Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH

Raport 10/2015 Modelowanie zachowania kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls z wykorzystaniem modeli ARIMA-GARCH autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem w ekonomii ul. Cystersów 13A/1 31-553 Kraków NIP: 6751504218 Regon: 123131534 tel. +48 (12) 341 46 48 kontakt@inime.pl www.inime.pl

Spis treści I. Wprowadzenie 5 1. Publikacje makroekonomiczne i wskaźnik US Nonfarm Payrolls.................... 5 2. Modele ARIMA i GARCH.......................................... 5 3. Charakterystyka danych......................................... 6 II. Metodologia badań 7 III. Wyniki 8 1. Stopień integracji procesu........................................ 8 2. Dobór modeli ARMA........................................... 19 2.1. Odczyt z dnia 2015-01-07...................................... 20 2.2. Odczyt z dnia 2015-02-06...................................... 21 2.3. Odczyt z dnia 2015-03-06...................................... 23 2.4. Odczyt z dnia 2015-04-03...................................... 24 2.5. Odczyt z dnia 2015-05-08...................................... 26 2.6. Odczyt z dnia 2015-06-05...................................... 27 2.7. Odczyt z dnia 2015-07-02...................................... 29 2.8. Odczyt z dnia 2015-08-07...................................... 30 2.9. Odczyt z dnia 2015-09-04...................................... 32 2.10. Odczyt z dnia 2015-10-02...................................... 33 2.11. Odczyt z dnia 2015-11-06...................................... 35 3. Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem normalnym............... 36 3.1. Odczyt z dnia 2015-01-09...................................... 37 3.2. Odczyt z dnia 2015-02-06...................................... 39 3.3. Odczyt z dnia 2015-03-06...................................... 42 3.4. Odczyt z dnia 2015-04-03...................................... 44 3.5. Odczyt z dnia 2015-05-08...................................... 47 3.6. Odczyt z dnia 2015-06-05...................................... 49 3.7. Odczyt z dnia 2015-07-02...................................... 51 3.8. Odczyt z dnia 2015-08-07...................................... 54 3.9. Odczyt z dnia 2015-09-04...................................... 56 3.10. Odczyt z dnia 2015-10-02...................................... 58 3.11. Odczyt z dnia 2015-11-06...................................... 61 4. Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem t-studenta................ 63 4.1. Odczyt z dnia 2015-01-09...................................... 63 str. 2

4.2. Odczyt z dnia 2015-02-06...................................... 66 4.3. Odczyt z dnia 2015-03-06...................................... 68 4.4. Odczyt z dnia 2015-04-03...................................... 70 4.5. Odczyt z dnia 2015-05-08...................................... 73 4.6. Odczyt z dnia 2015-06-05...................................... 75 4.7. Odczyt z dnia 2015-07-02...................................... 76 4.8. Odczyt z dnia 2015-08-07...................................... 78 4.9. Odczyt z dnia 2015-09-04...................................... 80 4.10. Odczyt z dnia 2015-10-02...................................... 83 4.11. Odczyt z dnia 2015-11-06...................................... 83 IV. Wnioski 86 str. 3

Streszczenie Publikacja wskaźnika US Nonfarm Payrolls, informującego o zmianie w liczbie zatrudnionych w przemyśle i usługach Stanów Zjednoczonych jest jedną z najbardziej wpływowych informacji makroekonomicznych. Ogłoszenie tego odczytu powoduje zazwyczaj gwałtowny skok kursów walutowych powiązanych z Dolarem amerykańskim i jest przyczyną znacznego pobudzenia rynku, rozpoczynającego się kilka minut przed planowaną datą publikacji i utrzymującego się przez kilkadziesiąt minut po niej. Niniejszy raport skupia się na próbie modelowania zachowania kursu EURUSD bezpośrednio po wystąpieniu pierwszego skoku wynikłego z opublikowania wskaźnika Nonfarm Payrolls. W próbach opisu zachowania kursu zastosowano model ARIMA-GARCH. str. 4

I. Wprowadzenie 1. Publikacje makroekonomiczne i wskaźnik US Nonfarm Payrolls Publikacje makroekonomiczne są ważnymi wskaźnikami informującymi o stanie gospodarek krajów, których dotyczą. Zazwyczaj tym pojęciem definiuje się istotne informacje dotyczące struktury stóp procentowych, inflacji, koniuktury gospodarczej i sytuacji społecznej. Ważną cechą odczytów makroekonomicznych jest fakt iż ich publikacja ma miejsce według z góry ustalonego i podanego do informacji publicznej harmonogramu. Ponadto posiadają one wartość liczbową, co pozwala na ich prostą interpretację. Na kilka dni przed planowanym ogłoszeniem odczytu agencje informacyjne Reuters i Bloomberg publikują prognozy wartości dla najważniejszych wskaźników makroekonomicznych istotnych gospodarek. Prognozy przygotowywane są na podstawie ankiet przeprowadzanych w grupie ekonomistów i analityków rynku. Sam fakt opublikowania odczytu wiąże się zazwyczaj z wystąpieniem znacznego i błyskawicznego skoku kursu waluty powiązanej z danym odczytem. Znaczne odbieganie wartości odczytu od prognoz wydatnie wzmacnia to zjawisko, a co więcej pozwala na przewidywanie kierunku pierwszego ruchu. W związku z tym odnotowuje się zdecydowanie zwiększoną aktywność inwestorów spekulacyjnych w okresach bezpośrednio poprzedzających i następujących tuż po ogłoszeniu ważnych odczytów makroekonomicznych. Aktywność ta powoduje znaczny wzrost zmienności kursu i wpływa na zmianę jego statystycznych charakterystyk. Wskaźnik US Nonfarm Payrolls jest jednym z najbardziej wpływowych na kurs EURUSD odczytów makroekonomicznych. Jego publikacja następuje w pierszy piątek miesiąca o 8:30 czasu wschodniego. Odczyt informuje o wzroście liczby zatrudnionych w Stanach Zjednoczonych Ameryki Północnej w stosunku do poprzedniego miesiaca z wyłączeniem osób zatrudnionych w rolnictwie, organizacjach non-profit i przy gospodarstwach domowych. Organizacją odpowiadającą za jego wyznaczenie i ogłoszenie jest Departament Pracy Stanów Zjednoczonych. 2. Modele ARIMA i GARCH Na potrzeby rozważań załóżmy, że (Ω, Σ, P) jest przestrzenią probabilistyczną, Φ n, n Z jest procesem stochastycznym określonym na zadanej przestrzeni i opisującym modelowane zjawisko, zaś y n jest zaobserwowanym szeregiem czasowym (ścieżką) tego procesu (tzn. dla każdego n y n = Φ n (ω) gdzie ω Ω). Modele klasy ARIMA (autoregressive integrated moving average) są jednymi z najpowszechniej stosowanych modeli służących do opisu i predykcji szeregów czasowych. Jeżeli proces Φ n jest słabostacjonarny (tzn. E(Φ n ) = E(Φ n+k ) dla każdego k Z oraz Cov(Φ n, Φ k ) = f( n k ), gdzie f jest pewną funkcją) to może zostać zapisany w postaci: Φ n = ν + α 1 Φ n 1 + α 2 Φ n 2 +... + α p Φ n p + ϵ n + β 1 ϵ n 1 + β 2 ϵ n 2 +... + β q ϵ n q (I.1) gdzie ν, α 1,..., α p, β 1,..., β p R, zaś (ϵ k ) k Z jest białym szumem (słabostacjonarnym procesem stochastycznym o zerowej wartości średniej, funkcji kowariancji Cov(ϵ n, ϵ k ) = 0 dla k n oraz wariancji równej σ 2. Takie przedstawienie procesu stacjonarnego oznaczane jest jako ARMA(p,q). Pierwsza część równania związana jest ze strukturą autoregresyjną procesu (AR), zaś druga odpowiada za proces średniej str. 5

ruchomej (MA). W przypadku, gdy proces Φ nie jest stacjonarny należy zdefiniować nowy proces przyrostów jako: Φ n = Φ n Φ n 1. Jeżeli otrzymany proces w dalszym ciągu nie jest stacjonarny należy przejść do przyrostów wyższego rzędu, tzn. Φ n = Φ n Φ n 1 itd. Ilość transformacji tego typu niezbędnych do uzyskania stacjonarności nazywana jest stopniem zintegrowania procesu. Zazwyczaj nie obserwuje się procesów o stopniu zintegrowania większym niż 2. W praktyce posiadamy informację o tylko jednej z możliwych ścieżek procesu i to na jej podstawie dokonujemy identyfikacji modelu. Modele klasy GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) znajdują zastosowanie w modelowaniu szeregów czasowych o niestałej zmienności (wariancji). Proces y n nazywamy procesem GARCH(p,q) gdy można zapisać go w postaci: { yn = h n ϵ n h n = α 0 + α 1 yn 1 2 + α 2 yn 2 2 +... + α p yn p 2 (I.2) + β 1 h n 1 + β 2 h n 2 +... + β q h n q przy czym zakładamy, że α 0 > 0,, α 1,...α p, β 1, β 2,..., β q 0. W zastosowaniach często spotyka się połączenie dwóch modeli, tzn zakłada się, że analizowany szereg czasowy jest realizacją procesu opisanego równanem I.1, oraz że proces ϵ k z definicji procesu ARMA spełnia równanie I.2. Tak określone modele nazywa się modelami ARIMA-GARCH. 3. Charakterystyka danych W przeprowadzonych badaniach wykorzystano dane tickowe, przedstawiające kolejne kwotowania pary walutowej EURUSD. Dane tickowe charakteryzują się dużą nieregularnością. W okresie spokoju na rynku, dla analizowanych danych, występuje od kilku do kilkunastu kwotowań w ciągu minuty zaś w czasie wzmożonej aktywności inwestorów liczba ta może wzrosnąć do kilkuset kwotowań w ciągu minuty. W związku z wymogiem posiadania regularnego szeregu czasowego niezbędne było wykonanie odpowiedniej transformacji danych. Na potrzeby badań jako minimalną różnicę czasu pomiędzy kolejnymi obserwacjami wartości kursu przyjęto t =1 sekunda. Jako wartości kursu w ustalonej chwili t przyjęto średnią wartość kursu na przestrzeni ostatniej sekundy. W przypadku braku kwotowań w danej sekundzie zastosowano interpolację liniową na podstawie najbliższych, sąsiadujących z daną sekundą wartości. Należy odnotować, że takie podejście wiąże się z utratą potencjalnie istotnych informacji (takich jak zachowanie kursu na przestrzeni ustalonej sekundy lub częstotliwość kwotowań), zastosowanie transformacji innego typu może znacznie wpłynąć na jakość otrzymanych wyników. W analizach wykorzystano dane dotyczące kursu EURUSD z dni publikacji wskaźnika US Nonfarm Payrolls z okresu od 1 stycznia 2015 do 15 listopada 2015 obejmujące pierwsze piętnaście minut po ogłoszeniu odczytu, z pominięciem pierwszych dziesięciu sekund w celu usunięcia pierwszego nagłego skoku kursu mogącego wywierać zbyt duży wpływ na proces estymacji. Modele zostały dopasowane niezależnie od siebie, dla każdego dnia ogłoszenia odczytu osobno. str. 6

II. Metodologia badań Pierwszym problemem pojawiającym się przy próbie dopasowania modelu do danych empirycznych jest prawidłowe określenie ilości różnicowań szeregu czasowego niezbędnych do uzyskania jego stacjonarności. W niniejszym badaniu w tym celu zastosowano rozszerzony test Dickeya-Fullera dostępny w bibliotece tseries programu R. Rozpoczynając od szeregu reprezentującego wartości kursu EURUSD w kolejnych sekundach, dla każdego dnia wykonano sekwencję testów dla kolejnych różnicowań szeregu, aż do momentu odrzucenia hipotezy zerowej przez rozszerzony test Dickeya- Fullera (na poziomie istotności 0.05). Najmniejsza ilość różnicowań wystarczająca dla przyjęcia hipotezy o stacjonarności analizowanych szeregów została przyjęta jako stopień integracji procesu kursu EURUSD. Kolejnym zadaniem jest odpowiednie dobranie struktury modelu, czyli określenie rzędów opóźnień w modelu ARMA. Określenie rzędów opóźnień zostało dokonane na podstawie kryterium informacyjnego Akaikiego. Przyjęto, że zakres parametrów w modelu ARMA(p,q) wynosi 0-5 dla parametrów p i q. Następnie, za pomocą testu Ljung-Boxa przeprowadzonego dla kwadratów reszt modelu i i testu Engle a, sprawdzono hipotezę o heteroskedastyczności zmienności i występowaniu efektu ARCH. W przypadku wystąpnienia heteroskedastyczności niezbędne jest rozszerzenie modelu ARMA o element modelujący zmiany w strukturze zmienności w czasie. W przypadkach wykrycia efektu ARCH dokonywane było rozszerzenie poprzednio przyjętego modelu poprzez zastosowanie struktury GARCH do opisu składników losowych. Za nowy, najlepiej dopasowany model przyjmowany był ten, który minimalizował kryterium Akaikego. Przyjęto, że maksymalny dopuszczalny zakres parametrów w modelu ARMA(p,q)-GARCH(1,k) wynosi 0-5 dla p i q oraz 0-1 dla k. Estymacja parametrów wyznaczonych modeli została dokonana przy pomocy metody największej wiarygodności, przy zastosowaniu funkcji dostępnych w bibliotekach astsa oraz fgarch programu R. Ostatni etap badań dotyczy sprawdzenia założeń dotyczących reszt (standaryzowanych) wyestymowanego modelu (braku autokorelacji i zgodności z założonym rozkładem). Do przetestowania założeń o niezależności wykorzystano test Ljung-Boxa oraz wyznaczono wartości funkcji autokorelacji, zestawiając je następnie z 95% przedziałami ufności dla hipotezy o zerowej wartości tych funkcji. Zgodność z założonym rozkładem mierzona była przy pomocy testu Jarque-Bera w przypadku modelu z założonym warunkowym rozkładem normalnym oraz przy pomocy testu Kołmogorowa-Smirnowa w przypadku rozkładu t-studenta. Ponadto wykonano histogramy oraz wykresy kwantylowe w celu graficznego przedstawienia odstępstw od założeń. str. 7

III. Wyniki 1. Stopień integracji procesu Przeprowadzone analizy wyraźnie sugerują, że proces kursu EURUSD po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls jest procesem zintegrowanym w stopniu 1. Dla dziewięciu spośród jedenastu obserwacji rozszerzony test Dickeya-Fullera nie odrzucił hipotezy o istnieniu pierwiastka jednostkowego dla oryginalnego procesu kursu, ale odrzucił ją dla jego pierwszych przyrostów. W pozostałych dwóch przypadkach test ADF odrzucił hipotezę zerową dla oryginalnego procesu cen. Na podstawie otrzymanych wyników podjęto decyzję o rozważaniu w dalszych badaniach jedynie pierwszych przyrostów procesu kursu Euro do Dolara Amerykańskiego (nawet dla obserwacji dla których test ADF odrzucił hipotezę o losowym błądzeniu kursu). Uzasadnieniem takiego postępowania jest realistyczne założenie o niewystępowaniu zmian w stopniu integracji procesu kursu w kolejnych obserwacjach. Poniższa tabela przedstawia wyznaczone wartości p-value dla rozszerzonego testu Dickeya-Fullera, przy ustalonym stopniu integracji procesu, w kolejnych dniach ogłoszenia odczytu. Data i godzina publikacji (w czasie UTC) stopień 0 stopień 1 stopień 2 2015-01-09 13:30:00 0.45557549 0.01 0.01 2015-02-06 13:30:00 0.59622003 0.01 0.01 2015-03-06 13:30:00 0.02395935 0.01 0.01 2015-04-03 12:30:00 0.36265810 0.01 0.01 2015-05-08 12:30:00 0.77267784 0.01 0.01 2015-06-05 12:30:00 0.62696777 0.01 0.01 2015-07-02 12:30:00 0.56044408 0.01 0.01 2015-08-07 12:30:00 0.21836135 0.01 0.01 2015-09-04 12:30:00 0.01000000 0.01 0.01 2015-10-02 12:30:00 0.80573832 0.01 0.01 2015-11-06 13:30:00 0.07198719 0.01 0.01 Na poniższych wykresach zaprezentowano oryginalny proces kursu EURUSD oraz jego pierwsze i drugie przyrosty (przeskalowane do wartości wyrażonej w punktach) dla kolejnych dni ogłoszenia odczytu. str. 8

Data 2015 11 06 13:30:00 Delta 91 Kurs 1.071 1.074 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 50 50 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 100 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 9

Data 2015 02 06 13:30:00 Delta 33 Kurs 1.136 1.138 1.140 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 60 20 20 60 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 50 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 10

Data 2015 03 06 13:30:00 Delta 24 Kurs 1.088 1.094 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 100 0 50 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 50 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 11

Kurs 1.096 1.098 1.100 Data 2015 04 03 12:30:00 Delta 118 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 60 20 20 60 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 50 0 50 100 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 12

Data 2015 05 08 12:30:00 Delta 1 Kurs 1.118 1.122 1.126 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 100 50 0 50 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 50 0 50 100 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 13

Data 2015 06 05 12:30:00 Delta 55 Kurs 1.108 1.112 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 50 0 50 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 50 150 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 14

Data 2015 07 02 12:30:00 Delta 7 Kurs 1.108 1.110 1.112 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 40 0 20 40 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 40 0 20 40 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 15

Data 2015 08 07 12:30:00 Delta 8 Kurs 1.086 1.088 1.090 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 40 0 20 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 60 20 20 60 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 16

Data 2015 09 04 12:30:00 Delta 47 Kurs 1.110 1.114 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 100 0 50 100 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 50 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 17

Data 2015 10 02 12:30:00 Delta 61 Kurs 1.124 1.128 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 20 0 20 40 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 20 0 20 40 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) str. 18

Data 2015 11 06 13:30:00 Delta 91 Kurs 1.071 1.073 1.075 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Przyrosty Przyrost (w punktach) 50 0 50 100 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) Drugie przyrosty (w punktach) 100 0 50 Drugie przyrosty 30:00 35:00 40:00 45:00 Czas (minuty) 2. Dobór modeli ARMA Kolejny etap badań skupiał się na próbach jak najlepszego dopadowania modeli klasy ARMA(p,q) do danych. Poniższa tabela przedstawia wyznaczone (najlepsze) wartości parametrów p i q oraz wartość kryterium AIC osiągniętą dla każdego z modeli. str. 19

Data i godzina publikacji (w czasie UTC) p q AIC 2015-01-09 13:30:00 3 0 6474.136 2015-02-06 13:30:00 3 5 6606.510 2015-03-06 13:30:00 4 4 6901.470 2015-04-03 12:30:00 5 5 6751.475 2015-05-08 12:30:00 1 1 7079.996 2015-06-05 12:30:00 3 4 6823.791 2015-07-02 12:30:00 3 5 6316.815 2015-08-07 12:30:00 5 3 6363.350 2015-09-04 12:30:00 5 4 6962.338 2015-10-02 12:30:00 4 3 6192.236 2015-11-06 13:30:00 5 5 7002.634 W kolejnych podrozdziałach przedstawiono wyniki estymacji parametrów oraz sprawdzenia założeń dla wyznaczonych modeli. 2.1. Odczyt z dnia 2015-01-07 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,0) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 0.3161 0.0020 0.0819 s.e. 0.0335 0.0352 0.0336 sigma^2 estimated as 84.39: log likelihood = -3233.07, aic = 6474.14 Standardized Residuals 4 0 2 4 1420806600 1420806800 1420807000 1420807200 1420807400 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.1 0.3 0.5 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 4 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 5 10 15 20 str. 20

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 5 10 15 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 24.808, df = 1, p-value = 6.333e-07 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.2. Odczyt z dnia 2015-02-06 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.7686 0.5732-0.9238-0.5989-0.5902 0.7555 0.0362 0.1513 s.e. 0.0324 0.0547 0.0323 0.0467 0.0603 0.0409 0.0412 0.0340 sigma^2 estimated as 96.25: log likelihood = -3294.25, aic = 6606.51 str. 21

Standardized Residuals 6 2 2 6 1423225800 1423226000 1423226200 1423226400 1423226600 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.1 0.4 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 6 2 2 6 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 10 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 55.315, df = 1, p-value = 1.027e-13 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 22

2.3. Odczyt z dnia 2015-03-06 W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4 0.1579-0.2940 0.1185 0.6680 0.0458 0.3625 0.1115-0.5622 s.e. 0.1944 0.1688 0.1868 0.1587 0.1858 0.1249 0.1740 0.1091 sigma^2 estimated as 134.9: log likelihood = -3441.73, aic = 6901.47 10 5 0 5 Standardized Residuals 1425645000 1425645200 1425645400 1425645600 1425645800 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.2 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 10 5 0 5 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 10 12 14 16 18 20 str. 23

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 5.3195, df = 1, p-value = 0.02109 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.4. Odczyt z dnia 2015-04-03 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.2815 0.6724 0.8528-0.6222-0.3186-0.0576-0.7414-0.9781 0.4742 0.4496 s.e. 0.1935 0.1039 0.0695 0.1513 0.1329 0.1886 0.1051 0.0642 0.1617 0.1171 sigma^2 estimated as 112.9: log likelihood = -3364.74, aic = 6751.48 str. 24

Standardized Residuals 6 2 2 6 1428057000 1428057200 1428057400 1428057600 1428057800 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.1 0.3 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 6 2 2 6 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 26.912, df = 1, p-value = 2.13e-07 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 25

2.5. Odczyt z dnia 2015-05-08 W wyniku dopasowania modelu ARMA(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ma1 0.4491-0.2663 s.e. 0.1535 0.1660 sigma^2 estimated as 167.2: log likelihood = -3537, aic = 7080 Standardized Residuals 6 2 2 1431081000 1431081200 1431081400 1431081600 1431081800 Time 0.1 0.2 0.4 of Residuals 0 10 20 30 40 LAG Sample Quantiles 6 2 2 Normal Q Q Plot of Std Residuals 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 5 10 15 20 str. 26

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 5 10 15 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 159.92, df = 1, p-value < 2.2e-16 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.6. Odczyt z dnia 2015-06-05 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4-0.7739 0.5551 0.8810 0.8943-0.4508-0.8626-0.0349 s.e. 0.0653 0.1079 0.0649 0.0732 0.1294 0.0998 0.0400 sigma^2 estimated as 123.8: log likelihood = -3403.9, aic = 6823.79 str. 27

Standardized Residuals 5 0 5 1433500200 1433500400 1433500600 1433500800 1433501000 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.1 0.3 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 5 0 5 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 8 10 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 8 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 80.633, df = 1, p-value < 2.2e-16 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 28

2.7. Odczyt z dnia 2015-07-02 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.1693-0.1869 0.9752 0.1209 0.2029-0.957-0.2569-0.0758 s.e. NaN NaN NaN 0.0235 0.0236 NaN 0.0336 0.0345 sigma^2 estimated as 69.49: log likelihood = -3149.41, aic = 6316.82 Standardized Residuals 4 0 4 1435833000 1435833200 1435833400 1435833600 1435833800 Time 0.2 0.2 of Residuals 0 10 20 30 40 LAG Sample Quantiles 4 0 4 Normal Q Q Plot of Std Residuals 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 10 12 14 16 18 20 str. 29

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 19.266, df = 1, p-value = 1.137e-05 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.8. Odczyt z dnia 2015-08-07 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,3) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 0.5128-0.6144 1.0085-0.2023 0.0688-0.2764 0.4788-0.8426 s.e. 0.0993 0.0528 0.0785 0.0446 0.0355 0.0943 0.0559 0.0913 sigma^2 estimated as 73.58: log likelihood = -3172.68, aic = 6363.35 str. 30

Standardized Residuals 4 0 2 4 1438943400 1438943600 1438943800 1438944000 1438944200 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.1 0.2 0.4 Sample Quantiles 4 0 2 4 0 10 20 30 40 LAG 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 10 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 6.8032, df = 1, p-value = 0.009099 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. str. 31

2.9. Odczyt z dnia 2015-09-04 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma4 0.4415-0.4113 0.3069-1.0380 0.2038-0.2353 0.3806-0.2011 0.9753 s.e. 0.0340 0.0129 0.0147 0.0112 0.0339 0.0115 0.0151 0.0177 0.0143 sigma^2 estimated as 143: log likelihood = -3471.17, aic = 6962.34 Standardized Residuals 5 0 5 1441362600 1441362800 1441363000 1441363200 1441363400 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.1 0.2 0.4 Sample Quantiles 5 0 5 0 10 20 30 40 LAG 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 10 12 14 16 18 20 str. 32

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 17.076, df = 1, p-value = 3.592e-05 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.10. Odczyt z dnia 2015-10-02 W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,3) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3-0.2112 0.5537 0.8684-0.2491 0.4561-0.4225-0.9489 s.e. 0.0364 0.0251 0.0225 0.0339 0.0189 0.0301 0.0298 sigma^2 estimated as 60.83: log likelihood = -3088.12, aic = 6192.24 str. 33

Standardized Residuals 2 0 2 4 1443781800 1443782000 1443782200 1443782400 1443782600 Time of Residuals Normal Q Q Plot of Std Residuals 0.2 0.1 0.3 0 10 20 30 40 Sample Quantiles 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 LAG Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 8 10 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 8 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 0.3182, df = 1, p-value = 0.5727 ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects str. 34

data: z$fit$residuals Chi-squared = 45.702, df = 2, p-value = 1.191e-10 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH drugiego stopnia, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 2.11. Odczyt z dnia 2015-11-06 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.8936 0.4454-0.9028-0.1367 0.5360-0.6430-0.7741 0.9536 0.3081-0.6196 s.e. 0.1589 0.1741 0.1255 0.1423 0.0942 0.1558 0.1418 0.1054 0.1315 0.1088 sigma^2 estimated as 150.5: log likelihood = -3490.32, aic = 7002.63 5 0 5 10 Standardized Residuals 1446813000 1446813200 1446813400 1446813600 1446813800 Time 0.1 0.2 0.4 of Residuals 0 10 20 30 40 LAG Sample Quantiles 5 0 5 10 Normal Q Q Plot of Std Residuals 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles s for Ljung Box statistic 12 14 16 18 20 str. 35

s for Ljung Box statistic for squared residuals 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa sugeruje występowanie silnych korelacji pomiędzy kwadratami reszt z modelu. ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: z$fit$residuals Chi-squared = 44.521, df = 2, p-value = 2.15e-10 Test Engle a odrzucił hipotezę o niewystępowaniu efektu ARCH, niezbędne jest rozszerzenie modelu o element modelujący heteroskedastyczność. 3. Estymacja modeli ARMA-GARCH z warunkowym rozkładem normalnym Przeprowadzone analizy dobitnie pokazują, że do poprawnego opisania modelowanego zjawiska niezbędne jest uwzględnienie w modelu zmian wariancji w czasie. Z tego powodu rozważone zostały modele klasy ARMA-GARCH pozwalające nie tylko na uwzględnienie heteroskedastyczności błędów losowych, ale również umożliwiające modelowanie grupowania się zmienności (które to zjawisko można zaobserwować na wykresach reszt z modeli przedstawionych w poprzedniej sekcji). Poniższa tabela prezentuje wyniki doboru rzędów opóźnień w modelu ARMA(p,q)-GARCH(1,r) z warunkowym rozkładem normalnym. str. 36

Data i godzina publikacji (w czasie UTC) p q r AIC 2015-01-09 13:30:00 4 5 1 6235.320 2015-02-06 13:30:00 5 5 1 6328.756 2015-03-06 13:30:00 4 5 1 6260.863 2015-04-03 12:30:00 3 5 1 6655.821 2015-05-08 12:30:00 4 4 1 6845.593 2015-06-05 12:30:00 3 5 1 6504.145 2015-07-02 12:30:00 3 3 1 6046.524 2015-08-07 12:30:00 5 4 1 6164.148 2015-09-04 12:30:00 5 4 1 6595.748 2015-10-02 12:30:00 5 4 1 6017.447 2015-11-06 13:30:00 2 3 1 6596.454 Warto zauważyć, że w każdym modelu proces klasy GARCH(1,1) opisywał zachowanie błędów losowych istotnie lepiej niż proces ARCH(1) (GARCH(1,0)). Co więcej dodanie do modelu efektu GARCH znacznie poprawiło (biorąc pod uwagę kryterium informacyjne Akaikiego) dopasowanie modelu do danych. Poniżej przedstawione zostały wyniki estymacji parametrów modelu oraz wykonana diagnostyka założeń modelu. 3.1. Odczyt z dnia 2015-01-09 W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 0.513015 0.483578 0.660061-0.857317-0.177000-0.640493-0.905430 0.647105 0.313653 omega alpha1 beta1 0.364044 0.027924 0.965765 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ar1 5.130e-01 2.294e-05 22364.290 <2e-16 *** ar2 4.836e-01 2.161e-05 22378.187 <2e-16 *** ar3 6.601e-01 2.379e-05 27750.115 <2e-16 *** ar4-8.573e-01 2.285e-05-37519.802 <2e-16 *** ma1-1.770e-01 2.502e-05-7074.908 <2e-16 *** ma2-6.405e-01 2.445e-05-26191.155 <2e-16 *** ma3-9.054e-01 2.542e-05-35623.448 <2e-16 *** ma4 6.471e-01 2.492e-05 25972.486 <2e-16 *** ma5 3.137e-01 2.504e-05 12528.495 <2e-16 *** omega 3.640e-01 2.332e-01 1.561 0.1185 alpha1 2.792e-02 8.897e-03 3.139 0.0017 ** beta1 9.658e-01 1.068e-02 90.418 <2e-16 *** str. 37

--- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3105.66 normalized: -3.493431 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 Test Ljung-Boxa dla reszt z modelu sugeruje, że nadal mamy do czynienia z korelacją pomiędzy błędami modelu. Wykres funkcji autokorelacji potwierdza występowanie istotnych statystycznie autokorelacji dla opóźnień rzędu 12 i 18. Test Ljung-Boxa i wykres funkcji autokorelacji reszt sugerują możliwość występowania niewielkich zależności w strukturze zmienności, nie wyjaśnionych przez model. str. 38

Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 178.99, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 6 4 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Wynik testu Jarque-Bera i wykres kwantylowy dla reszt pokazują wyraźne odstępstwa od założenia o normalności zaburzeń losowych. Niezbędne jest poprawienie modelu poprzez założenie innego rodzaju rozkładu dla reszt (wykres kwantylowy sugeruje zastosowanie rozkładu o grubszych ogonach). 3.2. Odczyt z dnia 2015-02-06 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3-0.017724-0.361722-0.170127 0.549605-0.128156-0.194772 0.669155 0.393144-0.507386 ma4 ma5 omega alpha1 beta1-0.055052 0.127489 6.462427 0.134055 0.788998 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -1.772e-02 3.607e-04-49.142 < 2e-16 *** ar1-3.617e-01 2.479e-05-14588.718 < 2e-16 *** ar2-1.701e-01 2.487e-05-6841.741 < 2e-16 *** str. 39

ar3 5.496e-01 2.435e-05 22567.733 < 2e-16 *** ar4-1.282e-01 2.577e-05-4972.949 < 2e-16 *** ar5-1.948e-01 2.607e-05-7471.944 < 2e-16 *** ma1 6.692e-01 2.788e-05 24000.780 < 2e-16 *** ma2 3.931e-01 2.814e-05 13973.368 < 2e-16 *** ma3-5.074e-01 2.549e-05-19902.331 < 2e-16 *** ma4-5.505e-02 2.760e-05-1994.827 < 2e-16 *** ma5 1.275e-01 2.781e-05 4583.852 < 2e-16 *** omega 6.462e+00 2.240e+00 2.885 0.00392 ** alpha1 1.341e-01 3.319e-02 4.039 5.38e-05 *** beta1 7.890e-01 5.102e-02 15.465 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3153.649 normalized: -3.547412 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags str. 40

s for Ljung Box statistic for residuals 14 15 16 17 18 19 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 14 15 16 17 18 19 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między kwadratami błędów. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 20 i 26 Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 344.71, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy sugerują wyraźne odstępstwa od zakładanego rozkładu normalnego dla błędów losowych. str. 41

3.3. Odczyt z dnia 2015-03-06 W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4-0.047973 0.563793-0.755968 0.641391 0.183157-0.293528 0.699964-0.352969-0.311183 ma5 omega alpha1 beta1 0.039919 0.183304 0.045402 0.950465 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -4.797e-02 4.382e-04-109.480 < 2e-16 *** ar1 5.638e-01 2.649e-05 21282.012 < 2e-16 *** ar2-7.560e-01 2.918e-05-25905.327 < 2e-16 *** ar3 6.414e-01 2.646e-05 24241.024 < 2e-16 *** ar4 1.832e-01 2.926e-05 6259.966 < 2e-16 *** ma1-2.935e-01 3.193e-05-9191.727 < 2e-16 *** ma2 7.000e-01 3.167e-05 22103.015 < 2e-16 *** ma3-3.530e-01 3.497e-05-10092.854 < 2e-16 *** ma4-3.112e-01 3.162e-05-9840.650 < 2e-16 *** ma5 3.992e-02 3.222e-05 1239.065 < 2e-16 *** omega 1.833e-01 8.195e-02 2.237 0.0253 * alpha1 4.540e-02 1.038e-02 4.372 1.23e-05 *** beta1 9.505e-01 9.674e-03 98.250 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3119.258 normalized: -3.508726 str. 42

of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami i kwadratami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 25. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 325.85, df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 43

qnorm QQ Plot Sample Quantiles 6 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.4. Odczyt z dnia 2015-04-03 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4-0.0239591 0.0048082 0.2705651 0.3490876 0.2404888-0.2887961-0.4122651-0.0733918 ma5 omega alpha1 beta1 0.0017030 25.2999825 0.1695049 0.6147657 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -0.023959 0.154750-0.155 0.87696 ar1 0.004808 0.125753 0.038 0.96950 ar2 0.270565 0.193570 1.398 0.16218 ar3 0.349088 0.186798 1.869 0.06165. ma1 0.240489 0.132611 1.813 0.06976. ma2-0.288796 0.190222-1.518 0.12896 ma3-0.412265 0.164637-2.504 0.01228 * ma4-0.073392 0.066037-1.111 0.26640 ma5 0.001703 0.034281 0.050 0.96038 omega 25.299983 8.071769 3.134 0.00172 ** alpha1 0.169505 0.040723 4.162 3.15e-05 *** str. 44

beta1 0.614766 0.093838 6.551 5.70e-11 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3316.899 normalized: -3.731045 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 12 14 16 18 20 Wyniki wskazują na nieistotność statystyczną parametrów stojących przy elementach AR i MA o największym rzędzie opóźnień, model można poddać uproszczeniu. Redukcja do modelu ARMA(3,4)-GARCH(1,1) powoduje jedynie nieznaczne pogorszenie kryterium AIC, jednocześnie parametry stojące przy trzecim opóźnieniu autoregresyjnym i czwartym opóźnieniem procesu średniej ruchomej są istotne statystycznie. Poniżej przedstawione zostały wyniki dopasowania modelu ARMA(3,4)-GARCH(1,1) str. 45

Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4-0.0094826 0.1299646-0.1498044 0.8251557 0.1156279 0.1011528-0.7867174-0.2259420 omega alpha1 beta1 26.2296312 0.1682989 0.6079085 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -0.009483 0.068431-0.139 0.88979 ar1 0.129965 0.047574 2.732 0.00630 ** ar2-0.149804 0.050912-2.942 0.00326 ** ar3 0.825156 0.050633 16.297 < 2e-16 *** ma1 0.115628 0.062374 1.854 0.06377. ma2 0.101153 0.057863 1.748 0.08044. ma3-0.786717 0.058214-13.514 < 2e-16 *** ma4-0.225942 0.039395-5.735 9.73e-09 *** omega 26.229631 8.567335 3.062 0.00220 ** alpha1 0.168299 0.040939 4.111 3.94e-05 *** beta1 0.607908 0.097420 6.240 4.37e-10 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3320.659 normalized: -3.735275 W dalszych rozważaniach przyjęty został model ARMA(3,5)-GARCH(1,1) Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie silnej korelacji między resztami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 14. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 2114.4, df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 46

qnorm QQ Plot Sample Quantiles 6 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.5. Odczyt z dnia 2015-05-08 W wyniku dopasowania modelu ARMA(4,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2 ma3 ma4 0.068380-0.095413-0.293610-0.771715 0.334822 0.265521 0.407608 0.927114-0.206447 omega alpha1 beta1 23.335761 0.302089 0.562292 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu 6.838e-02 4.815e-04 142.012 < 2e-16 *** ar1-9.541e-02 2.675e-05-3566.984 < 2e-16 *** ar2-2.936e-01 2.673e-05-10983.416 < 2e-16 *** ar3-7.717e-01 2.660e-05-29011.983 < 2e-16 *** ar4 3.348e-01 2.765e-05 12109.726 < 2e-16 *** ma1 2.655e-01 3.305e-05 8034.330 < 2e-16 *** ma2 4.076e-01 3.236e-05 12596.366 < 2e-16 *** ma3 9.271e-01 3.264e-05 28406.104 < 2e-16 *** ma4-2.064e-01 3.303e-05-6251.210 < 2e-16 *** omega 2.334e+01 6.076e+00 3.840 0.000123 *** alpha1 3.021e-01 5.460e-02 5.532 3.16e-08 *** str. 47

beta1 5.623e-01 7.029e-02 7.999 1.33e-15 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3407.182 normalized: -3.832601 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie silnej korelacji między resztami modelu. Wykres funkcji autokorelacji wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 4. str. 48

Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 135.74, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 4 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.6. Odczyt z dnia 2015-06-05 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,5)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 ma4-0.0198020-0.4576891 0.3116418 0.9220094 0.7381334-0.1101349-0.9546719-0.1887769 ma5 omega alpha1 beta1-0.0059441 0.5730583 0.0381456 0.9545021 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -1.980e-02 4.017e-04-49.295 < 2e-16 *** ar1-4.577e-01 2.291e-05-19980.670 < 2e-16 *** ar2 3.116e-01 2.306e-05 13512.983 < 2e-16 *** ar3 9.220e-01 2.257e-05 40859.749 < 2e-16 *** str. 49

ma1 7.381e-01 3.122e-05 23640.446 < 2e-16 *** ma2-1.101e-01 2.624e-05-4197.950 < 2e-16 *** ma3-9.547e-01 2.734e-05-34912.168 < 2e-16 *** ma4-1.888e-01 2.653e-05-7115.219 < 2e-16 *** ma5-5.944e-03 3.132e-05-189.813 < 2e-16 *** omega 5.731e-01 3.921e-01 1.462 0.143872 alpha1 3.815e-02 1.054e-02 3.618 0.000297 *** beta1 9.545e-01 1.218e-02 78.348 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3241.31 normalized: -3.646019 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 12 14 16 18 20 str. 50

Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami oraz kwadratami reszt modelu. Wykres funkcji autokorelacji dla kwadratów reszt wskazuje na występowanie istotnych statystycznie zależności dla opóźnień rzędu 24. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 417.48, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 6 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.7. Odczyt z dnia 2015-07-02 W wyniku dopasowania modelu ARMA(3,3)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ma1 ma2 ma3 omega alpha1-0.219485-0.211471 0.770542 0.032781 0.511265-0.729122-0.218719 0.163896 0.044194 beta1 0.954105 Std. Errors: based on Hessian str. 51

Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -2.195e-01 2.443e-04-898.423 < 2e-16 *** ar1-2.115e-01 2.078e-05-10176.609 < 2e-16 *** ar2 7.705e-01 2.256e-05 34159.869 < 2e-16 *** ar3 3.278e-02 2.242e-05 1462.207 < 2e-16 *** ma1 5.113e-01 3.406e-05 15012.011 < 2e-16 *** ma2-7.291e-01 3.728e-05-19560.020 < 2e-16 *** ma3-2.187e-01 3.394e-05-6444.647 < 2e-16 *** omega 1.639e-01 9.966e-02 1.645 0.1 alpha1 4.419e-02 1.033e-02 4.277 1.9e-05 *** beta1 9.541e-01 9.560e-03 99.804 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3011.45 normalized: -3.387457 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags str. 52

s for Ljung Box statistic for residuals 10 12 14 16 18 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 10 12 14 16 18 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między resztami. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 224.83, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. str. 53

3.8. Odczyt z dnia 2015-08-07 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2-0.0320648 0.3733483-0.4308300 0.8679718 0.0112358-0.0048519-0.0633926 0.4224171 ma3 ma4 omega alpha1 beta1-0.7981909-0.2434467 1.0434799 0.0999039 0.8900168 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -3.206e-02 3.323e-04-96.508 <2e-16 *** ar1 3.733e-01 2.744e-05 13606.499 <2e-16 *** ar2-4.308e-01 2.757e-05-15626.689 <2e-16 *** ar3 8.680e-01 2.546e-05 34096.407 <2e-16 *** ar4 1.124e-02 2.648e-05 424.326 <2e-16 *** ar5-4.852e-03 2.647e-05-183.294 <2e-16 *** ma1-6.339e-02 2.612e-05-2426.847 <2e-16 *** ma2 4.224e-01 2.706e-05 15612.034 <2e-16 *** ma3-7.982e-01 2.787e-05-28635.069 <2e-16 *** ma4-2.434e-01 2.758e-05-8826.646 <2e-16 *** omega 1.043e+00 7.224e-01 1.444 0.149 alpha1 9.990e-02 4.489e-02 2.226 0.026 * beta1 8.900e-01 4.697e-02 18.949 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3069.589 normalized: -3.452856 str. 54

of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie bardzo silnej korelacji między resztami. Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 182.37, df = 2, p-value < 2.2e-16 str. 55

qnorm QQ Plot Sample Quantiles 4 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.9. Odczyt z dnia 2015-09-04 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3-0.293027 0.638041-0.391692 0.156835-0.727408 0.174281-0.416006 0.257092-0.015038 ma4 omega alpha1 beta1 0.647813 0.700896 0.046292 0.945792 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu -0.29303 0.43129-0.679 0.496875 ar1 0.63804 0.08700 7.334 2.24e-13 *** ar2-0.39169 0.10413-3.761 0.000169 *** ar3 0.15684 0.13205 1.188 0.234962 ar4-0.72741 0.11748-6.192 5.96e-10 *** ar5 0.17428 0.04013 4.343 1.41e-05 *** ma1-0.41601 0.08284-5.022 5.12e-07 *** ma2 0.25709 0.10648 2.414 0.015759 * ma3-0.01504 0.12961-0.116 0.907629 ma4 0.64781 0.10869 5.960 2.52e-09 *** omega 0.70090 0.41267 1.698 0.089424. str. 56

alpha1 0.04629 0.01127 4.108 3.99e-05 *** beta1 0.94579 0.01241 76.221 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -3285.643 normalized: -3.695887 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags s for Ljung Box statistic for residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 s for Ljung Box statistic for squared residuals 13 14 15 16 17 18 19 20 Test Ljung-Boxa wskazuje na występowanie korelacji między kwadratami reszt modelu. str. 57

Jarque Bera Test data: z@residuals/z@sigma.t X-squared = 130.18, df = 2, p-value < 2.2e-16 qnorm QQ Plot Sample Quantiles 4 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Theoretical Quantiles Test Jarque-Bera i wykres kwantylowy wskazują na wyraźne odstępstwa od normalności standaryzowanych błędów modelu. 3.10. Odczyt z dnia 2015-10-02 W wyniku dopasowania modelu ARMA(5,4)-GARCH(1,1) do danych otrzymano następujące rezultaty: Coefficient(s): mu ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ma1 ma2 ma3 0.142482 0.582410 0.659115 0.233650-0.999542 0.213886-0.296400-0.771190-0.472699 ma4 omega alpha1 beta1 0.949808 0.481053 0.045809 0.944574 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) mu 1.425e-01 2.955e-04 482.228 < 2e-16 *** ar1 5.824e-01 2.599e-05 22405.029 < 2e-16 *** ar2 6.591e-01 2.395e-05 27518.603 < 2e-16 *** ar3 2.336e-01 2.440e-05 9574.627 < 2e-16 *** str. 58

ar4-9.995e-01 2.451e-05-40789.017 < 2e-16 *** ar5 2.139e-01 2.580e-05 8291.242 < 2e-16 *** ma1-2.964e-01 2.628e-05-11276.727 < 2e-16 *** ma2-7.712e-01 2.632e-05-29302.044 < 2e-16 *** ma3-4.727e-01 2.679e-05-17647.544 < 2e-16 *** ma4 9.498e-01 2.670e-05 35576.692 < 2e-16 *** omega 4.811e-01 2.558e-01 1.881 0.06. alpha1 4.581e-02 1.127e-02 4.064 4.82e-05 *** beta1 9.446e-01 1.326e-02 71.210 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Log Likelihood: -2995.516 normalized: -3.369534 of Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags of Squared Standardized Residuals 0 5 10 15 20 25 30 Lags str. 59