STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
Statystyka Pierwotnie oznaczała stan rzeczy (od status) i do XVIII wieku używana dla określenia zbioru wiadomości o państwie
Statystyka obecnie: Zespół informacji liczbowych dotyczących celowo wybranej grupy lub kategorii zjawisk (statystyka produkcji, statystyka rolnictwa itp.) Dyscyplina naukowa traktująca o metodach (narzędziach) liczbowego opisu i wnioskowania o prawidłowościach występujących w procesach masowych
Przedmiotem badań statystyki: są zjawiska masowe występujące w przyrodzie lub społeczeństwie a dające się mierzyć np. produkcja wyrobów, zużycie materiałów, zatrudnienie, zjawiska demograficzne, tempo wzrostu itd. Traktując te zjawiska jako losowe można zauważyć działanie przyczyn powodujących pewne prawidłowości. Przyczyny mogą być główne lub uboczne, ale ich działanie można zauważyć jedynie w większej masie przypadków (zjawiska masowe). Badania służące wyjaśnianiu tych przyczyn to badania statystyczne.
Przedmiotem badań statystyki: zjawiska losowe - badane poprzez doświadczenie Doświadczenie losowe to takie, które może być powtarzane w tych samych (zasadniczo) warunkach ale jego wynik nie może być przewidziany w sposób pewny oraz zbiór wszystkich możliwych wyników jest znany i może być opisany przed przeprowadzeniem doświadczenia.. U podstaw współczesnej statystyki leży rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa
podstawowe pojęcia zdarzenie elementarne (pojedynczy wynik doświadczenia losowego) zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (zbiór wszystkich wyników doświadczenia losowego) to zdarzenie pewne () Zbiór może być skończony lub nieskończony, przeliczalny lub nieprzeliczalny zdarzenie losowe (oznaczane np. przez, B) jest podzbiorem Dopełnieniem zdarzenia nazywamy zdarzenie = - zdarzenie niemożliwe, to zbiór pusty
podstawowe pojęcia Zdarzenie elementarne.... :... :
B = suma zdarzeń losowych (alternatywa) B = iloczyn zdarzeń (koniunkcja) i B są zdarzeniami wykluczającymi gdy B =
B B B = suma zdarzeń losowych (alternatywa) B B = iloczyn zdarzeń (koniunkcja) B
Definicje prawdopodobieństwa Definicja Kołmogorowa Jeżeli, to P() jest liczbą rzeczywistą spełniająca następujące aksjomaty: P() 0 P(B) = P() + P(B) gdy B i B = P() = 1
Definicja Kołmogorowa z powyższego wynikają własności: P() = 0 jeśli B to P() P(B) P( ) = 1 - P() gdzie = - 0 P() 1 P(B) = P() + P(B) - P(B)
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Laplace a n - liczba zdarzeń sprzyjających, N - liczba wszystkich zdarzeń lub P( ) P( ) n N gdzie - miara, - miara
Kombinatoryka to metody zliczania (określania liczby) wszystkich zdarzeń oraz zdarzeń sprzyjających dwa sposoby przedstawiania wyników losowania: istotna jest kolejność losowanych elementów wariacja istotna jest liczba pobranych elementów - kombinacja
Kombinatoryka wariacja ze zwracaniem - czyli losowanie k elementów z puli n-elementowej i rozmieszczenie ich na k miejscach W k n n k n=6 ; k =2 W=6 2
Kombinatoryka wariacja bez zwracania - losowanie za każdym kolejnym razem ze zmniejszonej o jeden puli k V n n! ( n k)! n=6 ; k =2 V=6!/4!=30
Kombinatoryka - wariacja bez zwracania gdy k = n (losowane wszystkie elementy i ustawiane w kolejności - permutacja k V n k! ( n n)! k! n=4 ; k =4 V=4!=24
Kombinatoryka kombinacja - wybieranie k-elementowego zbioru z n- elementowego w jednym losowaniu k C n n n k! k! ( n k)! n=6 ; k =3 C=6!/(3!3!)=20
Przykład W klatce jest 5 białych i 2 czarne myszy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie myszy, które pierwsze wyjdą w klatki będę czarne. 7 2 7! 2!(7 2)! 7! 2! 5! 76 2 21 2 5 2 0 2! 2! 0! 5! 0! 5! 1 P( ) 1 21
Przykład utobus wiozący 6 pasażerów może się zatrzymać na 4 przystankach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy pasażerowie wysiądą na jednym przystanku. 4 6 2048 4 P( ) 4 2048 1 512
Przykład W stadzie są 4 białe gęsi i 2 siodłate. Jakie jest prawdopodobieństwo, że siodłata gęś będzie szła pierwsza, gdy ptaki będą szły gęsiego. 6! 720 2 5! 1 2! 1! 1! 5! 240 P( ) 240 720 1 3
Niezależność zdarzenia i B są niezależne gdy P( B) P( ) P( B) P() = 50 / 100 = 0, 5 P(B) = 30 / 100 = 0,3 P(B)= 15 / 100 = 0,15 = 0,5 x 0,3
Prawdopodobieństwo warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie W P W P ( ( / ) W ) P( W) P(/W)=0,15/0,3=0,5 P(/W)=0,05/0,3= 1 / 6
Rozkład prawdopodobieństwa W populacji są osoby o grupie krwi, B, B i 0 w proporcji 4:2:3:1. P() = 4/10 = 0,4 P(B) = 2/10 = 0,2 P(B) = 3/10 = 0,3 P(0) = 1/10 = 0,1 Suma 1,0
Prawdopodobieństwo całkowite P( ) P( / ) P( ) P( / ) P( )... P( / ) P( ) 1 1 2 2 n n Gdzie 1 2... n P()= 15 / 30 0,3 + 4 / 20 0,2 + + 12 / 40 0,4 + 5 / 10 0,1 = = 0,15 + 0,04 + 0,12+ 0,05= = 0,36
Przykład Puszki do sklepu są dostarczane przez trzech producentów w proporcji 1:3:6. Wadliwość puszek wynosi: 0,1; 0,04; 0,03. 0,1 0,3 0,6 P( i ) I II III 0,90 0,10 0,96 0,04 0,97 0,03 P(C/ + - + - + - i ) P(-)=0,1 x 0,10+0,3 x 0,04+0,6 x 0,03 = 0,01+0,012+0,018 = 0,04
wzór Bayes a na wielkość prawdopodobieństwa a posteriori P( 3 /)= ( 12 / 40 0,4)/0,36= 0,12 / 0,35 = 1 / 3 n i i i i i i P P P P P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) / (
Przykład Puszki do sklepu są dostarczane przez trzech producentów w proporcji 1:3:6. Wadliwość puszek wynosi 0,1; 0,04; 0,03. 0,1 0,3 0,6 P( i ) I II III 0,90 0,10 0,96 0,04 0,97 0,03 P(C/ + - + - + - i ) P(III/-)=0,6 x 0,03 / 0,04 = 0,018/0,040 = 9/20
Przykład W populacji są osoby o grupie krwi, B, B i 0 w proporcji 4:2:3:1. Szansa reakcji na lek wynosi odpowiednio: 0,4; 0,1; 0,2; 0,6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba wrażliwa na lek ma grupę krwi B. P( B/ W ) 0,2 0,3 0,4 0,4 0,1 0,2 0,2 0,3 0,06 0,06 0,20 0,16 0,02 0,06 0,06 0,30 0,6 0,1
Przykład Wiedząc, że P(B) = 2/3, P(/B) = 1/4, obliczyć P(B) P( / B) P( B) P( B) P(B) = 1/6 Wiedząc, że P(B) = 1/6, P(/B) = 1/3, P(B/) = 1/2, obliczyć P(B) P() = 1/3 ; P(B) = 1/2 ; P(B) = 1/3 + 1/2-1/6 = 2/3 Wiedząc, że P(B) = P(B ), oraz P(/B) + P(/B ) = 2/3, obliczyć P() P( ) P( / B) P( B) P( / B') P( B') P(B) = P(B ) = 1/2 ; P() = 1/3
Pica pica