MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.
Witaj, jest to siódma część materiałów przygotowujących do matury z matematyki. Dzisiejsza możesz sprawdzić swoje rozwiązania z działu Planimetria. Jeżeli coś jest dla Ciebie nie jasne to pod adresem http://matmana6.pl/tablice_matematyczne możesz doczytać na temat zagadnień z planimetrii. Organizatorami przygotowania do matury są redaktorzy portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 2/14
Planimetria Zadanie 1: Obwód pewnego kwadratu zmniejszono 4 razy. Ile razy zmniejszyło się pole tego kwadratu? a 2 b 4 c 8 d 16 Prawidłowa odpowiedź: d) Oba kwadraty są do siebie podobne w skali k=4 (ponieważ stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa). Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, stąd stosunek tych pól wynosi k 2 =16. Zatem, pole kwadratu zmniejszyło się 16 -stokrotnie. Zadanie 2: Kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar wynosi 60. Jaka jest miara kąta środkowego? a 10 b 20 c 30 d 40 Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 3/14
Prawidłowa odpowiedź: d) - kąt wpisany - kąt środkowy =60 Zgodnie w zależnością pomiędzy kątem środkowym i wpisanym otrzymujemy 2 =. Na podstawie powyższych równań otrzymujemy: 2 =60 3 =60 =20 =2 20 =40 Zadanie 3: Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 3 jest równe: a 3 2 b 9 c 18 d 18 2 Prawidłowa odpowiedź: c) a - długość boku kwadratu R=3 - promień okręgu Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 4/14
Przekątna kwadratu, jest równa średnicy okręgu. 2R=a 2 2 3=a 2 6=a 2 a= 6 2 P= 6 2 = 36 2 2 =18 Zadanie 4: Stosunek boków pewnego prostokąta wynosi 3: 1. Jeżeli pole tego prostokąta jest równe 48, to długości jego boków wynoszą: a 2 i 24 b 3 i 16 c 4 i 12 d 1 i 48 Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 5/14
Prawidłowa odpowiedź: c) Niech x oznacza długość krótszego boku prostokąta. Z treści zadania wynika, że długość drugiego boku prostokąta to 3 x. Zatem pole prostokąta wynosi: P= x 3 x=3 x 2 3 x 2 =48 x 2 =16 x=4 x jest długością boku, zatem nie może mieć wartości ujemnej. Długość drugiego boku to: 3 x=3 4=12 Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 6/14
Zadanie 5: W trójkącie ABC bok AB ma długość 10. Kąt leżący na przeciw boku AB ma miarę 45. Ile wynosi promień okręgu opisanego na tym trójkącie? a 5 b 5 2 c 10 3 d 5 2 2 Prawidłowa odpowiedź: b) Z twierdzenia sinusów wiemy, że: Zadanie 6: Oblicz pole koła. R= 10 AB sin 45 =2R R= AB 2sin 45 R= 10 2 2 2 2 =10 2 2 =5 2 Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 7/14
Ponieważ trójkąt ADB jest prostokątny, to z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy długosć odcinka AB. Ponieważ kąt wynika, że AB 2 =4 2 3 2 =25 AB =5 ADB jest prosty, więc z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym AB jest średnicą koła. Promień zatem wynosi r= 5 2, a pole: P= r = 2 5 2 = 25 2 4. Zadanie 7: Oblicz pole trójkąta równoramiennego i AB =6. ABC, w którym AC = BC =8 Wysokość opuszczona z wierzchołka C przecina podstawę trójkąta równoramiennego w punkcie D. Punkt D dzieli podstawę AB na połowę, zatem: AD = BD = 1 2 AB =3 Trójkąt ADC jest prostokątny. Korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość wysokości CD : Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 8/14
Obliczamy pole trójkąta: AD 2 CD 2 = AC 2 3 2 CD 2 =8 2 9 CD 2 =64 CD 2 =55 CD = 55 P= 1 2 AB CD = 1 6 55=3 55 2 Zadanie 8: Trzy okręgi o tym samym promieniu R są parami zewnętrznie styczne. Połączono środki tych okręgów i powstał trójkąt S1S2S3 (patrzy rysunek). Oblicz pole zacieniowanego obszaru. Obliczamy pole trójkąta równobocznego S 1 S 2 S 3 długość 2 R. P t = 2R 2 3 4 = 4 R2 3 =R 2 3 4 Wszystkie kąty trójkąta równobocznego mają miarę =60 wycinka koła dla =60.. Każdy bok tego trójkąta ma. Obliczymy pole Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 9/14
P w = 60 360 R2 = 1 6 R2 Pole zacieniowanego obszaru, to różnica pola trójkąta S 1 S 2 S 3 wycinków koła o kącie =60. i trzech pól P=P t 3 P w P=R 2 3 3 1 6 R2 P= R 2 3 1 2 R2 P=R 2 3 2 Zadanie 9: Wykaż, że środkowe dzielą trójkąt na 6 trójkątów o równych polach. Spójrz na poniższy rysunek: AE, BF i CD są środkowymi trójkąta ABC. Podzieliły one trójkąt na 6 mniejszych trójkątów. Weźmy teraz pod uwagę dwa z tych trójkątów: ADO i DBO. Ponieważ CD Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 10/14
jest środkową, to dzieli bok AB na dwa odcinki o równych długościach. Każdy z trójkątów ADO i DBO ma taką samą długość podstawy ( AD = DB ) oraz wysokość ( h ). Zatem pola obu tych trójkątów są równe. P ADO =P DBO Wnioskując w ten sam sposób otrzymujemy, że P AOF =P FOC P BOE =P EOC Trójkąty o tych samych polach oznaczono tymi samymi rzymskimi cyframi oraz tymi samymi kolorami. Teraz weźmy pod uwagę kolejne dwa trójkąty: ADC i DBC. One również mają tą samą długość podstawy i wysokość. Mają zatem równe pola. Wynika z tego, że: P ACD =P DBC 2P I P III =2P II P III P I =P II Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 11/14
Pola trójkątów ABE i AEC są sobie równe, zatem: Czyli P I =P II =P III, co kończy dowód. Zadanie 10: P ABE =P AEC P I 2P III =3P I P III =P I W trapez równoramienny ABCD wpisano okrąg o promieniu 4. Punkty styczności podzieliły ramiona tego trapezu w stosunku 2 :8. Oblicz obwód trapezu ABCD. Wprowadźmy oznaczenia: AE = BF =8 x ED = CF =2 x Na podstawie Twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy, że: Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 12/14
AE = AH =8 x ED = DI =2 x Ponieważ GH = DI =2 x, to AG =6 x. Wysokość trapezu jest równa 2 r=8. Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa do trójkąta AGD. Zatem obwód trapezu wynosi: 6 x 2 8 2 = 10 x 2 36 x 2 64=100 x 2 64 x 2 =64 x 2 =1 x =1 AD = BC =10 x =10 AB =2 AH =2 8 x=16 x=16 DC =2 DI =2 2 x=4 x=4 Obw=16 4 2 10=40. Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 13/14
Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem http://www.gazetalubuska.pl. Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu liczby rzeczywiste, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie http://matmana6.pl/tablice_matematyczne/liceum Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana6.pl. Redaktorzy MatmaNa6.pl prowadzą: Powtórka maturalna > Część VII: Planimetria 14/14