Wkł 8 Równni ruchu Bjąc ruch mienn ilnsowliśm min pęu. Bilns okłn w csie skońconm rko jes możliw. Np. erjące się ciło nje uernm cąskom powojoną wrość włsnej prękości le sm prękość włśnie wskuek ego mleje. Procenow min w rkcie krókiego ocink csu kiej prękości jes niewielk grnic sosunku / pr -> uskn kiego prliżonego ilnsu jes n scęście upełnie ścisł. W roprwnm prpku / S ρ / M. Tk pojwiją się równni wierjące pochone. osrok W prpku rkie wncliśm prękość jko unkcję ms m mienijącej się wskuek splni pliw. W m wpku nleźliśm /m -w/m. Z ch wóch prkłów rugi prpek wje się pross. Prwo iki powieiło nm ile wnosi pochon konkrenej wielkości leżnej o innej wielkości wrżon pre mienną nieleżną. Ale prpek pierws sprow się w isocie o ego rugiego g pisem owron sosunek prrosów / M / Sρ osrok. Tk npisne równnie wrż pochoną unkcji pre mienną nieleżną. Jeśli nucliśm się różnickowć pewną licę różnch unkcji o lko prm c wśró wników różnickowni jes k jk ns. G njiem ką unkcję o mm pewność że ns leżność różni się o niej lko o słą. W ochcsowch prkłch wsrcł nm njomość pochonej unkcji poęgowej n n n logrmu pr poswie e: ln / e e. i unkcji wkłnicej: Ale żcie nie jes kie prose. Nwe g prolem sprowi nm się o wnceni ej w. unkcji pierwonej jej nleienie może nie ć możliwe w żnej nnej nm lic pochonch różnch unkcji. Nie porim soie nwe prosmi równnimi g pochon leż i o miennej leżnej i nieleżnej. G chcieć rowiąć n prkł równnie α / kórm poęg oporu mieni się w rkcie ruchu jkichś powoów o wrości n pocąku o wrości smpocnie wór ni ni jko miennej nieleżnej nic nm nie pomoże. N osnim wkłie sporo uwgi poświęciliśm niu prkłu w kórm pojwi się sił leżn o położeni. W kim wpku mm F / m gie nie jes wcle nne jenie wiomo że. Mm więc wie sukne wielkości. Możn u wprwie poć się jenej T w
posukiwnch wielkości prękości le cenę wproweni rugiej pochonej położeni rkownego jko wielkość sukną: F / m. G rug pochon ł wrżon pre mienną nieleżną prolem sprowł się o wukronego sukni unkcji pierwonej le u k nie jes!. Owroność rugiej pochonej nie jes niese rugą pochoną unkcji owronej! No i wrescie opis ruchu nwe pojencego punku merilnego wmg wproweni więcej współręnch niż lko. N płscźnie porene jes jesce. Prw Newon ęą więc ukłem wielu równń n wiele niewiomch unkcji. Isnieją romie sposo i romie kls równń kóre możn rowiąć nlicnie o nc poć konkrene wor n osecne leżności wsskich współręnch o csu:... ec. Bęiecie je ponwć w scególności n mechnice eorecnej le re ucciwie powieieć że lic prpków rowiąwlnch w sensie wrch worów jes kroplą w moru wsskich prolemów!!! Legen krążą o w. prolemie rech cił oiłującch grwicjnie. Funowno królewskie ngro jego rowiąnie jenk poosje ono nierowiąne o seregu suleci. C ro nleż cierpieć ego powou? Sąę że nie. Posrm się pokć isij jk proso i nurlnie możn rowiąwć równni pochonmi równni różnickowe pojwijące się w wiąku prolemem ruchu meoą numercną. Zjmiem się mię innmi ruchem hrmonicnm kór nleż o ch łwch prpków le jenm prosm opisniem rech lierek mienim go w ruch whł icnego wchlonego o ± c nwe 79± prpek nie mjąc nic wspólnego ruchem hrmonicnm. I wcle nie ki łw. Inn le ropocęci rowżń numercnch prpkiem łwo rowiąwlnm poleg n łwości konroli smego mechnimu numercnego. Prjmijm powsechną konwencję że pochoną nej wielkości po csie pisujem swijąc kropkę n wielkością. I k jeśli położenie jes o prękość prspiesenie Wsskie omwine ochcs równni ją się pisć w posci To sokując proso!!!!
Gieś ocwiście leż pies pogren. Niewinnie wgląjące o nie jes jen mienn licow iór kilu miennch: } L. Ile ich jes? To leż. Dl równni oporem kwrowm wsrc lko. Dl równni oporem leżnm o csu pore wie mienne: T T / gie } } / } } } α α Wrescie równnie Newon ogólną siłą leżną i o csu i o położeni i o prękości: m F F / gie } } } } } Dl punku n płscźnie ęie: m F m F F F / / gie } } } } } O iore wielkości i możn mśleć jk o współręnch pewnego punku w srkcjnej presreni wnej presrenią ową. Równnie mówi nm że g roprwne wielkości opisujące ruch i cs i położeni i prękości mją określone wrości cli g sn ukłu opowi określonemu punkowi w presreni owej równnie kcnie ukł równń wnc chwilow skość premiescni się ego punku. W młm preile csu punk preniesie się o. Ale ego nowego punku nów wiem oką się preniesiem po kolejnm. I k możn ewoluowć e końc!
Roienie kiej ewolucji pre wpiswnie kolejnch worów nie m jenk prsłości. Ale proceur jes niesłchnie łw o reliowni n owolnm urąeniu licącm. Wsrc powsechnie nn rkus klkulcjn. G się chce osiąść kompuer prolem musi ć lece skonkreown. Jk oiecwłem n pocąek jmiem się ruchem po wpłwem sił proporcjonlnej o wchleni. m k Konkrecj prolemu musi ć le nie jes ż k źle śm musieli ecowć się jką konkrenie msę i jką słą sprężsości wierm. Dl poci się ch słch wprowim mis wkłego csu wielkość o niego proporcjonlną ω. Słą ω wierem chwilę. Dieląc równnie einiujące prękość pre ωmm ω ω Wswijąc prękości o równni prspieseniem mm ω m mω k cli: k mω Ter wić jk opłci się wrć ω. Ocwiście k k mω ω cli : k m Równni różnickowe: sją się ro smpcne!!!! Różne icne osclor sprowiliśm o jenego równni. Njpross lgorm ewolucji: użwn jes w owoch wiereń o isnieniu i jenoncności rowiąni ukłu równń różnickowch. Nie srjąc się o wielką precję uwżm że po poieleniu porenego kresu n n kwłków wielkość prrosu sje się owronie proporcjonln o n. Prros eż jes proporcjonln o /n łą wglęn prrosu jes eż /n łą ewglęn prrosu proksmownego ilocnem pochonej jes /n. Sum łęów po oniu n skłników jes /n więc możn ją ucnić owolnie młą pre więcie osecnie użego n.
Jeśli chcem licć np. okłnością cr o koniecność rowżni kroków może nie wgląć chęcjąco. Isnieje nlnie pros sposó ulepseni lgormu. Precież użo liżsm prw jes unnie że prękość w śroku preiłu j. w punkcie: / / / lepiej nje się o określeni prrosu ek n cłm preile niż prękość n pocąku preiłu!!!! Zem ecujem się n lgorm ewolucji: /. Słowmi: N pocąku nm lko wrość pocąkową wsskich skłowch. Znm więc prękość włącnie pocąkową jko poc. Z jej pomocą prliżm gie ęie po połowie ocink csu nsępnie w m punkcie licm jesce r cli skość min i opiero ę wrość mnożm pre unjąc o lepse prliżenie kcnego prrosu. Pre prsąpieniem o oliceń uslm jesce jeen k kór ęie niełm sprwinem okłności. Oóż różnickujm sumę kwrów: Jes on sł w csie ewolucji. N pocąek jm en emśln lgorm. Krok wiąłem rin. Wić że sum kwrów rośnie. Ale wglą ruchu jes cłkiem cłkiem... Zmin nku nsępuje pomię. G koś słsł o licie π powinien ć owolon. Poonie wkres leżności wglą jk osclcj.
^^ 99 99 99 97 97 99 96 9 6 9 96 9 9 6 9 9 8 8 6 7 8 8 66 79 7 8 79 66 76 77 89 9 77 7 87 6 97 6 87 88 78 6 7 88 996 8 7 8 9 9878 886 68 89 988 67 898 8 9 7 7 87 9 87 6 7 86 6 6 8 7 8 9 76 7 6 8 8 8 8 8 66 96 9 67 88 8 8 9 7 7 96 8 6 96 968 6 7 6 97 88 77 7 7 8 7677 88 697 8 768 68 96 8 6 9 68 9 97 9 7 97 9 98 96 8 8 98 9 79 9 79 9 87 9 9 87 7 77 78 8 7 6 6 6 6 6 6 7 79 UWAGA Wrości ujemne wpiswne są e nku minus le o n cerwono! Możn się wić łwo smemu mniejsjąc krok o. Arkus się włuż re ukrwć cęść wiers lo gnić po rkusu w e i we we co n wkłie jes nieogone. Niewąpliwą onką polepseni okłności jes ncne mniejsenie różnic mie sum kwrów jenką. Preję o nowego rkus lepsm lgormem. Oo on: 6
^^ 99 99 99 98 97 8 96 9 9 9 98 9 6 8 877 6 8 6 88 7 797 67 6 76 8 7 68 78 698 9 66 7 78 6 8 8 8 9 97 869 89 7 9 99 66 9 96 6 7 978 986 677 8 8 99 9979 68 6 8 9997 9 6 7 8 998 99 7 8 8 98 97 9 79 96 9 6 7 99 98 9 6 887 867 8 86 866 96 6 6 777 7 669 6 76 7 677 7 6 77 66 9 89 6 6 8 89 7 7 88 69 96 7 8 97 78 7 9 7 9 96 8 7 97 7 98 86 6 99 8 6 998 87 6 9997 8 6 6 7 8 Ter sum kwrów różni się o opiero n -m miejscu po precinku. Że wncć miejsce erowe unkcji opisującej ruch mienim osni krok w rurce A k w rurce E mieć ero. Wrość csu ω wnosi 6. Trochę mło jk n pi. Brkuje 6 cli prwie %. Zmniejsm krok o. Więksość wiers n poniżsm igrmie jes schown: Ujwnione są pocąkowe i końcowe wierse 7
^^ 9998 9996 999 9998 9999 9 9 6 Osni krok 9 jes orn k wrość położeni w komórce E7 oprowić o er. Wrością klucowego - jes 9.. kuć i orć w ień więcie9 o plonów niem e ruu... Mimo swej proso meo jes ro skuecn. Zuwżm że pr kroku sum kwrów w okolicch 8± różnił się o o niecłe /. Ter sum różni się lewie o /. Zuwżm eż że po csie ω 9... ciło wróciło o położeni pocąkowego prękość jenie mienił nk. Cł proces okłnie się powór i po kolejnm ω 9 wrunki pocąkowe oworą się łącnie e nkiem prękości. Bn ruch jes preo ruchem okresowm. Ciło rg okresem T * 9 / ω A er oiecne whło icne. Jk pmięcie e skoł kże jk możn o nchmis oworć prspiesenie liniowe whł w kierunku scnm wnosi g sinϕ. Prspiesenie liniowe o kże l ϕ. Zem: ϕ g l sin ϕ ω Wprowjąc cs ϕ sinϕ sin ϕ ω mm osecnie: Dl młch mpliu sinus ką możn sąpić smm kąem i mm o smo równnie co poprenio. A co użmi mpliumi??? W isniejącm pliku klkulcjnm wsrc ron poprwk. Tre w ormułch n prros wpisć SIN. I o wssko! Wpisujem A*F-A*SINE/ w pocji C i -A*SINEA*F/. Dl osclor hrmonicnego nie ło ego SIN. Nie ło o prspiesenie ło określone pre nie pre jego sinus. Prwo chowni energii wiąże er kw- 8
r prękości wsokością ną cosinusem ką. Wrunki pocąkowe wgonie jes er wiąć kie prękość poc. ką pocąkow ł uż np. Pi*/8. ^*-COS 9 866 9 866 87 77 76 7 879 6 6 89 8 6 96 96 98 6 87 9 96 6 7 8 9 878 679 8 676 96 89 7 9 77 979 76 8 87 99 66 9 97 9 7 997 7 98 9 68 9 98 7 7 6 96 6 9 6 9 87 97 889 7 9 77 76 66 8 98 6 67 67 7 9 6 9 6769 9 698 8 69 77 7 8 968 7 7 766 7 77 6 9 78 7 9 96 689 66 8 88 66 6 66 69 76 77 7 8 7 9 98 9 8 9 88 6 7 9 7 899 8 6 6 79 99 8 8 98 9 7 8 996 78 98 66 9 88 99 7 87 78 98 88 76 6 687 96 87 69 7 9 9 97 7 8 98 96 98 9 6 98 6 6 89 7 7 8 88 7 8 87 89 97 866 99 99 9
Powżs rkus jes olicon l wchleni ± j. l π. Tk ormuł jes wpisn 8 w pocji E choć n powżsm wruku wiim jej wrość 9. Po pół okresu prękość wrc o pocąkowej wrości. M o miejsce l 7Pi. Onc o iż okres whń jes łużs o 7% o okresu młch rgń. Wpisnie owolnego ką wchleni pocąkowego powl n nchmisowe uielenie opowiei n wsskie pni. Wróćm jenk o osclor hrmonicnego. Wncliśm jego ruch. Pojwił się ciekwe unkcje csu reukownego ω okresowe mienijące się w preile o o o okresie *9... Nie m ch nikogo n ej sli ko nie nł ch unkcji lo ko nie omślł się że kie sme unkcje wsępują e w innch sucjch w scególności w rgonomerii. Z minukę en wiąek usnowim. Prpomnijm iż e wglęu n równni: prros sum kwrów jes wklucon: C sm wrość ej sum wncon jes pre wrunek pocąkow. N płscźnie owej poosjem w csie ruchu n okręgu o promieniu C. Tre er określić jk się en punk premiesc wr upłwem csu. To łwe. C Zem : φ ϕ φ C φ C Z rsunku ocujem : C sin φ C cos φ ω φ
Prechoąc o wkłch miennch mm C sin ω φ ω ωc cos ω φ Korsjąc e nnch worów n unkcje rgonomercne sum kąów mm: C sin ω φ C sin φ cos ω C cos φ sin ω ω ωc cos ω φ ωc cos φ cos ω ωc sin φ sin ω Dwie owolne słe: mpliuę i ę możem jeśli wgoniej sąpić pocąkowmi wrościmi położeni i prękości: C sin φ ωc cos φ cos ω C cos φ cos ω ωc sin φ sin ω sin ω cos ω sin ω ω cos ω ω sin ω Jes o komplene rowiąnie prolemu ruchu osclor. Powsje pnie c woec isnieni i o k sosunkowo prosego rowiąni nlicnego wro ło jmowć się rowiąniem numercnm? No cóż. To kwesi gusu. W powżsm poejściu ię głosem Fenmn. Jes sereg le uświomieni soie jk prcują równni ruchu. Jeną korści ło nieml nchmisowe e żnego wsiłku prejście o osclor hrmonicnego o nhrmonicnego. Inn sprw o sme unkcje sinus i cosinus. Wje nm się że wiem cemu one są równe. Ale k nprwę rgonomerii o m lko wiim n rsunku jki jes ich sens licow policć o soie możem l c 6 sopni. Włśnie osnio mój wnuk mnie opuje o cuje się nieswojo no co o jes en sinus l le jkiego ką? Ocwiście w presłości mąr luie roili lice isij w le klkulorku ocm wrość sinus jm n o rin. A m soie smi policliśm! Zgląm o eli n sronie 7 krokiem i w rurce E mm wliconą pomocą opercji cso rmecnch wrość 8. Tle smo co wsęie! W wniku n ruch osclor wre są eż wżne wniki n pochone ch unkcji. Po prosu wiim że pochoną sinus jes cosinus cosinus minus sinus. Dwukrone różnickownie kżej ch unkcji kże ich owolnej komincji liniowej je powroem ę sm unkcję le minusem. Ziór włsności
ϕ ϕ ; ϕ ϕ ϕ einiuje jenoncnie unkcję. T unkcj wsępuje w nsej kolumnie E. T unkcj nw się sinus. T sm unkcj powl wiąć współręną punku n okręgu ługością opowieniego łuku. Funkcje rgonomercne grją k win rolę w ice że wro już er pokć jesce jeną ich włsność. Nie jes runo uskć sereg poęgow l sinus i cosinus. Punkem wjści niech ęie sereg l unkcji wkłnicej: e!!!! L Możn go uskć wpros einicji lic e i woru n wumin Newon. Z rowinięci ego wnik poswow włsność unkcji wkłnicej minowicie o iż jej pochon równ się smej unkcji. To wić. Kż cłon różnickown m mniejsą poęgę wkłnik n jeżżjąc o licnik skrc się osnim cnnikiem n! W minowniku. Tm smm kż wr rowinięci smej unkcji pojwi się w seregu pochonej le że cłon poęgą pochoi cłonu poęgą i. G seregu poęgowego unkcji wkłnicej oswim soie sme poęgi prse lo sme nieprse opiero wukrone różnickownie je nów unkcję wjściową. Nwją się one sinus hiperolicn i cosinus hiperolicn: sinh L!!! cosh L!! Mm sereg ocwisch relcji: cosh sinh sinh cosh sinhcoshe ; cosh- sinhe - ; sinh e - e - /; cosh e e - /; Jeseśm lisko! Pore nm lko nku minus pr preprowniu jeen unkcji w rugą. Osiąg się o mienijąc seregi l unkcji hiperolicnch n seregi npremienne.
7 sin L!!! 7! 6 cos L!! 6! Pr wukronm różnickowniu kż cłon reproukuje en wceśniejs le że kż wceśniejs sąsieni m preciwn nk! Elegncki wór osje się korsjąc lic espolonch. Poniewż i ; i i; i więc wić co się ieje po wswieniu i o seregu poęgowego l poswowej unkcji wkłnicej. Wr o poęgch poielnch pre nie mieniją się e poosłe prse mieniją nk. Grupują się w sereg l cosinus. Wr o nk osją mnożnik i e posci K osją mnonik i. Po włąceniu i osjem sereg l sinus: Słnn wór Euler: e i cos i sin pisn l π rmi i wier njwżniejsch lic: iπ e e π i! Jes eż ocwiście Uupełnienie preen l enujsów e sin e cos i i e i e Dl osó ineresownch olicenimi numercnmi jącmi włę n różnmi nierowiąwlnmi nimi mechniki poję e owou meoę ncnego ulepseni oliceń. Zsnwijąc się n lgormem ewolucji: / i i
możn ojść o prekonni że skoro już porim lepiej licć prros niż niwnie o cemu nie sosowć ego lepsego prliżeni o oliceni prękości w śroku preiłu? / / No cóż. W powżsm wore śroek preiłu jes wncon okłniej le rugiej sron wrość prękości w smm śroecku choć njokłniej nnm wcle nie pokrw się wrością prękości śreniej jącej ścisłą wrość prrosu. Dlego reci meo liceni prrosu m ką smą wrość priori jk meo rug. Jes jenk nieco inn i c możn ego wciągnąć jkąś korść? Mąr luie uwżli i uowonili że jeśli uupełnić e meo liceni prrosów o jesce jeen pooru ro ł o prjmując prękość min wrość prękości n końcu preiłu wnconego recią meoą: / / o ch cerech różnch sposoów uśrenijąc opowienio możn uskć reul super okłn Zpism o w sposó prejrs. Rowżm różne prros p p p p : p ; p p/ ; p p / ; p p Wrescie weźm śrenią wżoną ch cerech prrosów: p p p p p / 6 O ile prros p je ścisł wnik w jenm kroku lko we g rowiąnie jes unkcją liniową csu prros p we g rowiąnie jes owolną unkcj kwrową jk w ruchu jenosjnie prspiesonm o prros p określon powżej jes ścisł l kżego rowiąni kóre ło wielominem -ego sopni w csie. Dl innch równń i innch rowiąń łą pojencego kroku jes sopni -ego w preile csu łą sum sopni -ego. Dlego wr e wrosem lic preiłów okłność ej meo rośnie jk /n. A oo rkus klkulcjn l osclor uown w oprciu o en lgorm krokiem /
-^^ E - - - - 998 99 E-8-99 - 99-98 - 99-9867 987 8E-8 98-97 - 97-96 - 97-9 9 E-8 96-9 - 9-9 -9 9-89 96 E-8 9-9 9-9 - 88-8 9-79 8778 69E-8 6 88-8 8-8 - 8-6 8-66 8 8E-8 7 8-6 8-6 8-6 76-6 8-6 6 768 97E-8 8 76-6 7-68 7-68 7-7 7-68 776 6967 E-7 9 7-7 66-7 66-7 6-78 66-7 78 66 E-7 6-78 8-8 8-8 -8 8-8 87 E-7-8 -87-87 -89-87 89 6 E-7-89 -9-9 6-9 -9 9 66 7E-7 6-9 -9-9 7-96 -9 966 67 8E-7 7-96 -98-97 7-99 -98 98 6997 9E-7 7-99 -99-99 7 - -99 9979 77 E-7 6 7 - - - - - - 9997 9 E-7 7 - - -8 - -8 - - -99-8 - 9966 88 E-7 8 - -99-8 -99-8 -98 - -97-8 -98 978 7 E-7 9 - -97-8 -96-8 -96 - -9-8 -96 96 9 6E-7 - -9-7 -9-7 -9 - -9-7 -9 99 6 8E-7 - -9-6 -89-6 -89 - -86-6 -89 86 8 9E-7 - -86 - -8 - -8-9 -8 - -8 88 88 E-7-9 -8-6 -78-6 -78-67 -7-6 -78 77 6667 E-7-67 -7-7 -7-7 -7-7 -68-7 -7 676 779 E-7-7 -68-77 -6-77 -6-8 -6-77 -6 987 8 E-7 6-8 -6-8 -6-8 -6-86 - -8-6 8689 6E-7 7-86 - -88-7 -88-7 -9 - -88-7 78 97 7E-7 8-9 - -9-8 -9-8 -9 - -9-8 99 9 9E-7 9-9 - -96-9 -96-9 -97 - -96-9 9 9796 E-7-97 - -98-9 -98-9 -99 - -98-9 98999 E-7 9-99 - - -9-99 -9 - - - -9 8 999 E-7 9 - - - - - - - - - E-7 Mimo -kronie więksego kroku okłność jes o rą wielkości leps niż w popreniej meoie. A porównując poprenią meoą m smm krokiem wiim rewelcjn wros okłności. Lic pi mis 6 wchoi nm 9 woec prwiwej 9... Kolumn ngłówkmi i ją okłne poną licą cr wrości sinus i cosinus w cłm preile o o 8± wlicone co rin. W rie pore kż wrość pośreni może e ruu ć eż wlicon. Wsrc wpisć opowieni prros w opowienie miejsce w kolumnie -sej.
6 Cłk oncon może ocwiście ć uwżn rowiąnie njprossego możliwch równń różnickowch w punkcie pr wrunku pocąkowm. Pon powżej ość wrinown meo njowni okłnego pojencego kroku wn meoą Runge Ku -ego ręu je się w m wpku wrić sprwź ro prosm worem: 6 Zocm co ją omwine r meo l cłki n n n l kolejnch poęg n. Ścisł wnik o kolejno. Meo niwn je: Jej użwnie m cech msochimu Meo nieco ulepson je:...7 Dl cęści liniowej wnik jes ścisł le cłon kwrow po scłkowniu ęąc sopni owrn jes lko w 7% Meo R-K 6 je:. Wrźnie wić porżjącą skuecność meo. Dopiero pią poęg w wniku jes ocenin nieściśle jes prescown le i k lko o %!