Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Podobne dokumenty
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

STATYSTYKA

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Testowanie hipotez statystycznych.

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Testowanie hipotez statystycznych.

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Testowanie hipotez statystycznych.

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

MODELE LINIOWE i MIESZANE

Prawdopodobieństwo i statystyka

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Stacjonarne szeregi czasowe

Wst p do ekonometrii II

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Ekonometria Bayesowska

Weryfikacja hipotez statystycznych

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Matematyka dyskretna dla informatyków

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Matematyka z elementami statystyki

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7

Pakiety statystyczne - Wykªad 8

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Ekonometria Bayesowska

Andrzej D browski. Analiza danych jako±ciowych

Hipotezy statystyczne

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Hipotezy statystyczne

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Testowanie hipotez statystycznych

Indeksowane rodziny zbiorów

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;

Rozdziaª 4. Jednowymiarowe modele szeregów czasowych

Dynamiczne wªasno±ci algorytmu propagacji przekona«

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Funkcje wielu zmiennych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

Pakiety statystyczne Wykªad 14

Metoda największej wiarogodności

Ekonometryczne modele nieliniowe

LABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

Rozdziaª 5. Modele wektorowej autoregresji

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Metody dowodzenia twierdze«

Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.

Transkrypt:

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22

Wprowadzenie Niech n N. Rozwa»my test ϕ n na poziomie istotno±ci α (0, 1), sªu» cy do testowania prostej hipotezy zerowej H 0 : S n P (n) 0 przeciwko prostej hipotezie alternatywnej H 1 : S n P (n) 1. Zakªadamy,»e obszar krytyczny testu ϕ n jest postaci {S n > c n }, natomiast β n oznacza jego moc. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 2 / 22

Wprowadzenie Niech n N. Rozwa»my test ϕ n na poziomie istotno±ci α (0, 1), sªu» cy do testowania prostej hipotezy zerowej H 0 : S n P (n) 0 przeciwko prostej hipotezie alternatywnej H 1 : S n P (n) 1. Zakªadamy,»e obszar krytyczny testu ϕ n jest postaci {S n > c n }, natomiast β n oznacza jego moc. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 2 / 22

Wprowadzenie c.d. Czasami rozkªad statystyki S n nie jest znany! Niech Ŝ n b dzie statystyk, która przy H 0 i H 1 speªnia warunek S n Ŝ n = O p (a n ), gdzie lim n a n = 0. Zdeniujmy test ˆϕ n na poziomie istotno±ci α, którego obszar odrzucenia jest postaci {Ŝ n > ĉ n }. Niech ˆβ n oznacza jego moc. Test ˆϕ n jest asymptotycznym przybli»eniem testu ϕ n (przy n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 3 / 22

Wprowadzenie c.d. Czasami rozkªad statystyki S n nie jest znany! Niech Ŝ n b dzie statystyk, która przy H 0 i H 1 speªnia warunek S n Ŝ n = O p (a n ), gdzie lim n a n = 0. Zdeniujmy test ˆϕ n na poziomie istotno±ci α, którego obszar odrzucenia jest postaci {Ŝ n > ĉ n }. Niech ˆβ n oznacza jego moc. Test ˆϕ n jest asymptotycznym przybli»eniem testu ϕ n (przy n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 3 / 22

Problem rozwini cia asymptotycznego dla mocy Problem: Skoro S n Ŝ n = O p (a n ), to czy zachodzi równie» z b n 0? β n ˆβ n = O(b n ) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 4 / 22

Gªówny rezultat Twierdzenie 1 [Majerski, Szkutnik, 2010] Zaªó»my,»e (i) Przy obu hipotezach H 0 i H 1 mamy S n Ŝ n = O p (a n ) (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c (iii) G sto±ci f (n) j statystyk Ŝ n istniej przy H j (j = 0, 1). Dla n dostatecznie du»ych, f (n) 0 s nierosn ce, a f (n) 1 s niemalej ce w pewnym otoczeniu c, w którym wszystkie te g sto±ci s lipschitzowskie ze wspóln staª. (iv) lim inf n f (n) 0 (ĉ n ) > 0 (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n Wówczas, β n ˆβ n = O ( an r r+1 ). (1) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 5 / 22

Gªówny rezultat c.d. Twierdzenie 2 [Majerski, Szkutnik, 2010] Przy zaªo»eniach (i)-(iv) Twierdzenia 1 zachodzi β n ˆβ n = o(1). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 6 / 22

Obja±nienie warunku (ii) Warunek (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c zachodzi gdy, przy H 0 : S n ma rozkªad graniczny o g sto±ci f 0 ci gªej i ±ci±le dodatniej w c = F 1 0 (1 α) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 7 / 22

Obja±nienie warunku (ii) Warunek (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c zachodzi gdy, przy H 0 : S n ma rozkªad graniczny o g sto±ci f 0 ci gªej i ±ci±le dodatniej w c = F 1 0 (1 α) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 7 / 22

Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 8 / 22

Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 8 / 22

Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 8 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 9 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 9 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 9 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1, c.d. Mo»na pokaza,»e: zachodz warunki (ii)-(iv); warunek (v) nie zachodzi, bo β S β S 1/ log n. r > 0 : E n k (S n S n ) r, (gdy n ) Wniosek: Bez warunku (v) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 10 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1, c.d. Mo»na pokaza,»e: zachodz warunki (ii)-(iv); warunek (v) nie zachodzi, bo β S β S 1/ log n. r > 0 : E n k (S n S n ) r, (gdy n ) Wniosek: Bez warunku (v) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 10 / 22

Przykªad 2: konieczno± warunku (iii) w Tw. 1, c.d. Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e: zachodz warunki (ii),(iv),(v) (z r = 1); warunek (iii) nie zachodzi β S 1, ale β S = 1/2! Wniosek: Bez warunku (iii) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 11 / 22

Przykªad 2: konieczno± warunku (iii) w Tw. 1, c.d. Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e: zachodz warunki (ii),(iv),(v) (z r = 1); warunek (iii) nie zachodzi β S 1, ale β S = 1/2! Wniosek: Bez warunku (iii) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 11 / 22

Przykªad 3: konieczno± warunku (iv) w Tw. 1 Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e zachodz warunki (ii),(iii),(v) (z r = 1); warunek (iv) nie zachodzi; β S β S 1/ log n. Wniosek: Bez warunku (iv) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 12 / 22

Najmocniejsze testy niezmiennicze wielowymiarowej normalno±ci Niech X 1,..., X n - próba prosta z rozkªadu w R p. F ( )-ustalona dystrybuanta w R p. gdzie H 0 : X i N p (m, Σ) vs H 1 : X i F (U( b)), m, b R p ; Σ, U M(p, p). Σ dodatnio okre±lona, U nieosobliwa. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 13 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 14 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 14 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 14 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 14 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. (zlogarytmowane i odpowiednio unormowane). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 15 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Twierdzenie 3 [Majerski, Szkutnik 2010] Przy obu hipotezach, H 0 i H 1 zachodzi oraz ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 ( ) log 2 n S MPI S LR = O p. S Lapl, S LR statystyki testowe quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych. n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 16 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Twierdzenie 3 [Majerski, Szkutnik 2010] Przy obu hipotezach, H 0 i H 1 zachodzi oraz ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 ( ) log 2 n S MPI S LR = O p. S Lapl, S LR statystyki testowe quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych. n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 16 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulowane g sto±ci statystyki S MPI dla n = 5, 15, 50, 125 n=5 n=15 n=50 n=125 n=5 n=15 n=50 n=125 0.0 0.2 0.4 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 (a) G sto±ci przy H 0. (b) G sto±ci przy H 1. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 17 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulacje sugeruj,»e warunki (ii)-(iv) Twierdzenia 1 zachodz dla obu testów, natomiast warunek (v) zachodzi tylko dla testu S LR (z dowolnym r > 0). (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 18 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulacje sugeruj,»e warunki (ii)-(iv) Twierdzenia 1 zachodz dla obu testów, natomiast warunek (v) zachodzi tylko dla testu S LR (z dowolnym r > 0). (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 18 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 19 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 19 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 19 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Je»eli tak jest, to z Twierdzenia 1: (( ) log a ) n β MPI = β Lap + O oraz (( ) log 2 a ) n β MPI = β LR + O, dla dowolnego 0 < a < 1. n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 20 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Podobny wynik dla: p = 2, U UT (2), F Exp(1) Exp(1). Tutaj ( ) 1 β MPI = β Lap + O log 2 2 n n oraz ( ) 1 β MPI = β LR + O log 2 2 n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 21 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Podobny wynik dla: p = 2, U UT (2), F Exp(1) Exp(1). Tutaj ( ) 1 β MPI = β Lap + O log 2 2 n n oraz ( ) 1 β MPI = β LR + O log 2 2 n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 21 / 22

Dzi kuj za uwag! P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 22 / 22