1 Cele ćwiczeń Prawdopodobieństwo całkowite, Bayesowskie, niezależność. 2 Treść ćwiczeń 2.1 Sprawy organizacyjne Zbiera prace doowe. Zapowiada kartkówkę na za tydzień (10go arca). Druga będzie wstępnie na początku kwietnia, a trzecia gdzieś pod koniec seestru. 2.2 Oówienie prac doowych Zadanie 1. Rzuca kostką (zwykłą, sześciościenną), do oentu, w który wypadnie jedynka. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie tyle sao piątek, co szóstek (uwaga, sua się nie zwija, ożna zostawić rozwiniętą podwójną suę). Dowód. Będę to robił z prawdopodobieństwa całkowitego. Niech a i oznacza liczbę wyników i w eksperyencie (w szczególności a 1 = 1), zaś n 1 oznacza liczbę rzutów przed wypadnięcie pierwszej jedynki. Wtedy P(a 5 = a 6 ) = n=0 P(a 5 = a 6 n 1 = n)p(n 1 = n). Druga z tych rzeczy jest prosta do policenia, to jest (5/6) n /6 (usiy wyrzucić coś innego pierwsze n razy i pote jedynkę). Teraz liczyy P(a 5 = a 6 n 1 = n) = n/2 k=0 P(a 5 = k i a 6 = k) = ( n/2 n n k=0 k)( k) 3 n 2k /5 n. Wstawiay, i dostajey P(a 5 = a 6 ) = n=0 n/2 k=0 6 n 1( n k ) 2 3 n 2k. Zadanie 2. ( ) Wyprowadź ogólną zasadę włączeń i wyłączeń, tj. wzór na prawdopodobieństwo, że zajdzie przynajniej k spośród zdarzeń A 1, A 2,..., A n, jeśli znay wszystkie prawdopodobieństwa P(A i1 A i2... A il ). Zadanie 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że roztrzepana sekretarka włoży dokładnie k spośród n listów do prawidłowych kopert? Dowód. Wpierw uogólniy zasadę włączeń i wyłączeń. Niech I będzie pewny skończony zbiore zdarzeń. Przez P J dla J I oznaczyy prawdopodobieństwo tego, że zaszły wszystkie zdarzenia ze zbioru J (nie rozstrzygay, czy zaszły te spoza zbioru J). Chcey obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zajdzie przynajniej k zdarzeń ze zbioru I (standardowa zasada włączeń i wyłączeń to przypadek k = 1). Niech R J oznacza prawdopodobieństwo tego, że zaszły zdarzenia ze zbioru J, a pozostałe nie (tych prawdopodobieństw najczęściej nie znay wprost). Interesuje nas sua J k R J. Chcey dowieść, że jest ona równa J I, J k( 1) k J J 1 PJ. k 1 Wiey, że P J = L J R J. Wstawiay, zieniay granice suowania: J 1 ( 1) k J P J = J 1 R L ( 1) k J k 1 k 1 J I, J k L I, L k J L, J k = 1 R L ( 1) k 1 k 1 L I, L k k L J L, J = = 1 L R L ( 1) k. k 1 L I, L k k L
Ta wewnętrzna sua jest jedynką, co skończy dowód. Ja pokażę trikowy dowód, bo i się podoba: ) n ( x) n = (1 (x + 1)) n = ( (x + 1)) n = 1 + (x + 1) =0 =1( 1) ( n (x + 1) 1 ) = 1 + =1( 1) ( n 1 1 x i. i=0 i Ta tożsaość jest prawdziwa dla dowolnego x. Teraz odejuję jedynkę stronai i dzielę przez x + 1, to działa dla x 1: =1( 1) ( n ) 1 i=0 1 x i = 1 ( x)n n 1 i 1 ( x) = ( x) j. Czyli ay równość dwóch wieloianów wszędzie poza x = 1, zate uszą być równe wszędzie, a zate i współczynniki uszą być równe. Rozpatruję współczynnik przy x k 1, gdzie 0 k 1 n 1. Dostaję j=0 ) =1( 1) ( n 1 = ( 1) k 1 = ( 1) k. k 1 Zauważy, że składniki lewej suy dla 1 < k 1 nie wnoszą nic do suy (bo ostatni sybol Newtona jest zere), skąd po podzieleniu przez ( 1) k stronai i wstawieniu n = L otrzyujey to, co chcieliśy. Teraz liczyy z zasady włączeń i wyłączeń. Prawdopodobieństwo, że sekretarka wrzuci do prawidłowych kopert wybrane i listów to (n i)!/n! (bierzey, jak zwykle, Ω to zbiór perutacji, tak jak ówiliśy na ćwiczeniach przyjujey odel, w który koperty są niepoieszane, Ω = n!, prawdopodobieństwo klasyczne). Dla J = prawdopodobieństwo P J (czyli prawdopodobieństwo, że sekretarka włoży wybrane listów dobrze) to (n )!. Zbiorów J o ocy n! jest n. Stąd, wstawiając do wzoru włączeń i wyłączeń i grupując wyrazy dla równych J dostajey, że szukane prawdopodobieństwo to =k n 1 (n )! ( 1) k k 1 n! = 1 (k 1)! =k ( 1) k n k ( k)! = 1 ( 1) v (k 1)! v=0 (v + k)v!. Żeby policzyć to zadanie, nie trzeba korzystać z ogólnej zasady włączeń i wyłączeń. Żeby ( k listów ) wpadło ta, gdzie trzeba, trzeba powiedzieć, że wybieray które k listów to jest (na n k sposobów), a następnie ówiy, że żaden z pozostałych a nie wpaść, na ocy zadania z ćwiczeń wiey, ile to jest. Zadanie 4. Wybieray losowo trzy punkty z okręgu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkai trójkąta rozwartokątnego? Dowód. Jak zwykle utożsaiay okrąg z odcinkie [0, 2π), zate nasza Ω to [0, 2π) 3, prawdopodobieństwo geoetryczne. Łatwo uwierzyć (a też nietrudno udowodnić, analogicznie jak na ćwiczeniach), że wystarczy losować dwa punkty, zakładając, że trzeci jest zere. Będę liczył prawdopodobieństwo odwrotne (że jest ostrokątny), bo to się sprowadzi do już zrobionego zadania. To, że są one wierzchołkai trójkąta ostrokątnego oznacza, że nie leżą po jednej stronie żadnej średnicy okręgu, a to z kolei jest równoważne teu, że z trzech odcinków, na które te
dwa punkty dzielą cały łuk ożna zbudować trójkąt (bo to jest równoważne teu, że żaden z tych odcinków łukowych iedzy dwoa punktai nie jest dłuższy niż połowa okręgu). Wobec tego prawdopodobieństwo, że wyjdzie ostrokątny to 1/4, liczyliśy na ćwiczeniach, a że rozwartokątny to 3/4 (uwaga trzeba zauważyć, że prawdopodobieństwo na trójkąt prostokątny oraz na trójkąt zdegenerowany jest zerowe). Zadanie 5. Gray w następującą grę ja rzuca dwiea kostkai, nie pokazując Pani (Panu) wyniku. Następnie Pani (Pan) zadaje i jedno pytanie, na które uszę óc odpowiedzieć tak lub nie. Po usłyszeniu odpowiedzi wskazuje Pani (Pan) jakiś wynik, który twierdzi Pani, że występuje na przynajniej jednej z dwóch kostek. Jak powinna Pani (powinien Pan) grać, by zaksyalizować prawdopodobieństwo trafienia? (jeśli istnieje więcej niż jedna optyalna strategia, wystarczy wskazać dowolną, ale należy uzasadnić, że nie istnieje lepsza). Dowód. Jest 36 ożliwych wyników. Powiedzy, że przy odpowiedzi tak odpowiedź to 1, a przy odpowiedzi nie 2 (w przeciwny razie perutujey oczka kostki tak, by osiągnąć taki stan, trzeba jeszcze zauważyć, że jeśli niezależnie od odpowiedzi odpowiaday to sao, to nie warto pytać, i prawdopodobieństwo sukcesu to 11/36). Wobec tego dla wyników (1, 2) i (2, 1) odpowiedź jest nieistotna (bo i tak wygray), dla (1, x) i (x, 1) odpowiedź usi być tak, dla (2, x) i (x, 2) usi być nie, zaś dla pozostałych odpowiedź jest znowu nieistotna (bo i tak przegray). Wobec tego optyalny pytanie jest dowolne spełniające powyższe warunki, przykładowo czy wśród wyników jest jedynka?, zaś prawdopodobieństwo sukcesu to 5/9. Zadanie 6. Losujey cztery liczby z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe od 1/2 jeśli wiey, że przynajniej dwie z nich są większe od 1/2? A jeśli wiey, że przynajniej dwie z nich są większe od 3/4? Dowód. Naszą Ω jest [0, 1] 4. Prawdopodobieństwo tego, że dwie co najwyżej jedna liczba jest większa niż 2 to 5/16 (po 1/16 na każdą z sytuacji, w których wybrana liczba jest większa, a reszta niejsza, oraz 1/16 na sytuację, w której wszystkie są niejsze. Czyli prawdopodobieństwo, że przynajniej dwie są większe to 11/16. Prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe i przynajniej dwie są większe (czyli przecięcie zdarzeń) jest równe prawdopodobieństwu, że wszystkie są większe, a to jest 1/16. Czyli szukane prawdopodobieństwo warunkowe to 1/11. Teraz drugie pytanie. Prawdopodobieństwo tego, że żadna liczba nie jest większa od 3/4 to (3/4) 4, prawdopodobieństwo tego, że wybrana jedna jest większa to 3 3 /4 4, czyli prawdopodobieństwo tego, że przynajniej dwie są większe to 1 (3/4) 4 (3/4) 3 = (4 4 3 4 4 3 3 )/ 4 4 = 67/256. Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie liczby są większe od 1/2, ale żadna nie jest większa od 3/4 to 1/4 4. Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie są większe od 1/2 i tylko wybrana jedna jest większa od 3/4 to też 1/4 4, zate prawdopodobieństwo tego, że wszystkie są większe od 1/2 i przynajniej dwie są większe od 3/4 to 1/16 5/4 4 = 11/4 4. Zate końcowy wynik to 11/67. 2.3 Prawdopodobieństwo całkowite Przyponienie definicji prawdopodobieństwa warunkowego, pokazanie definicji prawdopodobieństwa całkowitego. Zadanie 7. Rzucay kostką raz. Pote rzucay tyle razy, ile wypadło oczek w pierwszy rzucie. Jaka jest szansa na wypadnięcie choć jednej jedynki?
Zadanie 8. Rzucay kostką, przerzucay (tj. rzucay ponownie) piątki, a jak wypadnie szóstka, to przerzucay ją i rzucay jeszcze jedną kostką. Tak robiy do skutku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ty procesie wypadnie jedynka? Czy on w ogóle się skończy? Zadanie 9. Zbadaj grę w rzuty do ustalonej trójki dla kobinacji ORO i ROO. Można zastanowić się nad ty, jak to jest ogólnie, nie robiy na ćwiczeniach. Zadanie 10. W pewny kraju działa trzech operatorów telefonii koórkowej, pierwsza a 40% rynku, druga 35%, a trzecia 25%. Wśród abonentów pierwszej firy 40% używa telefonów na kartę, wśród abonentów drugiej połowa, a trzeciej 60%. Jaka jest szansa, że losowo wybrany właściciel koórki a telefon na kartę? Jaka jest szansa, że losowo wybrany właściciel telefonu na kartę korzysta z usług pierwszej firy? Zadanie 11. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina a n dzieci jest równe (1 p)p n dla pewnej liczby p (0, 1). Przy ustalonej liczbie dzieci każdy z 2 n ożliwych rozkładów płci dzieci jest jednakowo prawdopodobny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana rodzina a co najniej jedną córkę; dokładnie jedną córkę; córkę jedynaczkę, pod warunkie, że a córkę. 2.3.1 Paradoks Sipsona Zadanie 12. Które z poniższych zdań są prawdziwe: Jacek studiuję echatronikę, a Wacek weterynarię. Jacek zarówno w pierwszy, jak i w drugi seestrze iał wyższą średnią ocen od Wacka. Z tego wynika, że średnia ocen Jacka z całego roku jest nie gorsza niż średnia ocen Wacka. Drużyny Victoria Międzyrzecz oraz Naprzód Ośno Lubuskie spotkały się w ciągu roku w ponad dwudziestu eczach piłki nożnej. Zarówno w eczach w sezonie letni, jak i w sezonie ziowy, Victoria odniosła większą procentowo liczbę zwycięstw niż Naprzód. Czy z tego wynika, że Victoria w trakcie całego roku zwyciężyła w większej liczbie eczy? Czy jest ożliwe, aby w wyniku przeprowadzenia się części ieszkańców iasta A do iasta B średni iloraz inteligencji w obu iastach wzrósł? W dwóch szkołach w Wiercholi Wielkiej przeprowadzono testy dotyczące uiejętności czytania ze zrozuienie. Zarówno chłopcy ze szkoły pierwszej ieli lepszy średni wynik niż chłopcy z drugiej, jak i dziewczęta ze szkoły pierwszej iały lepszy wynik niż dziewczęta z drugiej. Czy z tego wynika, że średni wynik pierwszej szkoły był lepszy, niż średni wynik drugiej? Firy Sprzedaż sp. z o.o. oraz Kupno Inc. wprowadziły regularne audyty, przy czy Sprzedaż a N audytów na rok, a Kupno K audytów na rok. Średni wynik finansowy za jeden okres był zarówno w pierwszy, jak i w drugi roku lepszy w Sprzedaży. Czy z tego wynika, że łączny wynik finansowy za dwa lata był lepszy w Sprzedaży?
2.4 Wzory Bayesa Zadanie 13. Wiey, że co dziesiąte kasyno w ieście oszukuje na ruletce (powiedzy, że na oszukanej ruletce nie da się wygrać). Na standardowej ruletce, jeśli obstawiay pojedynczą liczbę, szansa wygranej to 1/37 (ówiy o ruletce w systeie europejski). Załóży, że weszliśy do lokalu, i po 50 grach ciągle nie udało na się wygrać. Jaka jest szansa, że jest to spowodowane nieuczciwością kasyna? Zadanie 14. Załóży, że dwóch losowych studentów generuje bardzo podobne rozwiązania na kolokwiu z prawdopodobieństwe 5%. Jeżeli siedzą koło siebie i ściągają, to prawdopdobieństwo tego, że rozwiązania są bardzo podobne wzrasta do 50%. Powiedzy, że te prawdopodobieństwa są liczone niezależnie dla każdego zadania z kolokwiu (co jest dość chybiony założenie). May dwóch studentów, którzy z pięciu zadań wygenerowali trzy bardzo podobne, a dwa różne. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ściągali? 2.5 Niezależność Przypoina definicję niezależności ciągu zdarzeń. Zadanie 15. Czy pierwszy i drugi rzut kostką są niezależne? Czy pierwsza i druga karta wyciągnięta z talii są niezależne? Zadanie 16. Losuję jeden z czterech wierzchołków kwadratu (prawdopodobieństwo klasyczne). Które zbiory wśród następujących zdarzeń są niezależne: Wylosowanie wierzchołka z przekątnej x = y; Wylosowanie jednego z dwóch lewych wierzchołków; Wylosowanie jednego z dwóch górnych wierzchołków; Wylosowanie lewego górnego wierzchołka. Zadanie 17. Zdarzenia A 1, A 2,..., A n są niezależne. Czy z tego wynika, że A 1, A 2,..., A n są niezależne? A A 1, A 2,..., A n? Zadanie 18. May rodzinę n zdarzeń niezależnych A i, i wiey, że prawdopodobieństwo tego, że wszystkie na raz zajdą jest równe zero. Udowodnij, że dla każdego zdarzenia B istnieje takie zdarzenie A i, że A i oraz B są niezależne. Zadanie 19. Niech (Ω, F, P będzie przestrzenią probabilistyczną opisującą przeliczalnie wiele niezależnych rzutów syetryczną onetą. Udowodnij lub obal, że F 2 Ω. Zadanie 20. Niech przestrzeń probabilistyczna jak wyżej. Czy niezależne są następujące zdarzenia: B i w rzutach i oraz i + 1 wypadło to sao C i w rzutach i oraz i + 1 wypadła przynajniej jedna reszka D i w rzutach i, i + 1 oraz i + 2 wypadło to sao. Zadanie 21. Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A i zachodzi P(A i ) P( A i ) P(A i ) P(Ai A j ).
2.6 Scheat Bernoulliego Zadanie 22. Niech A n oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie n orłów w 2n rzutach onetą. Udowodnij, że P(A n ) jest alejące. Zadanie 23. Dla jakiego n wyrzucenie dokładnie dwóch orłów na n onetach jest najbardziej prawdopodobne? A trzech?