Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE)

Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární funkce pojem limity funkce v bodě vlastní limita funkce jednostranné limity nevlastní limita funkce limita funkce v nevlastním bodě spojitost funkce spojitost funkce v bodě spojitost funkce na otevřeném intervalu spojitost funkce na uzavřeném intervalu početní operace s limitami Matematika (KMI/PMATE) 2 / 30

Lineární funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q k... směrnice, q... absolutní člen D(f) = R H(f) = R Příklady lineárních funkcí f(x) = 3x 2 k = 3, q = 2 f(x) = 2x 5 k = 2, q = 5 f(x) = 5x + 1 k = 5, q = 1 f(x) = 3x + 1 k = 3, q = 1 Matematika (KMI/PMATE) 3 / 30

Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je přímka. Na obrázcích jsou uvedeny grafy funkcí f(x) = 2x 1 a f(x) = x + 4. Graf funkce f(x) = 2x 1 Graf funkce f(x) = x + 4 Matematika (KMI/PMATE) 4 / 30

Lineární funkce - shrnutí Mějme lineární funkci f(x) = kx + q. Hodnota q odpovídá funkční hodnotě pro x = 0. Je tedy q = f(0). Graf lineární funkce protíná svislou osu ve výšce q. Hodnota směrnice k je rovna změně funkční hodnoty v případě, že hodnota x se zvětší o jednotku. Hodnota směrnice k ovlivňuje sklon grafu lineární funkce - čím větší hodnota k, tím větší sklon dané přímky. Obecně je k = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1. Matematika (KMI/PMATE) 5 / 30

Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4,99999 4,999999 f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8,99999 8,999999 Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4,99999 4,999999 f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8,99999 8,999999 Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5,00001 5,000001 f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9,00001 9,000001 Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

Limita funkce Mějme funkci f(x) = x + 4. Jak se chová f(x), jestliže se hodnota proměnné x bĺıží k číslu 5? Přibližování zleva x 4,9 4,99 4,999 4,9999 4,99999 4,999999 f(x) = x + 4 8,9 8,99 8,999 8,9999 8,99999 8,999999 Přibližování zprava x 5,1 5,01 5,001 5,0001 5,00001 5,000001 f(x) = x + 4 9,1 9,01 9,001 9,0001 9,00001 9,000001 Závěr: Čím bĺıž je x číslu 5, tím bĺıž je f(x) číslu 9. Matematika (KMI/PMATE) 6 / 30

Limita funkce Limita funkce Tento druh závislosti označujeme symbolem a čteme: lim(x + 4) = 9 x 5 limita funkce f(x) = x + 4 pro x jdoucí k pěti je rovna devíti. Otázka: Proč tak složitě? Proč to děláme tak složitě? Proč pouze nedosadíme za x číslo 5 do předpisu funkce f(x) = x + 4? Je přeci zřejmé, že platí f(5) = 5 + 4 = 9. Matematika (KMI/PMATE) 7 / 30

Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

Limita funkce - Příklad Vypočtěte lim x 2 x 2 4 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 2 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(2). x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999 3,9999? 4,0001 4,001 4,01 4,1 Proč nás zajímá hodnota v bodě x = 2? Proč je limita rovna právě 4? Matematika (KMI/PMATE) 8 / 30

Limita funkce Odpověd na první otázku Limity nám pomáhají např. najít extrémní (největší a nejmenší) funkční hodnoty. Využíváme přitom pojem tečny grafu funkce. Tečna ke grafu funkce f(x) v bodě a. Připomeňme, že směrnici přímky, která prochází body o souřadnicích [a, f(a)] a [x, f(x)] lze vypočítat dle vzorce k = f(x) f(a). x a Tečna ke grafu funkce a její směrnice Matematika (KMI/PMATE) 9 / 30

Limita funkce Odpověd na druhou otázku Je: x 2 4 x 2 (x 2)(x + 2) =. x 2 Pro všechna x 2 je (x 2)(x + 2) x 2 = x + 2. x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 f(x) 3,9 3,99 3,999? 4,001 4,01 4,1 Matematika (KMI/PMATE) 10 / 30

Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

Limita funkce Vysvětlení Pokud uvažujeme hodnoty f(x) pro x bĺıžící se 2 (a tedy x 2), potom lze výraz x2 4 nahradit výrazem x + 2, u kterého je zřejmé, že čím bĺıž x 2 jsme k hodnotě x = 2, tím víc se hodnota f(x) bĺıží ke čtyřem. Je tedy: x 2 4 lim x 2 x 2 = lim (x + 2) = 4. x 2 Nakreslete graf funkce f(x)! Matematika (KMI/PMATE) 11 / 30

Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0,001 0 0,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0,001 0 0,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

Limita funkce Příklad ( Vypočtěte lim x + x ). x 0 x Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). x -0,1-0,01-0,001 0 0,001 0,01 0,1 f(x) -1,1-1,01-1,001? 1,001 1,01 1,1 ( Je lim x + x ) ( = 1, lim x + x ) = 1 x 0 x x 0 + x Při přibližování zleva dostáváme jiné hodnoty, než při přibližování zprava (nakreslete graf funkce). Matematika (KMI/PMATE) 12 / 30

Limita funkce Neformální definice Necht platí, že pro x bĺıžící se číslu a (zleva i zprava) se funkční hodnoty funkce f(x) bĺıží jednomu číslu b. Potom říkáme, že f(x) se bĺıží b pro x jdoucí k a, resp. že limita f(x) pro x a je (rovna číslu) b. Píšeme lim f(x) = b. x a Jestliže se hodnoty f(x) nebĺıží k jedné konkrétní hodnotě b pro x jdoucí k číslu a (zprava i zleva), potom říkáme, že funkce f(x) nemá limitu pro x a. Matematika (KMI/PMATE) 13 / 30

Poznámky k definici Je důležité, aby se funkční hodnoty f(x) bĺıžily k jednomu stejnému číslu, když se hodnota x bĺıží k číslu a z obou stran. Pokud se například f(x) bĺıží hodnotě 1 pro x = 1, 9; 1, 99; 1, 999,..., tj. pro x 2 bĺıží hodnotě 3 pro x = 2, 1; 2, 01; 2, 001,..., tj. pro x 2 + potom limita f(x) pro x 2 neexistuje. Může se stát, že funkční hodnota f(x) se nepřibližuje k žádné konkrétní hodnotě při přibližování x k a z obou stran. Potom říkáme, že limita f(x) pro x a neexistuje. V uvedené neformální definici používáme poněkud nepřesný pojem přibližovat se k.... Je nutné tuto definici upřesnit. Matematika (KMI/PMATE) 14 / 30

Korektní definice limity funkce Korektní definice limity funkce Řekneme, že číslo b je limitou funkce f(x) pro x a, tedy: lim f(x) = b, x a jestliže ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 15 / 30

Jednostranná limita funkce Definice (jednostranné) limity funkce zleva Řekneme, že lim f(x) = b, x a jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a δ, a), potom je f(x) (b ε, b + ε). Definice (jednostranné) limity funkce zprava Řekneme, že lim f(x) = b, x a + jestliže existuje takové číslo b, že ke každému reálnému číslu ε > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že když x (a, a + δ), potom je f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 16 / 30

Jednostranná limita funkce Příklad Necht je f(x) = x + x x. Potom je lim f(x) = 1 x 0 lim f(x) = +1 x 0 + lim x 0 f(x) neexistuje Matematika (KMI/PMATE) 17 / 30

Nevlastní limita funkce Příklad - nevlastní limita ( ) 1 Vypočtěte lim x 0 x 2. Snadno ověříme, že bod x = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy nelze určit hodnotu f(0). Zleva: x -0,1-0,01-0,001-0,000 1 f(x) 100 10 000 1 000 000 100 000 000 Zprava: x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 f(x) 100 10 000 1 000 000 100 000 000 Matematika (KMI/PMATE) 18 / 30

Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

Nevlastní limita funkce Z předchozích dvou tabulek bylo vidět, že když se hodnota x dostane dostatečně bĺızko k 0 (zleva i zprava), potom funkční hodnoty f(x) rostou bez omezení - nade všechny meze. Vlastní limita f(x) pro x 0 neexistuje, nebot neexistuje číslo, které by vykazovalo vlastnost limitní hodnoty b. Takovéto typy limit označujeme jako nevlastní limity a říkáme, že divergují k +, resp. k. lim f(x) =, lim x a f(x) =, lim x a x 0 1 x 2 = Matematika (KMI/PMATE) 19 / 30

Definice nevlastní limity funkce Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K > 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) > K. Definice nevlastní limity Řekneme, že lim x a f(x) =, jestliže ke každému reálnému číslu K < 0 existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) platí nerovnost f(x) < K. Matematika (KMI/PMATE) 20 / 30

Limita v nevlastním bodě 2x 2 + 5 Určete hodnotu lim x x 2 + 1. x 1 10 100 1 000 f(x) 7 2 205 101 20 005 10 001 2 000 005 1 000 001 f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

Limita v nevlastním bodě 2x 2 + 5 Určete hodnotu lim x x 2 + 1. x 1 10 100 1 000 f(x) 7 2 205 101 20 005 10 001 2 000 005 1 000 001 f(x) 3,5 2,0297 2,0003 2,0000 Definice limity v nevlastním bodě Řekneme, že lim x f(x) = b, jestliže pro všechna reálná čísla ε > 0 existuje reálné číslo x 0 takové, že pro všechna x (x 0, ) platí f(x) (b ε, b + ε). Matematika (KMI/PMATE) 21 / 30

Spojitost funkce Obecný náhled: Jestliže se hodnoty funkce mění plynule, tj. bez náhlých skoků, říkáme, že daná funkce je spojitá. Spojitost v bodě I Spojitost v bodě II Spojitost v bodě III Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je nespojitá v bodě a. Funkce f(x) je spojitá v bodě a. Matematika (KMI/PMATE) 22 / 30

Spojitost funkce Definice spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a, jestliže existuje vlastní limita lim x a f(x) platí rovnost lim x a f(x) = f(a) Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém bodě intervalu I. Matematika (KMI/PMATE) 23 / 30

Spojitost funkce - alternativní definice Definice jednostranné spojitosti funkce v bodě Necht f(x) je funkce a číslo a je prvkem definičního oboru funkce f(x). Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zleva v bodě a, jestliže existuje limita zleva lim f(x) x a platí rovnost lim f(x) = f(a) x a Řekneme, že funkce f(x) je spojitá zprava v bodě a, jestliže existuje limita zprava lim f(x) x a + platí rovnost lim f(x) = f(a) x a + Řekneme, že funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a dále je spojitá zprava v bodě a a současně je spojitá zleva v bodě b. Matematika (KMI/PMATE) 24 / 30

Spojitost funkce Která z uvedených funkcí je spojitá na svém definičním oboru? { x + 1 pro x 2, f(x) = 5 x pro x > 2 g(x) = { x + 1 pro x < 2, 6 x pro x > 2 h(x) = 1 { x 1/x pro x 0, k(x) = 0 pro x = 0 Matematika (KMI/PMATE) 25 / 30

Spojitost a limita funkce Z definice spojitosti funkce v bodě plyne, že pokud víme, že v bodě a je funkce f(x) spojitá, potom lze limitu lim x a f(x) vypočítat ze vztahu lim f(x) = f(a). x a Každá funkce, která vznikne z mocninné funkce, a dále pak z goniometrických, cyklometrických, exponenciálních a logaritmických funkcí pomocí konečného počtu početních operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání, je spojitá na svém definičním oboru. Matematika (KMI/PMATE) 26 / 30

Operace s limitami Pravidla pro počítání s limitami V následujících vzorcích předpokládáme, že existují limity Potom platí následující vzorce: lim f(x), a lim g(x). x a x a lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x a x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim lim x a lim x a g(x) x a x a [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x a x a f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) ( 0) Matematika (KMI/PMATE) 27 / 30

Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 28 / 30

Významné vzorce sin x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x a x 1 lim = ln a x 0 x ln(1 + x) lim = 1 x 0 x lim x 0 m (1 + x) n 1 x = n m Matematika (KMI/PMATE) 29 / 30

Sendvičová věta Předpokládejme, že existuje reálné číslo δ > 0 takové, že pro všechna x (a δ, a) (a, a + δ) jsou splněny nerovnosti f(x) g(x) h(x). Dále předpokládejme, že jsou splněny rovnosti lim f(x) = lim h(x) = b. x a x a Potom existuje i limita lim x a g(x) a platí lim g(x) = b. x a Matematika (KMI/PMATE) 30 / 30