Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

Podobne dokumenty
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Wektory w przestrzeni

Metodydowodzenia twierdzeń

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/

Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2016 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Mierzalne liczby kardynalne

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. x i 0,

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

Funkcje wielu zmiennych

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Numeryczne zadanie wªasne

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

EGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

3 Ubezpieczenia na życie

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

1 Estymacja przedziałowa

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;

Indeksowane rodziny zbiorów

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

EGZAMIN MAGISTERSKI, 24 czerwca 2013 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Czas pracy 170 minut

Centralne twierdzenie graniczne

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

Funkcje wielu zmiennych

Zadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Metody dowodzenia twierdze«

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

Macierze i Wyznaczniki

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ZAANGA OWANIE PRACOWNIKÓW W PROJEKTY INFORMATYCZNE

E. Sadowska-Owczorz Statystyka i probabilistyka - zadania kwiecie«2018

Elementarna statystyka Test Istotno±ci

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Stereometria (geometria przestrzenna)

Transkrypt:

Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj c,»e M jest macierz wypªat w grze przeciwko Naturze, wyznacz decyzj optymaln (jedn z czterech) kieruj c si kryterium: pesymistów, minimaksowej straty. 2. (8 punktów) Osoba 60-letnia zawarªa roczne ubezpieczenie terminowe o wypªacie w wysoko±ci 90 000 zª pªatnej na koniec okresu ubezpieczenia. Ubezpieczony zostaª zaliczony do populacji, której odpowiada p 60 = 0, 92. W momencie zawierania ubezpieczenia wiadomo,»e ubezpieczony podda si za 10 miesi cy krótkiej operacji, któr prze»ywa 80% pacjentów. Je±li pacjent prze»yje operacj, to z bada«wynika,»e jej wpªyw na szanse jego dalszego»ycia jest nieistotny (tzn. po operacji ubezpieczony b dzie zaliczany do tej samej populacji co przed zabiegiem). Zawarta umowa ubezpieczenia wyª cza ±wiadczenie z tytuªu ±mierci je±li ubezpieczony umrze w trakcie tej operacji. Wyznacz jednorazow skªadk netto dla tego ubezpieczenia przy zaªo»eniu hipotez HJP, HU oraz wiedz c,»e v = 0, 95. Ponadto zakªadamy,»e 1 miesi c to 1 12 roku. Wskazówka: Rozwa» nast pujace przedziaªy, w których mogªa nast pi wypªata ±wiadczenia: przed operacj i po operacji, któr pacjent prze»yª.

Dziekan podejrzewa,»e jedn z przyczyn niepowodze«w studiowaniu jest sp dzanie przez studentów zbyt du»ej ilo±ci czasu na surfowaniu w Internecie. W celu oszacowania przeci tnego czasu po±wi canego przez studentów na t aktywno±, wylosowano grup pi ciu studentów i zarejestrowano nast puj ce czasy sp dzone na buszowaniu w sieci: 10, 7, 5, 4, 3. Wyznacz przedziaª ufno±ci, na poziomie ufno±ci α = 0, 95, dla ±redniego czasu sp dzanego przez studentów na surfowaniu w Internecie. 2 n ). po dodatnio zorientowanym okr gu = {z : z + 2i = 3 2 }.

Nauczycielska 1. (8 punktów) Mamy dane dwa kwadraty: Jeden ma wierzchoªki kolejno: ABCD, a drugi DEF G, przy czym E le»y na boku CD a punkty A, D, G s wspóªliniowe. Punkty G, F le» poza kwadratem ABCD. Oblicz pole powierzchni trójk ta BEG, je±li wiadomo,»e DG = 6. 2. (8 punktów) Liczby Fibonacciego zdeniowane s przez rekurencj : F 0 = 0, F 1 = 1 oraz F n = F n 1 +F n 2 dla n 2. Udowodnij,»e dla n 1 zachodzi równo± : F 2 n F n 1 F n+1 = ( 1) n 1. Dziekan podejrzewa,»e jedn z przyczyn niepowodze«w studiowaniu jest sp dzanie przez studentów zbyt du»ej ilo±ci czasu na surfowaniu w Internecie. W celu oszacowania przeci tnego czasu po±wi canego przez studentów na t aktywno±, wylosowano grup pi ciu studentów i zarejestrowano nast puj ce czasy sp dzone na buszowaniu w sieci: 10, 7, 5, 4, 3. Wyznacz przedziaª ufno±ci, na poziomie ufno±ci α = 0, 95, dla ±redniego czasu sp dzanego przez studentów na surfowaniu w Internecie. 2 n ).

po dodatnio zorientowanym okr gu = {z : z + 2i = 3 2 }.

Matematyka teoretyczna 1. (8 punktów) U»ywaj c faktu, i» grupa A 5 jest grup prost, wyznacz wszystkie podgrupy normalne grupy S 5. Podaj uzasadnienie,»e inne nie istniej. 2. (8 punktów) W rzeczywistej przestrzeni Hilberta L 2 (0, 1) wyznacz odlegªo± x od podprzestrzeni liniowej rozpinanej przez 1 i x 2. Niech f : (0, ) R b dzie funkcj ró»niczkowaln tak,»e lim x f (x) = f(x) C. Poka»,»e tak»e lim x = C. x 2 n ). po dodatnio zorientowanym okr gu = {z : z + 2i = 3 2 }.

Zastosowania 1. (8 punktów) Zmienna losowa Y n, gdzie n = 1, 2,..., ma rozkªad gamma Gamma(n, λ). Pokaza zbie»no± wg rozkªadu Ȳ n = ( ) λyn n n 1 d N (0, 1). Poda do czego zbiega ci g IP( Ȳn 1.96), n = 1, 2,... Mo»na wykorzysta nast puj ce informacje: Dla rozkªadu Gamma(a, b) f. char. ±rednia wariancja (1 it b ) a a b a b 2 je±li N N (0, 1), to IP(N 1.96) 0.975. 2. (8 punktów) Niech {B t : t 0} b dzie ruchem Browna. Obliczy P(B 1 > 0, B 2 > 0). Niech X 1,..., X n bedzie próba losowa z rozkªadu N(µ, σ 2 ). Wyznacz Informacje Fishera dla parametru µ. 2 n ).

po dodatnio zorientowanym okr gu = {z : z + 2i = 3 2 }.