MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Wykład 9 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę celu jest więcej wart niż maraton dobrych chęci. H. J. Brown Wstęp Jeden z twórców mechaniki (klasycznej). Pierwsza zasada dynamiki o układach inercjalnych Rys. Transformacja Galileusza Układy inercjalne są sobie równoważne. Rys. Portret Galileo Galilei (1564 164) Giusto Sustermans 1
Mechanika relatywistyczna
Mechanika relatywistyczna 3
Mechanika relatywistyczna 4
Mechanika relatywistyczna 9.1 TEORIA ETERU W XIX wieku uważano, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w hipotetycznym ośrodku - zwanym eterem, wypełniającym całą przestrzeń (cały kosmos) łącznie z ciałami materialnymi. 5
Jeżeli inny układ odniesienia poruszałby się względem eteru z prędkością v, to mierzona w tym układzie prędkość światła, zgodnie z transformacją Galileusza, powinna wynosić:, v eteru c' c v c' c v c' a) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest taki sam b) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest przeciwny Sol Mechanika relatywistyczna c v Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońca z prędkością liniową v 30 km/s (9,79 km/s ). Zakładając, że Ziemia porusza się względem eteru, czas potrzebny na przejście światła pomiędzy dwoma punktami przy powierzchni Ziemi powinien zatem zależeć od kierunku ruchu światła. Jeżeli istnieje eter, to czy ma on określoną prędkość? Ziemia v eteru 6
9.. Doświadczenie Michelsona-Morley a Mechanika relatywistyczna c.d. Próbę wykrycia zależności prędkości światła od ruchu układu odniesienia podął w roku 1881 Albert Michelson. Doświadczenie miało wykryć ów ruch eteru - jako różnicę w odbieranej prędkości światła (powinna się ona zmieniać dla różnych kierunków ruchu Ziemi i różnych kierunków ustawień układu doświadczalnego). W swoich pomiarach korzystał z precyzyjnego przyrządu zwanego interferometrem Michelsona. Próba zmierzenia zmian w prędkości światła, gdy Ziemia porusza się względem eteru: c±vz Mierzono czas przelotu PZ1P i PZP: L c v z P c v z c v z 1 (9.1) L1 (9.) gdzie: v z 1 oraz c 1 (9.3) 7
Doświadczenie Michelsona-Morleya c.d. Bieg promienia oglądany przez nieruchomy eter: (9.4) (9.5) 8
Doświadczenie Michelsona-Morleya c.d. Przy założeniu istnienia eteru obraz interferencyjny w polu widzenia ulega zmianie przy obrocie, oczekujemy: Obracając cały układ o 90 stopni zwierciadła Z1 i Z zmieniają się rolami i różnica czasów jest równa: (9.6) Brak zmian w obrazie interferencyjnym! Prędkość światła nie dodała się do prędkości Ziemi. Wniosek Michelsona: hipoteza o stacjonarnym eterze jest błędna. W roku 1887 Albert Michelson z pomocą Edwarda Morleya powtórzyli eksperyment. Wynik znowu był negatywny. 9
Mechanika relatywistyczna Wnioski z doświadczeń Michelsona Morleya Doświadczenia Michelsona były wykonane tylko po to by wykazać ruch Ziemi względem eteru. Dały wynik negatywny. Wniosek mógł być tylko jeden: ETERU NIE MA! Doświadczenia wykazały, że nie ma wyróżnionego absolutnego układu odniesienia, który pozwalałby określać ruchy absolutne. Nie dały też jakichkolwiek podstaw do wyciągnięcia wniosku o absolutnym charakterze prędkości światła. 10
Mechanika relatywistyczna Trudności z interpretacją wyników doświadczenia Michelsona-Morley a rozwiązał Albert Einstein Rys. Albert Einstein (1879-1955), jako człowiek stulecia z okładki magazynu Time. W 1905 roku opublikował pracę pt.: Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Ann. Physic 17, 891-91 (1905) ( O elektrodynamice ciał w ruchu ). W pracy tej wyłożył podstawy szczególnej teorii względności, rewolucyjnie zrywającej z założeniami mechaniki klasycznej (Newtonowskiej). 11
POSTULATY EINSTEINA Einsteina niepokoiły również rozbieżności między równaniami teorii elektromagnetycznej i mechaniki klasycznej -> jakie zmiany w klasycznych pojęciach czasu i przestrzeni trzeba wprowadzić, aby prędkość światła była jednakowa w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia i aby równania teorii elektromagnetycznej miały taką samą formę dla wszystkich obserwatorów inercjalnych. 9.3 POSTULATY EINSTEINA Za podstawę swojej szczególnej teorii względności (w1905r.) Einstein przyjął dwa postulaty, (będące częściowo wnioskami z doświadczenia Michelsona - Morley a): 1. Zasada względności. Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia;. Postulat o stałej prędkości światła Prędkość światła w próżni nie zależy od prędkości obserwatora i źródła światła i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia. Postulat 1 oznacza, że wszystkie inercjalne układy odniesienia są takie same, nierozróżnialne. Postulat oznajmia, że prędkość świtała c jest uniwersalną stałą, jak stała grawitacji G czy ładunek elementarny e. Według ostatnich pomiarów prędkość światła (w próżni) wynosi: 1
Mechanika relatywistyczna Prędkość światła w ośrodku zależy od elektrycznych i magnetycznych własności tegoż ośrodka. W przypadku próżni mamy zależność: 1 c (9.7) 0 0 gdzie ε 0 to podatność elektryczna, μ 0 podatność magnetyczna próżni. Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzory transformacyjne, opisujące przejście między układami nieruchomym O (x, y, z) i ruchomym O (x, y, z ) i vice versa. Wzory te noszą nazwę transformacji Lorentza, na pamiątkę holenderskiego fizyka i matematyka Hendrika Lorentza (1853-198), który wyprowadził je wcześniej. 13
9.4. Transformacja Lorentza Mechanika relatywistyczna Rozważmy dwa układy współrzędnych, poruszające się względem siebie z prędkością v : W mechanice klasycznej byłoby (transformacja Galileusza) : x' x vt y' y z' z t' t (9.8) Postulat Galileusza o jednakowym przebiegu czasu w układach inercjalnych jest z punktu widzenia postulatów teorii względności niesłuszny. Szukamy takiej transformacji współrzędnych, żeby w obu układach współrzędnych wiązka światła miała prędkość. c Transformacja Galileusza, oparta na założeniach mechaniki klasycznej, musi być zastąpiona w teorii względności przez inną transformację, którą nazywamy transformacją Lorentza. 14
Mechanika relatywistyczna W chwili początkowej t = t 0 = 0 początki obu układów pokrywały się. Punkt x porusza się razem z układem (x, y, z ). x' Transformacja Lorentza (wzory): x' y' z' t' t y z x 1 v c 1 vt v c v c x (9.9) Otrzymaliśmy wzory opisujące przejście (transformację) z układu O do O. Łatwo otrzymać wzory na transformacje odwrotną przejście od układu O do O, zamieniając prędkość v -> -v. 15
Wzory na transformacje odwrotną : (9.10) x y z t z' Mechanika relatywistyczna x' v t' v 1 c y' v t' x' c v 1 c (9.10*) v ; c 1 Prędkość światła c nie zmienia się, jest niezależna, mówimy jest inwariantna względem transformacji Lorentza. Zauważmy, że gdy prędkość układu jest mała w porównaniu z prędkością światła v << c to wzory na transformacje Lorentza (wzory 8.8) przekształcają się we wzory na transformację Galileusza. Mechanika klasyczne okazuje się być granicznym, szczególnym przypadkiem mechaniki relatywistycznej. Transformację Lorentza (9.10 lub 9.10*) można w krótszej postaci przepisać wprowadzając ozn. (9.11). z' z' z z 1 t' ( t x) c x' ( x vt), (9.11) 16
Transformacja czasu - wyprowadzenie Mechanika relatywistyczna c.d. Skorzystamy z postulatu o równouprawnieniu obu układów odniesienia. Transformacja odwrotna do transformacji (8.8) powinna więc mieć postać (8.9): (9.1) (znak + odpowiada przeciwnemu kierunkowi ruchu układu nieprimowanego względem primowanego ). Podstawiając wyrażenie (8.8*) do wzoru (8.9) znajdujemy: (9.13) skąd, wyznaczamy czas t : (9.14) (9.15) 17
Transformacja Lorentza Czynnik występujący przy współrzędnej x można wyrazić jako: (9.16) Transformację czasu określa więc wyrażenie: (9.15) (9.16) (9.17) Ostatecznie wzory opisujące transformacji Lorentza: (9.9*) 18
Transformacja Lorentza c.d. Transformacja Lorentaza przechodzi w transformacje Galileusza Mając wzory opisujące odwrotną transformację Lorentza (9.10): Gdy prędkość względna ruchu obu układów jest znacznie mniejsza od prędkości światła, V << c, powyższa transformacja Lorentaza przechodzi x x' vt' t t ' v x c ' 1 ~ 1 v 1 c x x' vt' w transformacje Galileusza. t t' 19
9.5. DYLATACJA CZASU Mechanika relatywistyczna c.d. Rozpatrzymy teraz dwa inercjalne układy odniesienia (rys. obok). Układ x,y ( primowany ) porusza się względem układu pierwszego x,y ( nieprimowanego ) ze stałą prędkością V wzdłuż osi x, przy czym w chwili początkowej oba układy się pokrywają. Zbadamy zagadnienie pomiaru czasu w obu układach, zakładając słuszność postulatów Einsteina. Dany odstęp czasu można wyznaczyć np. na podstawie przebytej przez światło odległości. W układzie współrzędnych x y znajduje się pręt o długości L, ustawiony wzdłuż osi y, na końcu którego jest umocowane zwierciadło. W uklładzie x y ( własnym), światło przebywa drogę OZO w czasie: (9.18) 0
Czas Względność czasu i długości c.d. przebiegu światła w układzie nieprimowanym określa wzór: (9.19) (9.0) (9.1) 1
Względność czasu c.d. (9.) lub ' (9.3) Zatem czas trwania zjawiska, zachodzącego w pewnym punkcie przestrzeni - mierzony w układzie odniesienia, względem którego ten punkt się porusza jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt spoczywa. ' gdzie: 1 v 1 c Obrazowo-> zegar poruszający się spóźnia się w stosunku do zegara w spoczynku. Ta zmiana czasu o czynnik (8.5) nazywana jest DYLATACJĄ (WYDŁUŻENIEM) CZASU. I jest to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji zegara świetlnego. Również wszystkie procesy fizyczne (chemiczne; i biologiczne!) muszą być spowalniane w ruchu. (9.4)
Dylatacja czasu Przykład 1 3
9.6. KONTRAKCJA DŁUGOŚCI Kontrakcja długości Przyjmijmy teraz, że w primowanym układzie znajduje się nieruchomy pręt, skierowany wzdłuż osi x, na końcu którego jest umocowane zwierciadło (rys. poniżej (a)). W układzie tym długość pręta L można wyrazić wzorem: (9.6) gdzie τ - czas przebiegu impulsu świetlnego z punktu O do zwierciadła Z i z powrotem (do O ). 4
Kontrakcja długości c.d. b) W układzie nieprimowanym (rys (b)) dla ruchu światła w dodatnim kierunku osi x mamy zależność: (9.7) (9.8) Podobnie, dla ruchu światła odbitego od zwierciadła (rys. (c)), otrzymujemy: c) (9.9) gdzie: τ - czas, w jakim impuls świetlny powrócił do punktu O. Stąd: (9.30) Całkowity czas τ przebiegu impulsu świetlnego jest więc równy: (9.31) 5
Kontrakcja długości c.d. Długość pręta L w układzie nieprimowanym można więc wyrazić wzorem: (9.3) Dzieląc stronami równanie (7.19) przez (7.13) znajdziemy: (9.33) Biorąc pod uwagę wzór (7.9), opisujący dylatację czasu, otrzymuje się: (9.34) czyli: (9.35) 6
Względność czasu i długości c.d. Jak wynika z ostatniego wzoru, L < L. Wobec tego długość ciała - mierzona w układzie odniesienia, względem którego ciało się porusza - jest w kierunku ruchu mniejsza niż jego długość mierzona w układzie, w którym ciało spoczywa. Efekt ten nazywa się KONTRAKCJĄ (SKRÓCENIEM) LORENTZA. Wniosek: Pojęcia czasu i odległości nie mają w teorii względności absolutnego znaczenia, ponieważ są one zależne od wybranego układu odniesienia. Jednoczesność W : opisanym eksperymencie skróceniu uległ pręt poruszający się (zmienił się czas trwania zjawiska) jednak ruch ze stałą prędkością nie wyróżnia w żaden sposób żadnego układu jako bezwzględnego, a w obu obserwatorzy zauważą skrócenie pręta! Przyczyną fizyczną tego, że pręt wydaje się krótszy dla obu obserwatorów jest fakt, że zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego (w opisanym przykładzie założyliśmy, że położenie obu końców zostało zmierzone równocześnie!). 7
Mechanika relatywistyczna 9.7. Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej W mechanice relatywistycznej czas przestaje odróżniać się od współrzędnych przestrzennych. Czas pomnożony przez prędkość światła c staje się dodatkową współrzędną. Przestrzeń zamienia się w czasoprzestrzeń 4 wymiarową (4D):. Weźmy dwa różne punkty w czasoprzestrzeni. Kwadrat odległości dwóch punktów w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształcenia (transformacji) Lorentza. (9.36) (9.37) Wielkość zdefiniowaną zależnością (9.37) nazywamy interwałem czasoprzestrzennym. 8
Współrzędne przestrzenne Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej x, y, z i współrzędna czasowa t wszystkich możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń o współrzędnych ct, x, y, z nazywamy ją czasoprzestrzenią lub przestrzenią Minkowskiego. Rys. przedstawia dwu wymiarowy rzut czterowymiarowej (4D) czasoprzestrzeni Minkowskiego (1908). Pionowa oś to oś czasu; pozioma współrzędną przestrzenną. Linia przerywano to linia świata obserwatora. Górna środkowa ćwiartka, to zbór przyszłych możliwych, widzialnych zdarzeń dla obserwatora (przyszłość), dolna środkowa ćwiartka to zbiór przeszłych zdarzeń (przeszłość), punkt przecięcia oznacza teraźniejszość. Dwie środkowe ćwiartki oznaczają obszary czasoprzestrzeni niedostępne dla obserwatora (c skończone!). Punkty oznaczają zdarzenia w czasoprzestrzeni. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego. Stożek świetlny. 9
t dt dx Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej Rys. przedstawia górną część czasoprzestrzeni, dla które czas jest dodatni, czyli od teraźniejszości w przyszłość. Na rysunku zaznaczono zdarzenie teraźniejszości i trzy zdarzenia w przyszłości: a) wewnątrz stożka świetlnego, b) na zewnątrz stożka świetlnego oraz c) na stożku świetlnym. dt Kolorem zielonym zaznaczono obszar na zewnątrz stożka światła. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszości do przyszłości. dx x Wzór na interwał czasoprzestrzenny przybierze postać: (9.38) 30
t dx Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej Na rys. ukazano trzy możliwe wartości interwału (współrzędne: t, x) : a) interwał typu czasowego, może istnieć związek przyczynowo skutkowy między zdarzeniami, zdarzenia leżą wewnątrz stożka świetlnego (rys. linia czerwona), rzeczywisty; dt ct x ( s) 0 (9.39) Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszości do przyszłości. dx dt x b) interwał typu przestrzennego, nie ma związku przyczynowo skutkowego między zdarzeniami, zdarzenia wewnątrz i na zewnątrz stożka świetlnego (rys. linia niebieska), zespolony; ct x ( s) 0 (9.40) c) interwał zerowy, zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym, zdarzenia na pobocznicy stożka świetlnego (rys. linia żółta). ct x ( s) 0 (9.41) 31
Mechanika relatywistyczna Czasoprzestrzeń Równanie stożka świetlnego: (9.4) Zdarzenie (teraźniejszość) "gdzie indziej" Punkt w czasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata, a zbiór punktów opisujących przemieszczenia danego ciała w czasie i przestrzeni tworzy linię świata. Linie te mieszczą się wewnątrz stożka zwanego stożkiem świetlnym lub stożkiem Minkowskiego. Stożek świetlny lub stożek Minkowskiego Stożek ten określa przeszłość i przyszłość zdarzenia O. Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłości, ani nie mogą mieć w przyszłości; nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyczynowym. 3
Ze szczególną teorią względności związane są zjawiska, sprzeczne z fizyką klasyczną i wykraczające poza nasze codzienne doświadczenie. Zjawiska te obserwujemy jedynie wówczas, gdy mamy do czynienia z prędkościami, porównywalnymi do prędkości światła. 9.8. Relatywistyczne dodawanie prędkości według Einsteina Zajmiemy się przypadkiem gdy cząstka ma już pewną prędkość w układzie odniesienia xyz. Sprawdzimy jaką prędkość u zmierzy obserwator w układzie x y z, jeżeli układy odniesienia x ' poruszają się względem siebie ze stałą prędkością v, tzn. v = const. Z transformacji Lorentza otrzymujemy : x' x vt oraz Różniczkując te wyrażenia na współrzędne czasoprzestrzeni: dx' dx vdt Dzieląc te równania przez siebie, otrzymamy: gdzie: u x dx dt dx' dt' dx vdt dt v otrzymamy: u' u v Dla / c 0 i u v ' t c t v c dx 1 v c x v dt' dt c v u x u x x ux dx Jest to wzór Einsteina na dodawanie prędkości. ' (9.43) (9.44) (9.45) 33
Relatywistyczne dodawanie prędkości c.d. Przykład Jaka jest prędkość fotonu w układzie odniesienia XYZ ( w spoczynku względem laboratorium), jeżeli ma on prędkość c w układzie odniesienia X Y Z, poruszającym się z prędkością v względem układu XYZ? Zakładamy, że foton porusza się równolegle do osi OX Rozwiązanie: Zgodnie z transformacją relatywistyczną prędkości: u u' v c v c( c v) c v u' v c c v 1 1 c c Otrzymany wynik wskazuje, że nie istnieje taki układ odniesienia, w którym foton byłby w spoczynku. Nawet dla v = -c, u = c. Składając prędkości nigdy nie przekroczymy prędkości światła. Gdy prędkości są małe, w porównaniu z prędkością światła, z równania otrzymujemy klasyczna wartość: u= u +v. 34
Mechanika relatywistyczna 9.9. Elementy dynamiki relatywistycznej 9.9.1. Masa w mechanice relatywistycznej. Jak opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, jest prawdziwa? W klasycznej dynamice (Newtona) przyjmuje się, że masa ciała jest niezależna od jego prędkości, tj. jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia. Przypomnijmy postacie II zasady dynamiki Newtona: F ma F dp dt Einstein ( w 1905r) wniósł istotną poprawkę do założeń Newtona, stwierdzając, że w mechanice relatywistycznej masa ciała zmienia się z jego prędkością. Jej wartość w układzie, w którym ciało ma prędkość wynosi: v d( mv) dt (9.46) Zależność masy od prędkości (9.47) m 0 We wzorze tym ma stałą wartość i nazywa się masą spoczynkową ciała (mierzoną w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa), m- nazywamy relatywistyczną masą ciała.. 35
m m 0 3 Mechanika relatywistyczna Zmiana masy przy małych prędkościach jest znikoma. Masa cząstki rośnie wraz z prędkością od v~0,5c i zmierza do nieskończoności gdy V c. 1 0,5 1 v c m Rys. Zależność czynnika Lorentza od stosunku prędkości v. Klasyczna definicja pędu: Nowa definicja pędu: która zapewni prawdziwość zasady zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu współrzędnych, podana przez Einsteina. m 0 Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych. 9.9.. Pęd w mechanice relatywistycznej p mv, gdzie jest prędkością ciała. p mv m 0 v v 1 c v c (9.48) 36
Mechanika relatywistyczna 9.9.3. Relatywistyczna zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły. Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do kierunku ruchu. Zależność prędkości v ciała od czasu t obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona: d F m v 0 1 Po scałkowaniu zależności (7.48) otrzymamy: m v 1 v c v c dp dt Fdt F t C (9.49) (9.50) 0 (9.51) gdzie C-stała całkowania. Zakładając, że dla t=0, v=0, otrzymamy C=0. Rozwiązując (na tablicy) równanie (7.49) względem v, otrzymamy zależność: Ft v( t) (9.5) F t m0 1 m c 0 37
Mechanika relatywistyczna v( t) Ft m 0 v( t) m 0 1 Ft F t m c 0 Rys. Zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą. 38
Mechanika relatywistyczna 9.9.4. II zasada dynamiki w postaci relatywistycznej (9.53) (9.54) (9.55) 39
Mechanika relatywistyczna 9.9.5. Relatywistyczna energia kinetyczna (9.56) (9.57) (9.58) 40
Mechanika relatywistyczna (9.59) (9.60) Po scałkowaniu porządkujemy otrzymane wyrażenie. (9.61) 41
Mechanika relatywistyczna Uwzględniając granice całkowania, otrzymujemy wzór na energię kinetyczną: (9.6) (9.63) E m Według Einsteina ten drugi człon: 0 0c ma sens energii spoczynkowej ciała wielkości, której istnieniu zawdzięczamy m.in. bombę atomową... wzór Einsteina: lub wyraża równoważność masy i energii. 4
Mechanika relatywistyczna Przykład. Potwierdzenie słuszności związku wyrażającego równoważność masy i energii. W wyniku zderzenia dwóch jąder złota energia kinetyczna jąder zamienia się w masy tysięcy cząstek powstałych w zderzeniu, zgodnie ze wzorem: 43
Mechanika relatywistyczna Czy dla małych prędkości wzór na energię kinetyczną przejdzie w klasyczne wyrażenie? (9.64) (9.65) (9.66) (9.67) Otrzymaliśmy wzór przybliżony na energię kinetyczną, który można stosować tylko dla małych prędkości (małych w porównaniu z prędkością światła; v<<c). 44
Mechanika relatywistyczna c.d. 9.10. ZWIĄZEK ENERGII, PĘDU I MASY (9.67) (9.68) (9.69) Związek energii całkowitej, pędu i masy spoczynkowej. Stąd: (9.70) Wzór ten przyjmuje szczególnie prostą postać dla cząstek o zerowej masie spoczynkowej, m0 =0, które poruszają się w każdym układzie odniesienia z prędkością światła (np. fotony, neutrina). Zachodzi wówczas związek: E=cp. 45
Czterowektory w czasoprzestrzeni Jeśli w powyższym wyrażeniu pęd określimy przez współrzędne : (9.71) otrzymamy czterowektor energii-pędu : (9.7) (9.73) (9.74) (9.75) 46
Mechanika relatywistyczna Transformacja Lorentza pędu i energii ma podobną postać do transformacji współrzędnych i czasu: (9.76) Prędkość światła jest graniczną prędkością: żadne ciało o różnej od zera masie spoczynkowej nie osiągnie tej prędkości. 47
Mechanika relatywistyczna 9.10.1. Cząstki o zerowej masie spoczynkowej Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej! Należą do nich np. FOTONY kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak cząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, choć nie mają masy masy spoczynkowej! Korzystając ze wzoru: podstawiając m 0 E otrzymujemy: p c p E c 4 m c związek między pędem i energią takiej bezmasowej cząstki. Korzystając ze związku: p u E c m 0 (9.77) (9.78) (9.79) stwierdzimy, że prędkość cząstki o masie spoczynkowej musi wynosić! c 48
Mechanika relatywistyczna 9.11. Ogólna teoria względności- wybrane zagadnienia. Podany dotąd przepis na mechanikę relatywistyczną nazywamy szczególną teorią względności. została ona całkowicie opracowana przez Einsteina w 1905 r. Ogólna teoria względności była opracowana później, poczynając od 1911 r., przez Einsteina. Jest ona nowoczesną, relatywistyczną teorią grawitacji. Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie odróżnić jednej od drugiej). Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność masy odkształca otaczającą ją przestrzeń i wobec tego poruszające się w takiej przestrzeni ciała mają tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń ( normalne w ruchu krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitacyjnych! Inną konsekwencją tej teorii są np.: - powiększenie się długości fali światła emitowanego przez źródło, mające masę grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni; - zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy. 49
Mechanika relatywistyczna Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje odkształcenie czasoprzestrzeni, a odkształcona czasoprzestrzeń wyznacza ruch poruszających się w niej mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych obiektów przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej. Zaburzenie ruchu planet przez ugięcie czasoprzestrzeni w pobliżu ciał o dużej masie Ilustracja koncepcji o ugięciu czasoprzestrzeni w pobliżu ciała o dużej masie zakrzywiającego czasoprzestrzeń. 50
Dziękuję za uwagę! 51