VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 2/2 Wstęp W trakcie tego referatu poruszę kilka zwiazanych ze soba pojęć takich jak: spacer losowy i ruchy Browna dyfuzja superdyfucja i pochodna ułamkowa
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 3/2 Spacer losowy Rozważmy zwykły spacer losowy jednowymiarowy. Punkt może sie poruszać zgodnie z reguła: P(x = 1) = P(x = 1) = 1 2 Gdzie x jest zmiana położenia punktu.
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 4/2 Spacer losowy Rysunek 1: Przykłady trajektorii dla jednowymiarowego spaceru losowego
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 5/2 Dyfuzja Ten spacer losowy jest zwiazany z klasyczna dyfuzja. Rozważajac ruchy Browna można dojść do równania dyfuzji. W(x, t) - gęstość prawdopodobieństwa znalezienia się czastki w punkcie x w czasie t, Φ(δ) - prawdopodobieństwo przejścia czastki z x δ do x W(x,t + τ) = P(x δ,t)φ(δ)dδ
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 6/2 Dyfuzja W(x,t + τ) = W(x,t) + τ W t W(x δ,t) = W(x,t) + δ W x + δ2 2 W 2! x 2 W + τ W t = W + W x δφ(δ)dδ + 1 2! 2 W x 2 δ 2 Φ(δ)dδ
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 7/2 Dyfuzja Jako że Φ( δ) = Φ(δ) to W = D 2 W t x, 2 gdzie D = 1 2! δ2 Φ(δ)dδ. Rozwiazanie tego równania ma postać: W(x,t) = 1 σ 2π exp x 2σ gdzie σ 2 = 2Dt, a funkcję W nazywamy propagatorem.
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 8/2 A co by było gdyby Prędkość rozprzestrzeniania się czastek w tym procesie jest proporcjonalna do t A jakiego równania użyć do opisania szybszej dyfuzji, rozchodzacej się z większa prędkościa? Jak w ogólności opisać proces dla którego σ 2 t α,α (0, 2)?
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 9/2 Skoki Levy ego W przeciwieństwie do klasycznego ruchu Browna tutaj długość skoków jest losowana z rozkładu Levy ego. λ(k) = exp( σ µ k µ ) 1 σ µ k µ
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 10/2 Porównanie Rysunek 2: Przykłady trajegorii 2-wym. Levy ego i ruchu Browna ruchu
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 11/2 Przykłady Gdzie wystepuje superdyfuzja? Model rozprzestrzeniania się gatunków z poszukiwaniem pożywienia może być z powodzeniem opisany przez skoki Levy ego. Dyfuzja w układach z siła wymuszajac a. Dyfuzja na obiektach fraktalnych Dyfuzja w polimerach
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 12/2 Pochodna ułamkowa Żeby opisać superdyfuzje potrzebne nam będa inne niż klasyczne równania różniczkowe. Wprowadzimy pochodna ułamkowa oraz ułamkowe równania różniczkowe.
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 13/2 Definicja Grünwald a - Letnikow a ( Definicja 1 Pochodna ułamkowa Grünwald a - Letnikow a rzędu p 0 bedziemy nazywać: adtf(t) p 1 n ( ) p = lim ( 1) r f(t rh), h 0 h p r nh=t a gdzie p n. r=0
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 14/2 Definicja Riemann a - Liouville a Definicja 2 Pochodna ułamkowa Riemann a - Liouville a rzędu p 0 bedziemy nazywać: ad p tf(t) = 1 Γ(k p) ( dk dt k) t gdzie 0 k 1 p < k. Całka ułamkowa nazywamy a (t τ) k p 1 f(τ)dτ gdzie p > 0. ad p t f(t) = 1 Γ(p) t a (t τ) p 1 f(τ)dτ
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 15/2 Własności Kilka podstawowych własności rachunku różniczkowego ułamkowego: adt( p a D p t f(t)) = f(t) ad p t ( a Dtf(t)) p = f(t) k j=1 [ ad p j t f(t)] t=a (t a) p j Γ(p j+1) ad p t( a D q t f(t)) = a D p q t f(t),p q 0 d n dt ( n a Dtf(t)) p = a D n+p t f(t) adt( q a Dtf(t)) p = ad n+p t f(t) k j=1 [ ad p j t f(t)] t=a (t a) q j Γ(1 q j)
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 16/2 Własności Należy jednak uważać, ponieważ generalnie ad q t( a D p tf(t)) a D p t( a D q tf(t)) Operator różniczkowania jest liniowy.
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 17/2 całka Rysunek 3: całka ułamkowa z funkcji stałej
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 18/2 pochodna Rysunek 4: pochodna ułamkowa z funkcji stałej
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 19/2 ułamkowa dyfuzja Równanie ułamkowej dyfuzji ma postać: W(x,t) t = K 0 D α t W(x,t), u(x, 0) = δ(x) gdzie 0 < α 2 oraz funkcja W(x,t) 0 i t 0 u(x,t)dx = 1. Wtedy rozwiazanie W(x,t) ma rozkład Kµ t µ < 2. x 1+µ,
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 20/2 dyfuzja na fraktalach 0D 1 d 1 t J(t) = LX(t), gdzie: J(t) - makroskopowy przepływ przez powierzchnię fraktala X(t) - lokalna siła unoszenia L - stała d - wymiar fraktalny
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 21/2 Prawa Ficka Prawo Ficka: m c = AS t x Czyli masa czastek przechodzacych przez powierzchnię w danym czasie jest proporcjonalna (wspł. D) do iloczynu powierzchni i zmiany stężenia substancji na odcinku x
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 22/2 odpowiednik prawa Ficka 0D 1 d t P(r,t) = A( P(r,t) + κ r r P(r,t)) gdzie: P(r,t) - średnia gęstość prawdopodobieństwa spaceró losowych na fraktalach A,κ - stałe d - wymiar fraktalny
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 23/2 dyfuzja Rysunek 5: Zmiana W w czasie dla klasycznej dyfuzji
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 24/2 subdyfuzja Rysunek 6: Zmiana W w czasie dla subdyfuzji
[4] Wikipedia VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 25/2 Bibliografia Literatura [1] Mikołaj Siergiejew, Od dyfuzji " normalnej"do dyfuzji " anomalnej", Zakład Fizyki Ciała Stałego, Instytut Fizyki US. [2] Igor Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999. [3] Ralf Metzler, Joseph Klafter The random walk s guide to anomalous di!usion: a fractional dynamics approach,school of Chemistry, Tel Aviv University,