Analiza finansowych szeregów czasowych w pakiecie R modele i metody

Transkrypt

1 Analiza finansowych szeregów czasowych w pakiecie R modele i metody Monika Sikorska, Krzysztof Boczkowski Opracowanie firmy QuantUp

2 Spis treści 1 Opis danych 1 2 Cechy charakterystyczne finansowych szeregów czasowych Rozkład inny niż normalny Efekt grubych ogonów (thick tails) Efekt leptokurtozy (leptokurtosis) Efekty grupowania wariancji (volatility clustering) Efekt dźwigni (leverage eflects) Efekt skośności Efekt autokorelacji stóp zwrotu Efekt długiej pamięci w szeregach zmienności (wariancji) Efekt okresu niehandlowego Podstawowe testy Test efektów heteroskedastycznych Test graficzny ACF Test McLeod-Li (test Ljungi-Boxa dla kwadratów)[10] Test mnożników Lagrange a Test Jarque-Bera (test normalności) Test Andersona-Darlinga Modele jednowymiarowe Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) Model GARCH (Generalized ARCH) Model IGARCH(Integrated GARCH) Model FIGARCH (Fractionally IGARCH) Model ARMA-GARCH Model GARCH-M (GARCH-in-mean) Model EGARCH (Exponential GARCH) Model GJR-GARCH Model APARCH (Asymmetric power ARCH) Model fgarch (family GARCH) Model R-GARCH (Randomized GARCH) Model TARCH (Threshold ARCH) Model HARCH (Heterogeneous interval ARCH) Dopasowanie modelu w pakiecie R - funkcje i metody Biblioteka tseries Dopasowanie modelu Biblioteka fgarch Symulowanie danych Dopasowanie modelu Prognozowanie Biblioteka rugarch

3 5.3.1 Symulowanie danych Dopasowanie modelu Prognozowanie Biblioteka bayesgarch Dopasowanie modelu Kryteria doboru modelu 56 7 Analiza danych symulowanych 58 8 Analiza danych rzeczywistych Opis danych Analiza notowań IBM Zwroty w ujęciu dziennym od 2004 do 2008 roku Zwroty w ujęciu dziennym od 2008 do 2012 roku Porównanie dopasowanego modelu dla zwrotów w ujęciu dziennych i tygodniowym od 2004 do 2012 roku Analiza notowań Coca-Cola Company Zwroty w ujęciu dziennym od 2004 do 2008 roku Zestawienie podstawowych funkcji pakietu R 90

4 Wprowadzenie W 1982 roku amerykański ekonomista i ekonometryk Robert Franklin Engle podczas wizyty w London School of Economics napisał pracę pod tytułem Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of the Variance of UK Inflation. Zaproponował w niej nową metodę modelowania zmienności, która obecnie znana jest jako model ARCH, czyli model autoregresyjny z warunkową heteroskedastycznością. W 2003 za swoje odkrycie został wyróżniony nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii. Niniejsze opracowanie jest swojego rodzaju kompendium podstawowej wiedzy na temat modelu ARCH oraz jego uogólnień. W raporcie zaprezentowano nie tylko podstawowe informacje na temat wcześniej wspomnianych modeli, ale przede wszystkim skupiono się na przedstawieniu możliwości wykorzystania tych modeli przy pomocy pakietu statystycznego R. W celu lepszego zobrazowania działania opisanych funkcji wybrano przykładowe dane, których opis został przedstawiony w rozdziale pierwszym. Drugi rozdział to przegląd charakterystycznych cech finansowych szeregów czasowych i informacja o dostępnych modelach, które uwzględniają te cechy. Następny rozdział zawiera prezentacje podstawowych testów, wykorzystywanych do sprawdzania założeń modeli. W rozdziale czwartym opracowano modele jednowymiarowe, pozwalające analizować finansowe szeregi czasowe (modele wielowymiarowe będą tematem osobnego opracowania). Następny rozdział opisuje biblioteki dostępne dla pakietu R, które pozwalają dopasowywać do danych opisane wcześniej modele. W rozdziale piątym przedstawiono kryteria wyboru najodpowiedniejszego z modeli, a w dwóch kolejnych rozdziałach dokonano przykładowej analizy danych (symulowanych i rzeczywistych). Wszystko podsumowane zostało zestawieniem podstawowych funkcji pakietu R dla opisanych wcześniej bibliotek. 1 Opis danych Do przeprowadzenia symulacji obrazujących działanie funkcji z pakietu R wykorzystano szereg zawierający notowania indeksu giełdowego Dow Jones Industrial Average (DJIA) notowanego na New York Stock Exchange (NYSE). Wybór padł na ten szereg, ponieważ wykazuje on zazwyczaj typowe własności charakterystyczne dla szeregów zwrotu. Indeks DJIA jest jednym z najważniejszych oraz najstarszym indeksem giełdowym notowanym od 1896 roku. Obecnie składa się z 30 największych amerykańskich przedsiębiorstw. Analizie poddany został szereg 1006 notowań z końca dnia pochodzących z okresu od 2 stycznia 2004 roku do 31 grudnia 2007 roku. Do pobrania danych wykorzystany został pakiet quantmod [1]: Listing 1: Importowanie danych (R) 1 l i b r a r y ( quantmod ) 2 3 #Pobieranie danych 4 getsymbols ( "DJIA", s r c=" yahoo ", from=" ", to=" " ) 5 6 #Pobieranie danych z końca dnia 7 dane < DJIA [, 4 ] 8 9 #Wyliczenie zwrotów logarytmicznych 1

5 10 dane. zwroty < dailyreturn ( dane, subset=null, type= l o g ) Poniżej przedstawiony został wykres notowań z zamknięcia (rys. 1) oraz wykres zwrotów logarytmicznych (rys. 2): Rysunek 1: Wykres notowań zamknięcia Listing 2: Podstawowe charakterystyki zwrotów logarytmicznych (R) 1 l i b r a r y ( PerformanceAnalytics ) 2 t a b l e. S t a t s ( dane. zwroty ) Listing 3: Podstawowe charakterystyki zwrotów logarytmicznych (Rlog) 1 d a i l y. r e t u r n s 2 Observations NAs Minimum Q u a r t i l e Median Arithmetic Mean Geometric Mean Q u a r t i l e Maximum SE Mean LCL Mean ( ) UCL Mean ( )

6 14 Variance Stdev Skewness Kurtosis Dane zawierają wartości z przedziału [ , ]. Współczynnik skośności jest ujemny, co sugeruje lewostronną asymetrię rozkładu. Potwierdza to obserwacja, że mediana jest większa od wartości średniej. Jednak różnice te są na tyle małe, że asymetria może nie być istotna i przyjęto, że rozkład jest symetryczny. Kurtoza jest miarą spłaszczenia rozkładu. Dla analizowanych danych wynosi , czyli jest dodatnia. Wnioskujemy o leptokurtyczności rozkładu. Wartości analizowanej cechy są bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym. Rysunek 2: Wykres zwrotów logarytmicznych 3

7 2 Cechy charakterystyczne finansowych szeregów czasowych 2.1 Rozkład inny niż normalny Przy wstępnej analizie rozkładu pomocny jest histogram zamieszczony na wykresie 3. Jest on smuklejszy od funkcji gęstości rozkładu normalnego, występują w nim grube ogony i może być asymetryczny. Cechy te będą dokładnie omówione w następnych podpunktach. Rysunek 3: Histogram zwrotów logarytmicznych 2.2 Efekt grubych ogonów (thick tails) Prawdopodobieństwa wystąpienia obserwacji znacznie oddalonych od średniej wartości (nietypowe zmiany) są istotnie wyższe niż dla rozkładu normalnego. Można to zaobserwować na wykresie kwantylowym 4. Analiza takiego wykresu jest graficznym testem zgodności z rozkładem normalnym, który można wykorzystać do badania efektu grubych ogonów. Badanie grubości ogonów rozkładu przy użyciu metod statystycznych jest kłopotliwe, ponieważ obserwacje ekstremalne pojawiają się rzadko. Szczegółowe metody badania grubości ogonów przy pomocy estymatorów Pickandsa, Hilla oraz Dekkersa-Einmahla-de Haana są dokładnie opisane w pozycji [18]. Do oceny dopasowania rozkładu do ogonów często stosowana jest również statystyka Andersona- Darlinga, która została opisana w kolejnym rozdziale. Wszystkie modele klasy ARCH umożliwiają opis grubych ogonów. 4

8 Rysunek 4: Wykres kwantylowy 2.3 Efekt leptokurtozy (leptokurtosis) Występowanie zjawiska grubych ogonów i jednocześnie wyższego szczytu funkcji gęstości niż dla rozkładu normalnego (większe prawdopodobieństwo pojawienia się obserwacji bliskich wartości średniej). Do oceny dopasowania rozkładów w okolicy mediany stosowana jest statystyka Kołmogorowa. 2.4 Efekty grupowania wariancji (volatility clustering) Występowanie po sobie okresów nasilonej zmienności i okresów względnie stabilnych, wizualizacja na rysunku 5. Jeżeli w modelu występuje zjawisko grupowania wariancji, to wariancja składnika losowego dla różnych obserwacji jest ze sobą powiązana, a kwadraty reszt modelu dla sąsiednich obserwacji powinny być ze sobą skorelowane, czyli Cov(e 2 t, e 2 t k ) 0 dla pewnej wartości k > 0. Dzięki temu występowanie zjawiska grupowania wariancji można testować poprzez analizę funkcji autokorelacji dla kwadratów reszt. Bardziej formalnymi metodami są testy portmanteau zaproponowane przez Boxa i Pierce a oraz Ljung i Boxa dla kwadratów reszt modelu. Można również zastosować test ARCH-LM. Wszystkie modele klasy ARCH umożliwiają opis grupowania wariancji. 2.5 Efekt dźwigni (leverage eflects) Efekt ujemnego skorelowania poziomu kursów i poziomu zmienności stóp zwrotu, czyli asymetrycznego wpływ informacji pozytywnych i negatywnych na poziom przyszłej wariancji, np. wraz ze spadkiem ceny instrumentu występuje tendencja do wzrostu wariancji stóp zwrotu. 5

9 Rysunek 5: Grupowanie wariancji Chcąc zbadać występowanie tego efektu w danych, można dopasować do danych jeden z modeli uwzględniający efekt dźwigni, tzn. EGARCH lub GJR-GARCH i sprawdzić istotność odpowiednich współczynników w tych modelach. Można również skorzystać bezpośrednio z testu znaków Engle a i Ng dostępnego w paczce rugarch (funkcja signbias). 2.6 Efekt skośności Rozkład stóp zwrotu nie jest symetryczny względem średniej, co tłumaczy się odmiennym zachowanie inwestorów w czasie bessy i hossy. Najczęściej obserwuje się rozkłady prawostronnie skośne, lecz nie jest to reguła. Efekt ten można zaobserwować m.in. na histogramie. Modeluje się go przy wykorzystaniu specjalnych rozkładów, np. skośnego rozkładu t-studenta. Testowanie skośności rozkładu stóp zwrotu sprowadza się do zbadania, czy dla analizowanego szeregu parametr modelu odpowiadający za skośność warunkowego rozkładu ma wartość istotnie różna od zera lub alternatywnie czy model uwzględniający skośność w istotnie lepszy sposób dopasowuje się do danych empirycznych. Zwykle stosowane jest to drugie podejście. 2.7 Efekt autokorelacji stóp zwrotu Występuje szczególnie w okresach o małej zmienności. Można go testować przy pomocy graficznego przedstawienia funkcji ACF i PACF dla stóp zwrotu, rysunki 6 oraz 7. Do opisu obserwowanej autokorelacji szeregów stóp zwrotu wykorzystuje się znane procesy z klasy liniowych procesów autoregresji i średniej ruchomej (ARMA), modeli zintegrowanych (ARIMA) oraz ułamkowo zintegrowanych (ARFIMA). 6

10 Dla analizowanych danych nie występuje autokorelacja. Rysunek 6: Wykres ACF dla szeregu zwrotów Rysunek 7: Wykres PACF dla szeregu zwrotów 7

11 2.8 Efekt długiej pamięci w szeregach zmienności (wariancji) Istnienie znaczących współczynników wysokich rzędów autokorelacji kwadratów stóp zwrotu (po znacznych wzrostach następują dalsze wzrosty, po których nadchodzą nagłe spadki a po nich kolejne). Do testowania tego efektu można wykorzystać wykres funkcji ACF dla kwadratów stóp zwrotu, zamieszczony na obrazku 8. Najpopularniejszym modelem, pozwalającym opisywać ten efekt, jest model FIGARCH. 2.9 Efekt okresu niehandlowego Informacja gromadzona w czasie, gdy rynki finansowe są zamknięte, znajduje swoje odzwierciedlenie w cenach po ponownym otwarciu rynku, np. wariancja stopy zwrotu od piątku do poniedziałku powinna być trzykrotnie większa niż wariancja od poniedziałku do wtorku. Odkryto jednak ([4], [5]), że informacja kumuluje się wolniej w czasie zamknięcia rynków niż w czasie ich otwarcia. Wariancje w okresie weekendów i świąt są wyższe niż w dni robocze, jednak różnica ta nie jest aż tak znaczna, jak można by się spodziewać. 8

12 3 Podstawowe testy 3.1 Test efektów heteroskedastycznych W celu sprawdzenia występowania efektów heteroskedastycznych, czyli de facto obecności istotnej autokorelacji dla szeregu kwadratów, stosowane są trzy testy: test graficzny ACF dla szeregu kwadratów, test formalny McLeod-Li oraz test LM Test graficzny ACF Test graficzny ACF można wykonać poprzez funkcję acf dostępną w domyślnej bibliotece stats: 1 a c f ( dane. zwroty ^2, main=" " ) Listing 4: Test graficzny ACF (R) W wyniku analizy uzyskano następujący wykres (rys. 8): Rysunek 8: Wykres ACF dla szeregu kwadratów Z otrzymanego wykresu można wywnioskować, że występuje silna autokorelacja kwadratów zwrotów logarytmicznych Test McLeod-Li (test Ljungi-Boxa dla kwadratów)[10] Postać hipotez testowych: H 0 : ρ j = 0 dla j = 1, 2,..., q H 1 : 1 j q ρ j 0 Postać statystyki testowej dla testu Ljungi-Boxa: Q m = n(n + 2) m i=1 1 (n i) ρ2 i 9

13 gdzie ρ i jest autokorelacją i-tego rzędu. Powyższa statystyka ma rozkład χ 2 o m stopniach swobody. Test Ljungi-Boxa można przeprowadzić przy wykorzystaniu funkcji ljung.box.test z pakietu ccgarch: Listing 5: Test Ljungi-Boxa (R) 1 Box. t e s t ( dane. zwroty ^2, l a g = 5, type = " Ljung Box " ) Uzyskany wynik testu: Listing 6: Test Ljungi-Boxa (Rlog) 1 Box Ljung t e s t 2 3 data : dane. zwroty ^2 4 X squared = , df = 1, p value = Box Ljung t e s t 7 8 data : dane. zwroty ^2 9 X squared = , df = 2, p value = Box Ljung t e s t data : dane. zwroty ^2 14 X squared = , df = 3, p value = Box Ljung t e s t data : dane. zwroty ^2 19 X squared = , df = 4, p value = e Box Ljung t e s t data : dane. zwroty ^2 24 X squared = , df = 5, p value = e 12 Z otrzymanych wartości statystyki oraz p-wartości wynika, że występuje silna autokorelacja dla opóźnień większych bądź równych 2. Dodatkowo jest to widoczne na wykresie uzyskanym przez wykonanie funkcji McLeod.Li.test z pakietu TSA: Uwaga 1 Jako argument funkcji McLeod.Li.test bierzemy zwroty, a nie kwadraty zwrotów, ponieważ funkcja sama podnosi do kwadratu. Listing 7: Test McLeod-Li (R) 1 l i b r a r y (TSA) 2 3 McLeod. Li. t e s t ( y=dane. zwroty, main=" " ) 10

14 Rysunek 9: Wykres p-wartości dla testu McLeod-Li Dla analizowanego szeregu zwrotów logarytmicznych uzyskany został wykres (rys. 9): Wartości poziomu krytycznego: Listing 8: Test McLeod-Li (Rlog) 1 $p. v a l u e s 2 [ 1 ] e e e e e 12 3 [ 6 ] e e e e e+00 4 [ 1 1 ] e e e e e+00 5 [ 1 6 ] e e e e e+00 6 [ 2 1 ] e e e e e+00 7 [ 2 6 ] e e e e e+00 Wnioski uzyskane z przeprowadzonych testów (McLeod-Li, Ljungi-Boxa oraz test graficzny) pokrywają się. Silna autokorelacja występuje dla opóźnień większych niż Test mnożników Lagrange a Kolejnym testem do sprawdzenia występowania efektów heteroskedastycznych jest test mnożników Lagrange a. W celu sprawdzenia autokorelacji rzędu q przyjmuje się następującą postać modelu: q σt 2 = α 0 + α i ɛ 2 t i = α 0 + α(l)ɛ 2 t, Postać hipotez testowych: i=1 H 0 : α j = 0 dla j = 1, 2,..., q H 1 : 1 j q α j 0 Statystyka testowa ma postać: LA = nr 2 (R 2 oznacza współczynnik dopasowania) i ma rozkład χ 2 o q stopniach swobody. Test ten jest dostępny w pakiecie FinTS: 11

15 1 l i b r a r y ( FinTS ) 2 3 ArchTest ( dane. zwroty, l a g s =1) 4 ArchTest ( dane. zwroty, l a g s =2) 5 ArchTest ( dane. zwroty, l a g s =3) 6 ArchTest ( dane. zwroty, l a g s =4) 7 ArchTest ( dane. zwroty, l a g s =5) Wynik przeprowadzonego testu: Listing 9: Test mnożników Lagrange a (R) Listing 10: Test mnożników Lagrange a (Rlog) 1 ARCH LM t e s t ; Null h y p o t h e s i s : no ARCH e f f e c t s 2 3 data : dane. zwroty 4 Chi squared = , df = 1, p value = ARCH LM t e s t ; Null h y p o t h e s i s : no ARCH e f f e c t s 7 8 data : dane. zwroty 9 Chi squared = , df = 2, p value = ARCH LM t e s t ; Null h y p o t h e s i s : no ARCH e f f e c t s data : dane. zwroty 14 Chi squared = , df = 3, p value = ARCH LM t e s t ; Null h y p o t h e s i s : no ARCH e f f e c t s data : dane. zwroty 19 Chi squared = , df = 4, p value = e ARCH LM t e s t ; Null h y p o t h e s i s : no ARCH e f f e c t s data : dane. zwroty 24 Chi squared = , df = 5, p value = e 11 Otrzymane p-wartości dają takie same wnioski jak w przypadku wcześniejszych testów. 3.2 Test Jarque-Bera (test normalności) Test Jarque-Bera wykorzystywany jest do weryfikacji hipotezy o normalności składnika losowego. Sam test opiera się na porównaniu trzeciego momentu centralnego (skośność) i czwartego momentu centralnego (kurtoza) z ich wartościami teoretycznymi dla rozkładu normalnego. Weryfikowane hipotezy: H 0 : e t N (0, σ 2 ) 12

16 H 1 : e t N (0, σ 2 ) Statystyka testowa: ( ) S (K 3)2 JB = n gdzie S = 1 n e 3 t n i=1 σ jest standaryzowaną skośnością, natomiast K = 1 n e 4 3 t n i=1 σ jest standaryzowaną kurtozą. 4 Statystyka JB przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład χ 2 o 2 stopniach swobody. 1 l i b r a r y ( t s e r i e s ) 2 3 jarque. bera. t e s t ( dane. zwroty ) Wynik przeprowadzonego testu: Listing 11: Test Jarque-Bera Listing 12: Test Jarque-Bera - wyjście 1 Jarque Bera Test 2 3 data : dane. zwroty 4 X squared = , df = 2, p value < 2. 2 e 16 Wartość statystyki JB na poziomie 111,2267 przemawia za tym, że zmiany zwrotów logarytmicznych nie pochodzą z rozkładu normalnego. 3.3 Test Andersona-Darlinga Jest to test zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Jest modyfikacją testu Craméra-von Misesa, opracowaną w celu poprawy jego czułości w ogonach testowanego rozkładu, [?]. Statystyka Andersona-Darlinga: gdzie A 2 = n F (x) - dystrybuanta rozkładu wzorcowego, F n (x) - dystrybuanta empiryczna, n - liczność próby. (F n (x) F (x)) 2 df (x), F (x)(1 F (x)) Jest to średnia ważona kwadratów odległości pomiędzy empiryczną i modelową dystrybuantą. Warto zauważyć, że jeśli x jest bardzo bliski wartościom krańcowym przedziału całkowania, wagi dla tych wielkości są bardzo duże (ze względu na rozmiar mianownika). Zatem ta statystyka przykłada większa wagę do tego, by rozkłady pasowały do siebie w ogonach, niż w środku. 13

17 Test ten został zaimplementowany m.in. w bibliotece nortest jako polecenie ad.test. Jest to szczególna wersja testu przeznaczona do sprawdzania normalności rozkładu. Statystyka testowa wyznaczana jest w nim ze wzoru: A = n 1 n n (2i 1)(ln(p i ) + ln(1 p n i+1 )), i=1 gdzie p i = Φ( xi x s ) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, x jest średnią z danych, s jest odchyleniem standardowym danych. P-value jest obliczane dla zmodyfikowanej statystyki (poprawka ze względu na wielkość próby) Z = A( n n ). 2 Dla poziomu istotności α = 0.05 odrzuca się hipotezę zerową o normalności rozkładu, gdy statystyka Z >

18 4 Modele jednowymiarowe Bollerslev ([7], [3]) określił około 150 różnych wariantów modeli ARCH. Poniżej zaprezentowano tylko najpopularniejsze z nich. 4.1 Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) Podstawowy model ARCH(q) pochodzący z publikacji [6]: σ 2 t = α 0 + ɛ t = z t σ t, q α i ɛ 2 t i = α 0 + α(l)ɛ 2 t, i=1 gdzie: r t - szereg czasowy logarytmicznych stóp zwrotu, ɛ t = r t µ t - innowacja w okresie t, z t - i.i.d. o wartości średniej zero i jednostkowej wariancji, najczęściej przyjmuje się rozkład normalny albo t-studenta (tzw. szum), σt 2 - warunkowa wariancja (warunkowość oznacza uwarunkowanie informacjami dostępnymi w chwili (t 1)), α 0 > 0, α i 0 i {1, 2,..., q}, L - operator przesunięcia wstecz Lɛ t = ɛ t 1. W praktyce oznacza to, że jeżeli kwadrat realizacji składnika losowego jest relatywnie wysoki w okresie t, prowadzi to do podwyższonych wartości warunkowej wariancji σt+p 2 dla p {1, 2,..., q}. Natomiast od chwili q + 1 wpływ ten staje się zerowy. Funkcja autokorelacji dla ɛ 2 t powinna być istotnie różna od zera jedynie dla q pierwszych opóźnień(niekoniecznie wszystkich). W modelach finansowych silne zaburzenia pozostawiają często długotrwały wpływ na zmienności szeregu, dlatego konieczne jest przyjęcie wysokiej wartości q w modelu ARCH(q). Zazwyczaj im większa wartość q, tym dopasowanie modelu do danych jest lepsze. Niestety, estymacja większej liczby parametrów jest związana z większymi błędami. Uwaga 2 Często pojawiającym się w tej tematyce pojęciem jest zmienność (ang. volatility). Odnosi się ono do warunkowego odchylenia standardowego σ t. Zalety modelu ARCH(q) Model ten dopuszcza zmienną w czasie warunkową wariancję procesu. Poprawienie jakości dopasowania modelu do danych w porównaniu do tradycyjnych modeli. Możliwy jest opis efektów grubych ogonów i grupowania wariancji. 15

19 Wady modelu ARCH(q) Dla uzyskania realnych wyników często konieczne jest użycie wysokiego rzędu q (w praktyce często q > 10). Dodatnie i ujemne przyrosty obserwowanego szeregu zwrotów mają taki sam wpływ na modelowaną zmienność procesu (ponieważ skupiamy się na ich kwadratach). Model nie wyjaśnia czynników wpływających na zmienność ciągu, a jedynie opisuje zachowanie warunkowej wariancji. Na współczynniki modelu narzucone są znaczące ograniczenia. 4.2 Model GARCH (Generalized ARCH) Jest to uogólnienie modelu ARCH. Model GARCH dopuszcza aby wartości warunkowej wariancji zależały także od swoich własnych opóźnień. Podstawowy model GARCH(q,p) [7]: σ 2 t = α 0 + ɛ t = z t σ t, q α i ɛ 2 t i + i=1 p β j σt j 2 gdzie: wszystkie założenia, jak dla modelu ARCH, ponadto β i 0 i {1, 2,..., p} i max(p,q) i=1 (α i + β i ) < 1. Drugie z założeń nie jest konieczne, ale gwarantuje ono stacjonarność (w szerszym sensie) szeregu ɛ t. Uwaga 3 Dla p=0 otrzymujemy model ARCH(q)! Zalety modelu GARCH(q,p) Wpływ nietypowych obserwacji na wariancję wygasa w tempie geometrycznym. Lepszy niż model ARCH do opisów rozkładów o grubych ogonach. Stosowany, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża. Badania empiryczne pokazują, że znacznie lepiej dopasowuje się do danych empirycznych niż model ARCH. Nie jest to zaskoczeniem, ponieważ można pokazać, że model GARCH(q,p) można wyrazić jako model ARCH( ). Wady modelu GARCH(q,p) Nie uwzględnia asymetrycznego wpływ dobrych i złych wiadomości. Nie daje możliwości modelowania efektu dźwigni, gdyż warunkowa wariancja zależy jedynie od wartości bezwzględnych wcześniejszych realizacji (nie uwzględnia znaków). j=1 Nie pozwala na uwzględnienie efektu długiej pamięci. 16

20 4.3 Model IGARCH(Integrated GARCH) Model GARCH jest nazywany modelem IGARCH (zaproponowanym przez Engle a i Bollersleva w 1986 roku), gdy spełnione jest założenie (jest ono narzucone w trakcie procedury szacowania współczynników): q p α i + β j = 1. i=1 j=1 Procesy z tej rodziny posiadają niestacjonarną warunkową wariancję lub mają nieskończoną wariancję. Ma to istotne znaczenie dla interpretacji zmienności takiego szeregu czasowego. Zmienność takiego modelu nie powraca do wartości średniej. Zaburzenia zewnętrzne prowadzące do zmian w wariancji są trwałe. Bezwarunkowa wariancja dla modelu IGARCH nie istnieje. Poza tym model ten może być ściśle stacjonarny, chociaż nie jest słabo stacjonarny. W pakiecie R dopasowanie modelu IGARCH umożliwiają m.in. narzędzia dostępne w bibliotece rugarch. 4.4 Model FIGARCH (Fractionally IGARCH) Wprowadzony w 1996 roku przez Baillie go, Bollersleva i Mikkelsena [30]. Jest to model o długotrwałej pamięci (w kontekście funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu). Szerzej na temat modelu FIGARCH i jego związku z modelem GARCH i IGARCH oraz szczegółowe informacje na temat własności funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu w kontekście modelowania własności szeregu stóp zwrotu z indeksu WIG znaleźć można w pracy Piontka [31]. Funkcja autokorelacji kwadratów reszt modelu FIGARCH maleje w sposób hiperboliczny, czyli dla niewielkich rzędów funkcja autokorelacji maleje w sposób szybszy niż dla przypadku wykładniczego, a dla wysokich rzędów maleje bardzo powoli. Takie zachowanie funkcji autokorelacji umożliwia nazwanie modelu FIGARCH modelem o długiej pamięci (w kontekście funkcji autokorelacji kwadratów reszt modelu). Intuicyjne traktowanie modelu FIGARCH jako modelu o własnościach pośrednich między modelem GARCH i IGARCH jest zawodne. Zarówno model GARCH, jak i IGARCH są modelami o krótkiej pamięci, a model FIGARCH jest modelem o długiej pamięci. Zalety modelu FIGARCH Umożliwia opis skupiania zmienności. Umożliwia opis grubych ogonów. Umożliwia opis długiej pamięci w szeregu zmienności. Wady modelu FIGARCH Nie ma możliwości modelowania efektu dźwigni. Uwaga 4 W praktyce nie wykorzystuje się bardziej skomplikowanych modeli niż FIGARCH(1, d, 1). 17

21 4.5 Model ARMA-GARCH Jest to połączenie modeli ARMA(R,S)(model autoregresyjny ze średnią ruchomą) i GARCH(q,p), podobne do popularnego modelu AR-GARCH. Każdy element tego szeregu można wyrazić wzorem: y t = R b i y t i + i=1 S a j ɛ t j + ɛ t, j=1 σ 2 t = α 0 + q α i ɛ 2 t i + i=1 p β j σt j, 2 gdzie założenia dla współczynników są identyczne, jak w modelu GARCH. Zalety modelu ARMA-GARCH j=1 Umożliwia lepsze dopasowanie modelu warunkowej średniej. Dopasowanie tego modelu w R umożliwiają biblioteki fgarch oraz rugarch. 4.6 Model GARCH-M (GARCH-in-mean) W finansach zwrot z aktywu może (choć nie musi) zależeć od jego zmienności. Rynek domaga się, aby za wyższe ryzyko przypadała wyższa premia. Tak samo większa warunkowa zmienność może wpływać na większe zwroty. Do modelowania tego zjawiska stworzony został model GARCH-M. Pozwala on w naturalny sposób modelować liniową zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a zmienną w czasie warunkową wariancją. Model GARCH-M(p,q) (wprowadzony w latach ) można przedstawić w następującej postaci: σ 2 t = α 0 + y t = µ + δσ t + ɛ t, q α i ɛ 2 t i + i=1 p β j σt j, 2 Jeśli oszacowanie parametru δ jest istotnie większe od zera, oznacza to występowanie premii za ryzyko. Założenia, jak dla modelu GARCH, a µ oznacza średnią modelu GARCH. W badaniach empirycznych często wystarczające jest przyjęcie q = 1 i p = 1. Do estymacji parametrów modelu GARCH-M wykorzystuje się najczęściej metodę największej wiarygodności. W pierwszym równaniu zamiast σt 2 można także przyjąć σ t lub ln(σt 2 ). Przyjęcie takiej specyfikacji oznacza, że zmiany w wariancji mają mniejszy wpływ na oczekiwaną stopę zwrotu. Uwaga 5 Typ modelu in Mean użyty może być również do modeli EGARCH, GJR-GARCH oraz innych modeli klasy GARCH. Dopasowanie modeli GARCH-M w pakiecie R umożliwia m.in. biblioteka rugarch. j=1 18

22 4.7 Model EGARCH (Exponential GARCH) Model zaproponowany przez Nelsona[21]. Model ten jest używany do symulowania efektu dźwigni. W modelu tym wykorzystano asymetryczną krzywą wpływu informacji, która posiada swoje minimum dla ɛ t 1 = 0. W podejściu tym narzuca się warunek, że lewe ramię krzywej ma rosnąć szybciej niż prawe. W modelu EGARCH ramiona opisują funkcje wykładnicze. Zdefiniowany jako: ln(σ 2 t ) = q (α j (z t j + λ( z t j E z t j ))) + j=1 gdzie λ jest współczynnikiem do oszacowania. Zalety modelu EGARCH q β j ln(σt j), 2 Pozwala modelować efekt dźwigni (asymetryczna reakcja na negatywne i pozytywne informacje). Nie wymaga nieujemności współczynników. Dopasowanie tego modelu w R jest możliwe m.in. z wykorzystaniem narzędzi dostępnych w bibliotece rugarch. 4.8 Model GJR-GARCH Model zaproponowany przez Glosten a, Jagannathana a i Runkle a (1993) [22] modeluje asymetryczny wpływ pozytywnych i negatywnych wiadomości na zmienność poprzez wykorzystanie indykatora I. Podejście do problemu jest analogiczne jak w przypadku modelu EGARCH, z tą różnicą, że w modelu GJR-GARCH każde z ramion krzywej wpływu informacji jest opisane przez połówkę paraboli o różnym nachyleniu. σ 2 t = p (α j ɛ t j + γ j I t j ɛ 2 t j) + j=1 j=1 q β j σt j, 2 gdzie γ j reprezentuje parametr dźwigni. Ilość tych parametrów odpowiada ilości parametrów modelu ARCH. Jeżeli wartości parametrów γ j są istotnie większe od zera, to w modelu występuje efekt dźwigni. Indykator I t j przyporządkowuje wartość 1 dla ɛ t j 0 i wartość 0 w przeciwnym wypadku. Zalety modelu GJR-GARCH Możliwość modelowania efektu dźwigni. Do dopasowania modelu GJR-GARCH w pakiecie R można wykorzystać funkcje dostępne w bibliotece rugarch. Uwaga 6 W modelach EGARCH i GJR-GARCH praktycznie nie wykorzystuje się innych postaci modeli niż dla p = q = 1. j=1 19

23 4.9 Model APARCH (Asymmetric power ARCH) Model ten w swojej pracy [23] zaproponował Ding. Umożliwia on modelowanie efektu dźwigni oraz efektu Taylora opisanego w pracy [24]. σ δ t = q α j ( ɛ t j γ j ɛ t j ) δ + j=1 p β j σt j, δ gdzie δ R + jest transformacją Box a-cox a szeregu σ t, a γ j jest współczynnikiem efektu dźwigni. Do tej rodziny modeli należą między innymi: GARCH dla δ = 2 i γ j = 0, AVGARCH dla δ = 1 i γ j = 0, GJR-GARCH dla δ = 2, TGARCH dla δ = 1. Dopasowanie tego modelu w środowisku R jest możliwe dzięki narzędziom dostępnym w bibliotekach fgarch i rugarch. Uwaga 7 Nie ma jednoznacznej konkluzji, który z modeli w sposób najlepszy opisuje efekt dźwigni w szeregach stóp zwrotu. Wydaje się jednak, że modele GJR-GARCH jest modelem najczęściej wykorzystywanym, ze względu na jego większą intuicyjność oraz znacznie łatwiejszą aplikację w zagadnieniach finansowych od modelu pozostałych modeli Model fgarch (family GARCH) Jest to rodzina najpopularniejszych modeli GARCH zaproponowana przez Hentschel a w pracy [25]. Model ten jest podobny do modelu APARCH, ale bardziej ogólny. Zawiera w sobie wiele modeli symetrycznych oraz asymetrycznych, m.in. : APARCH GJR NGARCH Dopasowanie modeli fgarch w R jest możliwe m.in. z wykorzystaniem biblioteki rugarch Model R-GARCH (Randomized GARCH) Model R-GARCH(r,q,p) jest opisany następującymi wzorami[16]: σ 2 t = r γ i η t k + k=1 ɛ t = z t σ t, q α i ɛ 2 t i + i=1 j=1 p β i σt j, 2 gdzie r 1, α q, β p, γ r > 0, a pozostałe współczynniki są nieujemne. j=1 20

24 W modelu pojawił się dodatkowy szum η t. Jest to ciąg dodatnich niezależnych zmiennych losowych. Zakłada się, że jest on niezależny względem szumu z t. Szczególnymi przypadkami należącymi do tej klasy są modele GARCH (gdy szum η t tworzą stałe dodatnie η) i ARCH (założenie jak dla GARCH i dodatkowo p = 0). Nie należą do niej natomiast opisane poniżej modele TARCH i HARCH. Zalety modelu R-GARCH W modelach ARCH i GARCH nie są znane rozkłady opisujące zwroty ɛ t. Wiadomo jedynie, że mają one grube ogony. Dla modelu R-GARCH można znaleźć rozkład ɛ t. Okazuje się, że jest to symetryczny rozkład α-stabilny Model TARCH (Threshold ARCH) W modelach ARCH i GARCH warunkowa wariancja zależy tylko od kwadratów poprzednich wartości szeregu. Uniemożliwia to zastosowanie tych modeli do symulacji niesymetrycznego zachowania się inwestorów na giełdzie (efekt dźwigni). To zachowanie można próbować opisać za pomocą modelu progowego (threshold model). Połączenie modelu progowego z modelem ARCH zaowocowało powstaniem modelu TARCH(p,p,r) [15]: { α0 + p i=1 ɛ t = α iɛ t i + z t dla ɛ t d T ; α 0 + p i=1 α i ɛ t i + z t dla ɛ t d < T. gdzie z t jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią zero i warunkową wariancją σ 2 = γ 0 + r i=1 γ izt i 2, współczynniki α i, α i, γ j są rzeczywiste, d jest parametrem odroczenia, a T jest parametrem progowym. Jest to model niesymetryczny i nieliniowy, w którym warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancja procesu ɛ t zależą od jego poprzednich wartości. Możliwa jest modyfikacja modelu TARCH tak, aby również jego warunkowa wariancja przyjmowała inne wartości dla obu warunków progowych. Zalety modelu TARCH Model uwzględnia niesymetryczne zachowanie inwestorów. Do dopasowania modeli TARCH w R można wykorzystać bibliotekę tsdyn Model HARCH (Heterogeneous interval ARCH) Model HARCH(k) wprowadzony w pracy [17] jest następującą modyfikacją szeregu ARCH: ɛ t = z t σ t, k j σt 2 = α 0 + α j ( ɛ t i ) 2, j=1 gdzie α 0, α k > 0, a pozostałe współczynniki są nieujemne. HARCH(k) jest szeregiem stacjonarnym w szerszym sensie, wtedy i tylko wtedy gdy k j=1 jα j < 1. Uwaga 8 Dla k = 1 HARCH(1)=ARCH(1). i=1 21

25 Zalety modelu HARCH Dla k > 1 w postaci modelu HARCH(k) występują iloczyny mieszane różnych współczynników ɛ t. Oznacza to, że na zmiany wariancji wpływa nie tylko bezwzględna wartość zwrotów, ale również ich znaki. Dobrze modeluje zależność między zmiennością krótkoterminową i długoterminową. Wady modelu HARCH Podobnie jak dla modelu ARCH, aby modelować efekt długiej pamięci, wymagane jest przyjęcie wysokiego rzędu k. 22

26 5 Dopasowanie modelu w pakiecie R - funkcje i metody W tym rozdziale przedstawimy przegląd najważniejszych bibliotek (paczek) dla środowiska R, które umożliwiają przeprowadzenie analizy finansowych szeregów czasowych. Opisane biblioteki to: tseries, fgarch, rugarch, bayesgarch, ccgarch. Dwie pierwsze to standardowe paczki używane do modelowania i prognozowania finansowych szeregów czasowych. Jednak to paczka rugarch została uznana przez nas za najbogatszą. Nie są to oczywiście wszystkie biblioteki, które można by opisać w tym miejscu. Pominięte zostały: tsdyn biblioteka pozwalająca modelować nieliniowe szeregi czasowe, m.in. model TARCH, rmgarch odpowiednik paczki rugarch dla wielowymiarowych modeli GARCH. 5.1 Biblioteka tseries Opis biblioteki został utworzony bazując na [13] Dopasowanie modelu Funkcja garch dopasowuje do danych model ARCH(q) lub GARCH(q,p) przy użyciu warunkowej metody największej wiarygodności (dla logarytmu funkcji wiarygodności). Domyślnie jest to GARCH(1,1), który często jest wystarczająco dobrym modelem. Można również wskazać inny model, korzystając z parametru order=c(q,p). Dla p=0 uzyskamy model ARCH(q). Ponadto zakłada się, że jest to najbardziej elementarna wersja modelu GARCH, tzn. o rozkładzie normalnym zmiennej z t, czyli szumu (patrz opis modelu). 1 l i b r a r y ( t s e r i e s ) 2 dane. garch< garch ( dane. zwroty ) Listing 13: Dopasowanie modelu GARCH Listing 14: Dopasowanie modelu GARCH - wyjście 1 ESTIMATION WITH ANALYTICAL GRADIENT I INITIAL X( I ) D( I ) e e+00 23

27 e e e e IT NF F RELDF PRELDF RELDX e e e e e e e e e IT STPPAR D STEP NPRELDF e e e e e e FALSE CONVERGENCE FUNCTION e+03 RELDX e FUNC. EVALS 20 GRAD. EVALS 2 25 PRELDF e 17 NPRELDF 2.779e I FINAL X( I ) D( I ) G( I ) e e e e e e e e e+00 Możliwe jest zablokowanie drukowania powyższego rezultatu (parametr trace=false). Na dole znajduje się ostateczne oszacowanie współczynników modelu. Można je również uzyskać korzystając z jednej z metod dla modelu GARCH, metody coef. Przedziały ufności dla wyznaczonych parametrów wyglądają następująco: 1 c o n f i n t ( dane. garch ) Listing 15: Przedziały ufności % 97.5 % 2 a e e 05 3 a e e 01 4 b e e 01 Listing 16: Przedziały ufności - wynik Kolejne metody dostępne dla tego modelu, to m.in.: predict Zwraca prognozowaną zmienność dla dopasowanego modelu GARCH. vcov Zwraca oszacowaną macierz kowariancji estymowanych parametrów modelu. 24

28 residuals Zwraca wektor reszt GARCH, tzn. szereg czasowy używany do dopasowania modelu podzielony przez warunkowe odchylenie standardowe tego modelu. Przy założeniu warunkowej normalności reszty powinny być ciągiem i.i.d. ze standardowego rozkładu normalnego. fitted Zwraca przybliżone warunkowe odchylenie standardowe dla szeregu, który został wykorzystany od dopasowanego modelu. plot Graficzne sprawdzenie normalności i pozostałych efektów ARCH dla reszt. Dzięki niej uzyskamy wykresy zmienności w czasie, histogramy, wykresy kwantyl-kwantyl oraz wykresy funkcji ACF dla wyjściowego szeregu czasowego i reszt. Do tworzenia i wyświetlania opisu(podsumowania) dopasowanego modelu GARCH służy metoda summary. Oblicza ona asymptotyczne błędy standardowe oszacowań współczynników. Ponadto testuje normalność reszt i pozostałe efekty ARCH (jarque.bera.test i Box.test). 1 summary ( dane. garch ) Listing 17: Podsumowanie modelu. Listing 18: Podsumowanie modelu - wyjście. 1 Call : 2 garch ( x = dane. zwroty ) 3 4 Model : 5 GARCH( 1, 1 ) 6 7 R e s i d u a l s : 8 Min 1Q Median 3Q Max C o e f f i c i e n t ( s ) : 12 Estimate Std. Error t value Pr( > t ) 13 a e e a e e b e e S i g n i f. codes : D i a g n o s t i c Tests : 20 Jarque Bera Test data : R e s i d u a l s 23 X squared = , df = 2, p value < 2. 2 e

29 25 26 Box Ljung t e s t data : Squared. R e s i d u a l s 29 X squared = , df = 1, p value = Jeśli w pobranych danych występują braki wartości, niektóre z funkcji mogą nie działać prawidłowo. Pomocna okazuje się wtedy funkcja na.remove, która usuwa obserwacje z brakującymi danymi z analizowanego szeregu. Może to niestety prowadzić do zachwiania porządku w danych. W pakiecie tym zostały również zaimplementowane funkcje przeznaczone do testowania hipotez statystycznych. Są to m. in. omówiony wcześniej test normalności Jarque-Bera. Ponadto testy: adf.test rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF, Augmented Dickey-Fuller test) bds.test test liniowości BDS (Brock, Dechert, Scheinkman) kpss.test test stacjonarności KPSS (Kwiatkowski Phillips Schmidt Shin) 5.2 Biblioteka fgarch Pakiet funkcji ekonometrycznych do modelowania procesów GARCH. Opis biblioteki został utworzony bazując na [14] Symulowanie danych Biblioteka ta zawiera dwie funkcje służące do symulowania i określenia specyfikacji modeli GAR- CH/APARCH, są to: garchspec i garchsim. 1 l i b r a r y ( fgarch ) 2 spec< garchspec ( ) 3 spec Listing 19: Tworzenie specyfikacji modelu domyślnego. 1 Formula : 2 ~ garch ( 1, 1) 3 Model : 4 omega : 1e 06 5 alpha : beta : D i s t r i b u t i o n : 8 norm 9 Presample : 10 time z h y e 05 0 Listing 20: Otrzymany model. Możliwe argumenty to m.in.: 26

30 cond.dist - zakładany warunkowy rozkład, do wyboru: norm, ged, std, snorm, sged, sstd, model - lista parametrów modelu GARCH, domyślnie GARCH(1,1) Funkcja garchsim symuluje jednowymiarowy model GARCH/APARCH. Listing 21: Symulacja modelu GARCH. 1 sim< garchsim ( spec = garchspec ( ), n = 100, n. s t a r t = 100, extended = TRUE) 2 head ( sim ) 3 #utworzenie wykresu garch, sigma, eps 4 p l o t ( sim ) Listing 22: Otrzymany model. 1 garch sigma eps Otrzymane wykresy znajdują się na rysunku 10. Wykres pierwszy od góry to szereg czasowy z modelu GARCH(1,1), drugi to wykres zmienności, a na dole obserwujemy wykres reszt. Rysunek 10: Symulowanie modelu GARCH(1,1). 27

31 5.2.2 Dopasowanie modelu Podstawową funkcją do estymacji parametrów jest garchfit. Służy ona do estymacji parametrów jednowymiarowego procesu ARMA-GARCH/APARCH. 1 l i b r a r y ( fgarch ) 2 args ( garchfit ) Listing 23: Estymacja parametrów procesu ARMA-GARCH/APARCH. Listing 24: Otrzymane wyjście. 1 f u n c t i o n ( formula=~garch ( 1, 1 ), data=dem2gbp, i n i t. r e c=c ( " mci ", " uev " ), d e l t a =2, skew=1, shape =4, cond. d i s t=c ( " norm ", " snorm ", " ged ", " sged ", " std ", " s s t d ", " s n i g ", "QMLE" ), i n c l u d e. mean = TRUE, i n c l u d e. d e l t a =NULL, i n c l u d e. skew=null, i n c l u d e. shape=null, l e v e r a g e=null, t r a c e= TRUE, algorithm=c ( " nlminb ", " l b f g s b ", " nlminb+nm", " l b f g s b+nm" ), h e s s i a n=c ( " ropt ", " rcd " ), c o n t r o l = l i s t ( ), t i t l e = NULL, d e s c r i p t i o n = NULL,... ) 2 NULL Jeśli nie zostaną określone parametry modelu ARMA(jak w poniższym przykładzie), to estymacja przeprowadzona będzie dla czystego modelu GARCH. Funkcja ta, podobnie jak garch z biblioteki tseries, wykorzystuje metodę największej wiarygodności (dla logarytmicznej funkcji wiarygodności), ale daje więcej możliwości niż jej wspomniany odpowiednik. Nie narzuca ona normalności rozkładu szumu. Parametry modelu można estymować również przy założeniu, że pochodzi on z rozkładu t-studenta lub rozkładu GED oraz ich zdeformowanych wersji,np. skośnych. Służy do tego argument cond.dist. Jest to bardzo przydatna modyfikacja, ponieważ większość rzeczywistych reszt modeli posiada grubsze ogony niż rozkład normalny. Dodatkowo umożliwione jest ustalenie liczby stopni swobody dla rozkładu t-studenta poprzez parametr shape oraz include.shape=false. W przeciwnym wypadku wartość shape jest estymowana. Funkcja ta umożliwia również estymację bardziej ogólnej klasy modeli, tzn. modeli APARCH(Asymmetric Power ARCH), opisanych we wcześniejszej części raportu. Listing 25: Estymacja parametrów modelu. 1 garchfit ( ~garch ( 1, 1 ), data=dane. zwroty ) Metody funkcji garchfit to: fitted Zwraca dopasowane wartości szeregu fgarch. Listing 26: Dopasowane wartości modelu 1 f i t< garchfit ( ~garch ( 1, 1 ), data=dane. zwroty, t r a c e=false) 2 f i t t e d ( f i t ) 28

32 coef Zwraca współczynniki oszacowanego modelu GARCH. formula Zwraca podaną przez użytkownika specyfikację modelowanego obiektu fgarch. 1 formula ( f i t ) Listing 27: Formuła dopasowanego modelu. Listing 28: Formuła dopasowanego modelu - wyjście. 1 data ~ garch ( 1, 1) 2 a t t r (, " data " ) 3 [ 1 ] " data = dane. zwroty " 4 <environment : 0 x fe8b8 > plot Funkcja ta pozwala na wyświetlenie 13 wykresów. 1 p l o t ( f i t ) Listing 29: Generowanie wykresów. Listing 30: Generowanie wykresów - wybór typu wykresu. 1 Make a p l o t s e l e c t i o n ( or 0 to e x i t ) : 2 1 : Time S e r i e s 3 2 : Conditional SD 4 3 : S e r i e s with 2 Conditional SD Superimposed 5 4 : ACF o f Observations 6 5 : ACF o f Squared Observations 7 6 : Cross C o r r e l a t i o n 8 7 : R e s i d u a l s 9 8 : Conditional SDs 10 9 : Standardized R e s i d u a l s : ACF o f Standardized R e s i d u a l s : ACF o f Squared Standardized R e s i d u a l s : Cross C o r r e l a t i o n between r ^2 and r : QQ Plot o f Standardized R e s i d u a l s Jeżeli jest potrzebne wykonanie tylko jednego, konkretnego wykresu, można określić jego typ już przy pierwszym wywołaniu funkcji, np. dla wykresu funkcji ACF dla kwadratów obserwacji: 1 p l o t ( f i t, which = 5) Listing 31: Wykres funkcji ACF dla kwadratów obserwacji. 29

33 residuals Zwraca reszty z dopasowanego obiektu fgarch. volatility Zwraca wartości warunkowych odchyleń standardowych (zmienności) z dopasowanego obiektu fgarch. summary Wyświetla podsumowanie dla obiektu klasy fgarch. 1 summary ( f i t ) Listing 32: Podsumowanie dla obiektu klasy fgarch. Wyjście tej funkcji zawiera kolejno tytuł, wywołanie funkcji garchfit, formuły dla średniej i wariancji, typ rozkładu warunkowego oraz wyestymowane współczynniki modelu. 1 T i t l e : 2 GARCH Modelling 3 4 Call : 5 garchfit ( formula = ~garch ( 1, 1), data = dane. zwroty, t r a c e = FALSE ) 6 7 Mean and Variance Equation : 8 data ~ garch ( 1, 1) 9 <environment : 0 x fe8b8 > 10 [ data = dane. zwroty ] Conditional D i s t r i b u t i o n : 13 norm C o e f f i c i e n t ( s ) : 16 mu omega alpha1 beta e e e e 01 Kolejną częścią podsumowania są błędy standardowe estymatorów oraz analiza istotności statystycznej współczynników. 1 Std. Errors : 2 based on Hessian 3 4 Error A nalysis : 5 Estimate Std. Error t value Pr( > t ) 6 mu e e omega e e alpha e e e 05 9 beta e e < 2e 16 30

34 10 11 S i g n i f. codes : Na samym końcu znajdują się testy dla reszt z dopasowanego modelu. 1 Standardised R e s i d u a l s Tests : 2 S t a t i s t i c p Value 3 Jarque Bera Test R Chi^ Shapiro Wilk Test R W e 09 5 Ljung Box Test R Q(10) Ljung Box Test R Q(15) Ljung Box Test R Q(20) Ljung Box Test R^2 Q(10) Ljung Box Test R^2 Q(15) Ljung Box Test R^2 Q(20) LM Arch Test R TR^ Information C r i t e r i o n S t a t i s t i c s : 14 AIC BIC SIC HQIC Prognozowanie Metoda predict działająca na bazie modelu garchfit zwraca tabelę danych z następującymi kolumnami: meanforecast, meanerror i standarddeviation. Liczba wyników jest równa liczbie kroków prognozowania n.ahead. 1 p r e d i c t ( f i t, n. ahead =100) 1 meanforecast meanerror standarddeviation Dodając polecenie plot=true uzyskamy wykres z prognozą, jak na rysunku 11, który wykonano dla n.ahead=100. Możliwe jest również stworzenie prognozy dla zmienności. 1 daty< 1: T < length ( dane. zwroty ) 31

35 Rysunek 11: Prognoza garchfit GARCH(1,1) 3 4 s i g < fit@sigma. t 5 h < f c s t < p r e d i c t ( f i t, h ) 7 daty. f c s t < 1007: s i g. f c s t < c ( s i g [T], f c s t [, 3 ] ) 9 10 p l o t ( daty, s i g, type=" l ", xlim=c ( daty [ ], daty. f c s t [ h+1]) ) 11 l i n e s ( daty. f c s t, s i g. f c s t, l t y =2, c o l= red ) Otrzymany w ten sposób wykres 12: Uzyskane wyniki wskazują na spadek warunkowego odchylenia standardowego w okresie prognozy. W efekcie następuje również zwężenie przedziałów ufności dla prognozy przedziałowej dla zwrotów logarytmicznych. Wybór modelu może mieć wpływ na postać prognozy i szerokość przedziałów ufności. Na rysunku 13 przedstawiamy porównanie prognozowanego szeregu, natomiast na wykresie 14 znajduje się zestawienie wykresów warunkowego odchylenia standardowego dla modeli: ARCH(1) ARCH(4) GARCH(1,2) GARCH(2,2) Na wykresach prognoz zauważalna jest wyraźna różnica dla modeli ARCH i GARCH. Przedziały ufności dla modeli ARCH praktycznie utrzymują się na stałym poziomie. W modelach GARCH 32

36 Rysunek 12: Prognoza garchfit GARCH(1,1) dla odchylenia standardowego Rysunek 13: Prognoza garchfit przedziały maleją do ustalonego stałego poziomu (wyznaczonego prawdopodobnie dla bezwarunkowej wariancji). Porównując między sobą model ARCH(1) i ARCH(4) oraz następnie GARCH(1,2) 33

37 i GARCH(2,2), zauważalna jest różnica jedynie na samym początku prognozy. Bardziej skomplikowany z każdej pary modeli, daje bardziej dokładną prognozę w tym okresie. Dla późniejszych prognoz są one już identyczne. Rysunek 14: Prognoza garchfit dla warunkowego odchylenia standardowego Wnioski dla wykresów prognozowanego odchylenia standardowego są praktycznie identyczne, jak dla wykresów zwrotów logarytmicznych, ponieważ to właśnie odchylenie standardowe decyduje o kształcie przedziałów ufności w tym modelu. Ostatnią częścią biblioteki fgarch są funkcje do modelowania standardowych rozkładów: [dpqr]norm rozkład normalny, [dpqr]snorm skośny rozkład normalny, [s]normfit estymuje parametry (skośnego) rozkładu normalnego, [dpqr]ged Generalized Error distribution function, [dpqr]sged skośny rozkład GED, [s]gedfit estymuje parametry (skośnego) rozkładu GED, [dpqr]std rozkład t-studenta, [dpqr]sstd skośny rozkład t-studenta, [s]stdfit estymuje parametry (skośnego) rozkładu t-studenta, absmoments oblicza bezwzględne momenty tych rozkładów. 34

38 5.3 Biblioteka rugarch Pakiet rugarch ma na celu zapewnienie kompleksowego zestawu metod modelowania procesów GARCH, w tym narzędzi pozwalających na: dopasowywanie modelu, prognozowanie, symulacje, jak i narzędzi diagnostycznych zawierających wykresy i różnorodne testy statystyczne. Dodatkowe metody takie jak rolling estimation, prognozowanie bootstrap i estymacja gęstości zapewniają bogate środowisko do modelowania procesów. Opis paczki powstał na podstawie publikacji [20], [19] oraz [26] Symulowanie danych Biblioteka rugarch zawiera także użyteczne funkcje, które można wykorzystać do symulacji modeli. Symulacja może być przeprowadzana bazując bezpośrednio na dopasowanym obiekcie (ugarchsim) lub na bazie specyfikacji GARCH z dopasowanymi parametrami (ugarchpath). ugarchsim Listing 33: Argumenty funkcji ugarchsim. 1 f u n c t i o n ( f i t, n. sim = 1000, n. s t a r t = 0, m. sim = 1, startmethod = c ( " u n c o n d i t i o n a l ", " sample " ), presigma = NA, p r e r e t u r n s = NA, p r e r e s i d u a l s = NA, r s e e d = NA, custom. d i s t = l i s t (name = NA, d i s t f i t = NA), mexsimdata = NULL, vexsimdata = NULL,... ) 2 NULL n.sim wskazuje długość symulacji, natomiast m.sim liczbę niezależnych symulacji. Listing 34: Symulacja szeregu czasowego w oparciu o dane rzeczywiste 1 spec < ugarchspec ( v a r i a n c e. model=l i s t ( model="sgarch", garchorder= c ( 1, 1 ) ), mean. model=l i s t ( armaorder=c ( 0, 0 ) ) ) 2 f i t < u g a r c h f i t ( spec=spec, data=dane. zwroty, ) 3 sim < ugarchsim ( f i t, n. sim =1000, n. s t a r t =1, m. sim=1, startmethod=" sample " ) 4 sim 5 p l o t ( sim, which=" a l l " ) Listing 35: Symulacja szeregu czasowego w oparciu o dane rzeczywiste. 1 2 GARCH Model Simulation 3 4 Model : sgarch 5 Horizon : Simulations : 1 7 Seed Sigma2. Mean Sigma2. Min Sigma2. Max 8 sim e e e Mean( All ) 0.00 e e e Actual 0.00 e e e