WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY"

Dagmara Gajewska
5 lat temu
Przeglądów:

1 WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemat punktowania zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje punkt. Numer zadania Poprawna odpowiedź A B A C C D C B B B C C C B C A B A C A A C i schemat punktowania zadania otwarte Za każde poprawne i pełne rozwiązanie zadania nieuwzględnione w schemacie punktowania przyznajemy maksymalną liczbę punktów należnych za to zadanie. Zadanie. x liczba zadań, które Bartek postanowił rozwiązywać codziennie y liczba dni, w ciągu których Bartek rozwiązywałby zadania xy liczba wszystkich zadań, które Bartek miał do rozwiązania Z informacji o Janku otrzymujemy równanie xy = ( x + )( y ) xy = xy x +y 6 0 = x +y 6 Z informacji o Maćku otrzymujemy równanie xy = ( x + 4)( y 5) xy = xy 5x +4y 0 0 = 5x +4y 0 Wyliczamy x i y z układu równań x + y 6 = 0 5x + 4y 0 = 0 6x 4y + = 0 5x + 4y 0 = 0 x = 8 (liczba zadań, które postanowił rozwiązywać codziennie Bartek) y = 5 (liczba dni, w ciągu których Bartek rozwiązałby zadania) xy = 8 5 xy = 0 Sprawdzenie (8 + ) (5 ) = 0 (8 + 4) (5 5) = 0 Każdy z nich miał do rozwiązania po 0 zadań. 4 punkty poprawne obliczenie liczby zadań (0). punkty poprawny sposób rozwiązania układu równań. punkty zapisanie dwóch równań (pozwalających obliczyć liczbę dni i liczbę zadań). punkt zapisanie jednego równania przedstawiającego informacje o dwóch uczniach (np. o Bartku i Janku).

2 Zadanie 4. Rozwiązujemy układ równań x + y = k x y = 7k + 5 x = k + y = k Zapisujemy, jakie warunki musi spełniać x i y k + < 0 i k < 0 Rozwiązujemy nierówności k < i k > punkty ustalenie, jakie warunki musi spełniać k ( k < i k > ). punkty zapisane obu nierówności z parametrem k wynikających z tego, że x i y muszą być liczbami ujemnymi, k + < 0 i k < 0 lub zapisanie jednej z nierówności i jej rozwiązanie. x = k + punkt wyznaczenie x i y w zależności od parametru k, np.. y = k Zadanie A O B D C 0. Trójkąt AOC jest równoramienny, bo OA = OC. W związku z tym OAC = OCA = 0. Promień OC okręgu jest prostopadły do stycznej zawierającej odcinek CD. W trójkącie ADC ACD = = 0 ADC = 80 (0 + 0 ) = 0 Dwa kąty trójkąta ADC mają równe miary (0 ), więc jest on równoramienny c.n.d. 4 punkty wyciągniecie wniosku, że trójkąt ADC jest równoramienny. punkty poprawne obliczenie miary kąta CDA. punkty podanie miary kąta ACD (0 ). punkt podanie miary jednego z kątów: ACO i OCD. z 6

3 Zadanie 6. Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania Niech x oznacza długość obwodu kwadratu lub trójkąta równobocznego. Bok kwadratu: x 4 Pole kwadratu: x 6 Bok trójkąta równobocznego ma długość: x, a jego wysokość x 6 Pole trójkąta równobocznego: < więc < = Wobec tego 6 x < 6 x < 6 II sposób rozwiązania a długość boku kwadratu b długość boku trójkąta 4a = b a = b 4 x x = 6 9 pole kwadratu = b 6 b pole trójkąta = 4 < więc b 4b 8b 9b = < < Pole kwadratu jest większe od pola trójkąta. 5 punktów poprawne uzasadnienie, że pole kwadratu jest większe od pola trójkąta. 4 punkty poprawna metoda porównania pola kwadratu z polem trójkąta. punkty zapisanie wyrażenia algebraicznego opisującego pole trójkąta. punkty zapisanie wyrażenia algebraicznego opisującego pole kwadratu. punkt poprawne zapisanie wyrażenia algebraicznego opisującego bok kwadratu i bok trójkąta. 6 x z 6

4 Zadanie 7. P f pole zacieniowanej figury r promień okręgu r = 4 cm Figura ABDE składa się z dwóch trójkątów i wycinka koła. Trójkąt ABC jest równoboczny, więc EAO = OBD = 60 Trójkąty AOE i OBD są równoramienne, ponieważ dwa boki każdego z tych trójkątów są równe promieniowi, więc odpowiednio: OAE = 60, OEA = 60, OBD = 60, ODB = 60 wobec tego trzeci kąt każdego z tych trójkątów ma miarę 60 i trójkąty te są równoboczne (o boku długości r). Pole zacieniowanego wycinka koła jest równe π r 6 P f pole zacieniowanej figury r P f = + πr P f = + π P f = + π P f = 8 + π (cm ) 4 punkty poprawne obliczenie pola zacieniowanej figury. punkty poprawny sposób obliczenia pola zacieniowanej figury. punkty uzasadnienie, że trójkąty są równoramienne. punkt analiza zadania (podział figury). 4 z 6

5 Zadanie 8. b h h a Suma pól zacieniowanych trapezów jest równa: ( a + b) h + ( a + b) h = ( a + b)( h + h ) h + h = a b ( a + b)( h + h ) = ( a + b)( a b) = ( a b ) Suma pól wszystkich czterech trapezów jest równa a b Suma pól niezacieniowanych trapezów jest równa ( a b ) ( a b ) = ( a b ), c.n.d. 4 punkty wyciągnięcie wniosku, że suma pól pozostałych dwóch trapezów jest taka sama jak suma pól zacieniowanych trapezów. punkty wykonanie odpowiednich przekształceń i zapisanie sumy pól zacieniowanych trapezów w postaci ( a b ). punkty wykorzystanie w przekształceniach zależności h + h = a b. punkt zapisanie wyrażenia odpowiadającego sumie pól zacieniowanych trapezów lub zapisanie wyrażenia (a b ) z komentarzem (suma pól wszystkich czterech trapezów). Zadanie 9. Obliczamy promień kuli 4 πr 88π = k rk = 6 cm Wyznaczamy wysokość stożka h = 6 h = 8 cm Wyznaczamy promień podstawy stożka r = 6 cm Obliczamy objętości stożka V = πr h = π (6 ) 8 = 648π cm 5 z 6

6 4 punkty obliczenie objętości stożka V = 648π cm. punkty poprawna metoda obliczenia promienia podstawy stożka, gdy obliczona jest wysokość stożka, np. 8 = r. punkty poprawna metoda obliczenia wysokości stożka, gdy obliczony jest promień kuli, np. h = 6. punkt poprawna metoda obliczenia promienia, np.: 4 πr 88π = k lub zapisanie zależności między wysokością stożka a promieniem kuli. 6 z 6

Podobne dokumenty

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 Schemat punktowania zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje 1 punkt. Numer zadania Poprawna odpowiedź