03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne) dla rozdania kart w brydża, w którym przez rozdanie rozumiemy: a zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd); b zbiór wszystkich podziałów talii na 4 osoby (po 13 kart); c rodzina wszystkich zbiorów kart, które mógł dostać gracz S W każdym przypadku wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A gracz S otrzymał 5 pików Zadanie A2 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Rzucamy 3 razy kostką Jesteśmy zainteresowani liczbą, które wypadły Niech A będzie zdarzeniem, że wypadła dokładnie raz a Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A b Załóżmy, że budujemy uproszczony model przestrzeni dla tego doświadczenia, przy założeniu, że Ω = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )}, gdzie oznacza wynik inny niż Zdefiniuj prawdopodobieństwo P w tej przestrzeni tak, aby prawdopodobieństwo w tym modelu było zgodne z tym w modelu a) c Zbuduj uproszczony model dla Ω = {0, 1, 2, 3}, gdzie zdarzenia elementarne oznaczają liczbę wyrzuconych Opisz w kilku słowach, jakie modele przestrzeni probabilistycznej można zaproponować dla n rzutów kostką i tak samo opisanego zdarzenia A W kolejnych zadaniach podaj zawsze przestrzeń probabilistyczną Zadanie A3 (wskazówka: rozdz 23 przykł 5 8, liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele) Z przedziału [0; 2] wybieramy jedną liczbę Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a wybrana liczba jest liczbą wymierną b wybrana liczba jest liczbą niewymierną Zadanie A4 (wskazówka: rozdz 23 przykł 5 8) Z przedziału [0, 1] wybrano losowo 2 punkty, które podzieliły go na 3 odcinki Jaka jest szansa, że z tych odcinków da się skonstruować trójkąt Zadanie A5 (wskazówka: rozdz 23 przykł 5 8) Pociąg PKP Losowy Wicher ma przyjechać na stację Poznań Główny o godzinie 1200 Gosia nie chce się spóźnić na pociąg, więc przychodzi na peron w losowym momencie między 1100 a 1200 PKP działa jak działa, więc pociąg przyjeżdża w losowym momencie między 1200 a 1300 Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a Gosia czekała na pociąg dokładnie 15 minut (przyszła dokładnie 15 minut przed przyjazdem pociągu) b Gosia czekała na pociąg co najmniej 15 minut? B Zadania domowe ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B1 Losujemy 2 kule z urny, w której jest 10 kul białych i 20 kul czarnych Zbuduj odpowiadający rzeczywistości model przestrzeni probabilistycznej a z prawdopodobieństwem klasycznym; b z Ω ={{ž,ž},{ž,ˆ},{ˆ,ˆ}} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają zbiorom kolorów wylosowanych kul); c z Ω ={(ž,ž),(ˆ,ž),(ž,ˆ),(ˆ,ˆ)} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają kolorom kolejno wylosowanych kul); opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A wylosowano kule różnego koloru 1
Zadanie B2 Zbuduj dwa różne modele przestrzeni probabilistycznej dla doświadczenia polegającego na rzucie dwiema dobrze wyważonymi kostkami sześciennymi, które mają następujące liczby oczek na ściankach: kostka A - 3,3,3,4,5,5; kostka B - 2,2,2,4,4,4 a Model klasyczny; b Model, w którym zdarzenia elementarne odpowiadają parom wyrzuconych liczb Następnie oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucona suma oczek na kostkach równa się 7 Zadanie B3 a Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna, w której P ({ω}) = 0 dla wszystkich ω Ω? Jeśli nie, to udowodnij; jeśli tak podaj przykład takiej przestrzeni b Czy z faktu, że P (A) = 1 wynika, że A = Ω? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład c Czy z faktu, że P (A) = 0 wynika, że A =? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład d Czy z faktu, że P (A B) = P (A) + P (B) wynika, że A B =? Jeśli tak, to udowodnij; jeśli nie podaj kontrprzykład Zadanie B4 Drut metalowy o długości 20 cm zgięto w losowo wybranym punkcie Dłuższą z powstałych części zgięto jeszcze w dwóch miejscach w taki sposób, że powstała prostokątna ramka Oblicz prawdopodobieństwo, że pole otrzymanej ramki nie przekracza 21 cm 2 Zadanie B5 Ania i Basia umówiły się w restauracji między 16:00 a 17:00 Zakładamy, że każda z nich przychodzi w losowym momencie z podanego przedziału Jakie jest prawdopodobieństwo, że się spotkają, jeśli Ania na Basię czeka co najwyżej 10 minut (a potem wychodzi) a Basia na Anię czeka do 1700? Zadanie B6 Liczby rzeczywiste s i t wybieramy losowo z przedziału (0, 2) Oblicz prawdopodobieństwo, że a ich iloczyn jest równy 1; b ich iloczyn nie przekracza 1 ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI Zadanie B7 Rzucamy 200 razy uczciwą kostką Zbuduj odpowiadający rzeczywistości klasyczny model przestrzeni probabilistycznej opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzeń A w ostatnim rzucie 6 wypadła po raz 50; B co najmniej raz wypadła 6; C dokładnie 35 razy wypadła 6; D dokładnie 35 razy wypadła 6 i 20 razy 5; E dokładnie 37 razy wypadła liczba podzielna przez 3 Zadanie B8 Losujemy 10 losów z urny, w której jest 100 losów o wartości 1PLN i 200 losów o wartości 0PLN Zbuduj odpowiadający rzeczywistości model przestrzeni probabilistycznej a z prawdopodobieństwem klasycznym; b z Ω = {0, 1, 2,, 10} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają wygranej kwocie) opisujący to doświadczenie W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A wygrano 3PLN Zadanie B9 Rzucamy obciążoną kostką do gry, dla której szóstka wypada 2 razy częściej niż jedynka, a szansa wypadnięcia dla każdej z pozostałych liczb oczek wynosi 1/6 Zbuduj model przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia Jaka jest szansa wyrzucenia liczby parzystej? Zadanie B10 W kwadracie z brzegiem o boku 1 wybrano jeden punkt Ile wynosi prawdopodobieństwo, że znajduje się on a na pewnej przekątnej? b w wierzchołku kwadratu? c w odległości co najwyżej 1/2 od środka kwadratu? Zadanie B11 Współczynniki a, b równania kwadratowego x 2 +2ax+b = 0 wybrano losowo z przedziału [ 1, 1] Wyznacz prawdopodobieństwo, że a) równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek rzeczywisty; pierwiastki tego równania są rzeczywiste; c) iloczyn pierwiastków tego równania jest liczbą rzeczywistą dodatnią Zadanie B12 Na odcinku o długości 10 wybrano losowo dwa punkty Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między nimi jest większa niż 3? Zadanie B13 Z odcinka [0, 8] wybrano dwa punkty Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że środek odcinka, który tworzą te dwa punkty jest zawarty w odcinku [2, 4] 2
C Zadania dla chętnych Zadanie C1 (Zadanie 6 18) Wykazać, że jesli P(A n ) = 1 dla n = 1, 2,, to również P ( n=1 A n) = 1 (UWAGA: podaj przykład takiego ciągu zdarzeń A 1, A 2,, w którym A i Ω i P (A i ) = 1, dla każdego i = 1, 2, ) Zadanie C2 (Zadanie 3 17 ) Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M Oblicz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do A Zadanie C3 Na okręgu umieszczono losowo trzy punkty A, B, C Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest rozwartokątny? Zadanie C4 Liczbę rzeczywistą x wybrano losowo z odcinka [0, 1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jej rozwinięciu dziesiętnym a pierwsza cyfra po przecinku jest różna od 1? b ani pierwsza cyfra po przecinku, ani druga, nie jest równa 1? Zadanie C5 Rzucamy nieskończną liczbę razy kostką K4 (możliwe wyniki pojedynczego rzutu: 1,2,3,4) Podaj przykład sensownej przestrzeni probabilistycznej, która dobrze opisuje ten eksperyment Potem policz w tej przestrzeni prawdopodobieństwo zdarzenia: nigdy nie wypadła 4 Zadanie C6 Niech b będzie ciągiem binarnym długości s Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą i przypisujemy orłom 1, a reszkom 0 Obliczyć prawdopodobieństwo, że na jakichś s kolejnych miejscach pojawi się ciąg b (Uwaga: To zadanie jest łatwe, gdy użyje się Lematu Borela Cantelliego Prosimy o rozwiązanie wykorzystujące tylko podstawowe własności prawdopodobieństwa) Zadanie C7 Zadanie 4 17 Zadanie C8 Pechowy Paweł został zamknięty w pustym pomieszczeniu z jedną sprawiedliwą monetą Niegrzeczna Nadia obiecała go uwolnić, jeśli wykona zadanie Ma opisać algorytm, który korzystając tylko z tej monety, daje w losowy sposób jeden z dwóch wyników: TAK (z prawdopodobieństwem 2 lub NIE (z prawdopodobieństwem 1 2 2 ) Pomóż Pawłowi i opisz jak taki algorytm miałby działać Uzasadnij poprawność algorytmu Zadanie C9 Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt (x, y) Wyznaczyć funkcje: a f 1 (a) = P (min(x, 1/2) a); b f 2 (a) = P (max(x, 1/3) a); c f 3 (a) = P (min(x, y) a); d f 4 (a) = P (min(x, y) a); UWAGA: Spójrz na to zadanie jeszcze raz, gdy będziemy omawiać dystrybuanty zmiennych losowych 3
Odpowiedzi do niektórych zadań B1 P (A) = 10 20 = 10 20+20 10 a) SPOSÓB I Ω zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru 30 kul, SPOSÓB 2: Ω zbiór uporządkowanych par różnych kul (ciągów długości 2 bez powtórzeń), Ω ={{ž,ž},{ž,ˆ},{ˆ,ˆ}}, P ({ž,ž}) = (10 c) B2 a), P ({ž,ˆ}) = 10 20 Ω ={(ž,ž),(ˆ,ž),(ž,ˆ),(ˆ,ˆ)},, P ({ˆ,ˆ}) = (20 P ((ž,ž)) = (10)2, P ((ˆ,ž)) = 20 30, P ((ž,ˆ)) = 30 20, P ((ˆ,ˆ)) = (20)2, Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {(x, y) : x {3 1, 3 2, 3 3, 4, 5 1, 5 2 }, y {2 1, 2 2, 2 3, 4 1, 4 2, 4 3 }} (3 1 oznacza, że jest pierwsza trójka - rozróżniamy boki kostki i liczby) F = 2 Ω wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: /36 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {(3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 4)} F = 2 Ω wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: P ({(3, 2)}) = 1/4 P ({(3, 4)}) = 1/4 P ({(4, 2)}) = 1/12 P ({(4, 4)}) = 1/12 P ({(5, 2)}) = 1/6 P ({(5, 4)}) = 1/6 A suma oczek jest równa 7 P (A) = 5/12 B3 a) TAK NIE c) NIE d) NIE B4 3 5 B5 47/72 B6 a) 0 (1 + 2 ln 2)/4 B7 P (A) = (199 49 )5 150 6, P (B) = 6200 5 200 200 6, P (C) = (200 35 )5 200 35 200 Ω zbiór ciągów długości 200 o wyrazach ze zbioru {1,, 6}, 6 200 6 200, P (D) = (200 35 )( 200 35 20 )4 200 35 20 6 200, P (E) = (200 37 )2 37 4 163 6 200 4
B8 P (A) = (100 3 )( 200 a) SPOSÓB 1: 7 ) 0 10 ) = (10 3 )(100) 3(200) 7 (300) 10 Ω zbiór dziesięcioelementowych podzbiorów zbioru 300 losów, 0 10 ) SPOSÓB 2: Ω zbiór dziesięcioelementowych ciągów o wyrazach ze zbioru 300 losów (losy nie mogą się powtarzać), (300) 10 Ω = {0, 1,, 10} 10 k) 0 10 ) 0 k 10 P ({k}) = (100 k )( 200 B9 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B10 a) 0 F = 2 {1,2,3,4,5,6} wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo: P ({1}) = 1/9, P ({2}) = 1/6, P ({3}) = 1/6, P ({4}) = 1/6, P ({5}) = 1/6, P ({6}) = 2/9 UWAGA: Trzeba skorzystać z tego, że P ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1 0 c) π/4 B11 (a) 0 ( 2 3 (c) 1 2 B12 49/100 B13 3/8 5