Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy wyraz MATEMATYKA.. chłopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a)chłopcy stoją obok siebie b)chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę. 3.Cyfry 0,,,...,9 ustawiono losowo. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a)między 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry b),,3,4 będą stały obok siebie. 4.Przy okrągłym stole usiadło dziesięć kobiet i dziesięciu mężczyzn. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie siedzą koło siebie. 5.Z grupy 5 osób w której jest 0 kobiet i 5 mężczyzn wybrano a)3 osoby na stanowisko starszego specjalisty. b)3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i wiceprezesa ds. produkcji) Dla każdego z przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie kobiety 6.W pudełku jest 6 śrubek dobrych i złe. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wybranych śrubek są 3 dobre i zła. 7.Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybierając szlaki losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo iż będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem? 8.Rzucam razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo a)wyrzucenia dwukrotnie tego samego? b)wyrzucenia w sumie 0 oczek? 9.Autobus zatrzymuje się na 0 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów, z których każdy musi wysiąść na jednym z przystanków. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo iż każdy spośród 8 pasażerów wysiądzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieństwo iż wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku. 0.Na ile sposobów możemy podzielić 5 delicji szampańskich między 4 osoby, tak aby każda dostała a)przynajmniej jedno ciasteczko? b)przynajmniej ciasteczka? Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych..do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 0 osób. Oblicz prawdopodobieństwo iż na każdym z pięter wysiądzie dokładnie 5 osób. Oblicz prawdopodobieństwo iż przynajmniej na jednym piętrze nikt nie wysiądzie. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych..z liczb -00 wylosowano. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo iż ich suma jest podzielna przez 3.

3.Z tali brydżowej zawierającej 5 karty losuje 4. Policz prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej damy. 4.Używając różnych cyfr ze zbioru Z = { 3,4,5,7,9 } utworzono liczbę trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a)jedną z cyfr jest 7 b)jest to liczba parzysta. 3

Własności prawdopodobieństwa. Niech A,B,C będą zdarzeniami. Niech ponadto: P A = 0,5; P B = 0,; P C = 0,4; P A C = 0,; P B C = 0,; P A B = 0,; A B C = Policz prawdopodobieństwo: a)zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń b)zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A,B,C c)zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń A,B,C d)nie zachodzi żadne z tych zdarzeń..udowodnij, że P ( A B) P( A) + P( B). 3.Dane są P ( A B) = i P( A B) =, P( A \ B) = P( B \ A). Oblicz P ( A), P( A \ B). 4 3 4.Dane są P ( A) =, P( B) =, A B =. Uporządkować rosnąco 4 4 P( A B), P( A B ), P( A B). 5.Mając dane zdarzenia niezależne A i B o prawdopodobieństwach: P ( A) = 0,4 oraz P( B) = 0, 6, znajdź: a) P( A / B) P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) P( A B). 6.Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie. 7. P ( A) = P( B) =. Wykaż, że P ( A B) =. 8.W szafce jest 0 par kaloszy w0 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa? 9.Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy ze swoją żoną? 0. Rzucam 0-krotnie monetą symetryczną. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby orłów..kot i mysz wędrują po kracie n na n (rys ), Startują z przeciwległych rogów i zmierzają do rogów przeciwległych. Poruszają się w tym samym tempie i zawsze do przodu. Jeśli spotkają się wygrywa kot, jeśli nie wygrywa mysz. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa dla każdego z nich? 4

Rys 5

Prawdopodobieństwo geometryczne.z odcinka [,3] losujemy liczbę policz prawdopodobieństwo, iż: a) wylosowana liczba będzie dodatnia b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od d) będzie to liczba wymierna.z odcinka [, ] losujemy liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich suma jest dodatnia, b) ich maksimum jest mniejsze od, c) jedna z nich jest razy większa od drugiej, d) jedna jest wymierna, e) obie są niewymierne. 0 losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich minimum jest większe od, b) ich maksimum jest większe od 3, c) jedna z nich jest liczbą naturalną. 4.Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Wyznacz prawdopodobieństwo że długość jej nie przekracza boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło. a) Cięciwę losujemy ustalając punkt na obwodzie koła i losując drugi punkt b) Cięciwę losujemy poprzez wylosowanie z koła punktu będącego środkiem cięciwy c) Wymyśl inny sposób losowania cięciwy Porównaj otrzymane wyniki. 5.Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudować trójkąt? 6.Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu cm, która upadła na stół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła brzegu stołu? 7.Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o 3.Z odcinka [,5] szerokości a ( l a). Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 6

Prawdopodobieństwo inne modele, prawdopodobieństwo warunkowe, badanie niezależności zdarzeń,prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa..Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie orłów..rzucam sześcienną kostką, która ma ściankę z oczkiem, ścianki z oczkami i 3 ścianki z 3 oczkami. Rzucam tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4 oczek? 3.Rzucam kostką a następnie monetą tylokrotnie ile wypadło oczek na kostce. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia a)dokładnie 5 orłów. b)przynajmniej reszki 4.Do urny wkładam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz białe. Z urny losuje kolejno 3 kule. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wylosowania kul we wszystkich kolorach. 5.Rzucam kostką do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo: c)rzucaliśmy parzystą ilość razy d)rzucaliśmy mniej niż 5 razy. 6.Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia razy pod rząd tej samej strony monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo iż rzucaliśmy nieparzystą ilość razy. 7.Dwóch graczy A i B rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich. 8.Trzech graczy A,B i C rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich. 9.Rzucam razy kostką do gry. Niech A zdarzenie polegające na wyrzuceniu szóstki w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegające na wyrzuceniu lub w drugim rzucie, zaś C zdarzenie polegające na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj niezależność: a)zdarzeń A i B b)zdarzeń A i C c)zdarzeń A,B,C razem. 0.Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła 6, jeśli na każdej kostce jest inny wynik..mamy trzy krążki. Jeden z dwóch stron jest biały, drugi ma obie strony czarne a trzeci jedną czarną a drugą białą. Rzucaliśmy losowo wybranym krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Policz prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie jest kolor czarny..wybrano losowo rodzinę z dwójką dzieci i okazało się, że jedno z nich ma na drugie imię Piotrek ( co nie znaczy że drugie nie ma na imię Piotrek). Jaka jest szansa, że drugie dziecko też jest chłopcem. 7

3.Jaka jest szansa, że każdy z graczy S,E,W ma co najmniej asa, jeśli wiadomo, że gracz N nie dostał żadnego. 4.W urnie znajduje się 3 kule białe i 7 czarnych. Losuje z urny 0 razy ze zwrotem. Policz prawdopodobieństwo tego, że: e)wylosuje 0 kul czarnych f)wylosuje 4 kule czarne g)wylosuje co najmniej kule czarne. 5.Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p = 5. Ile razy powinien strzelić aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,5 trafił dzika przynajmniej raz. 6.Rzucono 0 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że h)otrzymano 4 trójki, i)w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki? 7.Zadanie Banacha o zapałkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek?( k=,,3,...,m gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk ma pełne pudełka.) 8.Rzucam kostką a następnie monetą tyle razy ile wypadło oczek na kostce. Policz prawdopodobieństwo: j)wyrzucenia 3 orłów, k)wyrzucenia 6 oczek jeśli wypadły 3 orły, l)wyrzucenia 6 oczek jeśli nie wypadł ani jeden orzeł 9.Z jednej urny zawierającej 4 białe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej zawierającej 8 białych kul przekładamy dwie losowo wybrane kule. Następnie z drugiej urny losujemy kule. Policz prawdopodobieństwo iż: m)jest to kula biała, n)przełożyliśmy dwie kule białe jeśli wylosowana kula okazała się biała. 0.W urnie znajduje się a losów wygrywających, b losów przegrywających i c losów losuj dalej. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla a=00 i b=00..dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z graczy..fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 00 000 samochodów a pozostałe 300 000 samochodów pochodzi z importu. 0% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 0% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieństwo iż: o)losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski p)losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeśli okazał się niebieski. 8

Zmienna losowa dyskretna.rzucamy dwa razy kostką do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa: P 0 X 0 a) ( ) b) P( X > 5) c) P( X ( 5,8] / X 7).Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X ilość pól pod jego biciem. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa: a) P( X 3) P X < a, b) ( ) a R 3.Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p = 4. Niech zmienna X ilość strzałów poprzedzających trafienie. Znajdź rozkład zmiennej X. 4.W urnie znajduje się 0 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule. Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład zmiennej X. Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5.Znajdź rozkład zmiennej Y = 3X 4 dla zmiennej X z poprzedniego zadania. 6.Znajdź rozkład zmiennej Y = X dla X z zadania. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y. k 7.Niech P( k) = c, dla k = 0,,,..., dla jakiego c jest to rozkład pewnej 3 zmiennej. 8. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję w podstawowych rozkładach dyskretnych a)0-(zero-jedynkowym) z parametrem p ( P( ) = p, P(0) = p ) n k n k b)bernouliego ( P( k) = p q, gdzie k = 0,,,..., n i p + q = k k c)geometrycznym P( k) = q p, gdzie k = 0,,,... i p + q = k λ λ d)poissona P( k ) = e, k = 0,,,... k! 9.Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 złoty jeśli wypadnie 6 oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa. 0.Dwaj gracze grają w następującą grę: Pierwszy losuje z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych do momentu wylosowania kuli białej i zdobywa tyle punktów ile razy losował Drugi rzuca monetą do momentu wyrzucenia orła, ale niezależnie od wyniku kończy po maksymalnie 6 rzutach. Zdobywa on tyle punktów ile wykonał rzutów monetą. Wygrywa ten z graczy, który zdobędzie więcej punktów. Którym graczem chcesz zostać? 9

.Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia po raz drugi. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką..rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła po raz trzeci. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów. 3.W urnie jest n kul spośród, których jedna jest biała. Losujemy z urny po kuli do momentu wylosowania kuli białej. Niech X ilość losowań. Znajdź rozkład X jeśli: a)losujemy ze zwrotem, b)losujemy bez zwracania. 0

Zmienna losowa ciągła.z odcinka [ 3,5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie: a) wybraną liczbą, b) odległością wybranej liczby od 5, c) odległością wybranej liczby od 0, d) kwadratem wybranej liczby, e) całością z wybranej liczby. W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu( o ile istnieje)..dwie osoby mają się spotkać między godziną 8 a 9 w pubie. Osoba która przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 5 minut. Zmienna losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość. 3.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: dla x f ( x) = ax dla 0 < x < 0 dla pozostaych x gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X. 4.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: λ x λ e dla x > 0 f ( x) = 0 dla x 0 gdzie pewna λ nieznana stała.(rozkład mający powyższą gęstość to rozkład wykładniczy). Znajdź λ wiedząc, że P{ ϖ Ω : X ( w) < } = P{ ϖ Ω : X ( w) > 4}. Policz dystrybuantę tej zmiennej. 5.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: ax e dla x > 0 f ( x) = 0 dla x 0 gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X. 6.Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych rozkładach ciągłych: a) jednostajnym nad odcinkiem [ a,b] b) Couchiego c) Gaussa d) wykładniczego 7.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,]. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Y = X + 3. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wariancji. 8.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,]. Znajdź wartość oczekiwaną rozkładu Y = X. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej. 9.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ 0,]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X + 3.

0.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,] zmiennej Y = X..Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [, ]. Znajdź rozkład. Znajdź rozkład zmiennej Y = X..Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [, ]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 3.Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 4.Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Znajdź rozkład zmiennej Y = X + 3. 5.Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y =. X 6.Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 7.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ i m. Znajdź rozkład X m zmiennej Y =. σ 8.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ = i m =. Korzystając z tablic matematycznych znajdź prawdopodobieństwo P { 0 < X < }.

Rozkłady dwuwymiarowe, niezależność zmiennych.wektor losowy ( X, Y ). Niech rozkład wektora losowego ( Y ) macierzą P gdzie i j X, wyraża się P, oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez wektor X 0 wartości ( x i, y j ), gdzie y = 0, y =, y3 = zaś x = 0, x j = 4 3, P =. 0 4 6 Znajdź dystrybuantę wektora losowego, zbadaj niezależność zmiennych X,Y..Rzucamy razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. 3.Rzucamy razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. 4.Rzucamy razy kostką do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a Y maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. c( x y + y ), dla x [ 0, ] i y [ 0,] 5.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y) = 0 dla pozostaych x, y była gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. ( x+ y ) ce, dla x > 0 i y > 0 6.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y ) = była 0 dla pozostaych x, y gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. cy, dla 0 < x < i y [ 0, ] 7.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y ) = y była 0 dla pozostaych x, y gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. 8.Znajdź macierz kowariancji dla wektorów losowych z zadań,,3,4,5,6., dla ( x, y ) D 9.Niech funkcja: f X, Y ( x, y ) = gdzie 0 dla pozostaych x, y D = {( x, y ) R : y x < i y + x < }, gęstość dwuwymiarowego wektora (X,Y). Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Policz, że E(XY)=E(X) E(Y). 3

4