Twierdzenie Jordana bez wyznacznika

Twierdzenie Jordana bez wyznacznika Światosław R. Gal zima 21/211 Oznaczenia Niech K będzie ciałem (np. Q, R, C). Zbór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z K będziemy oznaczać K[X]. Niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową nad K a A przekształceniem K- liniowym A: V V. Przez Ker A będziemy oznaczać jądro odwzorowania A, tzn. podprzestrzeń wektorów v V o tej własności, że Av =. Przez obraz Im A odwzorowania A będziemy oznaczać podprzestrzeń wektorów postaci Av dla v V. Definicja. Podprzestrzenią V nazwiemy niepusty podzbiór V o tej własności, że każda kombinacja liniowa wektorów z podzbioru należy do podzbioru. 1. Pokaż, że Ker A oraz Im A są podprzestrzeniami V. 1. Przekształcenia nilpotentne Niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową. Definicja. Przekształcenie liniowe A: V V nazwiemy nilpotentnym jeśli istnieje liczba naturalna k taka, że A k jest operatorem zerowym. Najmniejsze takie k nazwiemy stopniem nilpotentności A. Niech A będzie odwzorowaniem nilpotentnym. Oznaczmy W = Im A. Indukcyjnie załóżmy, że W ma bazę {v 1,1, v 1,2,..., v 1,n1,..., v k,1,..., v k,nk } taką, że Av i,j = { vi,j 1 dla j > 1, dla j = 1. Wybieżmy rozwiązanie równania Av j,n j +1 = v j,n j. Oraz połóżmy m j := n j + 1. Ponieważ v i,1 Ker A są liniowo niezależne (dlaczego?) możemy uzupełnić układ {v 1,1,..., v k,1 } do bazy {v 1,1,..., v k,1, v k+1,1,..., v l,1 } przestrzeni Ker A.

2. Sprawdź, że jest bazą V. {v 1,1, v 1,2,..., v 1,n 1,..., v k,1,..., v k,n k, v k+1,1..., v l,1 } 3. Sprawdź, że w powyższej bazie macierz A będzie miała postać A =................ Definicja. Macierz postaci...... nazwiemy nilpotentną klatką Jordana. PRZYKłAD 1: Niech 1 1 A = 1 1 Łatwo sprawdzić, że A 2 =. Podobnie łatwo zauważyć, że Im A jest rozpięte przez wektor ( 1 ) 1. Rozwiązując równanie Av1,2 = ( 1 ) 1 możemy wziąć v1,2 = ( 2 1). I w bazie {v 1,1, v 1,2 } macierz A ma postac A =. PRZYKłAD 2: Niech 2 1 1 2 1 1 1 1 A = 2 1 3 4 1. 2 2 3 1 2 2 3 1

Łatwo sprawdzić, że A 2 =. dokonując operacji wierszowych sprowadzamy A do postaci schodkowej: 2 1 1 2 1 1 1 1. Wobec czego Im A jest rozpięta przez dwa pierwsze swoje kolumny. Połózmy Oczywiście (dlaczego?) możemy położyć 2 1 1 v 1,1 = 2, v 2,1 = 1. 2 2 1 1 v 1,2 =, v 2,2 =. Oraz (na przykład) Wtedy w bazie macierz A ma postać 1 v 3,1 = 2 {v 1,1, v 1,2, v 2,1, v 2,2, v 3,1 } A =. 2. Suma prosta i rzuty Suma prosta jest uogólnieniem pojęcia bazy.

Definicja. Mówimy, że podprzestrzenie V 1,..., V k są liniowo niezależne jeśli v 1 + + v k = oraz v i V i wymusza, że dla każdego i k zachodzi v i =. Definicja. Mówimy, że podprzestrzenie V 1,..., V k przestrzeni V generują przestrzeń V jeśli każdy wektor v V jest postaci v 1 + + v k = gdzie v i V i. Definicja. Mówimy, że V jest sumą prostą podprzestrzeni V 1,..., V k jeśli V jest generowane przez podprzestrzenie V 1,..., V k i podprzestrzenie te są liniowo niezależne. Oznaczamy wtedy V = V 1 V k = k i=1 V i. 4. Pokaż, że V = V 1 V k wtedy i tylko wtedy gdy każdy wektor v V zapisuje się jednoznacznie jako v = v 1 + + v k gdzie v i V i. PRZYKłAD: Niech w i będą niezerowymi wektorami. Niech V i = {kw i k K}. Wtedy przestrzenie V = k i=1 V i wtedy i tylko wtedy gdy w 1,..., w k stanowią bazę V. Definicja. Przekształcenie liniowe P: V V nazwiemy rzutem jeśli P 2 = P. 5. Pokaż, że jeśli P jest rzutem to V = Ker P Im P. 6. Niech P będzie rzutem przemiennym z odwzorowaniem A. Pokaż, że Im P jest niezmienniczą przestrzenią A, tzn. A(Im P) Im P. 7. Niech I = P 1 + + P k. Niech P i będą rzutami (P 2 i = P i ) takimi, że P i P j = dla i j. Pokaż, że V = k i=1 Im P i. 8. Zdefiniuj sumę prostą odwzorowań A j : V i V i. 3. Interludium: Algorytm Euklidesa Fakt (O dzieleniu z resztą). Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Istnieją liczby całkowite k i r takie, że r b oraz a = kb + r. 9. Niech M = {ax + by x, y Z}. Niech c będzie najmniejszą dodatnią liczbą w zbiorze M. Pokaż, że c jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. WSKAZÓWKA: Oczywiście c jest podzielne przez każdy wspólny dzielnik a i b. W celu pokazania, że c dzieli a i b podziel a z resztą przez ac. Dlaczego reszta jest równa zero? 1. Naucz się dzielić pisemnie wielomiany. 11. Pokaż, że dla dowolnych wielomianów f (x), g(x) K[x] (deg g(x) > ) istnieją wielomiany h(x), r(x) K[x] takie, że deg r(x) < deg b(x) oraz f (x) = h(x)g(x) + r(x). 12. Niech M = {p(x)f (x) + q(x)g(x) p(x), q(x) K[x]}. Niech h(x) będzie wielomianem najmniejszego stopnia w zbiorze M. Pokaż, że h(x) jest największym wspólnym dzielnikiem f (x) i g(x). To znaczy, że h(x) dzieli (bez reszty) f (x) oraz g(x) oraz każdy wspólny dzielnik f (x) i g(x) jest dzielnikiem h(x).

Definicja. Mówimy, że dwie liczby (lub dwa wielomiany) są względnie pierwsze jeśli ich największy wspólny dzielnik jest równy jeden (stopnia zero). Niech R oznacza zbiór liczb całkowitych. 13. Niech f i g, elementy R, będą względnie pierwsze. Pokaż, że jeśli f dzieli iloczyn gh, gdzie h R to f dzieli h. 14. Niech g i h, elementy R będą względnie pierwsze. Pokaż, że jeśli g oraz h dzielą f R to iloczyn gh dzieli f. 15. Niech f i będą parami względnie pierwszymi elementami R. Niech f = f 1... f k. Pokaż, że istnieje elementy g i R takie, że dla każdego 1 i k, f i g i jest podzielne przez f, g 2 i g i jest podzielne przez f, dla i j element g i g j jest podzielny przez f, oraz k i=1 g i daje resztę jeden z dzielenia przez f. WSKAZÓWKA: Niech h i = f 1... f i 1 f i+1... f k. Ponieważ f i i h i są względnie pierwsze (dlaczego?) istnieją a i oraz b i takie, że a i f i + b i h i = 1. Połóżmy g i = b i h i. 16. Zrób powyższe trzy zadania dla R = K[x]. 4. Rozkład Jordana we własnej osobie 17. Niech V będzie przestrzenią d wymiarową. Pokaż, że przestrzeń odwzorowań liniowych V V jest skończenie (ilu?) wymiarową przestrzenią liniową. 18. Niech A będzie odwzorowaniem liniowym V V. Pokaż, że potęgi odwzorowania A są liniowo zależne. Oszacuj z góry minimalny stopień niezerowego wielomianu f takiego, że f (a) =. Niech f (x) = p 1 (X) a1 p k (x) a k będzie wielomianem takim, że f (A) = oraz p i są względnie pierwsze. 19. Korzystając z zadania 12. (dla f i (x) = p i (x) a i ) znajdź rozkład 1 = P 1 + +P k, gdzie P i = g i (A) są rzutami takimi, że odwzorowanie A i : Im P i Im P i powstałe przez obcięcie odwzorowania A do Im P i spełnia p i (A i ) a i =. Dlaczego rzuty P i są przemienne oraz komutują z A? Ciało K mające tę własność, że każdy wielomian jest iloczynem czynników liniowych (stopnia jeden) nazwiemy algebraicznie domkniętym. UWAGA: Taką własność ma ciało liczb zespolonych. (Patrz Dodatek III.) Jeśli p i (x) = x λ oraz p i (A i ) rozkłada się w sumę prostą odwzorowań w postaci nilpotentnych klatek Jordana to A i rozkłada się w sumę klatek postaci λ 1 λ 1...... λ 1, λ które nazwiemy klatkami Jordana.

Twierdzenie. Jeśli K jest algebraicznie domknięte to Każde przekształcenie liniowe K d K d dopuszcza bazę, w której jest sumą klatek Jordana (z być może rożnymi λ na diagonali). Dodatek I. A jednak wyznacznik Szukanie wielomianu f takiego, że f (A) licząc potęgi macierzy jest niepraktyczne. Rozpatrzmy A w postaci sumy klatek Jordana. Jest jasne, ze det(x A) jest postaci (x λ) d λ gdzie d λ jest sumą rozmiarów klatek z wartością lambda na diagonali. Definicja. Wielomian χ A (x): = det(x A) nazwiemy wielomianem charakterystycznym odwzorowania A. 2. Dlaczego wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy dla A? 21. Pokaż, że χ A (A) =. (To się nazywa Twierdzenie Cayleya Hamiltona). 22. Oblicz χ A (x) dla 2 1 1 2 1 1 1 1 A = 2 1 3 4 1. 2 2 3 1 2 2 3 1 Dodatek II. O rugowniku 23. Niech f (x) = a n x n + + a 1 x + a oraz g(x) = b m x m + + b 1 x + b będą wielomianami takimi, że a n oraz b m. Udowodnij, że wielomiany f i g są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy det R(f, g) =, gdzie a n a n 1 a a n a 1 a................ a n a n 1 a R(f, g) := a n a 1 a b m b m 1 b 1 b b m b 2 b 1 b........... b m b m 1 b b m b m 1 b 1 b nazywamy rugownikiem wielomianów P i Q. WSKAZÓWKA: Spróbuj rozwiązać równanie f (x)u(x) + g(x)v(x) = h(x) gdzie h(x) jest dowolnym wielomianem stopnia mniejszego niż m + n.

24. Pokaż, ze jeśli równanie f (x)u(x) + g(x)v(x) = h(x) dla h(x) będącego dowolnym wielomianem stopnia mniejszego niż m + n to można wybrać u(x) i v(x) tak, by deg u(x) < deg g(x) oraz deg v(x) < deg f (x). Dodatek III. O zasadniczym Twierdzeniu Algebry Definicja. Element p(x) K[x] nazwiemy pierwszym jeśli (ma dodatni stopień oraz) z tego, że p(x) dzieli f (x)g(x) wynika, że p(x) dzieli f (x) lub dzieli g(x). 25. Niech f K[X]. Pokaż, że jeśli f jest nierozkładalny, to f jest pierwszy. WSKAZÓW- KA: Zaadaptuj algorytm Euklidesa. 26. Niech K[X]/f (X) oznacza reszty z dzielenia przez f (wiadomo co to znaczy, że dwa wielomiany dają te samą resztę, ale jak zdefiniować resztę?). Pokaż, że w K[X]/f (X) elementy niezerowe są odwracalne. K[X]/ f (X) nazwiemy ciałem reszt. 27. Nadużyjmy oznaczeń oznaczając przez X wielomian tożsamościowy. Pokaż, że f (X) = w K[X]/f (X). Jeśli dla k K przez k oznaczamy wielomian stały (rożny k) to otrzymamy włożenie K K[X]/ f (X). 28. Pokaż, że w C (Jeśli jeszcze nie wiesz, co to liczby zespolone C, to C = R[i]/(i 2 + 1)) każdy wielomian kwadratowy ma pierwiastek. 29. Niech f będzie dowolnym wielomianem z K. Pokaż, że indukcyjnie wykonując konstrukcję ciała reszt można skonstruować ciało zawierające K, w którym f ma wszystkie pierwiastki. Najmniejsze takie ciało nazywa się ciałem rozkładu f. 3. Pokaż, że dla każdego ciała K można skonstruować ciało K o tej własności, że każdy wielomian z K[X] ma pierwiastek w K. Rozpatrując ciąg K K K... skonstruuj ciało K zawierające K o tej własności, że każdy wielomian z K[X] ma pierwiastek w K. 31. Pokaż, że każdy wielomianem stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek rzeczywisty. 32. Pokaż, że każdy wielomian symetryczny (wielomian, którego wartość nie zależy od kolejności zmiennych) w zmiennych X 1,..., X n zapisuje się jako wielomian od zmiennych σ 1 = X 1 + + X n, σ 2 = X 1 X 2 + X 1 X 3 + + X n 1 X n etc. 33. Niech f (z) = a j z j = (X z k ), (z k należą do ciała rozkładu f ) będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Zdefiniujmy F a (z) = (z z kl ) gdzie z kl = z k z l + a(z k + z l ) oraz a jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Pokaż, że F ma rzeczywiste współczynniki. 34. Pokaż, ze jeśli 2 N+1 nie dzieli stopnia f (ale f ma stopień parzysty) to 2 N nie dzieli stopnia F a. 35. Załóżmy, że każdy z wielomianów F a ma pierwiastek zespolony. Pokaż, ze istnieją dwie liczby rzeczywiste a ± oraz indeksy k, l takie, że z k z l + a ± (z k + z l ) C. Wywnioskuj, że z k oraz z l są liczbami zespolonymi. WSKAZÓWKA: Zad. 3. 36. Wywnioskuj (z zadań 6.-9.), że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony.

37. Niech będą dane dwa ciągi liczb x, x 1,..., x n oraz y, y 1,..., y n. Załóżmy, ze x i x j dla i j. Pokaż, że istnieje dokładnie jeden wielomian f stopnia n taki, że f (x i ) = y i. 38. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych. Pokaż, że f 2 ma współczynniki rzeczywiste. (Dlaczego f 2 jest wielomianem?) 39. Wywnioskuj (z zadań 1. i 12.), że każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony. 4. Naucz się co to jest Grupa Galois (na przykład chodząc na wykład z algebry dla drugiego roku). Przeczytaj dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry z Algebry Serge a Langa. Porównaj. 41. Zapytaj jakiegoś Geometrę (np. Piotra Śniadego, Ewę Damek, Jarka Wróblewskiego lub Jerzego Kriakina) o jego ulubiony dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. (Możesz też zajrzeć do list zadań z konwersatorium Piotra Śniadego). 42. Zapytaj jakiegoś Geometrę co to jest stopień odwzorowania. Przeczytaj z książeczki Jana Milnora Geometria z różniczkowego punktu widzenia dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. 43. Przeczytaj dowolną inna/wszystkie książki Jana Milnora. 44. Zapytaj jakiegoś Analityka co to jest funkcja harmoniczna, co mówi zasada maksimum i dlaczego wynika z niej Zasadnicze Twierdzenie Algebry. 45. Znajdź lub wymyśl inny dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. 46. Zapytaj jakiegoś Logika co to jest Nullstelensatz i dlaczego jest uogólnieniem Zasadniczego Twierdzenia Algebry. a wielomian X 3 2? Zadania 47. Pokaż, że kolekcja klatek w rozkładzie jest jednoznacznie wyznaczona przez odwzorowanie. Przedyskutuj niejednoznaczność bazy, w której przekształcenie rozkłada się jak w twierdzeniu. Niech f i (x) = x λ. Podpzestrzenie V λ := Im P i nazwiemy przestrzeniami pierwiastkowymi odwzorowania A. Przestrzenie V λ := Ker(A λ) nazwiemy przestrzeniami własnymi odwzorowania A. 48. Pokaż, że V λ oraz V λ są A-niezmiennicze. 49. Pokaż, że V λ jest podprzestrzenią w V λ. 5. Pokaż, żę V λ = Ker(A λ) N jeśli N jest dostatecznie duże. 51. Rozwiąż (w Mat 2 2 (R) oraz Mat 2 2 (C)) równanie X 2 1 = A, gdzie (a) A =, 1 2 2 (b) A = (c) A =. (WSKAZÓWKA: d 1 1 3 2 a 2 = (d a)(d + a)). Ile rozwiązań ma powyższe równanie dla A = ( 1 )?

52. Rozwiąż równania macierzowe: (a) M 2 = 4 1 4 ; (b) M 2 = 3 1 1 5. 53. Podaj przykład macierzy A M 3 3 (R), której żaden wyraz nie jest równy, ale A 3 =. 54. Co wiadomo o postaci Jordana zespolonej macierzy A, jeśli: (a) A 2 = I; (b) A 2 = A; (c) A 2 = A 3 55. Znajdź postać Jordana macierzy A, wiedząc że χ A (x) = (3 x) 4 (2 + x), rk(a 3I) = 2. Czy da się to zrobić, jeśli rk(a 3I) = 1, 3, 4? 56. Uzasadnij, że jeśli V = V λ (F), zaś dim V λ (F) = 1, to postacią Jordana F jest pojedyncza klatka Jordana. Używając tego kryterium podaj kilka możliwie skomplikowanych macierzy, których postać Jordana jest pojedyncza klatka Jordana. 57. Niech F n =. Pokaż, że rozmiar największej klatki w postaci Jordana F jest równy min{k : F k = }. 58. Uzasadnij, że jeśli A M n n (R) spełnia A 1 =, to również A n =. Udowodnij, że jeśli A M n n (C), A N = I, to A jest diagonalizowalna, a jej wartości własne są pierwiastkami z jedynki stopnia N. 59. Uzasadnij, że jeśli każde z przekształceń liniowych F 1,..., F k : V V jest diagonalizowalne, oraz ( i, j)(f i F j = F j F i ), to istnieje baza V, której każdy element jest wektorem własnym każdego z przekształceń F i. [Komutujące przekształcenia diagonalizowalne diagonalizują się we wspólnej bazie.] 6. Użyj poprzedniego zadania do pokazania, że jeśli identyczność jest sumą komutujących rzutów, to przestrzeń jest sumą ich obrazów. UWAGA: jeśli wiesz co to jest charakterystyka ciała, to zrób odpowiednie założenie. 61. Udowodnij, że jeśli v V λ, a (F λ) k v, to v, (F λ)v, (F λ) 2 v,..., (F λ) k v są lnz. 62. Uzasadnij, że jeśli F k+1 (v) lin(v, F(v),..., F k (v)), to lin(v, F(v),..., F k (v)) jest F-niezmiennicza. 63. Wyznacz przestrzenie własne, postać Jordana i przestrzenie pierwiastkowe odwzorowań zadanych macierzami: 2 3 2 2 1 2 4 5 2 1 1 1 1 5 3 3 ; 5 7 3 ; ; 2 1 2 6 9 4 1 1 1 1 6 9 5 4 2 1 3 2 1 2 1 1 7 13 8 7 2 1 2 2 ; ;. 1 1 1 8 17 11 8 3 1 4 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 64. Znajdź postacie Jordana i bazy jordanowskie dla macierzy: 1 ; 1 ; 1 ; 1 1 1 1 1 1 1

65. Znajdź postacie Jordana (najlepiej nie wyznaczając baz jordanowskich) dla macierzy:... 1 1 1... 1... 1 3 4 4 5 7 1... 1 4 7 8 ; 1 4 9 ;... 1 6 7 7 4 5....... ;............... 1... 1 1... 66. Wykaż, że dla A M n n (C) zachodzi wzór det exp A = e tr A. (PRZYPOMNIENIE: exp A := n= n! An.) 67. Udowodnij, że dowolny endomorfizm zespolonej przestrzeni liniowej można przedstawić w postaci S + N, gdzie S, N są liniowe, S jest diagonalizowalne, N jest nilpotentne (tzn. pewna potęga N jest równa ), oraz S N = N S. Czy przedstawienie takie jest jednoznaczne? 68. Oblicz eksponens macierzy: Porównaj wyniki. a b 1 b a a b b a oraz ZADANIA DODATKOWE: a + bi 1. (a, b R) a + bi 69. Pokaż, że 2+ 3 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych. Czy 2 + 3 + 5 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych? Uogólnij. 7. Ile pierwiastków w R [ 3 2 ] = R[X]/(X 3 2) 71. Mówimy, że liczba z jest algebraiczna, jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (lub z innego ulubionego ciała). Korzystając z rugownika udowodnij, że suma (iloczyn) dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna. Podaj wielomian spełniany przez liczbę z 1 + z 2, gdzie z 1 spełnia równanie (tu podaj jakieś wstętne równanie kubiczne), a z 2 spełnia równanie (tu podaj jakieś wstętne równanie kubiczne). UWAGA: To zadanie zostało (efektywnie) zrobione jeśli z 2 ma spełniać równanie kwadratowe. 72. Czy pierwiastki wielomianu o współczynnikach algebraicznych są zawsze algebraiczne? Czy funkcje wymierne liczb algebraicznych są zawsze algebraiczne? 73. Wyróżnikiem (f ) wielomianu f nazywamy wielkość R(f, f ). Pokaż, że (F) = ± (ζ i ζ j ). Jaki jest prawidłowy znak w powyższej równości? i j

74. Pokaż, że det 1 1... 1 t 1 t 2... t n t1 2 t2 2..... tn 2...... t1 n 1 t2 n 1... tn n 1 = (t i t j ). i>j 75. Otoczką wypukłą zbioru {z 1,..., z k } R n nazywamy zbiór { k λ i z i λ i 1, i=1 } k λ i = 1. Na krzywej x(t) = (t, t 2,..., t n ) wybierzmy N punktów x i = x(t i ). Niech Π oznacza otoczkę wypukłą punktów x 1, x 2,..., x N. Pokaż, że wszystkie ściany Π są sympleksami. Pokaż, że jeśli 2k n to otoczka wypukła zbioru x i1, x i2,..., x ik jest ścianą Π. 76. Poczytaj ksiązkę Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants Izraela Gelfanda, i=1