Dynaczne Modele Eonoeryczne X Ogólnopolse Senaru Nauowe, 4 6 wrześna 007 w orunu Kaedra Eonoer Saysy, Unwersye Mołaa Koperna w orunu Aadea Eonoczna w Kraowe Noralzaca zennych a dopuszczalność prognoz zenne syneyczne. Wprowadzene W adanach porównawczych doyczących złożonych zaws eonocznych częso wyorzysue sę zenne syneyczne. Jedny z eleenów dynaczne analzy es udowa śceże rozwou adanego zawsa w oparcu o funce rendu. Główny cele pracy es przedsawene wynów adań nad wpływe noralzac zennych dagnosycznych, ze sały paraera, na warośc ocen ex ane łędów prognoz punowych przedzałowych, olczanych na podsawe neórych func rendu dla wyranych zennych syneycznych. rezenowane adana yły pośwęcone rozszerzenu rozważań przedsawonych w pracach awełe (004, (006. Doyczyły one func rendu lnowego dla addyywne zenne syneyczne. Rozszerzene polegało na włączenu do analzy rendów nelnowych oraz rozważenu ulplaywne zenne syneyczne. Oe zenne syneyczne zarówno addyywna, a ulplaywna yły ypu ezwzorcowego. W rozważanach przyęo, że fnalny zór zawera ( > zennych dagnosycznych X, o realzacach x (,..., n;,..., ;,...,, opsuących złożone zawso eonoczne. Założono, że zenne dagnosyczne są syulana erzony na slnych salach. W celu zapewnena porównywalnośc w czase ransforowanych zennych noralzacę przeprowadzono ze sały paraera, zn.: y x a, (,..., n;,..., ;,...,, (
54 gdze: x warość weścowe zenne X dla oeu O w orese ; warość znoralzowane zenne Y ; a warośc paraerów noralzacynych dla zenne. X Bezwzorcowa zenna syneyczna Z ędąca średną znoralzowanych zennych przyue nasępuące warośc: Y w wers addyywne (z przeszałcene noralzacyny lnowy, zn. a 0 dla,..., lu lorazowy, zn. a 0 dla,..., : z y x a (,..., n;,...,, ( w wers ulplaywne (z przeszałcene lorazowy: z y x (,..., n;,...,. (3 Rozważono czery funce rendu, zn.: lnowy logaryczny dla addyywne zenne syneyczne oraz poęgowy wyładnczy dla ulplaywne zenne syneyczne. rzyęo założene, że zenne charaeryzuą sę podony przeega w czase. o znaczy, że funce rendu nalepe dopasowane do rzeczywsych danych zennych X dla oeu O są ego saego ypu. W a. zaeszczono wzory na prognozy punowe przedzałowe oraz ern ex ane dla rendów: lnowego, logarycznego, poęgowego wyładnczego. Zaprezenowane równana uazuą zwąz ędzy wyore foruły noralzacyne wyna prognozowana zenne syneyczne. Należy paęać, że olczane ocen ex ane względnego łędu punowe prognozy (9 oraz względne precyz przedzałowe prognozy ( es dopuszczalne ylo dla zennych erzonych na sal lorazowe. Mern e znaduą zae zasosowane ylo w przypadu, gdy wszyse zenne dagnosyczne są erzone na sal lorazowe doonano noralzac za poocą lorazowego przeszałcena, zn. 0,...,. a (. Wpływ paraerów noralzacynych na warośc ernów ex ane przypade addyywne zenne syneyczne Załadaąc ę saą forułę noralzacyną udowę addyywne zenne syneyczne, ożna zauważyć duże podoeńswo ędzy wyna uzysany dla rendów lnowego logarycznego (por. a.. X y
Noralzaca zennych a dopuszczalność prognoz... 55 aela. Wzory dla func rendu lnowego lu logarycznego oszacowane dla ezwzorcowe addyywne zenne syneyczne Z Zenna unowa prognoza Ocena ex ane średnego łędu Ocena ex ane względnego łędu rzedzałowa Z Równane (,..., n;,..., ;,..., ; +,... Nr x a z (4 dla rendu lnowego: s ( X D w ( sd Z cov( e, es + ( s s (5 + s gdze: w + + ( ( dla rendu logarycznego: s X D sd ( Z ( ( w + ( ln ln gdze: w + + ( ln ln D sd ( Z ( Z ˆ ( 0 z s+ s cov s ( e, e s (6 (7 (8 z (9 z α s Z < z < z + α, s Z d I r sd Z,, γ (0 ( ( ( prognoza r D r D recyza ( s ( Z Względna precyza I α ( α, r D z ( 0 z ( Syole we wzorach oznaczaą, odpowedno, e es reszy w funcach rendu, odpowedno, lnowego lu logarycznego zennych X X s ( s ; x punowa prognoza zenne X ; s D ( X ocena ex ane waranc łędu punowe prognozy x ; γ - warygodność przedzałowe prognozy; α,r warość ryyczna w rozładze Sudena. Źródło: olczena własne. o podsawenu do wzoru (9 równań (4 (5 dla rendu lnowego lu (7 dla rendu logarycznego oazue sę, że znaąc warośc:,, w dla rendu lnowego lu dla rendu logarycznego,, cov e,, x w s ( e e s oraz a ożna sprawdzć, aą waroścą oceny ex ane względnego 55
56 łędu ędze charaeryzowała sę punowa prognoza z (4 uzysana w wynu esrapolac func rendu lnowego lu logarycznego oszacowane dla warośc addyywne zenne syneyczne. Analzuąc wzory (5 (7 ożna swerdzć, że węsze warośc paraeru saluącego (,...,, y nesza warość spodzewanego łędu Z punowe prognozy addyywne zenne syneyczne. ozosałe eleeny ych wzorów, w przypadu oszacowana rendów, odpowedno, lnowych lu logarycznych dla zennych dagnosycznych, są znane ne ulegaą zano na olenych eapach adana. W przypadu oceny ex ane względnego łędu prognozy, ne ożna sforułować podonego wnosu, gdyż w anownu wzoru (9 znadue sę warość punowe prognozy (4, óra zależy od pozou paraeru saluącego. Merna ex ane rzędu doładnośc przedzałowe predyc są: warygodność predyc, precyza predyc oraz względna precyza predyc. rzy usalone warygodnośc predyc γ wnosowane es y doładnesze, rószy es przedzał prognozy (zn. warość erna precyz ( es nesza. odone, a w przypadu punowe d I predyc, znaąc eleeny wysępuące we wzorach na punową prognozę (4, ocenę ex ane średnego łędu e prognozy (wzór (5 lu (7 oraz zadaąc saysfaconuący pozo warygodnośc przedzałowe prognozy ożna sprawdzć precyzę względną precyzę ożlwych do wyznaczena przedzałowych prognoz addyywne zenne syneyczne. rzy zadany prawdopodoeńswe γ, zwęszane warośc paraeru saluącego (,...,, powodue zneszane warośc erna precyz (. Oznacza o zwęszane doładnośc wnosowana w przyszłość na podsawe przedzałowych prognoz. Nesey podone, a w przypadu punowe predyc, ne oznacza o zwęszana precyz w uęcu względny (. s D ( 3. Wpływ paraerów noralzacynych na warośc ernów ex ane przypade ulplaywne zenne syneyczne W prognozowanu zaws eonocznych wyorzysue sę aże rendy nelnowe, w y rend poęgowy lu wyładnczy. odone, a dla rendów lnowego logarycznego, zosało poazane, a poprzez wyór paraerów noralzacynych ożna wpływać na dopuszczalność prognoz. W przypadu ulplaywnych rendów przyęo, że zenna syneyczna a aże ulplaywną posać (3. Założono aże, że zenne dagnosyczne w celu sprowadzena ch do porównywalnośc, zosały poddane lorazoweu przeszałcenu.
Noralzaca zennych a dopuszczalność prognoz... 57 aela. Wzory dla func rendu poęgowego lu wyładnczego oszacowane dla ezwzorcowe ulplaywne zenne syneyczne Z Zenna unowa prognoza Ocena ex ane średnego łędu Ocena ex ane względnego łędu ( z 0 Z Równane (,..., n;,..., ;,..., ; +,... x z Nr dla rendu poęgowego: s D w ( Z z s ( X + ( e es cov, D dla rendu wyładnczego: s D s+ s w ( Z z s ( X + ( e es cov, D dla rendu poęgowego: ˆ D s+ s w ( Z s ( X + ( e es cov, D dla rendu wyładnczego: ˆ D s+ s w ( Z s ( X + ( e es cov, D rzedzałowa prognoza por. (0 recyza por. ( dla rendu poęgowego: Względna precyza ( z 0 I s+ s α, r s, D s+ s dla rendu wyładnczego: I w ( X + cov( e es α, r s, D s+ s w ( X + cov( e es odone, a w a. przy czy: e e s reszy w addyywnych odelach ransforowanych zennych X s s ; x. X ( Źródło: olczena własne. ( X (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 s D ocena ex ane waranc łędu logaryu punowe prognozy Na podsawe szczegółowych wynów orzyanych w race adań zauważono, że waranca resz w addyywne func, ędące ransforacą rendu poęgowego lu wyładnczego opsuącego ulplaywną zenną syneyczną zudowaną w oparcu o znoralzowane lorazowy przeszałcene 57
58 weścowe dane, ne zależy od paraeru saluącego (,..., przyęego na eape noralzac. aże ocena ex ane średnego łędu prognozy orzyane z addyywne func, w rozważany przypadu, ne zależy od przyęego paraeru noralzacynego (,...,. o uwzględnenu wzoru na prognozę (3 ożna zauważyć, że ocena ex ane średnego łędu prognozy ulplaywne zenne syneyczne (wzór (4 lu (5 zależy od paraeru noralzacynego (,..., (por. a.. o podsawenu do wzoru na ocenę ex ane względnego łędu (9 równań (3 (4 dla rendu poęgowego lu (5 dla rendu wyładnczego oazue sę, że znaąc warośc:,, w dla rendu poęgowego lu w dla rendu wyładnczego, s oraz cov( e, e ożna sprawdzć, aą waroścą e oceny ex ane względnego łędu ędze charaeryzowała sę punowa prognoza z (3 uzysana w wynu esrapolac rendu poęgowego lu wy- ładnczego oszacowanego dla warośc zenne syneyczne. rzedzałowe prognozowane wraz z oceną ego doładnośc przeega a sao, a w przypadu rendów lnowego logarycznego. Wzory na ocenę ex ane względnych łędów (9 ( waro zapsać w posac uwzględnaące równana (4 lu (5. Wzory (6 (8 dla rendu poęgowego oraz (7 (9 dla rendu wyładnczego poazuą, że spodzewany względny łąd punowych prognoz przewdywana względna precyza przedzałowych prognoz, w analzowany przypadu, ne zależą od paraeru saluącego przyęego w lorazowy przeszałcenu noralzacyny. 4. rzyład na uownych danych Rozważano poddano rend poęgowy. Założono, że zenne dagnosyczne są erzone na sal lorazowe. Dane zosały poddane lorazoweu przeszałcenu noralzacyneu. Zenna syneyczna zosała zudowana zgodne z ulplaywną forułą (3. Uowne realzace zennych dagnosycznych zapsano w a. 3. aela 3. Warośc zennych dagnosycznych (uowne dane Zenna Ro dagnosyczna 000 00 00 003 004 005 006 007 X 50 63 68 77 80 87 90 9 X 30 50 63 8 9 06 6 7 X 3 80 90 93 99 03 04 06 08 Źródło: opracowane własne. s
Noralzaca zennych a dopuszczalność prognoz... 59 Rolę paraeru saluącego w lorazowy przeszałcenu pełnł rozsęp (por. a. 4. Korzysaąc ze wzorów (3 (9 olczono prognozy oraz ezwzględne względne ern ex ane doładnośc prognoz (por. a. 5 6. Orzyane wyn nforuą, że prognozy punowe przedzałowe ulplaywne zenne syneyczne olczone na podsawe poęgowego rendu ędą worzyły dopuszczalną śceżę rozwou adanego zawsa. aela 4. Warośc ary opsowe pełnące rolę paraeru saluącego rzypade Mara opsowa. R X (,, 3. R (,, 3 X Zenna dagnosyczna X 4 97 8 00 50 60 X Źródło: olczena własne. aela 5. Warośc punowych prognoz oraz ocen ex ane średnch względnych łędów prognoz dla zennych dagnosycznych syneyczne rognoza oraz ocena ex ane średnego względnego łędu x lu z ( s D X lu ˆ sd ( Z ( D X lu ˆ ( D Z Źródło: olczena własne. Ro Zenna dagnosyczna X X X 3 X 3 Zenna syneyczna Z.. 9 96.474 38.608 0.487.348.80 0 99.533 49.0.78.444.8 0.384 59.78 3.79.533.73 9.97 3.6.38 0.039 0.00 0.076 3.470.43 0.04 0.0.78 3.78.480 0.044 0.0 9 0.00 0.03 0.03 0.07 0.07 0 0.0 0.03 0.03 0.07 0.07 0.0 0.04 0.03 0.07 0.07 aela 6. rzedzałowe prognozy (dla γ 0, 95 oraz warośc ernów precyz względne precyz przedzałowych prognoz zenne syneyczne ( z s ( Z z + s ( Z d α D I I, r D, α, r Ro...... 9 (.5;.445 (.3;.8 0.096 0.048 0.04 0.04 0 (.34;.546 (.76;.79 0.0 0.05 0.04 0.04 (.45;.64 (.8;.37 0.08 0.054 0.043 0.043 Źródło: olczena własne. W celu prezenac suów zany paraeru saluącego zwęszono warośc paraeru (,, 3 (por. przypade. w a. 4. Warośc pro- 59
60 gnoz zenne syneyczne oceny ex ane średnego łędu uległy zneszenu, naoas oceny ex ane względnego łędu pozosały ez zan (por. a. 5. Zalały warośc erna precyz przedzałowych prognoz, poprawaąc y say ch doładność wnosowana o przyszły rozwou adanego zawsa (por. a. 6. Naoas względna precyza ne zenła sę w sosunu do pozou olczonego w przypadu.. 5. odsuowane W pracy poazano, że dla neórych func rendu zenne syneyczne węsze warośc paraeru saluącego, y.n. nesza warość spodzewanego średnego łędu punowe prognozy oraz przy zadane warygodnośc, węsza doładność (precyza wnosowana w przyszłość na podsawe prognozy przedzałowe. Można sforułować wnose, ż decyza doycząca sposou noralzac zennych, w y wyór paraerów noralzacynych, a znaczący wpływ na o, czy prognozy olczone na podsawe func rendu oszacowane dla zenne syneyczne ędą dopuszczalne ze względu na warośc ernów ex ane doładnośc prognoz. rzedsawone rozważana słanaą do prowadzena dalszych adań nad wpływe wyoru foruły noralzacyne na wyn syneycznych adań porównawczych w uęcu dynaczny. Wyazany wpływ noralzac zennych na dopuszczalność prognoz zenne syneyczne, gdy ryeru es warość oceny ex ane łędu, oże yć oleny głose w dysus oczące sę woół podeowanych pró odpowedz na pyane: a doerać paraery noralzacyne, ay z edne srony spełnone yły foralne wyog przy onsruc zennych syneycznych, a z druge zachowana nerpreaca eonoczna ych zennych. Leraura awełe, B. (004, Wpływ noralzac zennych dagnosycznych na dopuszczalność prognoz zenne syneyczne, rzegląd Saysyczny, z. 4, 8 87. awełe, B. (006, Sposrzeżena doyczące wpływu noralzac zennych na ocenę ex ane łędu prognozy, Zeszyy Nauowe AE w Kraowe, nr 76.