Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22

Wprowadzenie Niech n N. Rozwa»my test ϕ n na poziomie istotno±ci α (0, 1), sªu» cy do testowania prostej hipotezy zerowej H 0 : S n P (n) 0 przeciwko prostej hipotezie alternatywnej H 1 : S n P (n) 1. Zakªadamy,»e obszar krytyczny testu ϕ n jest postaci {S n > c n }, natomiast β n oznacza jego moc. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 2 / 22

Wprowadzenie c.d. Czasami rozkªad statystyki S n nie jest znany! Niech Ŝ n b dzie statystyk, która przy H 0 i H 1 speªnia warunek S n Ŝ n = O p (a n ), gdzie lim n a n = 0. Zdeniujmy test ˆϕ n na poziomie istotno±ci α, którego obszar odrzucenia jest postaci {Ŝ n > ĉ n }. Niech ˆβ n oznacza jego moc. Test ˆϕ n jest asymptotycznym przybli»eniem testu ϕ n (przy n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 3 / 22

Problem rozwini cia asymptotycznego dla mocy Problem: Skoro S n Ŝ n = O p (a n ), to czy zachodzi równie» z b n 0? β n ˆβ n = O(b n ) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 4 / 22

Gªówny rezultat Twierdzenie 1 [Majerski, Szkutnik, 2010] Zaªó»my,»e (i) Przy obu hipotezach H 0 i H 1 mamy S n Ŝ n = O p (a n ) (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c (iii) G sto±ci f (n) j statystyk Ŝ n istniej przy H j (j = 0, 1). Dla n dostatecznie du»ych, f (n) 0 s nierosn ce, a f (n) 1 s niemalej ce w pewnym otoczeniu c, w którym wszystkie te g sto±ci s lipschitzowskie ze wspóln staª. (iv) lim inf n f (n) 0 (ĉ n ) > 0 (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n Wówczas, β n ˆβ n = O ( an r r+1 ). (1) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 5 / 22

Gªówny rezultat c.d. Twierdzenie 2 [Majerski, Szkutnik, 2010] Przy zaªo»eniach (i)-(iv) Twierdzenia 1 zachodzi β n ˆβ n = o(1). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 6 / 22

Obja±nienie warunku (ii) Warunek (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c zachodzi gdy, przy H 0 : S n ma rozkªad graniczny o g sto±ci f 0 ci gªej i ±ci±le dodatniej w c = F 1 0 (1 α) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 7 / 22

Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 8 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 9 / 22

Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1, c.d. Mo»na pokaza,»e: zachodz warunki (ii)-(iv); warunek (v) nie zachodzi, bo β S β S 1/ log n. r > 0 : E n k (S n S n ) r, (gdy n ) Wniosek: Bez warunku (v) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 10 / 22

Przykªad 2: konieczno± warunku (iii) w Tw. 1, c.d. Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e: zachodz warunki (ii),(iv),(v) (z r = 1); warunek (iii) nie zachodzi β S 1, ale β S = 1/2! Wniosek: Bez warunku (iii) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 11 / 22

Przykªad 3: konieczno± warunku (iv) w Tw. 1 Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e zachodz warunki (ii),(iii),(v) (z r = 1); warunek (iv) nie zachodzi; β S β S 1/ log n. Wniosek: Bez warunku (iv) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 12 / 22

Najmocniejsze testy niezmiennicze wielowymiarowej normalno±ci Niech X 1,..., X n - próba prosta z rozkªadu w R p. F ( )-ustalona dystrybuanta w R p. gdzie H 0 : X i N p (m, Σ) vs H 1 : X i F (U( b)), m, b R p ; Σ, U M(p, p). Σ dodatnio okre±lona, U nieosobliwa. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 13 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 14 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. (zlogarytmowane i odpowiednio unormowane). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 15 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Twierdzenie 3 [Majerski, Szkutnik 2010] Przy obu hipotezach, H 0 i H 1 zachodzi oraz ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 ( ) log 2 n S MPI S LR = O p. S Lapl, S LR statystyki testowe quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych. n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 16 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulowane g sto±ci statystyki S MPI dla n = 5, 15, 50, 125 n=5 n=15 n=50 n=125 n=5 n=15 n=50 n=125 0.0 0.2 0.4 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 (a) G sto±ci przy H 0. (b) G sto±ci przy H 1. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 17 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulacje sugeruj,»e warunki (ii)-(iv) Twierdzenia 1 zachodz dla obu testów, natomiast warunek (v) zachodzi tylko dla testu S LR (z dowolnym r > 0). (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 18 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 19 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Je»eli tak jest, to z Twierdzenia 1: (( ) log a ) n β MPI = β Lap + O oraz (( ) log 2 a ) n β MPI = β LR + O, dla dowolnego 0 < a < 1. n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 20 / 22

Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Podobny wynik dla: p = 2, U UT (2), F Exp(1) Exp(1). Tutaj ( ) 1 β MPI = β Lap + O log 2 2 n n oraz ( ) 1 β MPI = β LR + O log 2 2 n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 21 / 22

Dzi kuj za uwag! P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 22 / 22