Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście sygnału przez system liniowy, stały w czasie należy interpretować jako wykonanie operacji splotu na sygnale. Dla sygnałów dyskretnych wyróżnia się pojęcie splotu liniowego i splotu kołowego. W ćwiczeniu będą badane właściwości obu tych splotów w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości. 2. Wprowadzenie Splot liniowy dwóch sygnałów dyskretnych x [ n] i [ n] h jest operacją przemienną oznaczaną gwiazdką i jest zdefiniowany jako następująca suma splotowa [] n = x[] n h[] n = x[][ k h n k] = h[] n x[] n = h[][ k x n k] y, n =, K, 1,, 1, K, k = k = M Splot liniowy dwóch sygnałów skończonych { x [ n] } 1 K i { [ n] } 1 (1) h o liczbach próbek odpowiednio M i K charakteryzuje się trzema przedziałami czasu: - przedziałem czasu, w którym zachodzą początkowe procesy przejściowe, trwa stan nieustalony; - przedziałem czasu, w którym trwa stan ustalony; - przedziałem czasu, w którym zachodzą końcowe procesy przejściowe, trwa stan nieustalony. Jedna z właściwości dyskretno-czasowego przekształcenia Fouriera jest taka, że splotowi liniowemu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie widm sygnałów w dziedzinie częstotliwości y DTFT i arg X [] [] [] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) + j arg H ( e n = x n h n Y e = X e H e = X e H e e ) (2) Odmianą splotu jest splot kołowy (ang. circular convolution). Wzór definiujący splot kołowy jest następujący y 1 [] n x[] n h[] n = x[] k h[ ( n k) mod ], n =, 1, K, 1 = k = (5) x [] [] Splatane kołowo sygnały n, h n mają próbki widma określone prostym dyskretnym przekształceniem Fouriera (DFT) x 1 DFT [] n X [] k = x[] n e 2π j kn 1 DFT, y[] n Y[] k = y[] n e 2π j kn, k =, 1, K, 1 (7)
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 2/7 Jedna z właściwości dyskretnego przekształcenia Fouriera jest taka, że splotowi kołowemu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie próbek widm y DTFT i arg X [ k ] + j arg H [k [] n = x[] n h[] n Y[] k = X [] k H[] k = X [] k H[] k e ], k =, 1, K, 1 (8) W badaniach właściwości splotów liniowego i kołowego będzie przydatny interfejs graficzny sploty. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 1. Jako splatane sygnały x [] n i h [ n] można wybrać z zagłębionych menu takie przyczynowe, skończone sygnały jak: - delta Kroneckera; - impuls prostokątny (cztery próbki); - zaliasowany sinc, M = 4 ; - sinusoida rzeczywista sin( 2π,1n ); - sinusoida zespolona exp( j2π, 1n) ; - szum gaussowski; - tablica lub funkcja MATLABa argumentu n 1, 1 m 1,, 1 = 1. Liczba próbek sygnału 2 64 jest zmieniana suwakiem lub poprzez wpis wartości w polu edycyjnym. Rys. 1. Okno interfejsu graficznego sploty Zadane sygnały oraz ich widma są wykreślone w lewej kolumnie okna interfejsu. Części rzeczywiste próbek wykreślono niebieskimi ciągłymi kreskami zakończonymi kółkami, a części urojone próbek wykreślono czerwonymi przerywanymi kreskami zakończonymi krzyżykami. W przypadku widm sygnałów, część rzeczywistą widma
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 3/7 wykreślono niebieską linią ciągłą, część urojoną widma wykreślono czerwoną linią przerywaną i moduł widma wykreślono zieloną linią ciągłą. W prawej kolumnie okna interfejsu wykreślono wynik splotu liniowego y[] n = x[] n h[] n oraz wynik splotu kołowego y[ n] = x[ n] h[ n] wraz z widmami. W przypadku splotu kołowego wykreślono widmo DTFT (widmo dla jednego okresu wyniku splotu) oraz próbki widma DFT (widmo wyniku splotu kołowego powtarzanego okresowo). a tych częstotliwościach, które odpowiadają próbkom DFT widma splotu kołowego, naniesiono też próbki widma splotu liniowego. Te próbki widma splotu liniowego nie mają nic wspólnego z DFT wyniku splotu liniowego, gdyż wynik splotu liniowego ma na ogół inną długość niż wynik splotu kołowego i jego próbki wypadają na zupełnie innych częstotliwościach. Właściwości splotu liniowego i splotu kołowego zilustrujemy następującymi przykładami. Przykład 1. Sygnał dyskretny bardzo łatwo można opóźnić splatając go z odpowiedzią impulsową linii opóźniającej, czyli z opóźnioną deltą Kroneckera δ [ n K ]. W przypadku sygnału cyfrowego oznacza to przesunięcie próbek sygnału o odpowiednią liczbę pozycji w buforze. Jeżeli krótki sygnał x [] n jest splatany z rzadkim ciągiem delt Kroneckera h [ n] (rzadkim, tzn. odstępy między deltami Kroneckera są większe niż czas trwania krótkiego sygnału x[] n ), to wynikiem splotu jest powtarzający się w chwilach występowania delt Kroneckera sygnał x[] n. a rys. 1 pokazano wynik splotu krótkiego sygnału { x [] n } = { 3ˆ, 2, 1,,K} z rzadkim ciągiem delt Kroneckera h[ n] = δ [ n] + δ [ n 4 ] + δ [ n 1]. Wynikiem jest sygnał x[] n powtarzający się począwszy od pozycji K =, 4, 1. Gdyby sygnał x[] n splatać z okresowym ciągiem delt Kroneckera o okresie równym czasowi trwania sygnału x[ n], to otrzymamy sygnał okresowy, w którym jeden okres równa się sygnałowi x[] n. Przykład 2. Zbadamy stan ustalony i procesy przejściowe zachodzące w systemie o prostokątnej odpowiedzi impulsowej { h [ n] } = { 1ˆ, 1, 1, 1} pobudzonym sygnałem sinusoidalnym x[] n = sin ( 2π, 1n) o liczbie próbek równej 26. Wynik splotu liniowego sygnałów x [] n i h [ n] ma długość 26+4-1=29 i jest taki jak rys. 2. h n = 1ˆ, 1, 1, 1 jest liniowo-fazowym filtrem System o odpowiedzi impulsowej [ ] { } { } ω dolnoprzepustowym o stałym opóźnieniu grupowym τ ( e j ) = 1, 5 około 3 na częstotliwości sinusoidy,1 j2π,1 f, H ( e ) 3 = g i wzmocnieniu równym. Dlatego przypuszczamy, że poza przedziałami czasu odpowiadającymi początkowym i końcowym procesom przejściowym (każdy z nich trwa tyle, jak długi jest krótszy ze splatanych sygnałów, tutaj krótszy jest h [] n ), a więc w przedziale czasu odpowiadającym stanowi ustalonemu, sygnał wyjściowy równa się sinusoidzie wejściowej opóźnionej o 1,5 taktu i wzmocnionej około 3 razy. Wyniki eksperymentu pokazane na rys. 2 potwierdzają te teoretyczne przypuszczenia.
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 4/7 Rys. 2. Splot sygnałów x[] n sin( 2π, 1n) = i h [ n] = { 1ˆ, 1, 1, 1} Przykład 3. Zbadamy sploty sygnałów x [ n] = { 1ˆ, 2, 1} i h [ n] = { 1ˆ, 2}. Wyniki splotu liniowego i kołowego tych sygnałów pokazano na rys. 3. y n = x n h n jest taki jak to pokazano w prawym górnym Splot liniowy sygnałów [] [ ] [ ] y o długości M + K 1 = 3 + 2 1 = 4. Widmo DTFT sygnału y [] n jest iloczynem widm DTFT sygnałów x [ n] i h[ n]. Wszystkie widma mają w zerze wartość równą sumie próbek i na krańcach ( f = ±,5 ) wartość równą sumie próbek z co drugą próbką o zmienionym znaku. rogu rys. 3. Jest to sygnał [] n = { 1ˆ, 4, 5, 2}
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 5/7 Rys. 3. Sploty sygnałów x [] n = { 1ˆ, 2, 1} i h [ n] = { 1ˆ, 2} Splot kołowy sygnałów y[] n x[ n] h[ n] rogu na rys. 3. Jest to sygnał { y n } = 3ˆ, 4, 5 = jest taki jak to pokazano w prawym dolnym [] { }. Ponieważ splatane kołowo sygnały muszą mieć taką samą długość, to krótszy z sygnałów został automatycznie uzupełniony zerami do = 3, czyli wzięto { h [] n } = { 1ˆ, 2, }. Widmo DFT Y [ k] = X [ k] H[ k] sygnału y[] n to iloczyn DFT sygnałów x [n] i h [n] obliczonych przy tej samej wartości parametru = 3. Jest interesujące, że chociaż wyniki y[] n splotu liniowego i kołowego są zupełnie różne i mają różne widma DTFT, to zgodnie z teorią widmo DFT splotu kołowego jest próbkami równającymi się próbkom widma DTFT splotu liniowego Y ( e ) (próbki te nie mają jednak nic wspólnego z DFT splotu liniowego). Do jakiej minimalnej długości należałoby uzupełnić zerami sygnały x [] n i h [] n, aby ich sploty liniowy i kołowy były takie same? Jeżeli sygnał x [ n] ma M próbek i sygnał h [ n] ma K próbek, to obydwa te sygnały należy uzupełnić zerami do liczby próbek minimum = M + K 1, aby wynik splotu kołowego był taki sam jak splotu liniowego. W przypadku, gdy M = 3, K = 2, to parametr powinien mieć wartość minimum = 3 + 2 1 = 4. Dlatego sygnał x [] n należałoby uzupełnić jednym zerem i sygnał h [ n] należałoby uzupełnić dwoma zerami.
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 6/7 3. Wykonanie ćwiczenia 1. Wybierz dowolny krótki sygnał, spleć go z rzadkim ciągiem delt Kroneckera i pokaż podobnie jak w przykładzie 1, że wynikiem splotu liniowego jest krótki sygnał powtarzający się w odpowiednich miejscach na osi n. Pokaż, że sygnał okresowy jest wynikiem splotu liniowego krótkiego sygnału (o czasie trwania równym jednemu okresowi) z okresowym ciągiem delt Kroneckera. Sporządź rysunki dla sygnałów tylko w dziedzinie czasu (bez widm). Czy opóźnianie sygnałów dyskretnych i cyfrowych jest operacją trudną czy łatwą do zrealizowania w porównaniu z opóźnianiem sygnałów analogowych? 2. Dowolnego kształtu skończony sygnał splatany wielokrotnie sam z sobą x x xk szybko daje w wyniku sygnał zmierzający kształtem do impulsu Gaussa (ma to związek z centralnym twierdzeniem granicznym, podobnie splatanie ze sobą wielu impulsów o różnych kształtach da w wyniku impuls przypominający kształtem impuls Gaussa). Wybierz dowolnego kształtu krótki sygnał i splataj go wielokrotnie ze sobą (3-5 razy). Pokaż, że uzyskiwany w wyniku kolejnych splotów liniowych sygnał ma kształt coraz bardziej zbliżony do impulsu Gaussa. 3. Zbadaj stan ustalony i procesy przejściowe w splocie liniowym dowolnie wybranych sygnałów długiego i krótkiego podobnie jak w przykładzie 2. Pokaż na rysunku przedziały czasu odpowiadające procesom przejściowym i stanowi ustalonemu. Zinterpretuj uzyskane wyniki. 4. Wybierz dowolny sygnał x [] n z M próbkami i splataj go z sygnałem h[] n = δ [ n K ], przy określonej wybranej przez siebie wartości > M. Zwiększaj K co 1. Obserwuj wynik splotu liniowego i kołowego. Zmierz wartość K, począwszy od której wynik splotu kołowego różni się od splotu liniowego (obowiązuje tu zależność = M + K 1). arysuj te różniące się wyniki splotu liniowego i kołowego. Zinterpretuj na okręgu wynik splotu kołowego. Opisz jak zmieniają się widma wyniku splotu liniowego i kołowego w miarę zwiększania opóźnienia K. 5. Porównaj wyniki splotu liniowego i kołowego dla dwóch wybranych przez siebie krótkich sygnałów przyczynowych o różnych długościach, podobnie jak w przykładzie 3. Oblicz sploty ręcznie. arysuj sygnały i ich widma wspomagając się interfejsem graficznym sploty. Przedyskutuj uzyskane wyniki, czy wyniki splotów maja przewidywaną długość, czy widma pomnożyły się? 6. Wykaż eksperymentalnie (sporządź rysunki sygnałów w dziedzinie czasu), że uzupełniając sygnały z poprzedniego punktu odpowiednią liczbą zer spowodujemy, iż wyniki splotów liniowego i kołowego będą takie same. 4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany x [] [] a) { x[] n } = { sin ( 2π,125n) },1,..., 8, [ n] b) { x[] n } = { sin ( 2π,125n) },1,..., 8, [ n] Oblicz i wykreśl splot liniowy [] n x[ n] h[ n] 1. Są dane sygnały n i h n : { h } = { 1ˆ, 1} ; { } = { 1ˆ, 1} h. y l =. a wykresie zaznacz trzy charakterystyczne przedziały czasu. Sprawdź, czy w stanie ustalonym sygnał ma oczekiwaną amplitudę i opóźnienie (wynikające z transmitancji systemu H ( e )). Podaj wzór na sygnał wyjściowy w stanie ustalonym.
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 7/7 2. Są dane sygnały x [] n i h [] n : a) { x [] n } = { 1, 1,, { h [] n } = { 1, ˆ, 1} ; b) { x [] n } = { 1, 1, 1}, { h [] n } = { 1, ˆ, 1}. Oblicz i wykreśl splot liniowy y l [ n] = x[ n] h[ n] i kołowy [ n] x[ n] h[n wykreśl widma Y l ( e ) (DTFT), k [ k] Y e = X e H e, [ k] X [ k] H[ k] iloczynami ( ) ( ) ( ) l y k = ]. Oblicz i Y (DFT). Pokaż, że te widma są następującymi Y k =. Pokaż, że uzupełniając sygnały zerami (jaka jest minimalna liczba tych zer?) otrzymamy wynik splotu kołowego taki sam jak splotu liniowego. x [] [] 3. Są dane sygnały n i h n : a) x [] n = { 1,, h [] n = { 1, 1ˆ }; b) x [] n = { 1, 1}, [] n = { 1, 1ˆ } h. n Oblicz i wykreśl splot liniowy [ ] = x[ n] h[ n] i kołowy [ n] x[ n] h[n wykreśl widma Y ( ), Y ( e ) l e k y l y k = ]. Oblicz i. Pokaż, że określone próbki obu widm są sobie równe. Pokaż, że uzupełniając sygnały zerami (jaka jest minimalna liczba tych zer?) otrzymamy wynik splotu kołowego taki sam jak splotu liniowego.