Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk
TEORIA, OZNACZENIA, WZORY
Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa wartśc cech statstcze mar asmetr (skśśc) - wzaczaą słę skupea wartśc cech statstcze blże dle lub góre grac zbru wartśc mar spłaszczea (kcetrac) - wzaczaą słę skupea wartśc cech statstcze wkół wartśc przecęte
Ozaczea { e, e,..., e} -elemetwa zbrwść statstcza X, Y, Z. cech statstcze,, z wartśc cech statstczch wartść, aką przmue cecha a -tm elemece zbrwśc
Średa artmetcza - Dla małe zbrwśc statstcze (bez keczśc grupwaa dach w szereg rzdzelcz): zacza tą bserwacę ze zbru bserwac dwdualch. - Dla zbrwśc statstcze pgrupwae w szereg rzdzelcz: k K k k k k K zacza k t warat cech lub śrdek k-teg przedzału. zacza lść waratów cech statstcze
Średa gemetrcza harmcza dla spsu dach... g Średa gemetrcza wraża sę wzrem: Średa harmcza wraża sę wzrem: - szereg rzdzelcz... K K k k k g K k harmcza - sreda, h h
Grafcze wzaczae md prz pmc hstgramu f() M
Waraca Merz a śred rzrzut wartśc zmee lswe d e wartśc średe. Ituce waraca utżsamaa est ze zróżcwaem zbrwśc. ) ( ) ( s ) ( ) ( s K k k k k K k k k k
Odchlee Odchlee rzumem ak różcę mędz dwema wartścam (tuce zacza dchlee ede wartśc d druge). Odchlee stadardwe psue rzrzut wartśc zmee lswe wkół średe artmetcze. s ( ) s ( )
Reguła trzech sgm Regułę trzech sgm rzpatruem w parcu własśc rzkładu rmaleg: w przedzale d średa-3s d średa+3s zawera sę kł 99% bserwac, w przedzale d średa-s d średa+s zawera sę kł 95% bserwac, w przedzale d średa-s d średa+s zawera sę kł 68% bserwac.
Ilustraca reguł trzech sgm
Tpw bszar zmeśc Tpw bszar zmeśc awązue d reguł trzech sgm Tpw bszar zmeśc ma awększe zastswae w przpadku, gd dae są wraźe skupe wkół wartśc średe Tpw bszar zmeśc ma pstać: [ s( ), + s( )]
Pzce mar rzprszea Współczk zmeśc frmue sle rzprszea. Klascz współczk zmeśc: V s s( ) 00%
współczk asmetr Pearsa Współczk te mże zstać blcz tlk wted, gd mżlwe est wzaczee md. W s s M
współczk asmetr Pearsa Współczk te est blcza wted, gd emżlwe est wzaczee md. W s s M e
Iterpretaca współczków asmetr W s 0 rzklad smetrcz W s > 0 asmetra prawstra W s 0 asmetra lewstra
Etap badaa statstczeg Plawae badaa (wzaczee celu) Uzskwae dach Ocea akśc pprawśc dach (czszczee dach) Grupwae dach Prezetaca tabelarcza dach Prezetaca grafcza (p. hstgram) Wbór wzaczee mar pswch (pzce, rzprszea, asmetr) Wsk kńcwe (pdsumwae)
Keruek współzależśc Keruek współzależśc mże bć: - ddat wraz ze wzrstem wartśc cech X rsą też wartśc cech Y ( a dwrót) - uem wraz ze wzrstem wartśc cech X maleą wartśc cech Y ( a dwrót)
Rdzae współzależśc Fukca - zmaa wartśc zmee X pwdue ścśle kreślą zmaę wartśc zmee Y Stchastcza - wraz ze zmaam wartśc zmee X zmea sę rzkład prawdpdbeństw zmee Y Krelaca - kreślm wartścm zmee X są przprządkwae średe z klku wartśc zmee Y
Tablca krelaca
m - lczebsc brzegwe zmee X gdze : m - lsc waratw zmeey - lczebsc abslute (tle bserwac alez d - teg waratu zmee X raz d - teg waratu zmee Y) r - lczebsc brzegwe zmee Y gdze : r - lsc waratw zmee X r m - lczebsc calkwta
Rzkład brzegwe warukwe Rzkład brzegw prezetue strukturę wartśc ede zmee (X lub Y) bez względu a kształtwae sę wartśc druge zmee. Rzkład warukw prezetue strukturę wartśc ede zmee (X lub Y), pd warukem, że druga zmea przęła kreślą wartść.
Średe brzegwe r m
Warace brzegwe ) ( ) ( s r r
Średe warukwe Dla zmee X Y : r Dla zmee Y X : m
Waraca warukwa m m s ) ( ) ( ) ( : X Y zmee Dla r r s ) ( ) ( ) ( : Y X zmee Dla
Tablca krelaca wzaczae krelac Jeśl wraz ze wzrstem kkretch wartśc ede zmee mża zabserwwać wzrst warukwch średch druge zmee, t fakt te śwadcz steu krelac (współzależśc) ddate mędz tm zmem....... r ALBO...... r...... m...... m
Tablca krelaca wzaczae krelac Jeśl wraz ze wzrstem kkretch wartśc ede zmee mża zabserwwać spadek warukwch średch druge zmee, t fakt te śwadcz steu krelac ueme mędz tm zmem....... r > ALBO >... > >... > r...... m > >... > >... > m
Mar sł krelac Natmast d pmaru sł krelac służą astępuące welkśc: - Współczk zbeżśc Czuprwa, - Współczk krelac lwe Pearsa.
Współczk zbeżśc Czuprwa Służ d kreślea sł zależśc, bądź stwerdzea e braku. Nestet NIE mża prz eg pmc wskazać keruku współzależśc.
Współczk zbeżśc Czuprwa Wraża sę astępuącm wzrem: T T χ ( r )( m ), gdze : - calkwta lczebsc badae ppulac r - lczba waratw cech X m - lczba waratw cech Y χ - tzw. "statstka CHI kwadrat"
Statstka CHI kwadrat χ ( ) ˆ r m r m ( ˆ ˆ ) ˆ - czestsc teretcze
Współczk zbeżśc Czuprwa Jeśl T T 0, t badae cech X Y są stchastcze ezależe (brak współzależśc). Jeśl T T, t badae cech X Y łącz zależść fukca (całkwta współzależść).
Współczk krelac lwe Pearsa Jest pwszeche stswaą marą sł zwązku prstlweg mędz dwema cecham merzalm (zmee tpu cągłeg). Prz eg pmc mżem wkrć ede prstlwą współzależść mędz zmem (NIE krzwlwą). Służ zarów d kreślea sł zależśc, ak też d wskazaa e keruku.
Współczk krelac lwe Pearsa Wraża sę astępuącm wzrem: r r cv(, s( ) s( ) ) cv(, ) tzw. kwaraca zmech X Y s() dchlee stadardwe zmee X (dla rzkładu brzegweg zmee X) s() dchlee stadardwe zmee Y (dla rzkładu brzegweg zmee Y)
Współczk krelac lwe Pearsa Ostatecze kwaraca zmech X Y kreśla est w astępuąc spsób: dla spsu dach (bez tablc krelace) ) ( ), cv( dla szeregu rzdzelczeg (tablca krelaca) ) ( ), cv( r m Y, - srede brzegwe zmech lswch X
Współczk krelac Pearsa Jeśl r r 0, t badae cech X Y są ezależe pd względem lwśc (brak współzależśc prstlwe, c e wklucza stea zależśc krzwlwe). Jeśl r r, t badae cech X Y łącz całkwta zależść prstlwa ddata. Jeśl r r -, t badae cech X Y łącz całkwta zależść prstlwa uema.
Mar krzwlwśc D współczków merzącch współzależść krzwlwą ależą: - współczk krelac rag Spearmaa ϕ - współczk Yule'a - współczk V Cramera - współczk ktgec C Pearsa
PRZYKŁADY ZADAŃ
ZADANIE Przeprwadź aalzę statstczą dla astępuące zbrwśc pracwków pd względem cech X (X mesęcze wagrdzee pracwków w frme ABC). Dae uszeregwa w pstac szeregu rzdzelczeg: { ($300, ) ; ($400, ) ; ($500, 4) ; ($600, 3) } - Przedstaw pwższ szereg rzdzelcz w tabel rbcze, sprządź hstgram raz wzacz mdę. - Oblcz zterpretu astępuące mar statstcze w pdae zbrwśc: - średa artmetcza - tpw bszar zmeśc - współczk asmetr Pearsa
ZADANIE Przebada małą zbrwść pracwków pd kątem cech statstczch: X staż prac Y wagrdzee. Rezultat badaa przedstaw w tablc krelace: Y 000-00 00-400 400-600 SUMA X \ --------- 0-0 -4 0 5 0 4-6 0 4 SUMA ----------
ZADANIE - Uzupeł tablcę krelacą - Wzacz rzkład warukw zmee X Y 500. - Sprawdź prz pmc współczka krelac lwe Pearsa cz mędz zmem X Y zachdz współzależść. Zterpretu trzma wk.