EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 2012

EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 2012 Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 2012

Redaktor Wydawnictwa: Dorota Pitulec Redaktor techniczny: Barbara Łousiewicz Korektor: Barbara Cibis Łamanie: Małgorzata Czuryńska Projekt okładki: Beata Dębska Publikacja dofinansowana rzez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego Publikacja jest dostęna na stronie www.ibuk.l Streszczenia oublikowanych artykułów są dostęne w międzynarodowej bazie danych The Central Euroean Journal of Social Sciences and Humanities htt://cejsh.icm.edu.l oraz w The Central and Eastern Euroean Online Library www.ceeol.com, a także w adnotowanej bibliografii zagadnień ekonomicznych BazEkon htt://kangur.uek.krakow.l/ bazy_ae/bazekon/nowy/index.h Informacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa www.wydawnictwo.ue.wroc.l Koiowanie i owielanie w jakiejkolwiek formie wymaga isemnej zgody Wydawcy Coyright by Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 2012 ISSN 1507-3866 Wersja ierwotna: ublikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM Nakład: 200 egz.

Sis treści Wstę... 7 Anna Zięba, Gruowanie stresorów sołeczno-ekonomicznych z wykorzystaniem analizy skuień... 9 Roman Szostek, Uogólniony model Holta na rzykładzie rognozowania liczby asażerów w transorcie lotniczym w Polsce... 16 Wiktor Ejsmont, Wływ wiedzy zdobytej w szkole odstawowej na óźniejszy rzyrost wiedzy w liceum... 27 Marcin Łuiński, Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków notowanych na GPW w Warszawie... 40 Karolina Bartos, Sieć SOM jako rzykład sieci samoorganizującej się... 65 Recenzja Jadwiga Suchecka: Analiza wybranych asektów wyników egzaminu gimnazjalnego, Anna Błaczkowska, Józef Dziechciarz, Alicja Grześkowiak, Anna Król, Agnieszka Stanimir, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, Wroclaw 2012... 75 Summaries Anna Zięba, Grouing of social-economic stressors with cluster analysis... 15 Roman Szostek, Generalized Holt s model exemlified by the forecast on the number of air travellers in Poland... 26 Wiktor Ejsmont, Imact of knowledge acquired in elementary school on the subsequent increase of knowledge in high school... 39 Marcin Łuiński, Construction of sectral MACD oscillator for selected Polish banks stock rices... 64 Karolina Bartos, SOM neural network as an examle of the self-organizing neural network... 74

EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 2012 ISSN 1507-3866 Marcin Łuiński Uniwersytet Warszawski, Narodowy Bank Polski KONSTRUKCJA SPEKTRALNEGO OSCYLATORA MACD DLA WYBRANYCH CEN AKCJI BANKÓW NOTOWANYCH NA GPW W WARSZAWIE Streszczenie: Celem artykułu jest rezentacja sektralnej wersji oscylatora MACD zbudowanego z wykorzystaniem analizy sektralnej oraz metod filtracji szeregów czasowych traktowanych jako realizacje rocesów stochastycznych. W części teoretycznej racy rzedstawione zostały własności filtru Christiano Fitzgeralda, stanowiącego rzybliżenie filtru idealnego, który zastosowany został do konstrukcji wskaźnika MACD w domenie częstotliwości. Oracowany wskaźnik był używany do rognozowania unktów zmiany tendencji wybranych cen akcji banków notowanych na GPW w Warszawie. Jakość rognoz uzyskanych za omocą sektralnej wersji oscylatora MACD została orównana z rognozami uzyskanymi na odstawie standardowej wersji tego rodzaju indykatora. Otrzymane wyniki ozwalają stwierdzić, że sektralna wersja MACD ozwala na uzyskanie bardziej adekwatnych rognoz od wersji używanej dotychczas w analizie technicznej. Słowa kluczowe: analiza sektralna, filtry sektralne, unkty zmiany tendencji. 1. Wstę Celem niniejszego oracowania jest rzedstawienie rocesu konstrukcji i oeracyjnego wykorzystania sektralnego wariantu oscylatora MACD (Moving Average Convergence Divergence), stanowiącego omocnicze narzędzie w rocesie rognozowania unktów zmiany tendencji aktywów notowanych na GPW w Warszawie. W stosunku do ierwotnej wersji oscylatora zastosowano tu istotną modyfikację: różnica wykładniczych średnich ruchomych średnio- i krótkookresowych zastąiona została wynikami filtracji danych wejściowych uzyskanymi na odstawie liniowego, niesymetrycznego, środkoworzeustowego filtru sektralnego oracowanego rzez Christiano i Fitzgeralda [1999], będącego otymalnym rzybliżeniem filtru idealnego. Parametry tego filtru, niezbędne do wyliczenia oeracyjnego wskaźnika sektralnego MACD, ustalone zostały na odstawie analizy funkcji gęstości sektralnej wsomnianych danych wejściowych. Podejście takie zaewnia możliwość modelowego oisania własności uzyskanego oscylatora, ozwala także na uzyskanie większej elastyczności dzięki doasowaniu arametrów filtrowania do własności sektralnych szeregu oddawanego transformacji. Mając na uwadze rzeanalizowaną

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 41 literaturę tematu, można stwierdzić, że w niniejszej racy o raz ierwszy oisano zastosowanie tak skonstruowanego wskaźnika do rognozowania zmian tendencji wyceny aktywów notowanych na GPW. Hioteza badawcza definiująca ramy rzerowadzonych rac brzmi w nastęujący sosób: sektralny oscylator MACD ozwala na rognozowanie unktów zmiany tendencji z większą trafnością, niż ma to miejsce w rzyadku wskaźnika tradycyjnego, dzięki odwołaniu do modelu matematycznego liniowego, niesymetrycznego, środkoworzeustowego filtru ozwalającego na uwzględnienie własności cyklicznych szeregów czasowych, na bazie których jest on budowany. Aarat matematyczny zastosowany do konstrukcji rzedmiotowego oscylatora sektralnego obejmuje dwa odstawowe zakresy zagadnień: analizę sektralną rocesów stochastycznych oraz teorię otymalnego filtrowania. Zarys obu zagadnień zostanie rzedstawiony w drugiej sekcji niniejszej racy. Nastęnie zarezentowane zostaną własności rzekształceń używanych do obliczenia standardowego oscylatora MACD i towarzyszącej mu linii sygnalnej oraz ich odowiedników sektralnych. W sekcji tej rzedstawiony zostanie także ogólny algorytm konstrukcji sektralnego odowiednika MACD i linii sygnalnej. Część czwarta oświęcona jest oisowi danych finansowych użytych do oceny jakości rognozowania zaroonowanego wskaźnika. Część kolejna stanowi rezentację rocesu konstrukcji sektralnego wskaźnika MACD dla konkretnych szeregów cen akcji, w sekcji tej rzedstawiono również ocenę możliwości oeracyjnego wykorzystania utworzonego oscylatora do rognozowania unktów zmiany tendencji cen akcji wybranych banków notowanych na GPW. W ostatniej części racy zawarto konkluzje. 2. Metodologia zastosowana w badaniu 2.1. Analiza sektralna Celem analizy sektralnej jest ustalenie zbioru częstotliwości odowiedzialnych za zmienność badanego szeregu czasowego (rozumianego jako realizacja rocesu stochastycznego).wkład oszczególnych częstotliwości w siłę wahań szeregu ustalany jest dwojako: na odstawie eriodogramu bądź też na bazie estymatora gęstości widmowej rocesu, charakteryzującego ilość energii rzenoszonej rzez roces w ramach jego oscylacji z określoną częstotliwością. Poniżej rzedstawione zostaną okrótce obie odstawowe metody analizy sektralnej. Niech dany będzie roces stochastyczny, stacjonarny w szerszym sensie. Zgodnie z rerezentacją Cramera roces ten może być rzedstawiony w ostaci: µ ω ω ω ω, (1) Gdzie µ jest wartością oczekiwaną rocesu,ω i ω są rocesami stochastycznymi obserwowanymi w domenie częstotliwości, dla których ω 0,

42 Marcin Łuiński ω 0, ω ω, natomiast ω oznacza częstotliwość kątową (ulsację) mierzoną w radianach. Na otrzeby naszej analizy rzyjmuje się, że ω,. Rerezentacja ta wyraża wyjściowy roces jako nieskończoną ważoną sumę ortogonalnych funkcji okresowych ω i ω. W rzyadku obserwacji rocesu stochastycznego charakteryzującego się skończoną długością róby (N) oisana rerezentacja ma ostać rzybliżoną. Określana jest ona formułą: / a ω b ω, (2) gdzie, ω, 1,2,, /2. Parametry a,b oisujące wkład danej częstotliwości ω w wahania obserwowanego szeregu czasowego i jednocześnie miarę korelacji kosinusoidy/sinusoidy z obserwowanymi danymi obliczane są zgodnie z formułami: a ω, (3) b ω. Siła tego wkładu mierzona jest za omocą kwadratu wsółczynników ai b, wykres syntetycznej miary rzyorządkowanej odowiednim częstotliwościom ω nazywany jest eriodogramem. Dla danego rocesu stochastycznego można również badać w domenie częstotliwości jego funkcję autokowariancji. W rzyadku, gdy roces ten jest stacjonarny w szerszym sensie, jedynym argumentem tej funkcji jest rzesunięcie w czasie τ: τ τ, µ τ µ]. (5) Gdy suma sekwencji wartości bezwzględnych autokowariancji rocesu τ τ jest skończona, na jej odstawie może zostać obliczona tzw. funkcja gęstości sektralnej rocesu ϕ. Dla rocesów dyskretnych funkcja ta może zostać obliczona za omocą dyskretnej transformaty Fouriera (DTF): ϕ (4) τ τ τ. (6) Jako kombinacja liniowa elementów sekwencji τ τ zawiera ona te same informacje, które są dostęne w rzyadku funkcji autokowariancji, z tym że w rzyadku funkcji gęstości sektralnej rerezentowane są one w domenie częstotliwości. Obszar od wykresem funkcji gęstości sektralnej, obliczany dla zakresu,, może być interretowany jako wariancja wyjściowego rocesu ϕ. (7) Jeśli się weźmie od uwagę, że dla rocesów rzeczywistych ϕ jest symetryczna względem 0, formuła (7) może zostać zaisana w uroszczonej ostaci:

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 43 2 τ ϕ. (8) Próbując dokonać interretacji owyższego wzoru, możemy stwierdzić, że funkcja gęstości sektralnej określa rozkład wielkości wariancji rocesu w zależności od częstotliwości wahań notowanych w jego rzyadku. Proces obliczania gęstości sektralnej może być więc traktowany jako dekomozycja wariancji na składowe związane z oszczególnymi częstotliwościami oscylacji. Autokowariancja rocesu o indeksie τ może być odzyskana z funkcji gęstości sektralnej za omocą odwrotnej transformaty Fouriera: ϕ τ. W rzyadku osiadania obserwacji rocesu stochastycznego możliwe jest wyłącznie obliczenie estymatora funkcji gęstości sektralnej. Estymator ten wykorzystuje oszacowanie funkcji autokowariancji rocesu (5) dane wzorem: τ τ τ τ. (10) Liczony jest on dla skończonej ilości arametrów 1: ϕ ϕ τ (9) τ 1,,1,0,1 τ τ. (11) Biorąc od uwagę dwa owyższe fakty, można stwierdzić, że choć estymator funkcji gęstości sektralnej jest nieobciążony, nie jest on jednak estymatorem zgodnym. W związku z tym stosuje się niearametryczne metody estymacji funkcji gęstości sektralnej dążące do zaewnienia jego zgodności i minimalizacji wariancji. Klasyczna rocedura estymacji niearametrycznej została oracowana rzez Tukeya. Postuluje ona ważenie oszczególnych wartości autokowariancji τ ewnymi wartościami, które są symetryczne względem τ = 0 i maleją roorcjonalnie do wartości τ: τ τ τ τ. (12) Co więcej, owyżej ewnej wartości M (M τ) wartości wag są zazwyczaj równe zeru. Sekwencja wartości wag rzyorządkowana oszczególnym wartościom τ nazywana jest oknem. W literaturze znanych jest wiele ostaci okien: najbardziej znane to okno rostokątne, trójkątne, Tukeya-Hnninga, Bartletta oraz Parzena. Dobór rodzaju okna, jak i jego długości (M) uznawane jest za czynność eksercką, oartą na rzekonaniu osoby badającej charakterystykę szeregu dotyczącym rzybliżonego rzebiegu funkcji gęstości sektralnej. Użycie okna rowadzi bowiem do wystęowania dwóch efektów: utraty rozdzielczości (możliwości obserwowania zjawisk zachodzących częściej niż co 1/M), który to efekt zależy od długości sekwencji wag oraz wyciekania energii rocesu, czyli rzeływu gęstości sektralnej z częstotliwości istotnych na nieistotne, co z kolei jest ochodną kształtu okna. Biorąc od uwagę charakter badanych szeregów czasowych cen akcji, użyto okno Parzena, o relatywnie

44 Marcin Łuiński dużej długości, wygładzające sektrum w sosób łagodny, ozwalające na analizę badanych szeregów z dużą częstotliwością. Postać użytego okna jest nastęująca: 16 τ 6 τ 0 /2 21 1 /2. (13) Rys. 1. Okno Parzena (M = 50) Źródło: oracowanie własne. 2.2. Filtrowanie szeregów czasowych Procedura filtrowania rocesu stochastycznego olega na transformacji elementów tego rocesu zgodnie ze ściśle określonym algorytmem oisanym rzez zbiór formuł matematycznych. Algorytm ten może mieć charakter liniowy bądź nieliniowy, stacjonarny bądź niestacjonarny, obejmować skończony lub nieskończony, symetryczny bądź niesymetryczny zestaw składników rocesu stochastycznego oraz oierać się na rekursji lub zakładać jej brak. Znaczenie oszczególnych cech algorytmu filtrowania wyjaśnione zostanie w dalszej części oracowania. Filtr H transformuje elementy wejściowego rocesu stochastycznego do ostaci wyjściowej sekwencji składającej się na roces :. (14) Jeśli wynikiem filtrowania kombinacji liniowej rocesów jest kombinacja liniowa rzefiltrowanych wartości tychże elementów: X X ax X, (15) filtr taki nazywany jest filtrem linowym. Stacjonarność filtru zakłada rzemienność oeracji filtrowania i rzesuwania w czasie jego elementów:

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 45, (16) gdzie jest oeratorem oóźnienia o k okresów. W rzyadku filtru liniowego stacjonarność jest równoważna stałości arametrów filtru w czasie. Z kolei skończoność filtru (skończona amięć) oznacza uzależnienie jego wartości wyjściowych od ustalonej liczby elementów rocesu wejściowego:,,,,,, (17) gdzie k i l są określonymi liczbami całkowitymi. Filtr tego rodzaju nazywany jest również filtrem rostym. Jeśli konstruowany jest filtr symetryczny, to zachodzi równość wartości arametrów k i l. Rekursywność filtrowania zakłada wykorzystanie w rocesie obliczania wartości filtru dla okresu t jego l orzednich wartości,,,,,,,,. W naszych rozważaniach będziemy się zajmować filtrami osiadającymi jednocześnie nastęujący zestaw cech: liniowość, niestacjonarność, skończoność, brak symetrii oraz rekursji. Filtry takie mogą być rzedstawione w ostaci: bądź rościej: gdzie C(L) jest wielomianem oeratora oóźnienia., (20) W dalszej części oracowania zdefiniowane zostanie ojęcie filtru idealnego, a nastęnie określone zostaną trzy odstawowe rodzaje filtrów idealnych charakteryzujące się własnościami rzenoszenia częstotliwości rzydatnymi w rocesie konstruowania sektralnego oscylatora MACD. 2.2.1. Filtr idealny Filtr idealny zachowuje w ramach rocesu wyjściowego w niezmienionej formie wahania o wartościach częstotliwości należących do określonego zbioru, eliminując jednocześnie całkowicie wahania odowiadające wartościom częstotliwości soza tego zbioru. W jaki sosób określić, które częstotliwości mają być rzez idealny filtr rzeuszczane, a które eliminowane? Udzielając odowiedzi na to ytanie, orzemy się na analizie nieskończonego, liniowego, idealnego filtru stosowanego do dyskretnego rocesu stochastycznego. W takim rzyadku elementy wyjściowego rocesu stochastycznego mogą być zaisane jako suma slotowa elementów rocesu wejściowego oraz rocesu rerezentującego wagi filtru : (18) (19). (21)

46 Marcin Łuiński Z właściwości slotu wiadomo, że jego transformata jest iloczynem transformat slatanych rocesów. W związku z tym rerezentacja rocesu w dziedzinie częstotliwości wyglądać będzie nastęująco:, gdzie ω jest transformatą Fouriera rocesu rerezentującego filtrowanie. Funkcja ta jest określana w literaturze mianem funkcji transmitancji. Jeśli więc chcemy wytłumić określone częstotliwości, wystarczy rzyisać tym częstotliwościom wartość funkcji transmitancji równą 0, definiując ją jednocześnie dla ozostałych wartości na oziomie 1. Dążąc do uzyskania rocesu wyjściowego o odowiedniej charakterystyce, nakładamy więc restrykcje na sektralną rerezentację odowiadającego mu rocesu filtrującego. Restrykcje te mogą zostać rzeniesione do domeny czasowej, gdzie odbywa się rzeczywiste filtrowanie, orzez zastosowanie odwrotnej transformaty Fourierowskiej do funkcji transmitancji określonej dla oszczególnych ω. W ten sosób wyznaczone zostają wagi liniowego nieskończonego filtru idealnego, dla którego rzerowadziliśmy nasze rozważania. W celu dokładnego określenia własności filtru na bazie funkcji transmitancji liczone są dwie miary, określające odowiednio zniekształcenie amlitudy oraz rzesunięcie w fazie obserwacji filtrowanego rocesu charakteryzujących się określonymi częstotliwościami. Miary te to charakterystyka amlitudowa liczona jako moduł transmitancji ( ) oraz charakterystyka fazowa określana rzez argument (kąt) tejże funkcji ( ). Wartości wag liniowego nieskończonego filtru idealnego H mogą być interretowane jeszcze w inny sosób. Przyjmijmy, że jesteśmy w stanie określić dodatkową funkcję, tzw. zaburzenie imulsowe (rerezentujące jednostkowy szok w chwili czasu j) w zależności od numeru indeksu j: 1dla 0 0dla 0. W takim wyadku każda z wag może być interretowana jako funkcja odowiedzi filtru H na zdefiniowane owyżej zaburzenie jednostkowe: (22) (23). (24) Formuła (24) znana jest w literaturze od nazwą odowiedzi imulsowej filtru H. Po zdefiniowaniu konstrukcji filtru idealnego możemy określić trzy odstawowe warianty tego filtru, charakteryzujące się odowiednimi własnościami rzenoszenia funkcji częstotliwości. Pierwszy wariant to filtr dolnorzeustowy (low-ass), eliminujący z wyjściowego rocesu stochastycznego częstotliwości wyższe od częstotliwości granicznej. Transmitancja tego filtru określona jest wzorem: 1dla ω. (25) 0dla

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 47 Jednocześnie odwrotna transformata Fouriera funkcji transmitancji, czyli odowiedź imulsowa tego filtru, może być obliczona zgodnie z formułą: dla 0 dla HHwL 0 1. (26) - -w c w c w Rys. 2. Wykres funkcji transmitancji idealnego filtru dolnorzeustowego Źródło: oracowanie własne. Analogicznie definiowany jest filtr górnorzeustowy (high-ass), rzeuszczający wysokie częstotliwości, ocząwszy od. Transmitancja tego filtru określona jest wzorem: 1dla ω. (27) 0dla Odowiedź imulsowa ma bardziej skomlikowaną ostać, niż miało to miejsce w rzyadku orzednika: dla dla 0 gdzie jest dystrybucją delty Diraca. Trzeci wariant, najistotniejszy z unktu widzenia niniejszej analizy, to filtr środkoworzeustowy (band-ass), zachowujący wahania o częstotliwości z zakresu,. Związana z nim funkcja transmitancji ma ostać: 0, (28) ω 1dla 0... (29)

HHwL 48 Marcin Łuiński 1 - -w g w g w Rys. 3. Wykres funkcji transmitancji idealnego filtru górnorzeustowego Źródło: oracowanie własne. Z kolei odowiedź imulsowa dana jest wzorem: dla 0, dla 0 który może być łatwo wyrowadzony o zinterretowaniu filtru środkoworzeustowego jako złożenia dwóch filtrów HHwL dolnorzeustowych o częstotliwościach odcięcia odowiednio i. 1 (30) - -w b -w a w a w b w Rys. 4. Wykres funkcji transmitancji idealnego filtru środkoworzeustowego Źródło: oracowanie własne.

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 49 2.2.2. Otymalna aroksymacja filtru idealnego Zgodnie z formułą odaną w unkcie 2.2.1 filtr idealny realizowany jest jako nieskończona suma iloczynów wag tego filtru oraz elementów filtrowanego rocesu stochastycznego. W rzeczywistości filtr taki nie jest możliwy do realizacji ze względu na osiadanie rzez badacza skończonej ilości obserwacji szeregu czasowego. Potrzebne jest więc otymalne rzybliżenie filtru idealnego, ozwalające na jego oeracyjne wykorzystanie. Jedną z metod uzyskania takiego rzybliżenia jest zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do znalezienia minimum sumy kwadratów odchyleń wyjścia filtru idealnego i filtru rzybliżającego. min. Inna metoda obejmuje minimalizację odchyleń rerezentacji filtru zaisanej dziedzinie częstotliwości: π 1 min, (32) 2π π gdzie, są odowiednio funkcjami transmitancji filtru idealnego i aroksymującego. Wyrowadzenie formuły na otymalną aroksymację filtru idealnego dokonamy dla filtru liniowego. Jest on dany standardowym wzorem:. (31) (33) Rozwiązaniem naszego roblemu jest filtr liniowy o skończonej amięci:, (34) sełniający kryterium najleszego rzybliżenia rzyjmujące ostać minimalizacji kwadratu błędu odchyleń:. (35) Gdy mamy do czynienia z rocesami stochastycznym, kwadrat normy różnicy tychże rocesów wyznacza się za omocą wartości oczekiwanej:. (36) Jak zostało to okazane w racach [Gichman, Skorochod 1968; Wentzell 1980], rocesy,, i zaisane odowiednio jako kombinacja liniowa (33), (34) i kombinacja liniowa orzednich dwóch kombinacji stanowią rzestrzeń Hilberta. Procesowi (wektorowi) w takiej rzestrzeni może być rzyorządkowana norma,

50 Marcin Łuiński a co za tym idzie również iloczyn skalarny. W rzestrzeni Hilberta możliwe jest również wybranie ortonormalnej bazy, tj. zbioru wektorów składającego się ze wzajemnie do siebie rostoadłych elementów, osiadających normę równą 1. Poszukując najleszego rzybliżenia rocesu roziętego na nieskończonej bazie, możemy się orzeć na twierdzeniu o rzucie ortogonalnym. Twierdzenie to mówi, że roces tego rodzaju może zostać otymalnie rzedstawiony orzez kombinację liniową elementów skończonej bazy za omocą rostoadłego rzutu na odrzestrzeń roziętą rzez tę skończoną bazę. Wnioskiem z tego nieco zawiłego stwierdzenia jest o rostu równość wsółczynników stojących rzy odowiednich elementach bazy : dla,,0,,. (37) 0..,, 2,,. Poszukując B minimalizujących owyższą formułę, obliczamy jej ochodną względem tych zmiennych i rzyrównujemy ją do 0: 2,, Druga ochodna (38) równa jest: (38) 2, 0, (40) w z wiązku z czym mamy do czynienia z minimum. Biorąc od uwagę warunek (39), mamy więc k + l + 1 równań (wartości s), z których każde ma ostać: Wyrowadźmy tę zależność w sosób formalny. Wyrażenie (35) może zostać zaisane jako kwadrat normy w rzestrzeni Hilberta w ostaci iloczynu skalarnego: Jak wynika z owyższego, wartości zależą od, a także od doboru warto- zostać znacznie uroszczone. Otóż w takim wyadku, 1 dla ści arametrów k i l. Jeśli tworzą ortonormalną bazę, obliczenie wartości może oraz, 0 w rzeciwnym wyadku. Prawa strona równania (37) uraszcza się wtedy do, z kolei lewa rzyjmuje ostać:, co jest tożsame z formułą (37)., 0. (39),,. (41),,, (42)

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 51 Jeśli natomiast nie tworzą ortonormalnej bazy, ich układ oisany równaniami (41) również osiada unikalne rozwiązanie od warunkiem, że, 0. W rozwiązaniach raktycznych rocedura otymalizacji jest często rozszerzana orzez nałożenie dodatkowych warunków ograniczających na zbiór rozwiązań. Dwa odstawowe z nich to warunek symetrii ( oraz warunek sumowania wsółczynników do 0. Drugi z rzedstawionych warunków jest o tyle ważny, że zaobiega wystęowaniu zjawiska samowzbudzania filtru olegającego na dodawaniu do rzefiltrowanych danych wahań cyklicznych o określonej częstotliwości, które to wahania nie wystęowały w danych źródłowych. Stosując ten warunek w rocesie otymalizacji, otrzymujemy zmodyfikowaną formułę na wsółczynniki otymalnego rzybliżenia filtru idealnego: dla 1,,0,, 1 2 dla. (43) 2 dla 2.2.3. Przybliżenie filtru idealnego filtr Christiano Fitzgeralda Christiano i Fitzgerald zaroonowali ewne rzybliżenie idealnego filtru środkoworzeustowego orzez filtr asymetryczny o zmiennych wagach, który ozwala na wykorzystanie w rocesie filtrowania najświeższych danych osiadanych rzez badacza. Ta ostatnia cecha jest niezwykle istotna w rocesie analizowania danych w czasie rzeczywistym, w związku z czym właśnie filtr Christiano Fitzgeralda został użyty do konstrukcji sektralnej wersji oscylatora MACD wykorzystywanego do rognozowania unktów zmiany tendencji na bazie zachowania tego wskaźnika na końcu róby. Należy jednak wsomnieć o istotnej wadzie takiego rozwiązania. Mowa tu o roblemie wynikającym z asymetrii filtru, rowadzącym do generowania rzez niego rzesunięcia w fazie danych rzefiltrowanych w stosunku do danych źródłowych. Problem ten utrudnia analizę rozłożenia w czasie oraz stonia korelacji oszczególnych komonentów cyklicznych rzefiltrowanego szeregu czasowego. Wyrowadzenie filtru Christiano Fitzgeralda rzedstawia się w nastęujący sosób. Przyjmijmy, że oszukujemy filtru liniowego o ostaci:,, (44) gdzie k i l są liczbami naturalnymi zmieniającymi się wraz z indeksem wyjściowego szeregu czasowego: k = T t, l = t l. Przy tak ustalonych arametrach konstruowa- rzyadku kryterium otymalizacyjne rowadzące do uzyskania otymalnego ny jest na odstawie wszystkich osiadanych obserwacji (t j = 1 T). W takim rzy-

52 Marcin Łuiński bliżenia filtru idealnego ma bardziej skomlikowaną ostać, niż zostało to oisane w unkcie 2.2.3. Kryterium to owinno uwzględniać warunkowanie rzez wszystkie osiadane obserwacje źródłowego szeregu czasowego min, (45) gdzie oznacza warunkową wartość oczekiwaną dla x,,x T. Kryterium to może być zaisane w domenie częstotliwości jako: 1 2, min, (46) gdzie jest dyskretną transformatą Fouriera ciągu obserwacji x. Minimalna wartość (46) zaewniona jest dla,, a w rezultacie dla,. Jednak ze względu na asymetrię tak określonego filtra jego wagi nie sumują się do 0. Christiano i Fitzgerald zaroonowali rzyjęcie nastęującego algorytmu obliczania wag filtra, który ozwala na eliminację owyższej ułomności: 1) dla środkowych wag j = l 1,., k + 1 rzyjęcie wartości wynikają cych z otymalnej filtracji,, 2) dla wag skrajnych rzyjęcie wartości (orzez dodanie odowiednich wyrazów), które symulowałyby symetrię filtru:,,, (48),, 0. (47) a co za tym idzie również sumowanie się wszystkich wag filtru do 0, czyli: dla najmłodszej wagi, dla 1 1 dla 1,,0 dla wagi najstarszej. Zastosowanie algorytmu Christiano Fitzgeralda owoduje, że formuła na uzyskanie każdego jest inna, n.:,, y,, (51) oraz (49) (50)

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 53 y T,,,,. (52) 3. Porównanie własności tradycyjnego oraz sektralnego oscylatora MACD Standardowy oscylator MACD obliczany jest jako różnica wykładniczych średnich ruchomych, z których jedna (rzeważnie 26-okresowa) wyznacza średniookresowy trend wyceny walorów, a druga określa trendu krótkookresowy (średnia 12- -okresowa)., gdzie a jest wsółczynnikiem o wartości 1., (53) W celu wyznaczenia unktów zmiany tendencji cen aktywów wyznaczana jest dodatkowo linia sygnalna będąca 9-okresową średnią wykładniczą oisanej wcześniej różnicy,. (54) Lokalne maksimum rzewidywane jest w sytuacji, gdy wskaźnik MACD rzecina krzywą sygnalną od góry, czyli rzyjmuje wartości większe od wartości wykreślanych rzez linię sygnalną w lewostronnym otoczeniu unktu rzecięcia i wartości mniejsze w rawostronnym otoczeniu tego unktu. Na wystęowanie lokalnego minimum w rzyszłości wskazuje z kolei rzecięcie linii sygnałowej rzez oscylator MACD od góry. Przyjrzyjmy się własnościom standardowego oscylatora MACD oraz towarzyszącej mu linii sygnalnej w dziedzinie częstotliwości. Proces obliczania obu wskaźników może być ostrzegany jako zastosowanie do zmiennych wejściowych liniowego, asymetrycznego i stacjonarnego filtru. Przy takiej interretacji możliwe jest zastosowanie miar transformacji danych wejściowych w dziedzinie częstotliwości: charakterystyki amlitudowej oraz charakterystyki fazowej liczonych na bazie funkcji transmitancji. W rzyadku oscylatora MACD charakterystyka funkcji transmitancji dana jest wzorem: 1. (55) Wykres modułu transmitancji, czyli charakterystyki amlitudowej, rzedstawiony jest na rys. 5.

54 Marcin Łuiński 1 0.8 0.6 0.4 0.2 - - 2-4 - 8 8 4 2 Rys. 5. Wykres charakterystyki amlitudowej filtru wykorzystywanego do liczenia standardowego MACD, a = 0,9 Źródło: oracowanie własne. Rozkład charakterystyki fazowej ma z kolei ostać: 3 2 1 - - 2-4 - 8 8 4 2-1 -2-3 Rys. 6. Wykres charakterystyki fazowej filtru wykorzystywanego do liczenia standardowego MACD, a = 0,9 Źródło: oracowanie własne. Analizując rys. 5 i 6, można stwierdzić, że filtr stosowany rzy liczeniu MACD tłumi wahania o okresie mniejszym niż 16 sesji i większym niż 180 sesji, rzesuwając jednocześnie znacznie w fazie dane o rzeuszczonych częstotliwościach. Transmitancja linii sygnalnej oscylatora MACD dana jest formułą: 1, (56) 1

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 55 rzy, zdefiniowanym jako:, 1. (57) Odowiadające jej funkcje charakterystyki amlitudowej oraz fazowej rzedstawiają się jak na rys. 7. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 - - 2-4 - 8 8 4 2 Rys. 7. Wykres charakterystyki amlitudowej filtru wykorzystywanego do liczenia linii sygnalnej standardowego MACD, a = 0,9 Źródło: oracowanie własne. 3 2 1 - - 2-4 - 8 8 4 2-1 -2-3 Rys. 8. Wykres charakterystyki fazowej filtru wykorzystywanego do liczenia linii sygnalnej standardowego MACD, a = 0,9 Źródło: oracowanie własne.

56 Marcin Łuiński Analizując wykresy na rys. 7 i 8, można zauważyć, że generalnie filtr linii sygnalnej w sosób bardziej zdecydowany tłumi częstotliwości szeregu wejściowego, eliminuje część wysokich częstotliwości ozostawianych rzez MACD. Jednocześnie, odobnie jak sam oscylator, rzesuwa w fazie dane o rzeuszczanych częstotliwościach. Do stworzenia sektralnej wersji oscylatora MACD użyty został wyrowadzony w unkcie 2.2.3 filtr Christiano Fitzgeralda. Jako otymalne rzybliżenie idealnego filtru środkoworzeustowego owinien on rzeuszczać częstotliwości z zakresu odanego rzez wartości graniczne. Funkcja transmitancji tego filtru nie ma ustalonej ostaci, lecz zależy od indeksu obserwacji, dla której filtr jest konstruowany, i łącznej ilości obserwacji filtrowanego szeregu. Jej ostać wyliczona dla ostatniej obserwacji szeregu składającego się z 4000 elementów (co odowiada charakterystyce olskich danych giełdowych), rzy założeniu filtrowania cykli o długości od 50 do 25 sesji, dana jest formułą: 1. (58) Wyznaczone na odstawie owyższego równania charakterystyki amlitudowa i fazowa mogą zostać rzedstawione jak na rys. 9 1 0.8 0.6 0.4 0.2-4 - 8 8 4 Rys. 9. Wykres charakterystyki amlitudowej filtru Christiano Fitzgeralda dla T = 4000 i częstotliwości granicznych odowiadających 50 i 25 sesjom Źródło: oracowanie własne.

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 57 1.5 1 0.5 - - 2-4 - 8 8 4 2-0.5-1 -1.5 Rys. 10. Wykres charakterystyki fazowej filtru Christiano Fitzgeralda dla T = 4000 i częstotliwości granicznych odowiadających 50 i 25 sesjom Źródło: oracowanie własne. Jak wynika z rys. 9, filtr Christiano Fitzgeralda daje jedynie zgrubne rzybliże- Rysunek 10 wskazuje dodatkowo na nie idealnego filtru środkoworzeustowego. silne rzesunięcie w fazie danych o rzefiltrowanych częstotliwościach. Pomysł na utworzenie sektralnej wersji oscylatora MACD rzedstawia się nastęująco: każdy z badanych szeregów czasowych akcji, o usunięciu długookresowego trendu, oddany został analizie sektralnej. Na odstawie obliczonego estymatora funkcji gęstości sektralnej ustalone zostały dominujące częstotliwości średnioi krótkookresowe. Sektralny odowiednik oscylatora MACD został obliczony jako wynik filtrowania wejściowego szeregu czasowego filtrem Christiano Fitzgeralda z częstotliwościami granicznymi ustalonymi w ten sosób, aby rzeuścić częstotliwości odowiedzialne za wahania krótkookresowe.,, (59) gdzie, są odowiednio ilościami okresów odowiadających wahaniom o częstotliwości nieco wyższej oraz nieco niższej od częstotliwości odowiedzialnych za wahania krótkookresowe. Z kolei linia sygnalna obliczana jest jako wynik filtrowania ierwotnego szeregu filtrem Christiano Fitzgeralda zachowującym dominujące częstotliwości średniookresowe:,, (60) gdzie, są stosownymi częstotliwościami granicznymi. Podobnie jak w rzyadku standardowej analizy oscylatora MACD, lokalne maksimum sodziewane było o stwierdzeniu rzecięcia wskaźnika

58 Marcin Łuiński rzez od góry, lokalne minimum rzy rzecięciu rzez od dołu. 4. Dane użyte w badaniu Ocena rzydatności oeracyjnego zastosowania sektralnego oscylatora MACD do rognozowania unktów zmiany tendencji dokonana została na czterech dziennych szeregach cen zamknięcia akcji banków notowanych na GPW w Warszawie: BRE, BZW WBK, PEKAO oraz BOŚ, na róbach o zakresie czasowym odowiednio od 1992-10-06, 1993-06-22, 1998-06-30, 1997-02-03 do 2009-08-18. Analizie oddane zostały oziomy cen akcji, stosowane bowiem często w analizie danych finansowych logarytmiczne stoy zwrotu charakteryzowały się zbyt dużą zmiennością uniemożli- okresó w do rzodu. Dla każdego z szeregów czasowych wyznaczone zostały cztery wiającą dokonanie jednoznacznego rognozowania lokalnych ekstremów na kilka lokalne maksima i minima, które rognozowane były równolegle rzy użyciu standardowego oscylatora MACD i jego wariantu sektralnego. Przykładowo dla akcji BRE wybrano nastęujące daty odowiadające wartościom maksymalnym: 1997- -02-13, 2000-03-24, 2002-03-08 i 2007-10-17 oraz odowiednio daty odowiadające lokalnym minimom: 1997-11-28, 1998-10-09, 2001-07-16 i 2009-03-03. Zestawienie odsumowujące jakość rognoz uzyskanych za omocą dwóch oisanych oscylato- rów znajduje się w kolejnym unkcie. 5. Konstrukcja sektralnej wersji oscylatora MACD oraz ocena jakości rognoz unktów zmiany tendencji uzyskanych na jego odstawie Jak oisano wcześniej, konstrukcja sektralnego odowiednika oscylatora MACD rozoczyna się od zbadania własności cyklicznych badanego szeregu czasowego. Własności te określane są na odstawie rzebiegu funkcji gęstości sektralnej wyestymowanej za omocą metody Tukeya rzy użyciu wygładzającego okna Parzena o długości równej ok. 1/6 długości szeregu oddawanego badaniu. Aby zaewnić stacjonarność badanych szeregów czasowych, co jest niezbędne do óźniejszego właściwego interretowania wyników analizy sektralnej, rzed obliczeniem estymatora wariancji/kowariancji usunięty został długookresowy trend. Postać czterech funkcji gęstości sektralnych dla kolejnych czterech szeregów cen akcji, odowiednio: BRE, BZW WBK, PEKAO i BOŚ, rzedstawiona została na kolejnych rysunkach (rys. 11-14). Analiza oszczególnych wykresów ozwala na identyfikację dominujących długości cykli determinujących rzebieg zmienności odowiadających im szeregów czasowych. Dla wszystkich cen akcji banków istotna składowa zmienności ochodzi z wahań średniookresowych o długości ok. 130 sesji, czyli rawie ół roku. Wahania krótkookresowe ozwalają na większe zróżnicowanie charakterystyki zmiany bada-

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 59 nych cen. Krótkookresowa zmienność akcji BOŚ generowana jest rzez cykle o długości 35 sesji, w rzyadku szeregu akcji BRE i PEKAO dominują wahania o długości ok. 38 sesji, z kolei akcje BZW WBK osiadają dominującą składową sektralną o długości ok. 56 sesji. Na odstawie oisanych owyżej informacji określone zostały wartości graniczne częstotliwości sektralnego filtru Christiano Fitzgeralda używa nego do obliczenia sektralnego wskaźnika MACD oraz linii sygnalnej. Rys. 11. Wykres estymatora gęstości sektralnej akcji BRE (na osi rzędnych liczba okresów) Źródło: oracowanie własne. Rys. 12. Wykres estymatora gęstości sektralnej akcji BZW WBK Źródło: oracowanie własne.

60 Marcin Łuiński Rys. 13. Wykres estymatora gęstości sektralnej akcji PEKAO Źródło: oracowanie własne. Rys. 14. Wykres estymatora gęstości sektralnej akcji BOŚ Źródło: oracowanie własne. Na rzykład w rzyadku akcji BRE ustalone zostały nastęujące arametry: 40, 60, (61)

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 61 60,130. (62) Wyznaczony na ich odstawie oscylator i jego linia sygnalna rzedstawia się nastęująco: Rys. 15. Wykres sektralnej wersji oscylatora MACD i stowarzyszonej z nim linii sektralnej, cena akcji BRE Źródło: oracowanie własne. Rys. 16. Wykres tradycyjnego MACD i stowarzyszonej z nim linii sektralnej, cena akcji BRE Źródło: oracowanie własne.

62 Marcin Łuiński Oczywiście dla każdego z szeregu cen akcji obliczony został również tradycyjny wskaźnik MACD oraz odowiadająca mu okresowa średnia wykładnicza. Ich rzebieg dla walorów BRE został rzedstawiony na rys. 16. Wskaźniki MACD w wariancie tradycyjnym i sektralnym, obliczone dla cen akcji oszczególnych banków, oddane zostały ocenie rzydatności oeracyjnej w rocesie rzewidywania unktów zmiany tendencji (lokalnych maksimów i minimów). Wyniki zestawiono w tab. 1. Tabela 1. Zdolność do rzewidywania unktów zmiany tendencji wskaźników sektralnego MACD i MACD standardowego (1 oznacza orawnie zdiagnozowany unkt lokalnego maksimum lub minimum) Akcje/numer Sektralne MACD Standardowe MACD BRE k/ Lok. maksimum Lok. minimum Lok. maksimum Lok. minimum I 1 1 1 0 II 0 1 1 0 II 1 1 1 1 IV 1 1 1 1 BZW WBK I 1 1 1 1 II 1 1 1 1 III 1 1 1 1 IV 1 1 1 0 PEKAO 1 I 1 1 1 1 II 1 1 1 1 III 0 1 1 1 IV 1 1 1 1 BOŚ I 0 1 1 1 II 1 1 1 1 III 1 1 1 1 IV 1 1 1 0 Łączna ilość 1 13 16 16 12 Źródło: oracowanie własne. Przegląd tab. 1 ozwala na stwierdzenie, że wskaźnik sektralnego MACD rognozuje unkty zmiany tendencji ze skutecznością bliską 82%. Podobną, choć nieco niższą skutecznością może się wykazać standardowy oscylator MACD. Ciekawą rawidłowością jest trafniejsze wykrywanie lokalnych maksimów rzez wskaźnik standardowy, odczas gdy wyższość wskaźnika sektralnego ujawnia się w rogno-

Konstrukcja sektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków... 63 zowaniu lokalnych minimów. W związku z owyższym sugerowane jest używanie sektralnego oscylatora MACD jako narzędzia omocniczego w rocesie identyfikacji lokalnych ekstremów w arze ze wskaźnikiem tradycyjnym. 6. Konkluzje Celem niniejszej racy było rzedstawienie sosobu konstrukcji sektralnej wersji oscylatora MACD i związanej z nim linii sygnalnej oraz zbadanie możliwości zastosowania zbudowanych w ten sosób wskaźników do oeracyjnego rzewidywania unktów zmiany tendencji wybranych cen akcji banków notowanych na GPW. Zbu- sektralny, w rzeciwieństwie do wskaźnika tradycyjnego, ma dowany wskaźnik silne oarcie w teorii analizy sektralnej i otymalnego filtrowania. Teorie te zostały rzedstawione na otrzeby niniejszego oracowania w zarysie umożliwiającym zro- rzekształceń rowadzących do w yrowadzenia m atematycznego modelu liniowego, asymetrycznego filtra środkoworzeustowego Christiano Fitzgeralda, użytego bezośrednio do obliczania oszczególnych obserwacji sektralnej wersji zumienie wskaźn ika MACD. Ze względu na sosób konstrukcji wskaźnik sektralny może zostać uznany za narzędz ie elastyczne, ozwalające na doasowanie sosobu rzetwarzania danych wejściowych do własności cyklicznych tychże danych. Rezultaty analizy oeracyjnej rzydatności sektralnego wskaźnika w rocesie rognozowania lokalnych minimów i maksimów cen nie ozwalają na jednoznaczną ozytyw ną weryfikację hiotezy badawczej zakładającej rzewagę jakości rognoz uzyskiwanych na jego odstawie nad rognozami uzyskanymi w rzyadku wskaźnika tradycyjnego. Globalne własności rognostyczne sektralnego MACD są wrawdzie nieco lesze od własności konkurencyjnego wskaźnika standardowego, jednak w rozbiciu na rzewidywanie lokalnych maksimów i minimów cen wskaźnik standardowy okazuje się bardziej adekwatny do ostawion ego rzed nim zadania w rzyadku ierwszego rodzaju lokalnych ekstremów. Ze względu na stwierdzony stan rzeczy autor oracowania rekomenduje więc równoległe wykorzystanie obu wskaźników w rocesie wykrywania unktów zmiany tendencji cen walorów notowanych na GPW w Warszawie. Literatura Baxter M., King R.G, Measuring business cycles, Aroximate band-ass filters for economic time series, NBER Working Paer 1995, no. 5022. Christiano L.J., Fitzgerald T.J., The band ass filter, NBER Working Paer 1999, no. 7257. Czyżycki T., Analiza matematycznych odstaw metod usuwania długookresowego trendu z szeregów czasowych rzy omocy filtrów sektralnych Baxtera Kinga i Christiano Fitzgeralda oraz raktyczne zastosowanie tychże metod do dekomozycji gruy olskich danych makroekonomicznych, NBP, Warszawa 2009. Enders W., Alied econometric time series, Wiley Series in Probability and Statistics 2000.

64 Marcin Łuiński Gajek L., Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne, Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo- -Techniczne, Warszawa 2000. Gichman I.I., Skorochod A.W., Wstę do teorii rocesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1968. Hamilton J.D., Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton 1994. Kowal P., Otimal filtering, htt://econaers.reec.org/software/wawuwr/0507001.htm, 2005. Licer R.S., Sziriajew A.N., Statystyka rocesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1981. Lutkeohl H., New Introduction to Multile Time Series Analysis, Sringer-Verlag, Berlin 2005. Mohr M., A trend-cycle(-season) filter, Euroean Central Bank, Working Paer Series, no. 499, July 2005. Pedersen T.M., Alternative linear and non-linear detrending techniques: A comarative analysis based on euro-zone data, [w:] Paers and roceedings or the third Eurostat colloquium on modern tools for business cycle analysis, Luxembourg 2004. Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, WKiŁ, Warszawa 2000. Wentzell A.D., Wykłady z teorii rocesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1980. Wośko Z., Czy filtry liniowe są rzydatnym narzędziem badania koniunktury?, Analiza sektralna na rzykładzie ankietowych wskaźników koniunktury, Wydawnictwo AE w Katowicach, materiały z XIV Konferencji Naukowej Młodych Ekonomistów, Ustroń, 25-26 września 2008. CONSTRUCTION OF SPECTRAL MACD OSCILLATOR FOR SELECTED POLISH BANKS STOCK PRICES Summary: The goal of this article is to resent sectral version of MACD oscillator built with the hel of sectral analysis and filtration methods alied to time series interreted as realizations of stochastic rocesses. Theoretical art of the work is devoted to the descrition of Christiano Fitzgerald filter, which was alied to frequency domain MACD construction as one of the best aroximations of otimal filter. The reared indicator was used to forecast turning oints of selected Polish banks' stock rices noted at Warsaw Stock Exchange. The quality of forecasts comuted with use of sectral version of MACD were also comared with forecast gained with its standard version. Achieved results allow to state that sectral MACD erforms better than its version used u to now in technical analysis of financial time series. Keywords: sectral analysis, sectral filters, turnings oints.