RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma x występuje zawsze w pierwszej potędze. W przypadku równań kwadratowych niewiadoma x pojawia się w drugiej potędze, czyli x 2. Oto przykładowe równania kwadratowe: Rozwiązanie równania kwadratowego (tak jak każdego innego) polega na wyznaczeniu wszystkich liczb, które spełniają dane równanie (czyli po podstawieniu pod x dadzą równość prawdziwą). Na przykład pierwsze z powyższych równań jest spełnione przez dwie liczby - przez liczbę 2 oraz przez liczbę -2. Każda z tych liczb podstawiona do równania x 2 = 4 da równość prawdziwą: 4 = 4. Zatem równanie kwadratowe x 2 = 4 ma dwa rozwiązania: x = 2 lub x = -2. Jak widać na powyższym przykładzie, równanie kwadratowe może mieć 2 rozwiązania (podczas gdy równanie liniowe mogło mieć co najwyżej jedno rozwiązanie). Niektóre równania kwadratowe mają jedno rozwiązanie (np. x 2 = 0), a niektóre w ogóle nie mają rozwiązań (np. x 2 = -1). Równania kwadratowe można rozwiązywać na wiele różnych sposobów. Metody te zostaną omówione w poniżej. 2. Proste równania kwadratowe Uwaga: Wszystkie typy równań kwadratowych mogą być rozwiązywane metodą delty omówioną na końcu. Równanie kwadratowe typu: x 2 = a
To jest najprostszy rodzaj równania kwadratowego. Literą a oznaczyliśmy dowolną liczbę rzeczywistą. W zależności od liczby a równanie może mieć dwa, jedno lub zero rozwiązań. Jeżeli: a > 0, to równanie ma dwa rozwiązania: x = a oraz x = - a, a = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x = 0, a < 0, to równanie nie ma rozwiązań. Przykład 1. Rozwiąż równanie x 2 = 9. Po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania. Wyciągamy pierwiastek z liczby 9 otrzymując rozwiązania: x = 3 lub x = -3. Przykład 2. Rozwiąż równanie x 2 = 64. Po prawej stronie mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania. Wyciągamy pierwiastek z liczby 64 otrzymując rozwiązania: x = 8 lub x = -8. Przykład 3. Rozwiąż równanie x 2 = 5. Podobnie jak w poprzednich przykładach po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem będą dwa rozwiązania. W tym przypadku jednak pierwiastek z 5 nie jest liczbą całkowitą, dlatego rozwiązania zapiszemy po prostu: x = 5 lub x = - 5. Przykład 4. Rozwiąż równanie x 2-3 = 1. Na pierwszy rzut oka to równanie wydaje się inne od pozostałych, jednak w rzeczywistości daje się łatwo przekształcić do postaci x 2 = a. Przenosimy po prostu liczbę -3 na prawą stronę: x 2-3 = 1 x 2 = 1 + 3 x 2 = 4 x = 2 lub x = -2 Przykład 5. Rozwiąż równanie 10 + x 2 = 11. Na początku postępujemy tak samo jak w poprzednim przykładzie i przenosimy liczbę 10 na prawą stronę (żeby po lewej stronie zostało samo x 2 ). 10 + x 2 = 11 x 2 = 11-10 x 2 = 1 x = 1 lub x = -1
Przykład 6. Rozwiąż równanie 2(11 - x 2 ) = 18. Na początku możemy podzielić równanie stronami przez 2: 2(11 - x 2 ) = 18 //:2 11 - x 2 = 9 Kontynuujemy przekształcenia i doprowadzamy równanie do postaci x 2 = a, a następnie liczymy standardowo: -x 2 = 9-11 -x 2 = -2 x 2 = 2 x = 2 lub x = - 2. Przykład 7. Rozwiąż równanie 3(x 2 + 1) - 1 = 2. Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci x 2 = a: 3(x 2 + 1) - 1 = 2 3x 2 + 3-1 = 2 3x 2 + 2 = 2 3x 2 = 2-2 3x 2 = 0 /:3 x 2 = 0 x = 0 To równanie ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ jedynie 0 2 = 0. Przykład 8. Rozwiąż równanie 1 = 2x 2 + 7. Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci x 2 = a: 1 = 2x 2 + 7-2x 2 = 7-1 -2x 2 = 6 //:(-2) x 2 = -3 brak rozwiązań (równanie sprzeczne) To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni (nie da się osiągnąć -3). Równanie kwadratowe typu: x 2 + ax = 0 Ten typ równania charakteryzuje się tym, że oprócz samego wyrażenia x 2 występuje jeszcze x w potędze pierwszej. Nie może za to pojawić się tutaj liczba wolna (różna od zera) Równania tego typu można najprościej rozwiązać rozkładając lewą stronę na iloczyn czynników. Aby to zrobić wystarczy po prostu wyciągnąć x-a przed nawias: x 2 + ax = 0 x(x + a) = 0
Lewą stronę równania mamy już zapisaną w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi tylko zero. Aby rozwiązać takie równanie, wystarczy wiedzieć, że iloczyn dwóch czynników może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych czynników będzie równy zero. Na poniższym obrazkowym schemacie jeden czynnik zaznaczono kolorem niebieskim, a drugi kolorem zielonym: Zatem rozwiązaniami równania x(x + a) = 0 są: x = 0 oraz x = -a Przykład 9. Rozwiąż równanie x 2 + x = 0. Wyciągamy wspólny czynnik (x) przed nawias: x 2 + x = 0 x(x + 1) = 0 Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: x = 0 lub x + 1 = 0 x = 0 lub x = -1 Przykład 10. Rozwiąż równanie x 2-2x = 0. Wyciągamy wspólny czynnik (x) przed nawias: x 2-2x = 0 x(x - 2) = 0 Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: x = 0 lub x - 2 = 0 x = 0 lub x = 2 Przykład 11. Rozwiąż równanie x 2 = 7x. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: x 2 = 7x x 2-7x = 0 x(x - 7) = 0 Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: x = 0 lub x - 7 = 0 x = 0 lub x = 7
Przykład 12. Rozwiąż równanie 12x = 3x 2. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: 12x = 3x 2 12x - 3x 2 = 0 3x(4 - x) = 0 Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: 3x = 0 lub 4 - x = 0 x = 0 lub x = 4 Równanie kwadratowe dane w postaci iloczynowej (x - a)(x - b) = 0 Równania tego typu rozwiązuje się praktycznie bez liczenia. Wystarczy jedynie znać zasadę, o której powiedzieliśmy sobie przy omawianiu poprzedniego typu. Zasada ta mówi, że iloczyn dwóch nawiasów (czynników) może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero. Żeby zatem rozwiązać równanie tego typu, to wystarczy przyrównać oba nawiasy do zera i sprawdzić kiedy (dla jakich x-ów) zeruje się każdy z nich. Jak widać równania tego typu mają zawsze dwa rozwiązania. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy oba nawiasy są identyczne - wtedy oba rozwiązania są takie same, czyli tak naprawdę mamy jedno rozwiązanie. Przykład 13. Rozwiąż równanie (x - 2)(x - 5) = 0. Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera: (x - 2)(x - 5) = 0 x - 2 = 0 lub x - 5 = 0 x = 2 lub x = 5 Przykład 14. Rozwiąż równanie (x - 13)(x - 2) = 0. Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera:
(x - 13)(x - 2) = 0 x - 13 = 0 lub x - 2 = 0 x = 13 lub x = 2 Przykład 15. Rozwiąż równanie 5(x - 3)(x + 4) = 0. Możemy na początku podzielić równanie stronami przez 5. Nie jest to jednak konieczne, ponieważ po lewej stronie mamy już iloczyn (tym razem trzech czynników), który ma szanse się wyzerować tylko wtedy, gdy pierwszy lub drugi nawias będzie równy zero. 5(x - 3)(x + 4) = 0 x - 3 = 0 lub x + 4 = 0 x = 3 lub x = -4 Przykład 16. Rozwiąż równanie (6x - 18)(10x - 5) = 0. Analogicznie jak w przykładach poprzednich - zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera: (6x - 18)(10x - 5) = 0 6x - 18 = 0 lub 10x - 5 = 0 6x = 18 lub 10x = 5 x = 3 lub x = 0,5 Równanie kwadratowe dane w postaci iloczynowej II (x - a) 2 = 0 Ten typ równania kwadratowego jest szczególnym przypadkiem (wcześniej omawianej) klasycznej postaci iloczynowej. Łatwo można go bowiem do takiej postaci przekształcić: W takim przypadku nie ma potrzeby przyrównywać do zera obu nawiasów (bo są identyczne). Piszemy po prostu: Przykład 17. Rozwiąż równanie (x - 1) 2 = 0. Przyrównujemy nawias do zera: (x - 1) 2 = 0 x - 1 = 0 x = 1 Przykład 18. Rozwiąż równanie (x + 17) 2 = 0.
Przyrównujemy nawias do zera: (x + 17) 2 = 0 x + 17 = 0 x = -17 Przykład 19. Rozwiąż równanie (2x - 6) 2 = 0. Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: (2x - 6) 2 = 0 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3 Przykład 20. Rozwiąż równanie (x - 5) 2 = 0. Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: (x - 5) 2 = 0 x - 5 = 0 x = 5 3. Równania kwadratowe w postaci ogólnej Równaniem kwadratowym w postaci ogólnej nazywamy równanie:. W powyższym wzorze literki a, b, c są współczynnikami liczbowymi. Równania kwadratowe zapisane w postaci ogólnej rozwiązujemy delty. Deltę oznaczamy symbolem Δ i obliczamy ze wzoru: W zależności od tego jaka nam wyjdzie delta mamy różną liczbę rozwiązań. Jeżeli delta wyjdzie większa od zera (Δ > 0), to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: Jeżeli delta wyjdzie równa zero (Δ = 0), to równanie ma jedno rozwiązanie: Jeżeli delta wyjdzie mniejsza od zera (Δ < 0), to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.
Zadanie 1. Rozwiąż równania kwadratowe: a) b) c). d) e) f) g) 4. Zadania z równań kwadratowych Zadanie 1. Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x 2 + 5x + 6 = 0 jest Zadanie 2. Większa z liczb spełniających równanie x 2 + 6x + 8 = 0 to Zadanie 3. Rozwiąż równanie x 2 + 6x + 7 = 0. Zadanie 4. Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2x 2-7x = -30-2x(1 - x)? Zadanie 5. Uzasadnij, że równanie x 2 + (b - 2)x - 2b = 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej b ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Zadanie 6. Rozwiązania x 1, x 2 równania 2(x+2)(x 2) = 0 spełniają warunek A. B. C. D.