Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji = = ( τ ) ( τ t) dτ Podstawowe własności = ( t) Dla funkcji rzeczywistych = ( t) ( τ ) (0) = dτ ( τ ) (0) 2 Jeśli dla pewneo t 0 ( t 0 ) = 0 to synały (t) i (t-t 0 ) są ortoonalne.
Definicja widma enerii synału kwadrat widma amplitudoweo: 2 ( ω) = ( ω) X( ω) 2 A = Widmo enerii synału i funkcja autokorelacji synału tworzą parę transformat Fouriera: Dowód: iωτ iωτ ( ω) = ( τ ) e dτ ( τ ) = ( ω) e dω ωτ ( τ ) = i ( t τ ) dt = X( ω) X ( ω) e dω = X( ω) iωτ I[ ( τ t) ] = X( ω) e dyż Tw. Rayleiha 2 e iωτ dω Enerię synału można obliczyć: w dziedzinie czasu, jako całkę z kwadratu modułu synału, w dziedzinie korelacyjnej, jako (0), w dziedzinie częstotliwości, jako całkę z widma enerii podzieloną przez. E = π ( 0) = ( ω) dω = ( ω) dω 0 Π
Związki między synałem i jeo charakterystykami w dziedzinie częstotliwości i dziedzinie korelacyjnej ilustruje prosty diaram. Strzałki podwójne oznaczają na nim związki wzajemnie jednoznaczne, tj. jednoznaczne przejścia od jednej do druiej wielkości, natomiast strzałki pojedyncze oznaczają przejście tylko w jedną stronę. ( τ ) ( τ t) dτ (t) (t) I X(ω) (ω) X ( ω) 2 Funkcja autokorelacji synału stanowi jedynie częściowy opis synału. Znając te funkcję możemy odtworzyć widmo amplitudowe synału, tracimy jednak informację o widmie fazowym. Efektywny czas korelacji. tef 0 = dt ( 0) Zasada nieoznaczoności tef ω ef = const I I I Efektywna szerokość widma Podana definicja efektywneo czasu korelacji ma sens dla przypadku synałów, których funkcja autokorelacji maleje monotonicznie. Dla synałów o funkcji autokorelacji dążącej do zera oscylacyjnie można wprowadzić inne miary czasu korelacji. Zasada nieoznaczoności pozostaje w mocy bez wzlędu na sposób definiowania efektywneo czasu korelacji i efektywnej szerokości widma. ω ef = 0 ( ω) ma dω Dla synałów o oraniczonej mocy funkcje korelacyjne definiujemy jako wielkości raniczne (dla odróżnienia oznaczamy je literą psi). Właściwości funkcji autokorelacji synałów o oraniczonej mocy są podobne jak w przypadku synałów o oraniczonej enerii. ψ = lim T ( τ ) 2T T T ( τ t) dτ Dla synału okresoweo definicja jest następująca: ψ t0 + T = ( τ ) ( τ t) dτ T t0 Wartość funkcji autokorelacji ψ (t) synału o oraniczonej mocy w punkcie t=0 jest rzeczywista i równa jeo mocy. Funkcja autokorelacji ψ (t) przybiera maksymalną co do modułu wartość dla t=0. Brak korelacji czasowej synałów oznacza ich ortoonalność. Funkcja autokorelacji synału o oraniczonej mocy posiada transformatę Fouriera w sensie ranicznym. Funkcja autokorelacji ψ (t) jest niezmiennicza wzlędem przesunięcia, tj. ψ (t)=ψ (t+t 0 ) dla dowolneo t 0. Funkcja autokorelacji synału okresoweo jest również okresowa o tym samym okresie.
Funkcja autokorelacji synału harmoniczneo jest funkcją kosinusoidalną o tym samym okresie co okres synału harmoniczneo i nie zależy od jeo fazy początkowej. Przykład ten świadczy dobitnie o tym, że funkcja autokorelacji nie zawiera informacji o fazie synału. Π
Dla synału skończoneo, dyskretneo funkcję widmowej ęstości mocy wyznacza się na podstawie funkcji autokorelacji: N N m [ m] = [ n] [ n m] n= 0 M [ k] = w[ m] m= ( M ) m = 0,,2,, M i mk K [ m] e K = N + ( M ) k = 0,,2,, K Procedurę można zrealizować w formie szybkiej tj z wykorzystaniem procedury FFT. Okazuje się bowiem, iż dla dłuieo ciąu danych koszt obliczenia funkcji korelacji [m] w sposób bezpośredni jest większy niż obliczenie tej funkcji w dziedzinie częstotliwościowej. Procedura dla synału [n], n=0,,,n- wyląda następująco:. Uzupełniamy cią [n] zerami do dłuości K=N+(M-) 2. Obliczamy K-punktową DTF 3. Liczymy kwadrat widma amplitudoweo X[k] 2 4. Obliczamy K-punktową, odwrotną DTF - M pierwszych wartości tworzy funkcję korelacji 5. Z pomocą wybraneo okna w[n] tworzymy synał: [ n] s = 0 [ n] w[ n] [ K n] w[ K n] 6. Obliczamy DTF dla synału s[n] 0 n M M n K M K M + n K
Widmową ęstość mocy aproksymuje się czasem za pomocą periodoramu - kwadratu widma amplitudoweo X[k] 2 synału. Jest to estymator obciążony aby otrzymać poprawę estymacji należy dokonać jeo uśrednienia w ruchomym oknie. Wynik będzie wówczas zbieżny do metody wykorzystującej funkcję korelacji.