βj). (2) N Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 6 / 35

Model Isinga z Polem Teraz mamy do czynienia z następującym hamiltonianem: H = J σ i σ j h σ i. (3) <i,j> i Wobec tego suma stanów: Z = ( ) N N exp Jβ σ i σ i+ + hβ σ i. (4) {σ i ±} i= i= Oczywiście w przypadku cyklicznych warunków brzegowych: N σ i = N (σ i + σ i+ ). (5) 2 i= i= Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 7 / 35

Model Isinga z Polem Wobec tego możemy zapisać naszą sumę stanów jako: Z = ( N exp Jβ σ i σ i+ + N ) 2 hβ (σ i + σ i+ ) {σ i ±} i= i= = N ( exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (6) {σ i ±} i= Zdefiniujmy teraz następującą macierz (korzystamy z notacji Diraca, ze względu na wygodę): ( < σ i T σ i+ >= exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (7) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 8 / 35

Model Isinga z Polem ( < σ i T σ i+ >= exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (8) Macierz ta, zwana macierzą przejścia, ma w tym przypadku jawną postać: ( ) (, ) (, ) T = (9) (, ) (, ). czyli: ( exp(jβ + hβ) exp( Jβ) ) T = exp( Jβ) exp( Jβ hβ). (20) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 9 / 35

Model Isinga z Polem Suma stanów może być natomiast zapisana przy pomocy macierzy przejścia jako: Z = N < σ i T σ i+ > {σ i ±} i= =... < σ T σ 2 >< σ i T σ 2 >... < σ N T σ N > {σ ±} = {σ ±}... {σ N ±} {σ N 2 ±} < σ N 3 T σ N 2 > = {σ ±} < σ T σ 2 >< σ i T σ 2 >... {σ N ±} < σ N 2 T σ N >< σ N T σ > < σ T N σ >= TrT N = λ N + + λ N (2) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 0 / 35

Model Isinga z Polem Wartości własne mogą być łatwo obliczone z równania charakterystycznego: det(t λi) = 0 (22) czyli: exp(jβ + hβ) λ exp( Jβ) exp( Jβ) exp( Jβ hβ) λ. = 0 (23) Znajdź wartości własne (ćwiczenia). Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 / 35

Model Isinga z Polem Energię swobodną na cząstkę liczymy w granicy termodynamicznej, tzn. dla N, V, V /N = const: f = F = kt lim ln Z (24) N N N = kt lim N N ln(λn + + λ N ) (25) ( ( ) ) N = kt lim N N ln λ λ + + (26) λ + = kt N ln λn + = kt ln λ + (27) Mając energię swobodną możemy obliczyć namagnesowanie: m = f h = sinh(βh) sinh 2 (βh) + exp( 4βJ) (28) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 2 / 35

Model Isinga z Polem Mając namagnesowanie możemy również wyznaczyć podatność magnetyczną: χ = m h. (29) Możemy również wyznaczyć ciepło właściwe: c h=0 = 2 f β 2. (30) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 3 / 35

Model Isinga z Polem W dwóch wymiarach model Isinga bez pola dla T < T c : m(t ) = [ ( tanh2 K) 4 6 tanh 4 K gdzie K = βj Dla T > T c, m(t ) = 0 ] /8, (3) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 4 / 35

Stanisław Ulam wspomina "(...) Pomysł ten, nazwany później metodą Monte Carlo, wpadł mi do głowy, kiedy podczas choroby stawiałem pasjanse. Zauważyłem, że znacznie praktyczniejszym sposobem oceniania prawdopodobieństwa ułożenia pasjansa (takiego jak Canfield, gdzie umiejętności gracza nie mają większego znaczenia) jest wykładanie kart, czyli eksperymentowanie z procesem i po prostu zapisywanie procentu wygranych, niż próba obliczenia wszystkich możliwości kombinatorycznych, których liczba rośnie wykładniczo i jest tak wielka, że pomijając najprostsze przypadki, jej oszacowanie jest niemożliwe. (...)". Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 5 / 35

Metoda Monte Carlo jest metodą obliczania wielkości dających się przedstawić w postaci wartości oczekiwanej pewnych rozkładów probabilistycznych. Niech a oznacza poszukiwaną wielkość, może to być na przykład magnetyzacja układu spinów Isinga, i jest wartością oczekiwaną a = EX pewnej zmiennej losowej X. Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S, S 2,... z rozkładu zmiennej X, to z mocnego prawa wielkich liczb wynika, że: lim n n (S +... + S n ) = a. (32) Metoda Monte Carlo polega więc na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 6 / 35

W jaki sposób należy dobrać próbę w przypadku modeli fizyki statycznej? Każdy układ przy niezmiennych warunkach zewnętrznych znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, a jeżeli przy takich warunkach nie jest w stanie równowagi to w końcu do stanu równowagi termodynamicznej przechodzi. Temperatura jest parametrem określającym równowagę termodynamiczną. Niech E α będzie energią mikrostanu oznaczonego indeksem α. Jeżeli układ jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T to prawdopodobieństwo p α, że układ znajduje się w mikrostanie α jest proporcjonalne do exp( βe α ), gdzie β = /k B T, k B =.38 0 23 J K jest stałą Boltzmanna. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 7 / 35

Prawdopodobieństwo jest równe: P eq (α) p α = Z exp( βe α). (33) Rozkład prawdopodobieństwa zdefiniowany wzorem (33) nosi nazwę rozkładu Gibbsa i przy jego pomocy można oczywiście wyznaczyć średnią termodynamiczną < X > dowolnej wielkości X (np. energii, magnetyzacji itd.): < X >= p α X α = P eq (α)x α (34) α α Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 8 / 35

X - pewna zmienną losową, która może przyjmować jedną z dopuszczalnych wartości X α zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa Gibbsa p α. Rozkład prawdopodobieństwa naszej zmiennej losowej może zmieniać się w czasie. Niech naszą zmienną losową będzie magnetyzacja: m = N N S i (35) i= P m (0) = δ m,m0 = δ m, (T 0) Niech T >> 0 rozkład P m będzie ewoluował. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 9 / 35

Ewolucja zmiennej losowej W teorii prawdopodobieństwa jest to tak zwany proces stochastyczny. Procesem stochastycznym nazwiemy funkcję, która każdej chwili t przypisuje pewną zmienną losową X t. Z punktu widzenia fizyki statystycznej proces stochastyczny - zespół realizacji procesu (tzw. trajektorii). Zmienną losowa była magnetyzacja (poziom makro) Zmienna losowa - onfiguracja σ opisująca mikrostan układu (fizyka statystyczna) Założenie - proces stochastyczny jest markowski. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 20 / 35

Procesy Markowa to procesy stochastyczne polegające na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Zdefiniujmy proces stochastyczny z czasem dyskretnym t < t 2 <... < t n, dla układu ze skończoną liczbą możliwych stanów σ, σ 2, σ 3,..., σ N. Zmienna losowa X t opisuje stan układu w chwili t. Warunkowe prawdopodobieństwo na to, że X tn = σ in można zapisać: P(X tn = σ in X tn = σ in, X tn 2 = σ in 2,..., X t = σ i ), (36) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 2 / 35

Dla procesu Markowa, w którym prawdopodobieństwo warunkowe jest zależne tylko od poprzedniego stanu: P(X tn = σ in X tn = σ in,..., X t = σ i ) = P(X tn = σ in X tn = σ in ). (37) Powyższe prawdopodobieństwo warunkowe może być interpretowane jako prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do stanu j Spełnia ono warunki: W ij = W (σ i σ j ) = P(X tn = σ j X tn = σ i ). (38) W ij 0, W ij =, (39) j Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 22 / 35

W przypadku łańcucha Markowa, zapisać prawdopodobieństwo P(X tn = σ j ) tego, że w czasie t n układ znajdzie się w stanie σ j jako: P(X tn = σ j ) = P(X tn = σ j X tn = σ i )P(X tn = σ i ) (40) Równanie master opisuje dynamikę takiego układu, czyli zmianę prawdopodobieństwa P w czasie t (przy założeniu, że interwały czasowe są nieskończenie małe możemy przejść do postaci ciągłej P(X tn = σ j ) = P(σ j, t)): dp(σ j, t) dt = i W ji P(σ j, t) + i W ij P(σ i, t). (4) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 23 / 35

Żądamy aby po pewnym czasie P(σ j, t) osiągnęło rozkład równowagowy Gibbsa: P eq (σ j ) = Z e E(σ j)/t. (42) warunek równowagi szczegółowej (inaczej warunek mikroodwracalności): W ji P eq (σ j ) = W ij P eq (σ i ). (43) W ogólności układ może nie osiągać stanu równowagowego, lecz jedynie stan stacjonarny, tzn. dp(σ j, t) = 0. (44) dt W takim przypadku, z równanie fundamentalnego: W ji P stady state (σ j ) = i i W ij P stady state (σ i ). (45) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 24 / 35

Przykład: Model stochastyczny Glaubera Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 25 / 35

Rozważmy układ N cząstek o spinie /2 Każda cząstka w chwili t znajduje się w stanie σ j (t) = ± W każdej chwili czasu mamy jeden z 2 N możliwych stanów p(σ,..., σ N, t) - prawdopodobieństwo, że w chwili t układ jest w stanie σ,..., σ N w i (σ i ) - prawdopodobieństwo na jednostkę czasu zmiany σ i σ i, podczas gdy inne j i (j =,.., N) pozostają bez zmian Można teraz zapisać równanie fundamentalne, ale jak wybrać w i (σ i )? Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 26 / 35

w(σ i ) = α 2 [ ] 2 γσ i(σ i + σ i+ ), (46) σ i σ i σ i+ w(σ i ) 2α( γ) 2α( γ) 2 2 α( + γ) α( γ) α 2 α 2 α 2 α 2 (47) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 27 / 35

Jaki jest związek z modelem Isinga H = J i σ iσ i+? Jeżeli układ osiągnie równowagę w temperaturze T to wówczas spełniony ma być warunek równowagi szczegółowej: p j ( σ i ) p j (σ i ) = w i(σ i ) w i ( σ i ) (48) Z drugiej strony w stanie równowagi: p j (σ i ) exp[jβσ i (σ i + σ i+ )] (49) To daje warunek: γ = tanh (2J/k B T ) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 28 / 35

γ = tanh (2J/k B T ) 0.8 0.6 γ 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 0 T [2J/k=] Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 29 / 35

lim T w(σ i ) =?, γ = 0 w(σ i ) = α 2 lim T 0 w(σ i ) =?, γ = w(σ i ) = α 2 [ ] 2 σ i(σ i + σ i+ ), (50) σ i σ i σ i+ w(σ i ) 2α( γ) = 0 2α( γ) = 0 2 2 α( + γ) = α α( γ) = α α 2 α 2 α 2 α 2 (5) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 30 / 35

Warunek równowagi szczegółowej spełnia również funkcja Metropolisa W ij = min(, exp( β H)). (52) Algorytm Metropolisa: Wybierz stan początkowy (np. σ i = dla i =, 2,..., N) 2 Wybierz (losowo) węzeł i. 3 Oblicz zmianę energii E gdy σ i zmienia wartość na przeciwną tzn. σ i σ i 4 Wygeneruj liczbę losową r z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, ). 5 Jeżeli r < exp( E/k B T ) to zmianę akceptuj. 6 Wróć do 2 Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 3 / 35

Rysunek: Zależność magnetyzacji od temperatury w dwuwymiarowym modelu Isinga bez pola. Wyniki uzyskane droga symulacji Monte Carlo przez pana Macieja Tabiszewskiego (październik 2009). Rozmiar siatki 00 00, czas termalizacji 00MCS, liczba uśrednień 00. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 32 / 35

Rysunek: Podatność magnetyczna ξ = m h Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 33 / 35

Rysunek: Ciepło właściwe c h=0 = 2 f β 2. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 34 / 35

Rysunek: Zależność temperatury krytycznej od rozmiaru układu - finite size scalling. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 35 / 35