Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 4 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 5 Spełnialność formuły domkniętej Model formuły Zależności Twierdzenie Zbiór spełnialny 1 2 Spełnialność
znaczenie semantyka interpretacja rachunek predykatów = język po co nam języki? co to znaczy zrozumieć zdanie? komputer??? Znaczenie zdań w logice wartości formuł rachunku predykatów Formuła rachunku predykatów może przyjąć jedną z dwóch wartości: 1 mówimy, że formuła jest spełniona 0 mówimy, ze formuła nie jest spełniona
Predykat predykat = symbol predykatywny z listą argumentów (termów) w nawiasach na przykład p(a, x, f(y)) czy w matematyce istnieją obiekty o podobnej składni? relacje Pojęcie relacji Definicja Relacją n-argumentową na zbiorze S nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego S... S. }{{} n razy Notacja Element relacji R jest zatem ciągiem o długości n, którego elementy należą do S. Piszemy: R S... S (s 1,..., s n ) R s 1,..., s n S
Przykłady relacji Relacje jednoargumentowe Np(x) (N) jest zbiorem liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7,...} Relacje dwuargumentowe Pc(x, y) (N) 2 jest zbiorem par (x, y) takich, że y = x 3 {(0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27),...} Relacja jako funkcja o wartościach logicznych Relację R można reprezentować za pomocą funkcji R o wartościach logicznych R : D n {0, 1} odwzorowującej krotkę w wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy należy ona do relacji, czyli R(d 1,..., d n ) = 1 wtw (d 1,..., d n ) R
Przykład c.d. Relacje jednoargumentowe Np(x) (N) jest zbiorem liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7,...} Np(0) = 0 Np(1) = 1 Np(2) = 0 Np(3) = 1 Np(4) = 0 Np(5) = 1... Przykład c.d. Relacje dwuargumentowe Pc(x, y) (N) 2 jest zbiorem par (x, y) takich, że y = x 3 {(0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27),...} Pc(0, 0) = 1 Pc(0, 1) = 0 Pc(0, 2) = 0 Pc(0, 3) = 0 Pc(0, 4) = 0 Pc(0, 5) = 0... Pc(1, 0) = 0 Pc(1, 1) = 1 Pc(1, 2) = 0 Pc(1, 3) = 0 Pc(1, 4) = 0 Pc(1, 5) = 0... Pc(2, 0) = 0 Pc(2, 1) = 0 Pc(2, 2) = 0 Pc(2, 3) = 0 Pc(2, 4) = 0 Pc(2, 5) = 0...
Stałe, zmienne, funkcje Jaka jest wartość formuły: A = p(a, x, f (y))? Jaka jest wartość formuły: 0 > x + y 2 ; x, y N? Dziedzina interpretacji jest to zbiór, do którego należą wartości: zmiennych, stałych, funkcji występujące w formule rachunku predykatów. Predykaty Predykaty reprezentują relacje określone na dziedzinie interpretacji. Predykat n-argumentowy oznacza relację R D n. Przykład Interpretacją predykatu p(x, y, z) może być relacja R określona na zbiorze kątów ostrych, taka, że kąty x, y, z są w relacji R, gdy są kątami tego samego trójkąta. (x, y, z) R wtw. x + y + z = 180.
Intepretacja w rachunku predykatów Aby określić wartość (logiczną) formuły rachunku predykatów należy podać: dziedzinę interpretacji (zbiór wartości jakie mogą przyjmować stałe, zmienne i funkcje), funkcje odpowiadające symbolom funkcyjnym, relacje odpowiadające symbolom predykatywnym. Funkcja interpretacji Niech U będzie zbiorem formuł, dla którego: {p 1,..., p k } - zbiór wszystkich symboli predykatywnych w U, {f 1,..., f l } - zbiór wszystkich symboli funkcyjnych w U, {a 1,..., a m } - zbiór wszystkich stałych w U. Interpretacja Interpretacją I nazywamy czwórkę: (D, {R 1,...R k }, {F 1,..., F l }, {d 1,..., d m }), gdzie: D - niepusta dziedzina, R i - relacja przyporządkowana symbolowi predykatywnemu p i, F i - funkcja przyporządkowana symbolowi funkcyjnemu f i, d i - element dziedziny D, przyporządkowany stałej a i.
Przykład Przykład p(a, f (x)) Interpretacja I 1 = (N, { }, {x 2 }, {5}) D N p f x 2 a 5 5 x 2 Interpretacja I 2 = (N, { }, {2x}, {0}) D N p f 2x a 0 0 2x Interpretacja I 3 = (Z, { }, {x 2 }, {5}) D Z p f x 2 a 5 5 x 2 Wartościowanie Definicja Niech I będzie interpretacją. Wartościowaniem σ I : V D nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej zmiennej element dziedziny interpretacji I. Zapis σ I[xi d i ] będzie oznaczał, że w wartościowaniu σ I zmiennej x i została przyporzadkowana wartość d i.
Przykład Formuła p(a, f (x)) Interpretacja I 1 = {N, { }, {x 2 }, {5}} 5 x 2 Wartościowanie σ I[x 3] 5 9 Zakres wartości termu UWAGA! Wartość termu należy do dziedziny interpretacji D i nie musi być wartością logiczną. Wartość termu zależy zarówno od interpretacji, jak i wartościowania.
Definicja Wartość termu t w interpretacji I i wartościowaniu σ I oznaczamy przez v σi (t) i definiujemy przez indukcję: v σi (x i ) = σ I (x i ) v(a i ) = d i v σi (f i (t 1,..., t n )) = F i (v σi (t 1 ),..., v σi (t n )) gdzie: d i - element dziedziny przyporządkowany stałej a i w interpretacji I, F i - funkcja przyporządkowana w interpretacji I symbolowi funkcyjnemu f i Przykład Wartość termu: t = f (x) + g(f (a)) Interpretacja: I = (N, {}, {2x, y 2 }, {0}) Wartościowanie: σ I (x) = 1 Wartość termu: v σi (t) = v σi (f (x) + g(f (a))) = 2σ I (x) + (2v(a)) 2 = 2 1 + (2 0) 2 = 2
Wartość atomu Atom ma wartość logiczną (0 lub 1). A = p k (t 1,..., t n ) v σi (A) = 1 wtw (v σi (t 1 ),..., v σi (t n )) R k R k - relacja przyporządkowana w interpretacji I predykatowi p k A = p(a, x) Niech I = (N, { }, {}, {1}) i σ I (x) = 3 (x, y) R wtw x y (v(a), v σi (x)) = (1, 3) (1, 3) R (v σi (A)) = 0 Wartość formuły złożonej Wartość logiczną formuły A przy wartościowaniu σ I oznaczamy przez v σi (A) i definiujemy przez indukcję ze względu na budowę formuły: A - dowolna formuła v σi ( A) = 1 wtw v σi (A) = 0 v σi (A 1 A 2 ) = 1 wtw v σi (A 1 ) = 1 lub v σi (A 2 ) = 1 podobnie dla pozostałych operatorów logicznych v σi ( x A) = 1 wtw v σi [x d](a) = 1 dla każdego d D v σi ( x A) = 1 wtw v σi [x d](a) = 1 dla pewnego d D
Wartość formuły złożonej A v(a 1 ) v(a 2 ) v(a) A 1 1-0 0-1 A 1 A 2 1 1 1 wpp 0 A 1 A 2 0 0 0 wpp 1 A 1 A 2 1 0 0 wpp 1 A 1 A 2 1 1 0 wpp 1 A 1 A 2 0 0 1 wpp 0 A 1 A 2 v(a 1 ) = v(a 2 ) 1 wpp 0 A 1 A 2 v(a 1 ) = v(a 2 ) 0 wpp 1 wpp - w przeciwnym przypadku Przykład A = p(x, a), B = A I = (N, { }, {}, {2}) Formuła A w interpretacji I oznacza: x N i x 2 Wartość formuły A zależy od wartościowania σ I. σ I (x) = 3 v σi (A) = 0, a zatem v σi (B) = 1
Wartość formuły zamkniętej Niech A będzie formułą zamknietą. Wówczas v σi (A) nie zależy od wartościowania σ I. A = y x p(x, y) I = (N, { }, {}, {0}) y N x N x y v σi [y 1,x d](p(x, y)) = 1 dla każdego d N v σi ( y x p(x, y)) = 1 Wartość domknięcia uniwersalnego formuły Niech A = A(x 1,..., x n ) nie będzie formułą zamkniętą, a I niech będzie interpretacją. Wówczas: v σi (A ) = 1 dla wszystkich wartościowań σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1. A = p(x, y) Domknięcie uniwersalne A: A = x y p(x, y) I = (N, { }, {}, {}) x N y N x y v σi [x 0,y 1](p(x, y)) = 0 v σi ( x y p(x, y)) = 0
Wartość domknięcia egzystencjalnego formuły Niech A = A(x 1,..., x n ) nie będzie formułą zamkniętą, a I niech będzie interpretacją. Wówczas: v σi (A ) = 1 dla pewnego wartościowania σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1, A = p(x, y) Domknięcie egzystencjalne A: A = x y p(x, y) I = (N, { }, {}, {}) x N y N x y v σi [x 1,y 0](p(x, y)) = 1 v σi ( x y p(x, y)) = 1 Formuła spełniona Definicja Formuła zamknięta A jest spełniona w interpretacji I, czyli interpretacja I jest modelem A, jeśli v I (A) = 1, co oznaczamy I = A.
Przykład A = x p(a, x) I 1 = A I 2 = A I 3 = A Interpretacja I 1 = (N, { }, {x 2 }, {5}) D N p f x 2 a 5 Interpretacja I 2 = (N, { }, {2x}, {0}) D N p f 2x a 0 Interpretacja I 3 = (Z, { }, {2x}, {0}) D Z p f 2x a 0 5 x 2 0 2x 0 2x Formuła spełnialna Definicja Formuła zamknięta A jest spełnialna, jeśli dla pewnej interpretacji I mamy I = A. A = y x p(x, y) I = (N, { }, {}, {0}) y N x N x y v σi [y 1,x d](p(x, y)) = 1 dla każdego d N v σi ( y x p(x, y)) = 1 I = A
Formuła prawdziwa Definicja Formuła zamknięta A jest prawdziwa, jeśli dla wszystkich interpretacji I mamy I = A, co będziemy oznaczać = A. A = x (p(x) p(x)) = A Formuła niespełnialna i nieprawdziwa Definicja Formuła A jest niespełnialna, jeśli nie jest spełnialna, a jest nieprawdziwa, gdy nie jest prawdziwa. A = x (p(x) p(x)) Dla każdej interpretacji I v σi (A) = 0 zatem A jest niespełnialna. A = x p(x, a) Istnieje interpretacja I = (N, { }, {}, {2}) w której v σi (A) = 0 zatem A jest nieprawdziwa.
Prawdziwość a spełnialność Prawdziwość a spełnialność Każda formuła prawdziwa jest spełnialna. Niespełnialność i nieprawdziwość Każda formuła niespełnialna jest nieprawdziwa. Formuły spełnialne i niespełnialne Formuły spełnialne Istnieje co najmniej jedna interpretacja spełniająca formułę. Np. x p(x) Formuły niespełnialne Nie istnieje interpretacja spełniająca formułę. Np. x (p(x) p(x)) Formuły prawdziwe Formuła jest spełniona w każdej interpretacji. Np. x (p(x) p(x)) Formuły nieprawdziwe Istnieje interpretacja, w której formuła nie jest spełniona. Np. x p(x)
Spełnialność i prawdziwość formuł Formuły prawdziwe Formuła jest spełniona w każdej interpretacji. Np. x (p(x) p(x)) Pozostałe Formuły spełnialne, ale nieprawdziwe. Np. x p(x) Formuły niespełnialne Nie istnieje interpretacja spełniająca formułę. Np. x (p(x) p(x)) Prawdziwość i niespełnialność Załóżmy, że formuła A jest niespełnialna. Nie istnieje interpretacja, w której A jest spełniona. W każdej interpretacji v( A) = 0. W każdej interpretacji v(a) = 1. W każdej interpretacji A jest spełniona. A jest prawdziwa.
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Praktyczne twierdzenie Twierdzenie Formuła A jest prawdziwa wtw, gdy A jest niespełnialna. A jest spełnialna wtw, gdy A jest nieprawdziwa. Relacje Interpretacja Wartość Zastosowanie twierdzenia Wykazać, że formuła A = x (p(x) q(x)) x PTAKI p = makolorszary q = makolorbiały jest nieprawdziwa. Znajdujemy formułę A i wykazujemy, że jest spełnialna. x( (p(x) q(x))) = x( p(x) q(x)) czyli wskazujemy kontrprzykład. Stosując np. metodę tabel semantycznych łatwiej wykazać niespełnialność. Spełnialność
Zbiór spełnialny Definicja Zbiór formuł U = {A 1,..., A n } jest (jednocześnie) spełnialny wtw, gdy istnieje interpretacja v taka, że v(a 1 ) =... = v(a n ) = 1. Interpretację o tej własności nazywamy modelem zbioru formuł U. Zbiór formuł U jest niespełnialny wtw, gdy dla każdej interpretacji v istnieje i takie, że v(a i ) = 0. Zbiór spełnialny Przykład Rozważmy następujący zbiór formuł: { x (p(x, a) q(x, a)), x (p(x, a) q(x, a))}. Czy istnieje model tego zbioru? (N, {, }{}{0})
Zbiór niespełnialny Przykład Rozważmy następujący zbiór formuł: { x (p(x, a) q(x, a)), x ( p(x, a) q(x, a))}. Czy istnieje model tego zbioru? A 1 = x p(x, a) A 1 = x p(x, a) A 2 = x q(x, a) A 2 = x q(x, a) v I1 (A 1 ) = 1 v I1 (A 2 ) = 1 v I1 (A 1 ) = 1 v I1 (A 2 ) = 0 v I1 (A 1 ) = 0 v I1 (A 2 ) = 1 v I1 (A 1 ) = 0 v I1 (A 2 ) = 0 Zbiór jest niespełnialny. Pytania 1 Podać interpretację (wraz z wartościowaniem) podanej formuły rachunku predykatów. 2 Czy w podanej interpretacji formuła rachunku predykatów jest spełnialna (prawdziwa)?